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Contraintes transitoires thermoélastiques dans un cylindre creux stratifié anisotrope
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, SCrie II b, p. 963-969, 1999 Mkanique des solides et des structures/Mechanics of solids and structures
Contraintes transitoires thermoklastiques dans un cylindre creux stratifi6 anisotrope FrkdCric
JACQUEMIN,
Alain
VAUTRIN
Dtpartement mhanique et mathriaux, 42023 Saint-htienne cedex 2, France E-mail
hole
des mines
de Saint-ktienne,
centre
SMS,
158,
cows
Fauriel,
: vautrinQemse.fr
(Re9ule 15juillet 1998,accept6apresrevision le 24 avril 1999)
RCsumC.
Une m&ode analytiquede calcul du champde contraintesintemestransitoiresd’origine thermiquedansun cylindre creux, epais,stratitie,delongueurinfinie, soumisa des conditions de flux sur ses faces, est presentee.Chaque pli du tube est suppose orthotrope,le rayon &ant localementun axe d’orthotropiecommuna touslesplis. Darts un premiertemps,le calcul du champde temperaturetransitoire,resultantde l’application initiale de deux temperaturesdartsles domainesinterieur et exterieur delimit& par le tube, est men& Les contraintesintemessont ensuitecalculeesdanschaquepli, dansle cadrede la thermoelasticittorthotrope.0 1999Academicdessciences/Editions scientifiqueset medicalesElsevier SAS contraintes
thermoklastiques
Transient thermoelastic hollow cylinder Abstract.
/ transitoire
/ cylindre
kpais / stratifib / anisotropie
stresses in an anisotropic
laminated
The paper deals with the computation of the field of internal transitory stresses of thermal origin in a thick laminated tube of infinite length, submitted to flun conditions on its faces. The plies are assumed to be orthotropic, the cylinder radius being locally the common orthotropic axis to every ply. First, we compute the time-dependent temperature field due to the initial application of two uniform temperatures on the inner and outer tube suflaces. Then, the internal stresses are calculated in eyery ply within the framework of thermoelasticity. 0 1999 Academic des sciences/Editions scienti$ques et medicales Elsevier SAS
thermoelasticstresses / transient/ thick cylinder / laminate/ anisotropy
Abridged
English
Version
Calculation of the thermoelastic internal stresses in composite laminated tubes is essential in investigating the durability of such structures in service. The approach allows one to tackle problems which arise due to the use of composite hollow cylinders when service temperature is changing. In the literature two different approaches exist to solve this problem: numerical and analytical methods. Numerical methods are generally based on finite-difference or finite-element approaches. In order to
Note prksentke par Pierre SUQUET. 1287.4620/99/032700963 Tow droits rkservts
0 1999 AcadCmie
des sciencesfiditions
scientifiques
et mtdicales
Elsevier
SAS.
963
F. Jacquemin,
A. Vautrin
establish analytical solutions, the authors have to introduce restrictive assumptions on both thermal loading and the mechanical field: uniform constant temperature [3], and a plane state of strain [5]. The aim of this note is to propose a reference 3D transient solution for a thick laminated anisotropic tube of infinite length, obtained with no restrictive assumptions. The cylinder is considered with fluids inside and outside initially at the same constant temperature. The inner and outer fluids are raised instantaneously to different constant temperatures; therefore, heat transfer occurs through the surfaces controlled by coefficient of exchange constants. The classical transient thermal field, equation (l), due to the fluid temperature variation, is determined using the Laplace transform and residue theory [5]. When the temperature field has been obtained, the induced thermomechanical problem is solved by considering the classical equations of 3D solid mechanics for every ply at every time step: constitutive laws of thermo-elastic orthotropic materials, equation (2), straindisplacement relations, compatibility and equilibrium equations, equation (3), and boundary conditions. An example is given that concerns a cylinder built of four orthotropic unidirectional carbon/epoxy plies and one external isotropic ply made of an aluminium alloy. Figures 3 and 4, depicting the through-thickness normal and shear stresses, show the general effect of the thermal gradient, the mechanical heterogeneity and the material anisotropy on these stresses. The closed form solution enables one to calculate the time-dependence of the entire set of internal stress components due to the transient temperature field across the thick wall of a laminated tube with orthotropic plies. It can be implemented in CAD to simulate the internal stresses during service loading or used in order to validate finite-element approaches.
1. Introduction
Le calcul des contraintes intemes hygrothermomecaniques dans les tubes stratifies composites est essentiel en vue de la prevision de la duree de vie de ce type de structure. Les Cpaisseurs usuelles de ces structures ne permettent generalement pas de conduire une approche bidimensionnelle du type contraintes planes fondee sur la theorie classiques des cylindres stratifies, et un calcul tridimensionnel est indispensable. Le probleme du cylindre, de longueur infinie, homogbne, creux et a isotropie transverse, soumis a un regime thermique permanent, a CtC resolu numeriquement par la methode de Lanczos-Tchebyshev [ 1,2] et, plus recemment, a l’aide des differences finies et elements finis. Le calcul analytique du champ de contraintes intemes a Cte men6 dans le cas de cylindres stratifies a temperature constante uniforme [3,4]. Enfin, une approche fondee sur la fonction d’Airy permet d’expliciter le champ de contraintes intemes induit par une sollicitation thermique transitoire pour un cylindre stratifie, de longueur infinie, compost de couches isotropes, saris restriction d’epaisseur [5]. L’apport specifique de cette note est de proposer une solution de reference dans le cas d’un cylindre creux a n plis orthotropes. Elle Porte sur le calcul du champ des contraintes hygrothermoelastiques transitoires pour un cylindre creux, Cpais, stratitie, compose de plis orthotropes de proprietes hygrothermoelastiques quelconques. 2. RCsolution du probEme thermique
Soit un cylindre creux stratifit, de rayon interieur a et de rayon exterieur b, contenant un fluide interieur et entoure d’un fluide exterieur (figure I). La couche i est delimitee par les cylindres de rayons ri et ri + 1. Le cylindre et le milieu environnant sont initialement a la temperature TOuniforme. Le fluide interieur est port6 a la temperature Tin, et le fluide exterieur a Text constantes. Des transfer& thermiques s’operent alors a travers les faces inteme et exteme du cylindre, compte tenu des coefficients de transfer-t de 964
Contraintes
Figure Figure
1. Cylindre 1. Laminated
crew hollow
transitoires
thermodastiques
stratifik. cylinde,:
chaleur h, et hb constants. Des conditions de continuite de la temperature et du flux de chaleur sont imposees aux interfaces, en introduisant les variables adimensionnees suivantes : Ti = ( Ti - 7’0)/( Tint,- To),
( 7, ti ) = ( I, a )lb,
T = ho t/(
CO
~0 b* )
avec ho, co et p. respectivement une conductivite thermique transverse, une chaleur specifique et une densite. La resolution du problbme thermique conduit au champ suivant dans chaque couche (i) : m 2exp(-oiz) 2
II;(F,r)=+(A~+B~lnF)+ s
m=l
0,
A:(
wn
_ {Ai
Jo(
Pi Q?> + Bi Yo( Pi ~2)}
La solution get&ale precedente, a l’instant z, est la somme de la solution logarithme du rayon, et de la solution transitoire, &rite sous forme de serie. 3. RCsolution
du probEme
(1)
>
permanente,
en
mkanique
Nous considerons a l’instant initial (T = To) les contraintes nulles. De plus c1et L, respectivement les tenseurs des coefficients de dilatation thermique et des rigidites Clastiques, sont constants. La loi de comportement thermoelastique orthotrope d’un pli dans le repere (x, 0, r) s’ecrit alors : o=L:(&-a(T-To))
(2)
11 convient d’adjoindre a la loi precedente, pour chaque pli, les relations classiques liant deplacements et deformations, et les equations d’equilibre et de compatibilite. En introduisant les grandeurs oo, Z,o, ( Tint. - Z’,), on delinit les variables adimensionnees suivantes : 0 = O/( LO ClO(Tin, - TO) ) 7 6 = CdC& t = LIZ-Q (w,v,u)=(w,v,u)/(ao(~i:,,t,-To)b),
Les dtplacements
E=d(~(Ti~t.-To)),
(f,X)=(r,x)lb
U( X, 7) et v( X, F), suivant x et 0, s’ecrivent alors :
- -&TO R, v(x,r)=R,xi:---Z-I-S,,,R,+R,F RI, R,, R3, R4, R,, R6 sont des constantes dependantes du pli et S = L - ’
965
F. Jacquemin,
A. Vautrin
Pour obtenir la composante radiale W du champ de deplacement, on Ccrit la composante radiale des equations d’equilibre, avec pour chaque pli (i) le profil thermique (1) : ao, ar+
0, - &Kl =o r
En utilisant les relations contraintes-deformations
et dCplacements4lCformations
:
avec
La solution de l’equation differentielle (3) est la somme de la solution de l’equation associee et d’une solution particuliere determinCe par variation de la constante.
pk+ (2k+
(-l)k(~)2k+1(PjOm)2k+2 k!(k+
homogene
1)
1)2-;
-)II
Bi
1) !
+-n
XK,-&I w L,r c 1 k=O
-
2(2k+
1)
r(2k+l) -v(k+
)
1)
I(
(-1)k(~)1+2k(~iOm)*+2k k!(k+
1) !
;(Zk
[21n(~~iw,~)-~(k+1)-~(k+2)] ((2k+iY-2)
966
+ 3)
Contraintes
transitoires
thermodastiques
(-l)k(;)1+2k(Pi0,)2+2k2(2k+3)$2k+3) k!(k+
k=O
1)
!
( cc2k+3j2-z)j
avec 2
v(k+
l)=m$ri+y,
y=-0,5772157...
-2[l$j]}]
(constante
d’Euler),
4
rr
* (2/c+
1)2,
et
z (2/~+3)~.
?La convergence d’une telle expression est assuree en appliquant le critere de d’ Alembert, le rapport du (m + 1)” terme sur le me terme tendant vers zero lorsque m tend vers l’infini. Finalement le champ de deplacement, pour chaque pli, est determine a huit constantes prbs : Ri pour i = 1, .. .. 8. 4. DCtermination
des huit con&antes
par pli
Afin de determiner les huit constantes par pli, nous considerons les conditions caracterisant le comportement mecanique du cylindre : - suppression des mouvements de corps rigide : R, = R6 = 0 pour le pli inteme ; - continuite des contraintes de cisaillement transverses : R3 = R, = 0 pour chaque pli ; - continuitt des deplacements u et v : R, = R6 = 0 pour chaque pli, R, et R, communes a tous les plis ; - continuite du deplacement w ; - continuite de la contrainte normale err aux interfaces et nullite de celle-ci sur les faces extemes ; - equilibre global du cylindre : nullite de la resultante longitudinale et du moment de torsion du torseur des efforts exterieurs. Les trois demieres conditions nous permettent d’obtenir un systeme de 2n + 2 equations a 2n + 2 inconnues pour un cylindre comportant n plis (R, et R, communes a tous les plis, R, et R, pour chaque pli). 5. Exemple Le cylindre CtudiC est compose de quatre plis orthotropes de mattriaux composites a matrice polymere et fibres unidirectionnelles de carbone et d’un pli exteme isotrope en alliage d’aluminium. Les plis ont mCme Cpaisseur. Les plis orthotropes sont altemativement orient& a +55” et -55”. Le cylindre considere est heterogene d’un point de vue thermique et mecanique, et permet de mettre en relief l’apport de la methode. Nous prenons respectivement pour les temperatures de reference, interieure et exttrieure, le rayon inteme et l’epaisseur adimensionnes : To = 280 K,
lint. = 300 K,
T,,, = 400 K,
a = ~,
e=~
Les proprietes materielles sont : - grandeurs thermiques [6,7] : h, = 40 -$ h = 0,7 -& h= 140%,
p = 0,159.104 km3’ p = 0,28.104 k&’
hb = 0,35 ;,
J pour le carbonekpoxy, c = 0,857.103 -kg.K J c = lo3 -&K
pour l’alliage
d’aluminium
;
- caracteristiques mecaniques dans le rep&e lie aux fibres (1, 2, 3) [7, 81 (tableau I). 967
F. Jacquemin,
A. Vautrin Tableau
I. PropriCtCs
Table Mathiau
4 (GM
AU4G Carbonehpoxy
75 181
J% E3 (GPa) 75 10,3
I. Mechanical v12.
v13
mtcaniques. properties. %
b3
0,3 0,28
(GW
aI (K-l)
29 7.17
093 0,43
22. lo- 6 0,02. lo- 6
a2,a3(K-‘) 22.10-6 22,5.10- 6
Le calcul des profils thermiques et des contraintes s’effectue a I’aide du logiciel MAPLE V@. Pour les valeurs choisies prCcCdemment, nous obtenons les profils de temperatures exposes sur la jigure 2.
65. Figure
4.
2. Profils
thermiques diffkrents.
B des temps
3.
Figure
2. Through-the-thickness Jield.
temperature
r
L’hCtCrogenCitC de composition entraine une discontinuite de la derivee au passage de l’avantdernier pli en composite au pli externe en AU4G. Cette representation nous permet de reperer les zones de gradients maximaux afin de caracteriser leur influence sur les contraintes et de vCrifier que le pli externe est conducteur. La repartition des contraintes internes radiales induites par ces profils est representee sur lajgure 3.
1 0 03 -1 1 -2 -T=O,01
968
r=o,o5..-.-
ti,1---co,5
Figure
3. Profils
des contraintes temps diffkents.
Figure
3. Through-the-thickness
radiales
normal
k des
stress.
Contraintes
transitoires
thermodastiques
10 -
Figure 4. Profils
des contra&es de cisaillement a des temps differents.
Figure 4. Through-the-thickness shear stress.
Au sein du pli exteme en AU4G, les contraintes croissent avec la temperature. Pour ce qui est des plis en cat-bone/epoxy, il convient de discuter de l’influence respective des gradients thermiques et de 1’hCttrogCnCitC mecanique provoqute par la stratification. Aux temps courts, l’effet de I’hCterogCnCite materielle est compense par l’effet de gradient thermique ; par consequent, nous avons une plus grande regular36 de la contrainte. Puis, avec le temps, l’effet d’hCtCrogCnCite materielle prend le pas sur l’effet de gradient. La derivee de la contrainte normale radiale est discontinue au passage des interplis en raison du saut des contraintes orthoradiales provoque par la stratification. L’existence des contraintes de cisaillement (figure 4) est caracteristique de l’anisotropie materielle qui, dans le cas present provoque un changement de signe au passage des interplis. 6. Conclusion
A partir du transitoire thermique, le modele mecanique conduit a la repartition des contraintes intemes d’origine thermique a travers la paroi du tube. L’exemple present6 souligne l’interet d’une telle evaluation lors de la phase de dimensionnement d’une structure, puisque des changements de signe peuvent survenir. Cette methode analytique permet la determination complete du tenseur des contraintes intemes induites par le profil thermique transitoire choisi, dans un tube Cpais, strati@ dont les plis sont orthotropes quelconques. RCfkences bibliographiques [l] Chen P.Y.P., Axisymmetric thermal stresses in an anisotropic finite hollow cylinder, .I. Therm. Stresses 6 (1983) 197-205. [2] Chen P.Y.P., Thermoviscoelastic stress problem by the Lanczos-Tchebishev method, Nucl. Eng. Des. 86 (1985) 297-303. [3] Hyer M.W., Rousseau C.Q., Thermally induced stresses and deformations in angle-ply composite tubes, J. Compos. Mater. 21 (1987) 454-480. [4] Wang J.T.S., Lin C.C., Thermal stresses in layered cylinders, in: Proc. Int. Conf. Composite Materials 9th, Madrid, 1993, vol. 3, pp. 104-111. [5] Tanigawa Y., Oka N., Akai T., Kawamura R., One-dimensional transient thermal stress problem for nonhomogeneous hollow circular cylinder and its optimization of material composition for thermal stress relaxation, JSME Int. J. series A 40 (2) (1997) 117-127. [6] Tzeng J.T., Loos A.C., A cure analysis for axisymmetric composites, Composites Manufacturing, Butterworth-Heineman, Oxford, 1993, vol. 4, no. 3, pp. 157-165. [7] Gay D., Materiaux composites. Trait& des nouvelles technologies, serie mecanique, Hermes, Paris, 1991. [8] Tsai S.W., Composite Design, third edition, Think Composites, Paris, 1987.
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Contraintes transitoires thermoklastiques dans un cylindre creux stratifi6 anisotrope FrkdCric
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SMS,
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RCsumC.
Une m&ode analytiquede calcul du champde contraintesintemestransitoiresd’origine thermiquedansun cylindre creux, epais,stratitie,delongueurinfinie, soumisa des conditions de flux sur ses faces, est presentee.Chaque pli du tube est suppose orthotrope,le rayon &ant localementun axe d’orthotropiecommuna touslesplis. Darts un premiertemps,le calcul du champde temperaturetransitoire,resultantde l’application initiale de deux temperaturesdartsles domainesinterieur et exterieur delimit& par le tube, est men& Les contraintesintemessont ensuitecalculeesdanschaquepli, dansle cadrede la thermoelasticittorthotrope.0 1999Academicdessciences/Editions scientifiqueset medicalesElsevier SAS contraintes
thermoklastiques
Transient thermoelastic hollow cylinder Abstract.
/ transitoire
/ cylindre
kpais / stratifib / anisotropie
stresses in an anisotropic
laminated
The paper deals with the computation of the field of internal transitory stresses of thermal origin in a thick laminated tube of infinite length, submitted to flun conditions on its faces. The plies are assumed to be orthotropic, the cylinder radius being locally the common orthotropic axis to every ply. First, we compute the time-dependent temperature field due to the initial application of two uniform temperatures on the inner and outer tube suflaces. Then, the internal stresses are calculated in eyery ply within the framework of thermoelasticity. 0 1999 Academic des sciences/Editions scienti$ques et medicales Elsevier SAS
thermoelasticstresses / transient/ thick cylinder / laminate/ anisotropy
Abridged
English
Version
Calculation of the thermoelastic internal stresses in composite laminated tubes is essential in investigating the durability of such structures in service. The approach allows one to tackle problems which arise due to the use of composite hollow cylinders when service temperature is changing. In the literature two different approaches exist to solve this problem: numerical and analytical methods. Numerical methods are generally based on finite-difference or finite-element approaches. In order to
Note prksentke par Pierre SUQUET. 1287.4620/99/032700963 Tow droits rkservts
0 1999 AcadCmie
des sciencesfiditions
scientifiques
et mtdicales
Elsevier
SAS.
963
F. Jacquemin,
A. Vautrin
establish analytical solutions, the authors have to introduce restrictive assumptions on both thermal loading and the mechanical field: uniform constant temperature [3], and a plane state of strain [5]. The aim of this note is to propose a reference 3D transient solution for a thick laminated anisotropic tube of infinite length, obtained with no restrictive assumptions. The cylinder is considered with fluids inside and outside initially at the same constant temperature. The inner and outer fluids are raised instantaneously to different constant temperatures; therefore, heat transfer occurs through the surfaces controlled by coefficient of exchange constants. The classical transient thermal field, equation (l), due to the fluid temperature variation, is determined using the Laplace transform and residue theory [5]. When the temperature field has been obtained, the induced thermomechanical problem is solved by considering the classical equations of 3D solid mechanics for every ply at every time step: constitutive laws of thermo-elastic orthotropic materials, equation (2), straindisplacement relations, compatibility and equilibrium equations, equation (3), and boundary conditions. An example is given that concerns a cylinder built of four orthotropic unidirectional carbon/epoxy plies and one external isotropic ply made of an aluminium alloy. Figures 3 and 4, depicting the through-thickness normal and shear stresses, show the general effect of the thermal gradient, the mechanical heterogeneity and the material anisotropy on these stresses. The closed form solution enables one to calculate the time-dependence of the entire set of internal stress components due to the transient temperature field across the thick wall of a laminated tube with orthotropic plies. It can be implemented in CAD to simulate the internal stresses during service loading or used in order to validate finite-element approaches.
1. Introduction
Le calcul des contraintes intemes hygrothermomecaniques dans les tubes stratifies composites est essentiel en vue de la prevision de la duree de vie de ce type de structure. Les Cpaisseurs usuelles de ces structures ne permettent generalement pas de conduire une approche bidimensionnelle du type contraintes planes fondee sur la theorie classiques des cylindres stratifies, et un calcul tridimensionnel est indispensable. Le probleme du cylindre, de longueur infinie, homogbne, creux et a isotropie transverse, soumis a un regime thermique permanent, a CtC resolu numeriquement par la methode de Lanczos-Tchebyshev [ 1,2] et, plus recemment, a l’aide des differences finies et elements finis. Le calcul analytique du champ de contraintes intemes a Cte men6 dans le cas de cylindres stratifies a temperature constante uniforme [3,4]. Enfin, une approche fondee sur la fonction d’Airy permet d’expliciter le champ de contraintes intemes induit par une sollicitation thermique transitoire pour un cylindre stratifie, de longueur infinie, compost de couches isotropes, saris restriction d’epaisseur [5]. L’apport specifique de cette note est de proposer une solution de reference dans le cas d’un cylindre creux a n plis orthotropes. Elle Porte sur le calcul du champ des contraintes hygrothermoelastiques transitoires pour un cylindre creux, Cpais, stratitie, compose de plis orthotropes de proprietes hygrothermoelastiques quelconques. 2. RCsolution du probEme thermique
Soit un cylindre creux stratifit, de rayon interieur a et de rayon exterieur b, contenant un fluide interieur et entoure d’un fluide exterieur (figure I). La couche i est delimitee par les cylindres de rayons ri et ri + 1. Le cylindre et le milieu environnant sont initialement a la temperature TOuniforme. Le fluide interieur est port6 a la temperature Tin, et le fluide exterieur a Text constantes. Des transfer& thermiques s’operent alors a travers les faces inteme et exteme du cylindre, compte tenu des coefficients de transfer-t de 964
Contraintes
Figure Figure
1. Cylindre 1. Laminated
crew hollow
transitoires
thermodastiques
stratifik. cylinde,:
chaleur h, et hb constants. Des conditions de continuite de la temperature et du flux de chaleur sont imposees aux interfaces, en introduisant les variables adimensionnees suivantes : Ti = ( Ti - 7’0)/( Tint,- To),
( 7, ti ) = ( I, a )lb,
T = ho t/(
CO
~0 b* )
avec ho, co et p. respectivement une conductivite thermique transverse, une chaleur specifique et une densite. La resolution du problbme thermique conduit au champ suivant dans chaque couche (i) : m 2exp(-oiz) 2
II;(F,r)=+(A~+B~lnF)+ s
m=l
0,
A:(
wn
_ {Ai
Jo(
Pi Q?> + Bi Yo( Pi ~2)}
La solution get&ale precedente, a l’instant z, est la somme de la solution logarithme du rayon, et de la solution transitoire, &rite sous forme de serie. 3. RCsolution
du probEme
(1)
>
permanente,
en
mkanique
Nous considerons a l’instant initial (T = To) les contraintes nulles. De plus c1et L, respectivement les tenseurs des coefficients de dilatation thermique et des rigidites Clastiques, sont constants. La loi de comportement thermoelastique orthotrope d’un pli dans le repere (x, 0, r) s’ecrit alors : o=L:(&-a(T-To))
(2)
11 convient d’adjoindre a la loi precedente, pour chaque pli, les relations classiques liant deplacements et deformations, et les equations d’equilibre et de compatibilite. En introduisant les grandeurs oo, Z,o, ( Tint. - Z’,), on delinit les variables adimensionnees suivantes : 0 = O/( LO ClO(Tin, - TO) ) 7 6 = CdC& t = LIZ-Q (w,v,u)=(w,v,u)/(ao(~i:,,t,-To)b),
Les dtplacements
E=d(~(Ti~t.-To)),
(f,X)=(r,x)lb
U( X, 7) et v( X, F), suivant x et 0, s’ecrivent alors :
- -&TO R, v(x,r)=R,xi:---Z-I-S,,,R,+R,F RI, R,, R3, R4, R,, R6 sont des constantes dependantes du pli et S = L - ’
965
F. Jacquemin,
A. Vautrin
Pour obtenir la composante radiale W du champ de deplacement, on Ccrit la composante radiale des equations d’equilibre, avec pour chaque pli (i) le profil thermique (1) : ao, ar+
0, - &Kl =o r
En utilisant les relations contraintes-deformations
et dCplacements4lCformations
:
avec
La solution de l’equation differentielle (3) est la somme de la solution de l’equation associee et d’une solution particuliere determinCe par variation de la constante.
pk+ (2k+
(-l)k(~)2k+1(PjOm)2k+2 k!(k+
homogene
1)
1)2-;
-)II
Bi
1) !
+-n
XK,-&I w L,r c 1 k=O
-
2(2k+
1)
r(2k+l) -v(k+
)
1)
I(
(-1)k(~)1+2k(~iOm)*+2k k!(k+
1) !
;(Zk
[21n(~~iw,~)-~(k+1)-~(k+2)] ((2k+iY-2)
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+ 3)
Contraintes
transitoires
thermodastiques
(-l)k(;)1+2k(Pi0,)2+2k2(2k+3)$2k+3) k!(k+
k=O
1)
!
( cc2k+3j2-z)j
avec 2
v(k+
l)=m$ri+y,
y=-0,5772157...
-2[l$j]}]
(constante
d’Euler),
4
rr
* (2/c+
1)2,
et
z (2/~+3)~.
?La convergence d’une telle expression est assuree en appliquant le critere de d’ Alembert, le rapport du (m + 1)” terme sur le me terme tendant vers zero lorsque m tend vers l’infini. Finalement le champ de deplacement, pour chaque pli, est determine a huit constantes prbs : Ri pour i = 1, .. .. 8. 4. DCtermination
des huit con&antes
par pli
Afin de determiner les huit constantes par pli, nous considerons les conditions caracterisant le comportement mecanique du cylindre : - suppression des mouvements de corps rigide : R, = R6 = 0 pour le pli inteme ; - continuite des contraintes de cisaillement transverses : R3 = R, = 0 pour chaque pli ; - continuitt des deplacements u et v : R, = R6 = 0 pour chaque pli, R, et R, communes a tous les plis ; - continuite du deplacement w ; - continuite de la contrainte normale err aux interfaces et nullite de celle-ci sur les faces extemes ; - equilibre global du cylindre : nullite de la resultante longitudinale et du moment de torsion du torseur des efforts exterieurs. Les trois demieres conditions nous permettent d’obtenir un systeme de 2n + 2 equations a 2n + 2 inconnues pour un cylindre comportant n plis (R, et R, communes a tous les plis, R, et R, pour chaque pli). 5. Exemple Le cylindre CtudiC est compose de quatre plis orthotropes de mattriaux composites a matrice polymere et fibres unidirectionnelles de carbone et d’un pli exteme isotrope en alliage d’aluminium. Les plis ont mCme Cpaisseur. Les plis orthotropes sont altemativement orient& a +55” et -55”. Le cylindre considere est heterogene d’un point de vue thermique et mecanique, et permet de mettre en relief l’apport de la methode. Nous prenons respectivement pour les temperatures de reference, interieure et exttrieure, le rayon inteme et l’epaisseur adimensionnes : To = 280 K,
lint. = 300 K,
T,,, = 400 K,
a = ~,
e=~
Les proprietes materielles sont : - grandeurs thermiques [6,7] : h, = 40 -$ h = 0,7 -& h= 140%,
p = 0,159.104 km3’ p = 0,28.104 k&’
hb = 0,35 ;,
J pour le carbonekpoxy, c = 0,857.103 -kg.K J c = lo3 -&K
pour l’alliage
d’aluminium
;
- caracteristiques mecaniques dans le rep&e lie aux fibres (1, 2, 3) [7, 81 (tableau I). 967
F. Jacquemin,
A. Vautrin Tableau
I. PropriCtCs
Table Mathiau
4 (GM
AU4G Carbonehpoxy
75 181
J% E3 (GPa) 75 10,3
I. Mechanical v12.
v13
mtcaniques. properties. %
b3
0,3 0,28
(GW
aI (K-l)
29 7.17
093 0,43
22. lo- 6 0,02. lo- 6
a2,a3(K-‘) 22.10-6 22,5.10- 6
Le calcul des profils thermiques et des contraintes s’effectue a I’aide du logiciel MAPLE V@. Pour les valeurs choisies prCcCdemment, nous obtenons les profils de temperatures exposes sur la jigure 2.
65. Figure
4.
2. Profils
thermiques diffkrents.
B des temps
3.
Figure
2. Through-the-thickness Jield.
temperature
r
L’hCtCrogenCitC de composition entraine une discontinuite de la derivee au passage de l’avantdernier pli en composite au pli externe en AU4G. Cette representation nous permet de reperer les zones de gradients maximaux afin de caracteriser leur influence sur les contraintes et de vCrifier que le pli externe est conducteur. La repartition des contraintes internes radiales induites par ces profils est representee sur lajgure 3.
1 0 03 -1 1 -2 -T=O,01
968
r=o,o5..-.-
ti,1---co,5
Figure
3. Profils
des contraintes temps diffkents.
Figure
3. Through-the-thickness
radiales
normal
k des
stress.
Contraintes
transitoires
thermodastiques
10 -
Figure 4. Profils
des contra&es de cisaillement a des temps differents.
Figure 4. Through-the-thickness shear stress.
Au sein du pli exteme en AU4G, les contraintes croissent avec la temperature. Pour ce qui est des plis en cat-bone/epoxy, il convient de discuter de l’influence respective des gradients thermiques et de 1’hCttrogCnCitC mecanique provoqute par la stratification. Aux temps courts, l’effet de I’hCterogCnCite materielle est compense par l’effet de gradient thermique ; par consequent, nous avons une plus grande regular36 de la contrainte. Puis, avec le temps, l’effet d’hCtCrogCnCite materielle prend le pas sur l’effet de gradient. La derivee de la contrainte normale radiale est discontinue au passage des interplis en raison du saut des contraintes orthoradiales provoque par la stratification. L’existence des contraintes de cisaillement (figure 4) est caracteristique de l’anisotropie materielle qui, dans le cas present provoque un changement de signe au passage des interplis. 6. Conclusion
A partir du transitoire thermique, le modele mecanique conduit a la repartition des contraintes intemes d’origine thermique a travers la paroi du tube. L’exemple present6 souligne l’interet d’une telle evaluation lors de la phase de dimensionnement d’une structure, puisque des changements de signe peuvent survenir. Cette methode analytique permet la determination complete du tenseur des contraintes intemes induites par le profil thermique transitoire choisi, dans un tube Cpais, strati@ dont les plis sont orthotropes quelconques. RCfkences bibliographiques [l] Chen P.Y.P., Axisymmetric thermal stresses in an anisotropic finite hollow cylinder, .I. Therm. Stresses 6 (1983) 197-205. [2] Chen P.Y.P., Thermoviscoelastic stress problem by the Lanczos-Tchebishev method, Nucl. Eng. Des. 86 (1985) 297-303. [3] Hyer M.W., Rousseau C.Q., Thermally induced stresses and deformations in angle-ply composite tubes, J. Compos. Mater. 21 (1987) 454-480. [4] Wang J.T.S., Lin C.C., Thermal stresses in layered cylinders, in: Proc. Int. Conf. Composite Materials 9th, Madrid, 1993, vol. 3, pp. 104-111. [5] Tanigawa Y., Oka N., Akai T., Kawamura R., One-dimensional transient thermal stress problem for nonhomogeneous hollow circular cylinder and its optimization of material composition for thermal stress relaxation, JSME Int. J. series A 40 (2) (1997) 117-127. [6] Tzeng J.T., Loos A.C., A cure analysis for axisymmetric composites, Composites Manufacturing, Butterworth-Heineman, Oxford, 1993, vol. 4, no. 3, pp. 157-165. [7] Gay D., Materiaux composites. Trait& des nouvelles technologies, serie mecanique, Hermes, Paris, 1991. [8] Tsai S.W., Composite Design, third edition, Think Composites, Paris, 1987.
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