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Construction de polynômes de Kazhdan-Lusztig arbitraires
C. R. Acad. Sci. Paris, t, 328, Serie I,
p. 281·285, 1999
Theorle des groupeslCroup Theory
Construction de polynomes de Kazhdan-Lusztig arbitraires Patrick POLO CNRS, UI\IR 7539, In stitut Galil ee, departement de mathematiques, Universite Paris-Nord, 93430 Villetaneuse, France (Reeu Ie 27 novemhre 1998 , accepte Ie 14 tlecembre 1998)
Resume.
tout poIyn6me P a coefficients entiers positifs et terme constant egal a 1, de degre d, nous associons une paire d'elements (y ,w) dans Ie groupe symetrique S" , oil n = d + 1 + P(l ), pour laquelle nous montrons que Ie polyn6me de Kazhdan-Lusztig Py,u' est ega! a P . Cette paire verifie lew) -ley) = 2d + P(l) - 1, ou lew) designe Ie nombre d'inversions de w. © Academic des ScienceslElsevier, Paris
A.
Construction of arbitrary Kazlrdall-Lusztig pol)'llOmials
Abstract.
To each polynomial P with integral non-negative coefficients and constant term equal to 1, of degree d, we associate a pair of elements (y, w) in the symmetric group Sri . where n = 1 + d + P (l), for which we prove that the Kazhdan-Lusztig polynomial Py,w equals P. This pair satisfies lew) -ley) = 2d + pel) - 1, where l ew ) denotes the number of inversions of w. © Academic des ScienceslElsevier, Paris
Abridged English Version For every Coxeter group (W, S), Kazhdan and Lusztig defined in [6] a polynomial Py,w(q) E I[q] for each pair (y, w) of elements of W such that y ~ w in the Bruhat-Chevalley order. It has constant term equal to 1 and degree at most equal to (l( w) - f(y) - 1)/2, where f denotes the length function on (W, S). When (W, S) is a finite or affine Weyl group, they showed in [7] that the Py,w(q) have non-negative coefficients by relating them to the intersection cohomology of Schubert varieties. In spite of their rather elementary definition in [6], the polynomials Py,w are quite difficult to compute explicitly. In view of the interpretation in terms of intersection cohomology of Schubert varieties, it seems that this difficulty reflects the rather complicated nature of the singularities of Schubert varieties in general. In fact, the only families of Kazhdan-Lusztig polynomials known so far correspond to situations where the geometry is simpler, namely Schubert varieties in Grassmannians (see [8], [II)) or in other minuscule G /Q (see [2)), or in the incidence variety in P" x (pn) * (see [3)). Note presentee par Pierre
DELIGNE.
0764-4442199/03280347 © Academic des ScienceslElsevier, Paris
281
P. Polo In this Note we adopt the reverse approach and show that any polynomial PEl + qN[qJ equals the Kazhdan-Lusztig polynomial PY ow of a certain pair of elements y ~ w in the symmetric group Sn, where n 1 + P( 1) + deg P . In order to define this pair, let us first recall that every permutation WE Sn is determined by its code c(w), which is the n-tuple (CI(W) , ... ,cn(w)), where Ci(W) equals the number of j > i such that w(j) < wei) . One then has few) = Li Ci(W). Let us also recaIl that the Ehresmann-Bruhat-Chevalley order on the symmetric group can be described in terms of keys of permutations. The r-th key of w, denoted by K r ( w), is the array obtained by arranging the elements of w([I, rJ) in increasing order: i l < .. . < i., The set of r-keys is endowed with the product order: (jt < .. , < jr) ~ (i l < .. . < i r ) if and only if i, ~ is for all s. It is well known that y ~ w if and only if K, (y) ~ K, (w) for all r. One deduces, in particular, that if c, (w) ~ Ci (y) for all i, then w ~ y. ",d . Set P = 1 + L.,.,i =l ai q', with a. E N and ad > 0. Let w, y be the elements of Sn whose codes are the following n-tuples. (Here, rna denotes a sequence of a terms equal to m; by convention this is the empty sequence if a = 0.)
=
C(w) = (2a1, , (d + l)a d , d + l ,d, c(y) = (O,la 1 , ,dll d ,d-l,d-2, Then Ci(W) ~ Ci(Y) for all i, so that w ~ y, and one has few) - fey) THEOREM. -
One has Py,w
= 1 + al q +
... +
,2,O,O), ,1,O ,0).
= P(l) - 1 + 2d.
ad qd.
The scheme of the proof is as foIlows. Let X w be the Schubert variety associated with w. In general, X w does not admit a small, or even semi-small, resolution. Yet, there is a Demazure type resolution 1r : Zw -4 X w which is rather manageable. More precisely, let C[y,wl denote the union, for Z E [V , w], of the Bruhat cells C z ; this is an open subset of X w • We show that, over C[y,w), one can describe explicitly the stalks of the cohomology sheaves R' 1r _ C, on the one hand, and the decomposition of R e 1r _ C as a direct sum of shifted Deligne-Goresky-MacPherson complexes of Schubert varieties, on the other hand.
1. Introduction
:s :s
Soit (W, S) un groupe de Coxeter et soient f la fonction de longueur et I'ordre de BruhatChevalley sur W associes a S. Kazhdan et Lusztig ont associe a toute paire y w d'elements de W un polynome Py,w(q) E Z[q]. de terme constant egal a 1 et de degre au plus egal a (f(w) -fey) -1)/2 (voir [6]). Lorsque West un groupe de Weyl fini ou affine, ils ont montre que les Py,w sont a coefficients positifs en les reliant a la cohomologie d'intersection des varietes de Schubert (voir [7]). En depit de leur definition elementaire dans [6], les polynomes PI/,W sont difficiles a caIculer explicitement. En raison de leur interpretation en termes de cohomologie d'intersection de varietes de Schubert, cette difficulte semble refleter la nature plutot compliquee des singularites des varietes de Schubert en general. De fait, les seules families de polynornes de Kazhdan-Lusztig deja connues correspondent a des situations ou la geometric est plus simple, a savoir les varietes de Schubert dans les grassmanniennes (voir [8], [II]) ou dans les autres C/Q minuscules (voir [2]), ou dans la variete d'incidence dans P" x (P")" (voir [3]) . Dans cette Note, nous adoptons I'approche inverse et montrons que tout polynome PEl + qN[qJ est le polynome de Kazhdan-Lusztig d'une certaine paire d'elements du groupe symetrique Sn, ou n = l+P(l)+degP.
282
Construction de polynomes de Kazhdan-Lusztig arbitraires
Posons P = 1 + L~=l ai qi, avec ai E N et ad > O. Soient w, y les elements de Sn definis dans la version anglaise. L'on a w ~ y et l(w) -l(y) = P(I) - 1 + 2d. THEOIrnME
1. - On a Py,w = 1 + al q + ...
+ ad qd.
Remarques. - 1) On a l(w) - l(y) - 1 = 2d si et seulement si P = 1 + qd. Dans ce cas, Ie theoreme etait deja connu : une demonstration geometrique simple est donnee dans [3], § 4.6. Par ailleurs, A. Lascoux m'a indique qu'il en avait obtenu une demonstration combinatoire avec M.P. Schiitzenberger. 2) L'idee de ce theoreme, ainsi que la forme conjecturale de la paire (y, w), m'ont ete suggerees par des calculs effectues dans le groupe symetrique 8 8 grace au programme « Coxeter » de Fokko Du Cloux. Je tiens a lui exprimer rna gratitude pour m'avoir communique son programme, et pour une discussion recente qui a renouvele mon interet pour cette question.
2. Esquisse de la demonstration On donne ici une idee de la preuve, detaillee dans [9]. Dans toute la suite, le corps de base est Ie corps C des nombres complexes. Les varietes algebriques considerees sont munies de la topologie complexe. Pour une telle variete X, on designera par IC(X) le complexe de Deligne-Goresky-MacPherson, et par I1i i (X ) ses faisceaux de cohomologie (voir [1], [4], [7], [10]). Soient P = 1 + L~=l ai qi, n = 1 + d + P(I), et y ~ w dans Sn, comme dans l'Introduction. On pose aussi [c] = Li ai. Soient G = 8L n (C) et F(n) Ia variete des drapeaux dans en. Le stabilisateur du drapeau standard e l c ... c e n - l est Ie sous-groupe B des matrices triangulaires superieures et G/ B s'identifie a F( n). Pour z E 8n , soient V z et X, = BV z Ie drapeau et Ia variete de Schubert associes a z et, pour v ~ z, soit C[v,z] l'ouvert de X, forme par la reunion, pour x E [v, z], des orbites BV x' Pour i E [1, lall, notons d; Ie plus petit entier s tel que i ~ al +... + as. On voit facilement que X w est Ia variete formee des drapeaux V· = (VI C ... C vn-l) qui verifient Ies conditions suivantes : Vi c ei+d.+1, pour i E [1, lall, et C l C V n - l . Soit Zw Ia variete formee des paires (U·, V·), ou V· E X w et ou U· = (U2 C ... C U lal+l ) est un drapeau de type [2, lal + 1] soumis aux conditions c- c U 2 et Vi C Ui+l c ei+1+d. pour tout i E [1, lall. On verifie sans peine que z; est lisse, et que Ia seconde projection Zw - t X w, notee 1r, est propre et birationnelle. En fait, on a Ie Soit X~ La sous-variete fermee de X w definie par La condition C 1 C vial. Alors 1r est un isomorphisme au dessus du complementaire de X~. LEMME 1. -
On note q = t 2 et, pour tout z ~ w, on pose H z ,1r(t ) = Li>O dim(Ri 1r. C)v . t i • Comme 1r est propre, on a (R i 1r. C)v . ~ Hi (1r- 1(Vz ) , C). D'autre part, comme 1r est B-equivariante et que les B-orbites dans X w sont simplement connexes, Ie theoreme de decomposition (voir [1]) entraine que R1r.(C[l(w)]) ~ IC(Xw ) EEl
E9 s; 0IC(X
v) ,
v
ou les E; sont des C-espaces vectoriels gradues de dimension finie teis que dim E~ = dim E;i, pour tout i. Posant Ev(t) = Li(dimE~)ti, ceci equivaut a dire que Ev(t-l) = Ev(t). De plus, d'apres [7], [10], 1'0n a, pour tout z ~ w,
I: dimI1{t(Xw)v. t
i
= Cl(w) Pz,w(q).
i
283
P. Polo
II vient done que, pour tout z
~
w,
L
Hz ,7r (t ) = Pz,w(q) +
(I)
tl(w)-l(v) Ev(t)Pz,v(q).
z~v
D'autre part, pour chaque i E [1, lall, soit "Yi Ie (d i + I)-cycle qui transforme (i, n - d., ... , n - 1) en (n - l,i, ... ,n - 2) et soit Vi = W"Yi.
lal.
PROPOSITION 1. - a) Les Xv.' pour i = 1, ... , sont exactement les composantes irreductibles de X~, et pour tout i fan a Vi ~ yet l(Vi) = l(w) - d i.
b) Pour chaque i, lafibre 1I'-I(Vv ,) est isomorphe
tl(w)-l(v.) E v• (t)
a l'espace projeetijpd.-l, et l'on a
= q + ... + qd.-l
et Pv"w
1.£ point V y est un point lisse de chaque Xv.' d) On a H y,7r(t) = 1 + Li~l(q + ... + qd.) = 1 + E~=l as(q
= 1.
c)
+ ... + qS).
Le point a) et la premiere assertion de b) s'obtiennent par des considerations directes, et la seconde assertion de b) en decoule en utilisant (I) et Ie fait que E v • (t-l) = E v • (t). D'autre part, c) s'obtient en considerant une resolution Zv, -+ Xv, analogue a 11' : Zw -+ X w, et on demontre d) en exhibant une decomposition.de 1I'-I(Vy) en cellules isomorphes a des espaces affines C". . On deduit de (I) et de la proposition que P - Py,w est a coefficients positifs ou nuls, et est nul SI et seulement si E; = 0 pour tout v E [y, w[ \ {V., ... , vial}' D'autre part, en utilisant Ie fait que, pour tout z E [y, w], Py,w - Pz,w est a coefficients positifs ou nuls ([5], Cor. 4), on voit que l'egalite Py,w P resulte de la proposition suivante. Pourtout s E [1, dJ, soient fs = Li
=
PROPOSITION
2. - On a Pz.,w
= 1 + as qS.
=
=
w(n - s - 1) = fs+1 + s + 2. On observe que zs(i) w(i) si Demonstration. - Posons b, i ~ fs, et Z;l(j) = w-l(j) si j > h s. Soient F = [fs + 1, n] n w- I [I , hsl = [fs + 1, n] n z;l[l, h s], m #F, et cP (resp. 'I/J) I'unique bijection croissante de [1, m] vers F (resp. w(F) zs(F». On pose ill = 'I/J-l 0 WIF 0 cP, et I'on definit de merne zs. On a alors Ie Iemme ci-dessous (voir la partie 3 pour un enonce plus general).
=
LEMME
=
2. - On a Pz.,w
= Pi.,w.
De plus, on observe que Zs < ill est la paire associee au polynome 1 + as s'. Pour simplifier, s etant fixe, on note is = i et as = a. On voit donc que, pour terminer Ia demonstration du theoreme dans Ie cas general, iI suffit d'etablir que Pi,w = 1 + a q", Soient X w C :F(m) la variete de Schubert associee a ib, et it : Zw -+ X w la resolution analogue a 11'. D'apres ce qui precede, applique a w, it et z au lieu de w, 11' et y, on sait deja que Pi,w = 1 + b q", avec b E [0, a]. Si b < a alors on deduit de (1) qu'i1 existe v E [i, w] tel que tl(w)-l(v) Ev(t) c q", avec c E [1, a - b], et comme Ev(t-l) = Ev(t), ceci n'est possible que si l(w) -l(v) = 2s. Or, en etudiant les fibres de it au dessus de eli,w], on peut etablir Ie lemme suivant.
=
LEMME
284
3. - Pour tout V E [i, w] tel que l(v)
= l(w) -
2s, on a deg Hv,it(t)
< 2s, et done E;
= O.
Construction de polynomes de Kazhdan-lusztig arbitraires
Ceci acheve la demonstration de la proposition 2, et done du theoreme de I'Introduction. On a aussi obtenu que E v, ~ He(pd,-2)[d i - 2] et que E; = 0 pour v E [y,w[. v =I Vi. Notant t l'inclusion C[y ,w] t....+ X w• on a done demontre que t*Re1r *(qe(w)]) ~ L*IC (Xw ) EB
[u]
EB H e(p d,- 2)[d
i -
2] ® t*IC(Xv.) .
•=1
3. Un theoreme de focalisation Le lemme 2 est un cas particulier du resultat suivant. Soient G un groupe algebrique semi-simple connexe, T un tore maximal, R le systeme de racines, W le groupe de Weyl, B un sous-groupe de Borel contenant T, D. l'ensemble des racines simples correspondant a B. Si I est une partie de D.. on note R I ~ R, WI ~ W et B ~ PI ~ G les objets standard associes, Soient y ~ w dans W tels que wWI = yWI et soient u l'unique element minimal de cette classe, et WI = u-Iw, Yl = u- 1 y. Alors, en eomparant l'elernent C:n, defini en [6] (l.1.c), avec C~C:nI' on obtient facilement que Py,w
= Pyl,WI'
=
Soient June seconde partie de D., et K = u-I(R J ) n I . Supposons de plus que W J w W J y. Alors on a W K WI = W K Yl . Soient V I'unique element minimal de cette classe, et ill = WI V-I, fi = YIV- 1 • Alors I'on a Pg,w = Pyl ,WI = Py ,w, et le lemme 2 est un cas particulier de cette egalite. D'autre part. soit U- le radical unipotent du sous-groupe de Borel oppose a B . D'apres [6], Lemma A4, l'on a x; n yU - BJ B ~ C y x Ny ,w. au Ny ,w = n (y(U-) n U-)yBJ B. On a alors le resultat geometrique plus precis suivant :
x:
THEOItEME
2. - On a un isomorphisme Trequivartant Ny,w ~ Nfi ,w.
Remarque. - Si W = Sn et si WI (resp . W J ) est le sous-groupe des permutations de [a , b] (resp. [c, dj). et si I'on represente les permutations y ~ w par leur graphe dans [1, n] x [1, n], alors les graphes de ill et fi sont obtenus en se focalisant sur l'interseetion des colonnes C. et des lignes Lj, pour i E [a , b] et j E [e, dj.
References bibliographiques [I] Beilinson A., Bernstein J., Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque 100, Soc. Math. France, 1982, pp. 3-171. [2] Boo B.D., Kazhdan-Lusztig polynomials for hermitian symmetric spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988) 279-294. [3] Brion M., Polo P., Generic singularities of certain Schubert varieties, Math. Z. (A paraitre). [4] Goresky M., MacPherson R., Intersection homology II, Invent. Math. 72 (1983) 77-129. [5] Irving R.• The socle filtration of a Verma module. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 21 (1988) 47--65. (6) Kazhdan D., Lusztig G., Representations of Coxeter groups and Heeke algebras, Invent. Math. 53 (1979) 165-184. [7] Kazhdan D., Lusztig G., Schubert varieties and Poincare duality, in: Proc. Symposia Pure Math., Vol. 36, Amer. Math. Soc., 1980, pp. 185-203. [8] Lascoux A., Schiitzenberger M.P., Polynomes de Kazhdan-Lusztig pour les grassmanniennes, Asterisque 87·88. Soc. Math. France, 1981, pp. 249-266. [9] Polo P., Construction of arbitrary Kazhdan-Lusztig polynomials in symmetric groups, (prepublication). [10] Springer T.A ., Quelques applications de la cohomologie d'imerse ction. Sem. Bourbaki 589, 1982. [11] Zelevinsky A., Small resolutions of singularities of Schubert varieties, Funct. Anal. Appl. 17 (1982) 142-144.
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p. 281·285, 1999
Theorle des groupeslCroup Theory
Construction de polynomes de Kazhdan-Lusztig arbitraires Patrick POLO CNRS, UI\IR 7539, In stitut Galil ee, departement de mathematiques, Universite Paris-Nord, 93430 Villetaneuse, France (Reeu Ie 27 novemhre 1998 , accepte Ie 14 tlecembre 1998)
Resume.
tout poIyn6me P a coefficients entiers positifs et terme constant egal a 1, de degre d, nous associons une paire d'elements (y ,w) dans Ie groupe symetrique S" , oil n = d + 1 + P(l ), pour laquelle nous montrons que Ie polyn6me de Kazhdan-Lusztig Py,u' est ega! a P . Cette paire verifie lew) -ley) = 2d + P(l) - 1, ou lew) designe Ie nombre d'inversions de w. © Academic des ScienceslElsevier, Paris
A.
Construction of arbitrary Kazlrdall-Lusztig pol)'llOmials
Abstract.
To each polynomial P with integral non-negative coefficients and constant term equal to 1, of degree d, we associate a pair of elements (y, w) in the symmetric group Sri . where n = 1 + d + P (l), for which we prove that the Kazhdan-Lusztig polynomial Py,w equals P. This pair satisfies lew) -ley) = 2d + pel) - 1, where l ew ) denotes the number of inversions of w. © Academic des ScienceslElsevier, Paris
Abridged English Version For every Coxeter group (W, S), Kazhdan and Lusztig defined in [6] a polynomial Py,w(q) E I[q] for each pair (y, w) of elements of W such that y ~ w in the Bruhat-Chevalley order. It has constant term equal to 1 and degree at most equal to (l( w) - f(y) - 1)/2, where f denotes the length function on (W, S). When (W, S) is a finite or affine Weyl group, they showed in [7] that the Py,w(q) have non-negative coefficients by relating them to the intersection cohomology of Schubert varieties. In spite of their rather elementary definition in [6], the polynomials Py,w are quite difficult to compute explicitly. In view of the interpretation in terms of intersection cohomology of Schubert varieties, it seems that this difficulty reflects the rather complicated nature of the singularities of Schubert varieties in general. In fact, the only families of Kazhdan-Lusztig polynomials known so far correspond to situations where the geometry is simpler, namely Schubert varieties in Grassmannians (see [8], [II)) or in other minuscule G /Q (see [2)), or in the incidence variety in P" x (pn) * (see [3)). Note presentee par Pierre
DELIGNE.
0764-4442199/03280347 © Academic des ScienceslElsevier, Paris
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P. Polo In this Note we adopt the reverse approach and show that any polynomial PEl + qN[qJ equals the Kazhdan-Lusztig polynomial PY ow of a certain pair of elements y ~ w in the symmetric group Sn, where n 1 + P( 1) + deg P . In order to define this pair, let us first recall that every permutation WE Sn is determined by its code c(w), which is the n-tuple (CI(W) , ... ,cn(w)), where Ci(W) equals the number of j > i such that w(j) < wei) . One then has few) = Li Ci(W). Let us also recaIl that the Ehresmann-Bruhat-Chevalley order on the symmetric group can be described in terms of keys of permutations. The r-th key of w, denoted by K r ( w), is the array obtained by arranging the elements of w([I, rJ) in increasing order: i l < .. . < i., The set of r-keys is endowed with the product order: (jt < .. , < jr) ~ (i l < .. . < i r ) if and only if i, ~ is for all s. It is well known that y ~ w if and only if K, (y) ~ K, (w) for all r. One deduces, in particular, that if c, (w) ~ Ci (y) for all i, then w ~ y. ",d . Set P = 1 + L.,.,i =l ai q', with a. E N and ad > 0. Let w, y be the elements of Sn whose codes are the following n-tuples. (Here, rna denotes a sequence of a terms equal to m; by convention this is the empty sequence if a = 0.)
=
C(w) = (2a1, , (d + l)a d , d + l ,d, c(y) = (O,la 1 , ,dll d ,d-l,d-2, Then Ci(W) ~ Ci(Y) for all i, so that w ~ y, and one has few) - fey) THEOREM. -
One has Py,w
= 1 + al q +
... +
,2,O,O), ,1,O ,0).
= P(l) - 1 + 2d.
ad qd.
The scheme of the proof is as foIlows. Let X w be the Schubert variety associated with w. In general, X w does not admit a small, or even semi-small, resolution. Yet, there is a Demazure type resolution 1r : Zw -4 X w which is rather manageable. More precisely, let C[y,wl denote the union, for Z E [V , w], of the Bruhat cells C z ; this is an open subset of X w • We show that, over C[y,w), one can describe explicitly the stalks of the cohomology sheaves R' 1r _ C, on the one hand, and the decomposition of R e 1r _ C as a direct sum of shifted Deligne-Goresky-MacPherson complexes of Schubert varieties, on the other hand.
1. Introduction
:s :s
Soit (W, S) un groupe de Coxeter et soient f la fonction de longueur et I'ordre de BruhatChevalley sur W associes a S. Kazhdan et Lusztig ont associe a toute paire y w d'elements de W un polynome Py,w(q) E Z[q]. de terme constant egal a 1 et de degre au plus egal a (f(w) -fey) -1)/2 (voir [6]). Lorsque West un groupe de Weyl fini ou affine, ils ont montre que les Py,w sont a coefficients positifs en les reliant a la cohomologie d'intersection des varietes de Schubert (voir [7]). En depit de leur definition elementaire dans [6], les polynomes PI/,W sont difficiles a caIculer explicitement. En raison de leur interpretation en termes de cohomologie d'intersection de varietes de Schubert, cette difficulte semble refleter la nature plutot compliquee des singularites des varietes de Schubert en general. De fait, les seules families de polynornes de Kazhdan-Lusztig deja connues correspondent a des situations ou la geometric est plus simple, a savoir les varietes de Schubert dans les grassmanniennes (voir [8], [II]) ou dans les autres C/Q minuscules (voir [2]), ou dans la variete d'incidence dans P" x (P")" (voir [3]) . Dans cette Note, nous adoptons I'approche inverse et montrons que tout polynome PEl + qN[qJ est le polynome de Kazhdan-Lusztig d'une certaine paire d'elements du groupe symetrique Sn, ou n = l+P(l)+degP.
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Construction de polynomes de Kazhdan-Lusztig arbitraires
Posons P = 1 + L~=l ai qi, avec ai E N et ad > O. Soient w, y les elements de Sn definis dans la version anglaise. L'on a w ~ y et l(w) -l(y) = P(I) - 1 + 2d. THEOIrnME
1. - On a Py,w = 1 + al q + ...
+ ad qd.
Remarques. - 1) On a l(w) - l(y) - 1 = 2d si et seulement si P = 1 + qd. Dans ce cas, Ie theoreme etait deja connu : une demonstration geometrique simple est donnee dans [3], § 4.6. Par ailleurs, A. Lascoux m'a indique qu'il en avait obtenu une demonstration combinatoire avec M.P. Schiitzenberger. 2) L'idee de ce theoreme, ainsi que la forme conjecturale de la paire (y, w), m'ont ete suggerees par des calculs effectues dans le groupe symetrique 8 8 grace au programme « Coxeter » de Fokko Du Cloux. Je tiens a lui exprimer rna gratitude pour m'avoir communique son programme, et pour une discussion recente qui a renouvele mon interet pour cette question.
2. Esquisse de la demonstration On donne ici une idee de la preuve, detaillee dans [9]. Dans toute la suite, le corps de base est Ie corps C des nombres complexes. Les varietes algebriques considerees sont munies de la topologie complexe. Pour une telle variete X, on designera par IC(X) le complexe de Deligne-Goresky-MacPherson, et par I1i i (X ) ses faisceaux de cohomologie (voir [1], [4], [7], [10]). Soient P = 1 + L~=l ai qi, n = 1 + d + P(I), et y ~ w dans Sn, comme dans l'Introduction. On pose aussi [c] = Li ai. Soient G = 8L n (C) et F(n) Ia variete des drapeaux dans en. Le stabilisateur du drapeau standard e l c ... c e n - l est Ie sous-groupe B des matrices triangulaires superieures et G/ B s'identifie a F( n). Pour z E 8n , soient V z et X, = BV z Ie drapeau et Ia variete de Schubert associes a z et, pour v ~ z, soit C[v,z] l'ouvert de X, forme par la reunion, pour x E [v, z], des orbites BV x' Pour i E [1, lall, notons d; Ie plus petit entier s tel que i ~ al +... + as. On voit facilement que X w est Ia variete formee des drapeaux V· = (VI C ... C vn-l) qui verifient Ies conditions suivantes : Vi c ei+d.+1, pour i E [1, lall, et C l C V n - l . Soit Zw Ia variete formee des paires (U·, V·), ou V· E X w et ou U· = (U2 C ... C U lal+l ) est un drapeau de type [2, lal + 1] soumis aux conditions c- c U 2 et Vi C Ui+l c ei+1+d. pour tout i E [1, lall. On verifie sans peine que z; est lisse, et que Ia seconde projection Zw - t X w, notee 1r, est propre et birationnelle. En fait, on a Ie Soit X~ La sous-variete fermee de X w definie par La condition C 1 C vial. Alors 1r est un isomorphisme au dessus du complementaire de X~. LEMME 1. -
On note q = t 2 et, pour tout z ~ w, on pose H z ,1r(t ) = Li>O dim(Ri 1r. C)v . t i • Comme 1r est propre, on a (R i 1r. C)v . ~ Hi (1r- 1(Vz ) , C). D'autre part, comme 1r est B-equivariante et que les B-orbites dans X w sont simplement connexes, Ie theoreme de decomposition (voir [1]) entraine que R1r.(C[l(w)]) ~ IC(Xw ) EEl
E9 s; 0IC(X
v) ,
v
ou les E; sont des C-espaces vectoriels gradues de dimension finie teis que dim E~ = dim E;i, pour tout i. Posant Ev(t) = Li(dimE~)ti, ceci equivaut a dire que Ev(t-l) = Ev(t). De plus, d'apres [7], [10], 1'0n a, pour tout z ~ w,
I: dimI1{t(Xw)v. t
i
= Cl(w) Pz,w(q).
i
283
P. Polo
II vient done que, pour tout z
~
w,
L
Hz ,7r (t ) = Pz,w(q) +
(I)
tl(w)-l(v) Ev(t)Pz,v(q).
z~v
D'autre part, pour chaque i E [1, lall, soit "Yi Ie (d i + I)-cycle qui transforme (i, n - d., ... , n - 1) en (n - l,i, ... ,n - 2) et soit Vi = W"Yi.
lal.
PROPOSITION 1. - a) Les Xv.' pour i = 1, ... , sont exactement les composantes irreductibles de X~, et pour tout i fan a Vi ~ yet l(Vi) = l(w) - d i.
b) Pour chaque i, lafibre 1I'-I(Vv ,) est isomorphe
tl(w)-l(v.) E v• (t)
a l'espace projeetijpd.-l, et l'on a
= q + ... + qd.-l
et Pv"w
1.£ point V y est un point lisse de chaque Xv.' d) On a H y,7r(t) = 1 + Li~l(q + ... + qd.) = 1 + E~=l as(q
= 1.
c)
+ ... + qS).
Le point a) et la premiere assertion de b) s'obtiennent par des considerations directes, et la seconde assertion de b) en decoule en utilisant (I) et Ie fait que E v • (t-l) = E v • (t). D'autre part, c) s'obtient en considerant une resolution Zv, -+ Xv, analogue a 11' : Zw -+ X w, et on demontre d) en exhibant une decomposition.de 1I'-I(Vy) en cellules isomorphes a des espaces affines C". . On deduit de (I) et de la proposition que P - Py,w est a coefficients positifs ou nuls, et est nul SI et seulement si E; = 0 pour tout v E [y, w[ \ {V., ... , vial}' D'autre part, en utilisant Ie fait que, pour tout z E [y, w], Py,w - Pz,w est a coefficients positifs ou nuls ([5], Cor. 4), on voit que l'egalite Py,w P resulte de la proposition suivante. Pourtout s E [1, dJ, soient fs = Li
=
PROPOSITION
2. - On a Pz.,w
= 1 + as qS.
=
=
w(n - s - 1) = fs+1 + s + 2. On observe que zs(i) w(i) si Demonstration. - Posons b, i ~ fs, et Z;l(j) = w-l(j) si j > h s. Soient F = [fs + 1, n] n w- I [I , hsl = [fs + 1, n] n z;l[l, h s], m #F, et cP (resp. 'I/J) I'unique bijection croissante de [1, m] vers F (resp. w(F) zs(F». On pose ill = 'I/J-l 0 WIF 0 cP, et I'on definit de merne zs. On a alors Ie Iemme ci-dessous (voir la partie 3 pour un enonce plus general).
=
LEMME
=
2. - On a Pz.,w
= Pi.,w.
De plus, on observe que Zs < ill est la paire associee au polynome 1 + as s'. Pour simplifier, s etant fixe, on note is = i et as = a. On voit donc que, pour terminer Ia demonstration du theoreme dans Ie cas general, iI suffit d'etablir que Pi,w = 1 + a q", Soient X w C :F(m) la variete de Schubert associee a ib, et it : Zw -+ X w la resolution analogue a 11'. D'apres ce qui precede, applique a w, it et z au lieu de w, 11' et y, on sait deja que Pi,w = 1 + b q", avec b E [0, a]. Si b < a alors on deduit de (1) qu'i1 existe v E [i, w] tel que tl(w)-l(v) Ev(t) c q", avec c E [1, a - b], et comme Ev(t-l) = Ev(t), ceci n'est possible que si l(w) -l(v) = 2s. Or, en etudiant les fibres de it au dessus de eli,w], on peut etablir Ie lemme suivant.
=
LEMME
284
3. - Pour tout V E [i, w] tel que l(v)
= l(w) -
2s, on a deg Hv,it(t)
< 2s, et done E;
= O.
Construction de polynomes de Kazhdan-lusztig arbitraires
Ceci acheve la demonstration de la proposition 2, et done du theoreme de I'Introduction. On a aussi obtenu que E v, ~ He(pd,-2)[d i - 2] et que E; = 0 pour v E [y,w[. v =I Vi. Notant t l'inclusion C[y ,w] t....+ X w• on a done demontre que t*Re1r *(qe(w)]) ~ L*IC (Xw ) EB
[u]
EB H e(p d,- 2)[d
i -
2] ® t*IC(Xv.) .
•=1
3. Un theoreme de focalisation Le lemme 2 est un cas particulier du resultat suivant. Soient G un groupe algebrique semi-simple connexe, T un tore maximal, R le systeme de racines, W le groupe de Weyl, B un sous-groupe de Borel contenant T, D. l'ensemble des racines simples correspondant a B. Si I est une partie de D.. on note R I ~ R, WI ~ W et B ~ PI ~ G les objets standard associes, Soient y ~ w dans W tels que wWI = yWI et soient u l'unique element minimal de cette classe, et WI = u-Iw, Yl = u- 1 y. Alors, en eomparant l'elernent C:n, defini en [6] (l.1.c), avec C~C:nI' on obtient facilement que Py,w
= Pyl,WI'
=
Soient June seconde partie de D., et K = u-I(R J ) n I . Supposons de plus que W J w W J y. Alors on a W K WI = W K Yl . Soient V I'unique element minimal de cette classe, et ill = WI V-I, fi = YIV- 1 • Alors I'on a Pg,w = Pyl ,WI = Py ,w, et le lemme 2 est un cas particulier de cette egalite. D'autre part. soit U- le radical unipotent du sous-groupe de Borel oppose a B . D'apres [6], Lemma A4, l'on a x; n yU - BJ B ~ C y x Ny ,w. au Ny ,w = n (y(U-) n U-)yBJ B. On a alors le resultat geometrique plus precis suivant :
x:
THEOItEME
2. - On a un isomorphisme Trequivartant Ny,w ~ Nfi ,w.
Remarque. - Si W = Sn et si WI (resp . W J ) est le sous-groupe des permutations de [a , b] (resp. [c, dj). et si I'on represente les permutations y ~ w par leur graphe dans [1, n] x [1, n], alors les graphes de ill et fi sont obtenus en se focalisant sur l'interseetion des colonnes C. et des lignes Lj, pour i E [a , b] et j E [e, dj.
References bibliographiques [I] Beilinson A., Bernstein J., Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque 100, Soc. Math. France, 1982, pp. 3-171. [2] Boo B.D., Kazhdan-Lusztig polynomials for hermitian symmetric spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988) 279-294. [3] Brion M., Polo P., Generic singularities of certain Schubert varieties, Math. Z. (A paraitre). [4] Goresky M., MacPherson R., Intersection homology II, Invent. Math. 72 (1983) 77-129. [5] Irving R.• The socle filtration of a Verma module. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 21 (1988) 47--65. (6) Kazhdan D., Lusztig G., Representations of Coxeter groups and Heeke algebras, Invent. Math. 53 (1979) 165-184. [7] Kazhdan D., Lusztig G., Schubert varieties and Poincare duality, in: Proc. Symposia Pure Math., Vol. 36, Amer. Math. Soc., 1980, pp. 185-203. [8] Lascoux A., Schiitzenberger M.P., Polynomes de Kazhdan-Lusztig pour les grassmanniennes, Asterisque 87·88. Soc. Math. France, 1981, pp. 249-266. [9] Polo P., Construction of arbitrary Kazhdan-Lusztig polynomials in symmetric groups, (prepublication). [10] Springer T.A ., Quelques applications de la cohomologie d'imerse ction. Sem. Bourbaki 589, 1982. [11] Zelevinsky A., Small resolutions of singularities of Schubert varieties, Funct. Anal. Appl. 17 (1982) 142-144.
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