Der Einfluss von Ladungsfluktuationen auf die Energieverlustverteilung geladener Teilchen

NUCLEAR

INSTRUMENTS

AND

METHODS

I2I

(i974)

373-377;

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NORTH-HOLLAND

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CO.

DER EINFLUSS VON L A D U N G S F L U K T U A T I O N E N AUF DIE E N E R G I E V E R L U S T V E R T E I L U N G GELADENER T E I L C H E N O. V O L L M E R

Max-Planck-lnstitut fiir Physik und Astrophysik, Institut fiir extraterrestrisehe Physik, 8046 Garching b. Miinehen, Deutschland Received 22 July 1974 The influence of charge exchange on the energy loss fluctuations of ions has been studied using experimental charge-exchange cross sections. The results indicate that the contribution o f the

charge exchange on the energy loss fluctuations can be a major factor for lower energies.

1. Einleitung Werden schwere geladene Teilchen in einem homogenen Absorber abgebremst, so beobachtet man immer eine Energieverluststreuung. Dieses sog. Energieverluststraggling ist zun~ichst durch die Statistik der einzelnen Coulombst6Be bedingt, in denen ein geladenes Teilchen seine Energie an Absorberelektronen bzw. Absorberatome abgibt. Der Einflul3 dieser Prozesse auf das Energieverluststraggling wurde eingehend untersucht, und die berechneten Verteilungen sind zumindest bei h6heren Energien auch experimentell gut best/itigt~-4). Dagegen treten bei Teilchenenergien unter einigen MeV/Nukleon erhebliche Diskrepanzen zwischen Theorie und beobachtetem Straggling auf5'6). In diesem Energiebereich ist die Ionenladung nicht mehr konstant - n/imlich gleich der Kernladungszahl - sondern fluktuiert infolge von Umladungsprozessen, was zu einer zus/itzlichen Verbreiterung der Energieverlustverteilung ffihren kann. Dieses ,,Umladungsstraggling" soll im folgenden aus Umladungsquerschnitten berechnet werden. Dazu wird vorausgesetzt, dab der Energieverlust eines geladenen Teilchens (AE) dem Quadrat seiner momentanen Ladung q proportional ist. Aul3erdem soil ffir ,,diinne" Absorber angen/ihert gelten:

rechnen, wird ffir die effektive Ladung angesetzt:

~

F~

7

L dx

Jp

wobei E die mittlere Teilchenenergie und (dE/dx)p der spezif. Energieverlust von Protonen ist. Die effektive Ladung qeff ergibt sich dabei durch Mittelung der yon Teilchen zu Teilchen schwankenden gemessenen Energieverluste. Um den Beitrag der Ladungsfluktuationen zu diesen Schwankungen des Energieverlustes zu be373

q Zff = Z q~ dxl/ Z dxi, 2 dxi = L.

(2)

Das zwischen zwei Umladungen liegende Absorberstiick dxi wird mit der momentanen Ladung q~ durchlaufen. Dabei ist die Folge der Ladungszust/inde ql, q2 . . . . durch die Umladungsquerschnitte a(qiqj) bestimmt. Treten nur zwei Ladungszust/inde des Ions auf (Protonen, ~-Teilchen), ist es m6glich, eine analytische Formel ffir die Schwankung von qe~f anzugeben (Abschnitt 2). Ffir mehr als zwei Ladungszust/inde wird eine Monte-Carlo-Rechnung durchgeffihrt (Abschnitt 3). Um die Rechnung zu vereinfachen, wurde in beiden F~illen entsprechend GI. (1) die Energieabh/ingigkeit der effektiven Ladung vernachl/issigt. Das berechnete Umladungsstraggling gilt deshalb nur ffir ,,dfinne" Absorber, ffir die der Energieverlust des Ions im Verh~ltnis zu seiner Gesamtenergie klein ist. Da die effektive Ladung mit der Teilchenenergie zunimmt, ergibt die Rechnung ffir gr613ere Energieverluste ein etwas zu grof3es Umladungsstraggling.

2. Umladungsstraggling fiir zwei Ladungszustfinde In diesem Abschnitt wird angenommen, dab das Ion nur zwischen den beiden Ladungszust~inden a und b mit den Ladungen qo und qb umladen kann. Ist L die Absorberl~inge und al (bzw. bi) ein mit der Ladung qo (qb) durchlaufenes Wegstfick, dann schreibt sich G1. (2) ffir qeff" 2 . 2 qeff

[(q2__ q2)A + q2L]/L '

(3)

mit~at=A und~bi=L-A. Die Schwankung v o n qe2ff ist damit durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe A gegeben.

374

o. VOLLMER

Dabei sind die Lfingen der insgesamt n Einzelstrecken al, die sich zu A summieren, durch den Umladungsquerschnitt ~rabvom Ladungszustand a in den Ladungszustand b bestimmt: w(ai) = aab exp ( - a,,b ai).

(4)

Gesucht ist also die Verteilung w. (A) f/Jr die Summe .4 aus n exponentiell verteilten Summanden. Wie sich etwa durch vollst/indige Induktion einfach zeigen 1/il3t, erhNt man eine Poisson-Verteilung: (a.b A)"- 1 w,,(A) = a,,b - exp (--aabA),

Energieverluste berechnet werden sollen, sind Normierungsfaktoren weggelassen.) Zur Doppelsumme tragen nur diejenigen n-Werte wesentlich bei, die nahe bei der mittleren durch die Umladungsquerschnitte gegebenen Umladungszahl liegen. Bei der numerischen Berechnung von G1. (7) gentigt es deshalb, wenn man etwa bis zur doppelten mittleren Umladungszahl summiert. Sind ffir zwei Absorber der L/ingen L und L' die sich entsprechenden Produkte aus Absorberl~inge und Umladungsquerschnitt gleich, d.h.

(5)

a~b L = O"abE ,

mit j'w, (A) d.4 = 1. Analog ergibt sich ffir die Lfingenverteilung der Absorberstrecke L - A , die das Teilchen mit der Ladung qb durchlfiuft:

% , L = a'~,L',

(n-1)t

w,(L--A) = ab,, [ab"(L-A)]"-' exp [ - trb~(L-- A)]. (n-I)!

(6) Da die beiden Ladungszusffinde alternieren, sind sie entweder gleich Mufig, oder einer der beiden tritt einmal mehr auf als der andere. Beachtet man noch, dab unabh/~ngig yon den Umladungsquerschnitten prinzipiell jede beliebige Anzahl yon Umladungen vorkommen kann, so erhNt man schliel31ich ftir die Wahrscheinlichkeit, dab ein Ion mit der Ladung qa die Strecke A und mit der Ladung qb die Strecke (L-A) durchlfiuft, eine Doppelsumme: w(A)=

w,+j(A)w,(L-A).

~ j=--I

(Da

keine absoluten Wahrscheinlichkeiten ffir die

I

0,5 Absorberdicke L

i

I

0

0,5 Absorberdicke L

I

F i g . 1. M i t G1. (7) b e r e c h n e t e V e r t e i l u n g e n d e r A b s o r b e r teilstticke A, die m i t d e r L a d u n g qa d u r c h l a u f e n w e r d e n :

a.bL ab.L

a(A) = Sw(A) (A - fi0 2 OA. Die Ergebnisse numerischer Integrationen sind ffir einen grossen Parameterbereich in Fig. 2 zusammenge~tellt. Aus a(A) und fi~ kann man dann die relative Standardabweichung der quadrierten effektiven Ladung 2 2 a(qerf)/qeff, d.h. das Umladungsstraggling ffir zwei spezielle Ladungszust/inde q, und qb berechnen: 2 a(qeff )

- -

2

qof,

,I I

0

(7)

n=l

so ergeben sich bis auf einen konstanten Faktor die gleichen Verteilungen f/Jr w(A). Damit lassen sich die Verteilungen durch die beiden dimensionslosen Produkte aabL und trb, L parametrisieren. Als Beispiel sind in Fig. 1 Verteilungen w(A) ffir verschiedene Kombinationen v o n trabL und abeL gezeichnet. Da nur ffir sehr Heine Parameterwerte merkliche Asymmetrien auftreten, sollen die Verteilungen durch ihre Standardabweichungen or(A) und den Mittelwert charakterisiert werden:

a

b

c

d

e

f

20 5

20 20

20 60

100 30

100 100

100 300

-

(q2 _ q2) a(A)

+

(8)

Ll

[Diese Umrechnung ergibt sich wegen Gl. (3).] Will man z.B. das Umladungsstraggling von 100keV Protonen in einem Sauerstoffabsorber bestimmen, so berechnet man zun~ichst aus den entsprechenden Umladungsquerschnitten f/it die beiden Ladungszustgnde o'Ol und fflO und der Dicke des Absorbers L die beiden Parameter a o l L und a~o L. Aus Fig. 2 entnimmt man ffir diese Parameterwerte a(A)/A und A/L, woraus sich a(A) und .4 ergibt. Mt G1. (8) errechnet sich schlieBlich die dutch das Umladungsstraggling erzeugte Standardabweichung des Energieverlustes in Prozent. ,,Exakt" kann man mit der angegebenen Methode nur das Energieverluststraggling von Protonen bestimmen. In guter N/iherung 1/iSt sie sich jedoch auch dann verwenden, wenn zwei Ladungszust/inde fiberwiegend

ENERGIEVERLUSTVERTEILUNG

vorkommen. So alternieren ~-Teilchen unter I00 keV im wesentlichen zwischen den Ladungszust/inden 0 und 1; fiber 400 keV ist der neutrale Zustand sehr unwahrscheinlich und 1/il3t sich vernachl/issigen. Auch bei schweren Ionen kann man das Umladungsstraggling grob absch~itzen, wenn man einfach die beiden wahrscheinlichsten Ladungszust/inde verwendet. 3. Monte-Carlo-Rechmmg fiir mehrere

Ladungszustfinde Um das Umladungsstraggling schwererer lonen, bei denen die Ladungsverteilung sehr breit sein kann, genauer zu bestimmen, wurden Monte-Carlo Rechnungen durchgef/ihrt. Dabei lassen sich ohne Schwierigkeiten auch Mehrfachumladungen berficksichtigen, die bei schweren lonen wesentlich sind. Grundlage der

375

GELADENER TEILCHEN

Monte-Carlo-Rechnung ist wieder die G1. (2) ffir die effektive Ladung: 2 qeff = ~ qZ dxi/L.

Das Ion 1/iuft das Wegstfick dxl mit der Ladung qi, 1/idt um zur Ladung q~+~ mit der es die Strecke dx~+ t durchlS.uft, usw. bis es den Absorber verl~gt. Dabei ist die Verteilung der Wegstticke dx~ durch die Summe s/imtlicher Umladungsquerschnitte bestimmt, die vom Ladungszustand q~ aus m6glich sind. In Fig. 3 werden Ergebnisse einer Monte-CarloRechnung und eine nach G1. (7) berechneten Verteilung ffir Protonen in Stickstoff verglichen. Es stimmen nicht nur die Werte ffir die effektive Ladung und deren Standardabweichung gut tiberein, sondern auch die Asymmetrie der Verteilung ist in beiden Ffillen sehr /ihnlich. 4. Ergebnisse

~,IL

Zur Berechnung des Umladungsstragglings ben6tigt man die entsprechenden Umladungsquerschnitte. Dabei ist man auf experimentelle Werte angewiesen, da sich Umladungsquerschnitte f/Jr beliebige Ion-Absorberkombinationen nicht genau genug berechnen lassen. Als Beispiel ffir die verwendeten Datensfitze enth~ilt Fig. 4 gemessene Umladungsquerschnitte f/Jr 7 MeV Sauerstoffionen in Stickstoff. Die Abh/ingigkeit der Wirkungsquerschnitte van der Ionenladung ,,fokussiert" die Ladung um einen mittleren Wert (in diesem Fall zwischen 5 + und 6 +), so dab Ladungszustgnde, die stark van diesem Mittelwert abweichen, selten vorkommen. Das bedeutet, dab auch die Schwankung 2 fast ausschliei31ich durch nahe bei der mittleren van qeff

0.1

nso

0.01

t

Parameter : Oab L

i iii

I

I

I

r

IIIII

IO

I

J

I00 =' Oba - L

(a) |00

o

i

i

i

i i

i

i

i

i

i i i i

i

i

i

i

i

i i i__

(A)/~ [.i.]

Parameter Oab" L

~

_-

W (qeff2 ) Ion: Prolon Energie: tO0 kev

t

i

' 0.1

0.01

o.ool l0

t00

1000 D Oba

•L

(b) Fig. 2. (a) Mittelwert AT des mit der Ladung q= durchlaufenen AbsorberteilstOckes A bezogen a u f die Absorberl~nge L. (b) Relative Standardabweichung des Absorberteilsttickes A, das mit der Ladung q, durchlaufen wird.

I

0.7

i

i

i

0.8

0.9

|

2 qeff

Fig. 3. Schwankung der effektiven Ladung qeff 2 eines Protons in Stickstoff berechnet nach GI. (7) und mit einer Monte-CarloRechnung.

376

o. VOLLMER TABELLE la

TABELLE lb

U m l a d u n g s s t r a g g l i n g von P r o t o n e n u n d ~-Teilchen berechnet mit G1. (7).

U m l a d u n g s s t r a g g l i n g berechnet mit d e m Monte-Carlo-Verfahren. Ion

Ion

Energie (keV)

Absorber

cr(q~Zff)~ / L

f wEh=m 10% (%) A

Quelle fiir cqj

Energie (MeV/N)

Absorber

cr(q~{r)

2

~/L

f w h m (%) AE= 10%

Quelle ffir cqj

qeff

q~tr

(Atome/cm~) "~ (Atom/cm2) {

p p p p p

100 100 100 100 100

Wasserstoff Helium Sauerstoff Argon Krypton

8 8,3 4,5 2,9 2,9

× x

107 107 107 107 107

10 12 11,5 10,5 12,5

Ref. Ref. Ref. Ref. Ref.

16 16 16 16 16

0¢ c¢ c¢ c¢

200 200 200 200 200

Wasserstoff Helium Stickstoff Sauerstoff Argon

1,2 x 9,8 × 1,7 x 1,9 x 1,4 ×

108 107 108 108 108

15 14 40 50 50

Ref. Ref. Ref. Ref. Ref.

11 11 11 11 11

~¢ 0¢

800 800

Stickstoff Argon

6,5 × 107 4,5 × 107

11 8,5

Ref. 17 Ref. 17

×

×

x

4He 4He

0,1 0,1

Wasserstoff Helium

1,7 × 10 8 1,4 × 10 8

18 16

Ref. 11 Ref. 11

160 160 160 160

0,6 1,9 0,3 1 2,2 0,3 1 2,2

Helium Helium Stickstoff Stickstoff Stickstoff Argon Argon Argon

1,5 x 2,7 × 6 × 8 × 1 × 5,4× 6 x 7 ×

10 s 108 107 107 108 107 107 107

11 10 10 7 7 13 7 5

Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Ref.

19F zgF 19F

0,5 1 2,1

Stickstoff Stickstoff Stickstoff

5 6 9

× x

107 197 107

6,5 5,5 4,5

Ref. 13 Ref. 13 Ref. 13

SOBr 80Br S°Br S°Br S°Br S°Br

0,18 0,32 0,18 0,32 0,18 0,32

Wasserstoff Wasserstoff Helium Helium Argon Argon

6,5 1,3 6,5 7,6 5 2,5

× × x x × ×

107 108 107 107 107 107

8 9 6 6,5 11 7

Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Ref.

160 160 a60

160

Ionenladung liegende Ladungszust/inde bestimmt wird, und es deshalb genfigt, nur einen Teil der m6glichen Ladungszust/inde zu berficksichtigen. Leider gibt es trotz dieser Vereinfachung ffir Ionen mit Z > 2 nur wenige Ion-Absorberkombinationen, ffir die genfigend Umladungsquerschnitte gemessen wurden. Das nach G1. (7) bzw. mit Monte-Carlo-Rechnungen bestimmte Umladungsstraggling ist in Tabelle 1 zusammengestellt. Dabei wurde die Mehrzahl der Ion-Absorberkombinationen berficksichtigt, ffir die ausreichend Querschnitte zur Verffigung standen. Da mit energieunabh/~ngigen Wirkungsquerschnitten

IO-16 0q,

•

• ~

Oqq+2~.

o~

Oqql

/°'~X

/ \

i0-17

° X

o/

o"~''" Oq,q-2

o/\ IO-~a

I

I

I

2

3

4

I

I

I

5 6 7 Ionen[odung q

I

8

Fig. 4. U m l a d u n g s q u e r s c h n i t t e v o n 7 M e V Sauerstoff-Ionen in Stickstoff12).

14 15 14 15 15 15

gerechnet wird, sind die Betr/ige der Umladungen zur Varianz von q2ff in den einzelnen Absorberteilstficken voneinander unabh/ingig und addieren sich, zumindest dann, wenn die Anzahl der Umladungen im Absorber genfigend grol3 ist. Damit ergibt sich 2 O'(qeff) 2 qeff

Umladungsquerschnitt [crn2]

x

12 12 12 12 12 12 12 12

L-½.

Die berechneten Standardabweichungen zeigen, dab diese Beziehung gut erffillt ist, wenn mehr als etwa 15 Umladungen im Absorber stattfinden. (Mittlere Umladungszahlen unter 15 entsprechen jedoch in den hier betrachteten Energiebereichen sehr kleinen Energieverlusten von nur einigen Promill.) Die relativen Standardabweichungen der effektiven Ladung wurden deshalb in Tabelle 1 mit der Wurzel der Absorberl/inge multipliziert, so dab man die Ergebnisse auf beliebige Absorberdicken anwenden kann - vorausgesetzt, das Ion 1/idt mehr als ca. 15 mal urn. Man sieht, dab sieh die Werte ffir die verschiedenen Ionen- und Absorberkombinationen relativ wenig unterscheiden. Dadurch ist es m6glich, auch ffir andere

ENERGIEVERLUSTVERTEILUNG TABELLE 2

Vergleich des Umladungsstragglings mit dem nach Tschal/ir berechneten Stol3straggling fur einen Energieverlust yon 10%. Ion

Energie (MeV/N)

Absorber

160

0,3 1 1 2,2

Stickstoff Stickstoff Argon Argon

0,5

Stickstoff Stickstoff Stickstoff

160 160 160 19F 19F

19F

1 2,1

fwhm (%) Monte-Carlo Tschalar 8) 10 7 7 5 6,5 5,5 4,5

4,3 4,1 4,1 3,6 3,5 3,1 2,9

l o n e n u n d A b s o r b e r das U m l a d u n g s s t r a g g l i n g mit dem ,,nfichstliegenden" Tabellenwert abzuschfitzen.

5. Diskussion U m das ,, U m l a d u n g s s t r a g g l i n g " mit dem ,, Stol3straggling" des Energieverlustes zu vergleichen, w u r d e n in Tab. 2 entsprechende Werte ffir einen Energieverlust v o n 10% m i t e i n a n d e r verglichen, wobei das Stol3straggling nach Tschalfir berechnet wurde. M a n sieht dab das U m l a d u n g s s t r a g g l i n g in den Energiebereichen, in denen l o n e n noch nicht voll ionisiert sind, das Stol3straggling fibertreffen sollte. Allerdings ist es schwierig, diesen Einfluf5 des U m l a d u n g s stragglings an den v o r h a n d e n e n experimentellen D a t e n f/Jr das Energieverluststraggling nachzuprfifen. Die meisten Messungen existieren ffir c~-Teilchen, jedoch n u r ffir Energien fiber 0.5 MeV pro N u k l e o n , ffir die das U m l a d u n g s s t r a g g l i n g k a u m noch eine Rolle spielt 7, 8). Stragglingsdaten schwererer I o n e n in G a s e n sind bisher n u r f/Jr Energien unter 100keV pro N u k l e o n verSffentlicht worden9). Hier fehlen jedoch die zur Berechnung des Umladungsstragglings notwendigen U m l a d u n g s q u e r s c h n i t t e . Im Energiebereich f/Jr den U m l a d u n g s q u e r s c h n i t t e existieren, wurde das Energieverluststraggling mit einem Gasproportionalzfihler-Halbleiterteleskop fiir Kohlenstoff-, Stickstoff- u n d F l u o r - I o n e n in K r y p t o n , X e n o n u n d I s o b u t a n gemessen. Zwar ist f/Jr diese I o n A b s o r b e r k o m b i n a t i o n e n kein direkter Vergleich mit den R e c h n u n g e n mSglich, doch zeigt es sich, dab das

GELADENER TEILCHEN

377

berechnete U m l a d u n g s s t r a g g l i n g zumindest gr6ssenordnungsmfil3ig die Differenz zwischen den gemessenen Energieverlustverteilungen u n d dem nach Tschalfir berechneten Straggling erkl~iren k a n n ' ° ) . Neue Stragglingsdaten ffir schwere I o n e n in einem FestkSrper (Silizium) w u r d e n von V.V. Avdeichikov et al. 6) angegeben. Die gemessene Halbwertbreite etwa fiir Stickstoffionen yon 2,2 M e V / N u k l e o n betr/igt hier etwa 10% bei einem Energieverlust v o n 10%. Nach Tschalfir erwartet m a n in diesem Fall n u r 3,5% Halbwertbreite. Ein Beitrag des U m l a d u n g s s t r a g g l i n g s y o n ca. 9% w/jrde diese Diskrepanz erklfiren. W e n n auch die U m ladungsquerschnitte in FestkSrpern u n d G a s e n sicherlich unterschiedlich sind, so zeigen doch die in Tabelle l b auf einem Energieverlust v o n 10% bezogenen Werte, dab Messung u n d R e c h n u n g vergleichbare Werte ffir das U m l a d u n g s s t r a g g l i n g ergeben. H e r r n Dr. D. Hovestadt d a n k e ich herzlich ffir viele wertvolle A n r e g u n g e n , mit denen er zu dieser Arbeit beigetragen hat. Herr E. Thfiring hat das P r o g r a m m ffir die M o n t e - C a r l o - R e c h n u n g erstellt.

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