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Diffusion de la lumiere par des particules anisotropes—II. Composantes depolarisees et anisodiametrie des particules diffusantes non orientees, et possedant un axe de revolution
European Polymer Journal, 1973, Vol. 9, pp. 47-56. Pergamon Press. Printed in England.
D I F F U S I O N DE LA L U M I E R E PAR DES PARTICULES A N I S O T R O P E S - - I I C O M P O S A N T E S D E P O L A R I S E E S ET A N I S O D I A M E T R I E DES P A R T I C U L E S D I F F U S A N T E S N O N O R I E N T E E S , ET P O S S E D A N T U N AXE DE R E V O L U T I O N * J.-C. RAVEY Laboratoire de Biophysique, Centre de Premier Cycle, Universit6 de Nancy 01, Facult6 des Sciences, Boulevard des Aiguillettes, 54-Nancy, France
(Reeu le 13 mai 1972) R6sum6--Apr~s avoir pr6sent6 quelques r6sultats num6riques concernant les int6grales Ipq, partir desquels toute composante lumineuse diffus6e peut ~tre exprim6e, on 6tudie l'effet de l'anisodiam6trie des particules diffusantes sur les composantes d6polaris6es. On montre en particulier que le diff6rence Hu(90)--Hv(90) est positive ou n6gative selon que les particules sont aplaties ou allong6es lorsqu'elles ont des dimensions inf6rieures h la longueur d'onde. INTRODUCTION L'~TUDE th6orique pr6c6demment faite <1) a montr6 comme il est possible d'analyser /t priori, en fonction des divers param6tres morphologiques et optiques, les cornportements et les variations des diverses composantes de la lumi6re diffus6e, dans une direction rep6r6e par les angles 0 et 7, par des particules anisotropes orient6es partiellement ou totalement. Nous nous proposons maintenant d'6tudier avec plus de d6tail quelques uns des aspects les plus int6ressants entrevus dans l'article g6n6ral pr6c6dent, et d'illustrer ces ph6nom6nes/l l'aide d'un bon nombre de r6sultats num6riques. Les notations utilis6es ici seront identiques/~ celles de l'article de r6f6rence. A quelques exceptions pr6s, nous ne rappellerons pas dans ce qui suit les formules g6n6rales et les r6f6rences bibliographiques se trouvant dans le pr6c6dent travail. Dans ce second article, nous 6tudierons l'influence sur les valeurs des composantes lumineuses d6polaris6es Hv et H a de l'ellipticit6 (allongement ou aplatissement) des particules diffusantes anisotropes, orient6es au hasard dans l'espace h trois dimensions.
I. Les Int~grales Ipqr Toutes les consid6rations du travail pr6c6dent 6taient fond6es sur l'utilisation de quelques propri6t6s tr6s simples d'int6grales <1~ not6es luq, (0):/31,132,/33 d6signant les cosinus directeurs de l'axe de r6volution ~ de la particule rep6r6 dans le syst6me d'axes construit sur les bissectrices int6rieure et ext6rieure de l'angle d'observation, nous avions pos6: (/tune constante de normation pr6s). Ipq, = J'J" R(/31) /312p /322a /332rd to, oh R (/31) repr6sente le facteur d'interf6rence norm6 de la particule orient6e selon l'axe ~ (/31). En fait, le nombre de ces int6grales est relativement r6duit, puisque seules les int6grales ofa q ¢ 0 sont ind6pendantes entre elles. * Cet article constitue une partie de la th~se d'6tat pr6sent6e par l'auteur. 47
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J.-C. RAVEY
- - Q u a n t les particules ne sont pas soumises ~t un champ d'orientation, seules interviennent les int6grales telles que (p + q + r) ~< 2. - - A la suspension diffusante, on applique alors un champ Eo (61ectrique) d'orientation. D6veloppant en s6rie la fonction d'orientation, si on se limite aux termes en Eo 2k, n'interviennent que les int~grales pour lesquelles (p + q + r) <~ 2 + k. --Ces int6grales sont totalement calculables lorsque les particules diffusantes sont soit des ellipsoides de r6volution quasi-sph6riques, soit des b~tonnets. Rappelons tr6s bri6vement ici les quelques propri6t6s des lpq, n6cessaires ~t l'&ude pr6sente. --Si w repr6sente l'ellipticit6 de l'ellipsoide de r6volution, d'axes a, a, wa, 4rra to = w2 -- 1, H -----T " sin 0/2,
posant
Jk p ~
(2p)! kt (k -I-p)t 2 2k+* p! (2p + 2k +1)!
(2p) t (2~c)~ G~P -----2 2p+2k+x p! k! (p + k)l'
les int6grales relatives aux particules quasi-spMriques s'expriment par
I,., = a.'[J~+," Po (0) --
co Jq+r ,+1
Po t (0)].
(1)
Po(O). facteur d'interf6rence de la sphere et Po'(O) s'expriment au moyen de fonctions de Bessel d'ordre demi-entier: 9 . ( J z / 2 ( H ) ] 2" Po'(O) = 9zr J3/2(H) drs/2(H) e ° ( o ) = ' - 2 \ -H-577 "] ' 2 H2 --Les comportements asymptotiques des int6grales relatives aux bfitonnets (longueur L) et aux disques (rayon R) sont respectivement:
Bfxtonnet
Disque
H=4~rR. -~- sm 0
H = 2 ~ r L sin 0
I ~ ~or Gr °
(p #0) ~-q
k=0
(--1)k 2p~--1
(p=0) 2St (2H)
(r # O)
1 ~ Ja+2~(2H)al i 2
(r = O) t/2
[Si (x) est la fonction sinus int6gral]. I1 r6sulte des rappels pr~c6dents: (1) Que les diff6rences: (loop -- Ipoo) et (Iopp-- Ipop) sont du signe de co; elles s'annulent quant les particules diffusantes sont des sph6res anisotropes ou ont des dimensions suffisamment petites.
Diffusion de la Lumi6re par des Particules Anisotropes--II
49
(2) Lorsque p, q, r croissent, les moyennes des fonctions sinuso~dales sont d'un ordre plus 61ev6, et leurs valeurs d6croissent; par exemple, on aura: looo>15oo> I2oo> Iaoo> I~11, etc. .. (3) On aura tr6s simplement le comportement asymptotique d'une expression donn6e (cas de la diffusion aux petits angles par des particules dont la dimension est sup6rieure/~ la longueur d'onde par exemple), si les particules sont tr6s allong6es ou suffisamment aplaties: dans le premier cas, on ne conserve que les int6grales du type loop, et, dans le second, que les fonctions Ipoo.
I 0,5 ~
i
)
)
~,
°
\
I J5
\\
~-I2°°
I
1
I
T
I
r
I
1
l
2
5
4
5
6
7
8
2H FIG. 1. Variations de I~q,(0) pour les particules en forme de b~tonnet (H = 4~rL/A sin 0/2). Sur les Figs. 1 et 2 sont repr6sent6es les variations d'un certain nombre de ces int6grales relatives respectivement aux b~tonnets et aux disques, variations qui corroborent les consid6rations pr6c6dentes. On a 6galement trac6 (Fig. 3) les courbes correspondant ~t la chalne gaussienne; on peut alors constater que, d'un point de vue statistique, cette chalne se comporte comme une particule 16g6rement allong6e. A l'aide de ces figures, il est possible d'6valuer graphiquement la valeur num6rique de n'importe quelle expression des composantes lumineuses diffus66s par des disques, b~tonnets et cha~nes rigides, dont les dimensions sont telles que H ~ 8. II. Etude de la composante ,~ffv(O,~) Rappelons que nous notons par a~'v (0,~,) la composante lumineuse diffus6e lorsque l'onde incidente est polaris6e verticalement, que la' direction de polarisation de l'analyseur est parall61e au plan horizontal, et que le plan de diffusion fait l'angle 9' avec ce dernier. E.Pn.911--D
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J.-C. R A V E Y H 2
I
4
. . ~
J
i
8
6
I
1
i
i~
0,5
0,I -
,,\\
\
-
\\\
\
H
O,Ol
\'\~\\
IIH
~I3oo
ioo3
i002
Eot
FXG. 2. Variations de I w, (0) pour les particules on form¢ de disqu¢ ( H = 4~r R/I sin 0/2).
2
~
6
O~01~
8
00
-~.-~ ~
It,1 Fxo. 3. Variations de Ip~, (0) pour les particules ¢n forme de chaine gaussicnn¢ rigid¢ (anisotropie de macroforme ( H = 4~r/~/z A sin 0/2).
Diffusion de la Lumi~re par des Particules Anisotropes--II
51
- - D a n s le cas particulier oO 9, -=--0, la c o m p o s a n t e est alors d6sign6e par: Hv(O) - .~v(O,O) - Euv 2. Ainsi q u ' o n l'a montr6 dans l'article pr6c6dent (1) (cf. "Expressions g~n6rales des carr6s des amplitudes", paragr. B), on a: H~ 0 9"------982 ~ = 11ol q- sin 2 ~ (loli -- 11ol). - - E n dehors du plan y = 0, p o u r des angles 0 inf6rieurs h 30 °, on obtient l'expression plus complexe: (cf. (1) " L e s composantes lumineuses diffus6es dans une direction arbitraire", § A). .,~ H~ + sin2 ~0 sin 2 9, [8 11ol (2 -- 3 sin 2 y) 98292 -- 98292 +2Io11--21200(1--2sin --
4
COS 2 7
•002]
2y)
COS2 9,
q- cos 2 9, sin 2 9, (loo2 + 12oo - - 6 Ilol). Les courbes iso intensit6 n ' a d m e t t e n t les quatre axes de sym6trie (9, = 0, 4- rr/4, ~r/2) que si 0 est sutfisamment petit. I1 est cependant int6ressant d'6tudier la quantit6 A _-- [ ~ (9' = ¢r/4) - - ~ v (9, = 0)]/3fay (0 -----0), qui se r6duit tr6s simplement h: 1 A 15
~ (/oo2 -t- 12oo
6 11oi)
0 sin 2 ~ (Ioll
11ol).
(2)
La raison p o u r laquelle on a conserv6 t o u s l e s termes en sin 2 0/2 devient 6vident e s l'on porte dans (2) les valeurs des Ip~, calcul6es /t partir de (1): le premier terme s'annule, et il ne reste que: 2 0 A ~_ -- ff co Po' (0) sin 2 ~, qui est du signe de [--co]. D ' u n e fagon plus g6n6rale, si on utilise les d6veloppement en s6rie des/par, on trouve: 0 A _~ (co v) 10 -2 sin 4 ~ [--1,5 + l0 -2 (co v)] + . . . 2
ce qui m o n t r e bien que, quelque soit co positif, et si la particule est suffisamment petite (~ v ~< 100 par exemple, soit 4 ~r a/~ ~1/2 ~< 5), l'intensit~ diffus~e dans le plan 9, = 45 ° doit atre inf~rieure h celle qui est diffus~e dans le plan 9, = 0. En fait, ~tant donn6 le facteur sin 4 0/2, il est tout ~ fait illusoire de vouloir mettre en ~vidence le ph6nom~ne/~ des angles inf~rieurs ~ 0 = 30 °. Lorsque 0 = 0, on a: A = 15/8 [12oo + loll - - 4 11ol]. C o m m e pr6c6demment, l'6tude de cette expression m o n t r e que A est du signe de (--oa) si les particules diffusantes ont une taille inf6rieure ~t une certaine valeur
52
J.-C. RAVEY
(environ L/~ < 1, dans le cas de b,~tonnet de longueur L). L'effet, quoique faible n'est cependant plus n6gligeable. Cependant, lorsque 0 = 90 °, intensit6 diffus6e dans le plan y = ~-/4 est la m~me que celle diffus6e dans le plan y = 0, ~t condition que l'onde incidente ne soit plus polaris6e verticalement, mais ~t 45 ° de l'axe vertical. Sachant que la sym&rie d'ordre 4 n'existe plus aux angles 0 qui ne sont plus petits, il est int~ressant de consid6rer l'intensit6 .,~v (0 = ~/2, y = ~r/2), c'est ~ dire la composante //,(90°). IIL Etude de la diffdrence Hn(90 °) -- I-Iv (90 °) Les expressions de l'article pr6c6dent conduisent h: (cf/x) l'expression de En 2 (0) dans "Expressions g6n6rales des carr6s des amplitudes")
/-/.(90) 982,~2 = ~ (1200 "-~ 1002 - -
2 11ol).
on en tire: /-/,(90) -- Hv(90) = ¼ (12oo -b loo2 -- 6 11ox) -- ½ (Io11 -- 1/.Ol)
(3)
By(90) = ½ (11ol + lo11); On reconnait dans (3) l'expression (2) de A/15 qui vient d'etre &udi6e. On en d6duit donc le r6sultat final suivant" ~t 0 = 90 °, la diff6rence (Hn -- Hv) est positive ou ndgative selon que les particules diffusantes sont aplaties ou allongdes, et ont une dimension inf6rieure h une certaine valeur critique, de l'ordre de la longueur d'onde. (A) EllipsoMes de r~volution. Pour des particules quasi sph6riques de petite taille, ona : R =
~
o=90"
7 J3/2(ha) ha J512(ha)
2oJ q- . . .
)t
2"
Sur les Figs. 4 et 5 sont repr6sent6es les variations du rapport R respectivement pour les particules allong6es et aplaties, en fonction de l'ellipticit6 p e t de leur taille, (8~ra];~ pour les ellipsoides, 4rrL]~ pour les bgttonnets). On est doric en pr6sence d'un ph6nom6ne tr6s sensible ~t l'ellipticit6, ind6pendant de tout autre facteur d'anisotropie, ne n6cessitant aucun processus &orientation des particules. L'effet n'est plus d'un ordre de grandeur trop petit pour pouvoir ~tre mis en 6vidence exp6rimentalement, si les particules sont suffisamment anisotropes: un bhtonnet et un disque de mSme taille, voisine de 2000 A, pr6sentent respectivement un effet de --15 et de + 15 pour cent. (B) Cas de cylindres de r~volution. A ce sujet, dans une publication r6cente, (2) Van Aartsen a tir6 de ses calculs des conclusions qui sont en contradiction avec les r6sultats du pr6sent article. L'incorrection constat6e provient du fait qu'il a n6glig6 dans sort expression de Hv le terme en sin z 0/2, c'est ~t dire (Iloi -- Io11) sin 2 02. Si les calculs sont conduits correctement, on obtient les r6sultats suivants. En utilisant ses notations, on obtient: 8
15
A = ¼(3Do-- 30D1 + 35 D2) -- sin 2 0 ( D O - 6 D 1 2
+5D2).
Diffusion de la Lumi~re p a r des Particules A n i s o t r o p e s - - I 1
J8"rra/X
53
/
% m
×
__
~
=
p
=6
-I0
2 -15
FK;. 4. E t u d e d u r a p p o r t R = [ ( H n - - H , , ) / H v ] , ~t O = 90°; cas des particules allong6es.
10
P=O
L
I
0~1
o,o~
II
I
i
I
I
T
I
I
I~l
2
3
4
5
6
7
8
4~ra/X
F]o. 5. Etude du rapport R = [(Hn
-
-
H,,)/H,,],
h 0 = 90°; cas des particules aplaties.
J.-C. R A V E Y
Si le cylindre a pour longueur 2L et pour rayon R, posant e = R/L, l'utilisation des d6veloppements limit6s fournit 4 A 4rr2 ( L ) 2 ( ~ ~ ) ( ~) 15h2L 2 ~- 27 -- 12a 2 + a* + ,~2-. D'oit le r~sultat int&essant suivant: le cylindre qui correspond h la particule sph6rique est donc tel que 2Lo = a/(3)R; ainsi, pour un rayon R donn6, et si la particule est assez petite, A sera n6gatif si L est sup6rieur h Lo, donc pour le b~tonnet infiniment mince. 75*
FIG. 6. Diagrammes de diffusion de ~g'v (7, 0)/(~8)2 aux petits angles, correspondant au bgttonnet, tel que 4~r L/A = 100. La valeur des intensit6s diffus6es est not6e le long des diverses courbes iso-intensit6. Les diagrammes ont 6t6 trac6s pour z = 0°, 30°, 50°, 70°, et sont h compl6ter par la sym6trie d'ordre quatre. IV. Particules pour lesquelles des axes de r~volution des ellipsoMes de forme et de polarisabilit~ ne coincident pas. D6signant par z l'angle que font les deux axes, nous avions pr6vu par le calcul qu'il existait deux angles ~'1 et ~2 pour lesquels les diagrammes de diffusion aux petits angles concernant la composante .¢t~v se r6duisent exactement ~t des cercles concentriques. A titre d'illustration, les Figs. 6 et 7 repr6sentent l'&at de tels diagrammes lorsque ~- vaut successivement 0 °, rx # 30 °, 50 °, ~'2 # 70°, qui sont relatifs ~t des particules respectivement en forme de b~tonnet et de disque.
Diffusion de la Lumi~re par des Particules Anisotropes--II
55
Soulignons que ces r6sultats sont encore valables lorsque les axes des particules sont distribu6s dans le plan perpendiculaire au faisceau incident (film bidimensionnel). Ces r6sultats sont en accord avec les r6sultats num6riques et exp6rimentaux obtenus par Stein et al., concernant les films de poly6thyl6ne (cf. (t), r6f6rences 11-15).
~v
75 °
FIG. 7. Diagrammes de diffusion de ~'v(y, 0)/(~78)2 aux petits angles, correspondant au bgttonnet, tel que 47r R/A = 50. La valeur des intensit6es diffus6es est not6e le long des diverses courbes iso-intensit6. Les diagrammes ont 6t6 tracks pour ~- = 0 °, 30°, 50°, 70 °, et sont ~ complgter par la sym6trie d'ordre quatre.
CONCLUSION Le m6rite essentiel de cet article est d ' a v o i r 6tabli que les composantes d6polaris6es de la lumi6re diffus6e perpendiculairement au faisceau incident sont telles qu'eUes permettent, en principe, de distinguer entre particules aplaties et allong6es, i n d 6 p e n d a m m e n t du signe de tout autre facteur. En effet, l'6tude de la diff6rence HH(90) -- Hv(90) m o n t r e que des particules faiblem e n t aplaties et allong6es se c o m p o r t e n t de faqon tr6s diff6rente. Ce r6sultat, dfi la seule interf6rence des ondelettes r66mises par les diff6rents points de la particule diffusante, ne n6cessite aucun processus d'orientation, 61ectrique ou hydrodynamique. P o u r des particules dont les dimensions valent a p p r o x i m a t i v e m e n t 2000 A, l'effet est de --15 p o u r cent si l'ellipsoide est allong6, et de + 1 5 p o u r cent s'il est aplati.
56
J.-C. RAVEY
N o u s p e n s o n s d o n e que l ' & u d e de cette diff6rence, coupl6e p a r exemple avec l ' u t i l i s a t i o n des dissym6tries Vv(45)/Vv(135) est u n m o y e n n o u v e a u et r a p i d e p o u r la d 6 t e r m i n a t i o n de la f o r m e des particules a n i s o t r o p e s 6tudi6es p a r diffusion de la lumi6re. Cette m & h o d e d ' a n a l y s e relativement simple est c o m p a r a b l e aux m 6 t h o d e s classiques d ' a n a l y s e h y d r o d y n a m i q u e des d i m e n s i o n s et f o r m e s des particules rigides.< a,4> L ' 6 t u d e de ce p h 6 n o m 6 n e pr6sente 6galement l ' a v a n t a g e de n'6xiger q u ' u n a p p a r e i l l a g e r e l a t i v e m e n t simple, les mesures p o u v a n t 8tre 6ffectu6es sur un p h o t o diffusom6tre traditionnel.
BIBLIOGRAPHIE (1) (2) (3) (4)
J. C. Ravey, Europ. Polym. J. 8, 937 (1972) et r6f6rences y figurant. J. J. Van Aartsen, Europ. Polym. J. 6 (8), 1095 (1970). Ch. Sadron, Prog. Biophys. 3 (1953). M. Daune, L. Freund, et G. Spach, J. Chim. phys. 485 (1962).
Abstract--After indicating some numerical results related to the Ip~, integrals, from which each light scattering component is expressible, the effect of the anisodiametry of the scattering particles on the depolarized components is studied. So we show that the difference Hn(90) --Ho(90) is positive or negative if the particles are respectively disc- or rod-like, when their dimensions are less than the wavelength.
Sommario---Dopo aver indicato alcuni risultati numerici circa gli integrali Ip~,, con cui si pub esprimere ciascuna componente di diffusione luminosa, si passa allo studio delreffetto che ranisodiametro delle particelle diffondenti ha sui componenti depolarizzati. Cosi si mostra chela differenza HH(90) -- Hv(90)/~ positiva o negativa a seconda che le particelle siano a forma di disco oppure bastoncello, don dimensioni minori della lunghezza d'onda.
Zusammenfassung--Nach Angabe einiger numerischer Ergebnisse bez~iglich der Ipq, Integrale, mit denen jede Streulichtkomponente ausgedriickt werden kann, wird der Einflu6 der Anisodiametrie der streuenden Teilchen auf die depolarisierten Komponenten untersucht. Wit zeigen auf diese Weise, dab die Differenz HH (90) - - Hv (90) positiv oder negative ist, wenn die Partikel Scheibchen- oder St~bchenform besitzen, vorausgesetzt dab ihre Dimensionen kleiner als die Wellenl~inge sind.
D I F F U S I O N DE LA L U M I E R E PAR DES PARTICULES A N I S O T R O P E S - - I I C O M P O S A N T E S D E P O L A R I S E E S ET A N I S O D I A M E T R I E DES P A R T I C U L E S D I F F U S A N T E S N O N O R I E N T E E S , ET P O S S E D A N T U N AXE DE R E V O L U T I O N * J.-C. RAVEY Laboratoire de Biophysique, Centre de Premier Cycle, Universit6 de Nancy 01, Facult6 des Sciences, Boulevard des Aiguillettes, 54-Nancy, France
(Reeu le 13 mai 1972) R6sum6--Apr~s avoir pr6sent6 quelques r6sultats num6riques concernant les int6grales Ipq, partir desquels toute composante lumineuse diffus6e peut ~tre exprim6e, on 6tudie l'effet de l'anisodiam6trie des particules diffusantes sur les composantes d6polaris6es. On montre en particulier que le diff6rence Hu(90)--Hv(90) est positive ou n6gative selon que les particules sont aplaties ou allong6es lorsqu'elles ont des dimensions inf6rieures h la longueur d'onde. INTRODUCTION L'~TUDE th6orique pr6c6demment faite <1) a montr6 comme il est possible d'analyser /t priori, en fonction des divers param6tres morphologiques et optiques, les cornportements et les variations des diverses composantes de la lumi6re diffus6e, dans une direction rep6r6e par les angles 0 et 7, par des particules anisotropes orient6es partiellement ou totalement. Nous nous proposons maintenant d'6tudier avec plus de d6tail quelques uns des aspects les plus int6ressants entrevus dans l'article g6n6ral pr6c6dent, et d'illustrer ces ph6nom6nes/l l'aide d'un bon nombre de r6sultats num6riques. Les notations utilis6es ici seront identiques/~ celles de l'article de r6f6rence. A quelques exceptions pr6s, nous ne rappellerons pas dans ce qui suit les formules g6n6rales et les r6f6rences bibliographiques se trouvant dans le pr6c6dent travail. Dans ce second article, nous 6tudierons l'influence sur les valeurs des composantes lumineuses d6polaris6es Hv et H a de l'ellipticit6 (allongement ou aplatissement) des particules diffusantes anisotropes, orient6es au hasard dans l'espace h trois dimensions.
I. Les Int~grales Ipqr Toutes les consid6rations du travail pr6c6dent 6taient fond6es sur l'utilisation de quelques propri6t6s tr6s simples d'int6grales <1~ not6es luq, (0):/31,132,/33 d6signant les cosinus directeurs de l'axe de r6volution ~ de la particule rep6r6 dans le syst6me d'axes construit sur les bissectrices int6rieure et ext6rieure de l'angle d'observation, nous avions pos6: (/tune constante de normation pr6s). Ipq, = J'J" R(/31) /312p /322a /332rd to, oh R (/31) repr6sente le facteur d'interf6rence norm6 de la particule orient6e selon l'axe ~ (/31). En fait, le nombre de ces int6grales est relativement r6duit, puisque seules les int6grales ofa q ¢ 0 sont ind6pendantes entre elles. * Cet article constitue une partie de la th~se d'6tat pr6sent6e par l'auteur. 47
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- - Q u a n t les particules ne sont pas soumises ~t un champ d'orientation, seules interviennent les int6grales telles que (p + q + r) ~< 2. - - A la suspension diffusante, on applique alors un champ Eo (61ectrique) d'orientation. D6veloppant en s6rie la fonction d'orientation, si on se limite aux termes en Eo 2k, n'interviennent que les int~grales pour lesquelles (p + q + r) <~ 2 + k. --Ces int6grales sont totalement calculables lorsque les particules diffusantes sont soit des ellipsoides de r6volution quasi-sph6riques, soit des b~tonnets. Rappelons tr6s bri6vement ici les quelques propri6t6s des lpq, n6cessaires ~t l'&ude pr6sente. --Si w repr6sente l'ellipticit6 de l'ellipsoide de r6volution, d'axes a, a, wa, 4rra to = w2 -- 1, H -----T " sin 0/2,
posant
Jk p ~
(2p)! kt (k -I-p)t 2 2k+* p! (2p + 2k +1)!
(2p) t (2~c)~ G~P -----2 2p+2k+x p! k! (p + k)l'
les int6grales relatives aux particules quasi-spMriques s'expriment par
I,., = a.'[J~+," Po (0) --
co Jq+r ,+1
Po t (0)].
(1)
Po(O). facteur d'interf6rence de la sphere et Po'(O) s'expriment au moyen de fonctions de Bessel d'ordre demi-entier: 9 . ( J z / 2 ( H ) ] 2" Po'(O) = 9zr J3/2(H) drs/2(H) e ° ( o ) = ' - 2 \ -H-577 "] ' 2 H2 --Les comportements asymptotiques des int6grales relatives aux bfitonnets (longueur L) et aux disques (rayon R) sont respectivement:
Bfxtonnet
Disque
H=4~rR. -~- sm 0
H = 2 ~ r L sin 0
I ~ ~or Gr °
(p #0) ~-q
k=0
(--1)k 2p~--1
(p=0) 2St (2H)
(r # O)
1 ~ Ja+2~(2H)al i 2
(r = O) t/2
[Si (x) est la fonction sinus int6gral]. I1 r6sulte des rappels pr~c6dents: (1) Que les diff6rences: (loop -- Ipoo) et (Iopp-- Ipop) sont du signe de co; elles s'annulent quant les particules diffusantes sont des sph6res anisotropes ou ont des dimensions suffisamment petites.
Diffusion de la Lumi6re par des Particules Anisotropes--II
49
(2) Lorsque p, q, r croissent, les moyennes des fonctions sinuso~dales sont d'un ordre plus 61ev6, et leurs valeurs d6croissent; par exemple, on aura: looo>15oo> I2oo> Iaoo> I~11, etc. .. (3) On aura tr6s simplement le comportement asymptotique d'une expression donn6e (cas de la diffusion aux petits angles par des particules dont la dimension est sup6rieure/~ la longueur d'onde par exemple), si les particules sont tr6s allong6es ou suffisamment aplaties: dans le premier cas, on ne conserve que les int6grales du type loop, et, dans le second, que les fonctions Ipoo.
I 0,5 ~
i
)
)
~,
°
\
I J5
\\
~-I2°°
I
1
I
T
I
r
I
1
l
2
5
4
5
6
7
8
2H FIG. 1. Variations de I~q,(0) pour les particules en forme de b~tonnet (H = 4~rL/A sin 0/2). Sur les Figs. 1 et 2 sont repr6sent6es les variations d'un certain nombre de ces int6grales relatives respectivement aux b~tonnets et aux disques, variations qui corroborent les consid6rations pr6c6dentes. On a 6galement trac6 (Fig. 3) les courbes correspondant ~t la chalne gaussienne; on peut alors constater que, d'un point de vue statistique, cette chalne se comporte comme une particule 16g6rement allong6e. A l'aide de ces figures, il est possible d'6valuer graphiquement la valeur num6rique de n'importe quelle expression des composantes lumineuses diffus66s par des disques, b~tonnets et cha~nes rigides, dont les dimensions sont telles que H ~ 8. II. Etude de la composante ,~ffv(O,~) Rappelons que nous notons par a~'v (0,~,) la composante lumineuse diffus6e lorsque l'onde incidente est polaris6e verticalement, que la' direction de polarisation de l'analyseur est parall61e au plan horizontal, et que le plan de diffusion fait l'angle 9' avec ce dernier. E.Pn.911--D
50
J.-C. R A V E Y H 2
I
4
. . ~
J
i
8
6
I
1
i
i~
0,5
0,I -
,,\\
\
-
\\\
\
H
O,Ol
\'\~\\
IIH
~I3oo
ioo3
i002
Eot
FXG. 2. Variations de I w, (0) pour les particules on form¢ de disqu¢ ( H = 4~r R/I sin 0/2).
2
~
6
O~01~
8
00
-~.-~ ~
It,1 Fxo. 3. Variations de Ip~, (0) pour les particules ¢n forme de chaine gaussicnn¢ rigid¢ (anisotropie de macroforme ( H = 4~r
Diffusion de la Lumi~re par des Particules Anisotropes--II
51
- - D a n s le cas particulier oO 9, -=--0, la c o m p o s a n t e est alors d6sign6e par: Hv(O) - .~v(O,O) - Euv 2. Ainsi q u ' o n l'a montr6 dans l'article pr6c6dent (1) (cf. "Expressions g~n6rales des carr6s des amplitudes", paragr. B), on a: H~ 0 9"------982 ~ = 11ol q- sin 2 ~ (loli -- 11ol). - - E n dehors du plan y = 0, p o u r des angles 0 inf6rieurs h 30 °, on obtient l'expression plus complexe: (cf. (1) " L e s composantes lumineuses diffus6es dans une direction arbitraire", § A). .,~ H~ + sin2 ~0 sin 2 9, [8 11ol (2 -- 3 sin 2 y) 98292 -- 98292 +2Io11--21200(1--2sin --
4
COS 2 7
•002]
2y)
COS2 9,
q- cos 2 9, sin 2 9, (loo2 + 12oo - - 6 Ilol). Les courbes iso intensit6 n ' a d m e t t e n t les quatre axes de sym6trie (9, = 0, 4- rr/4, ~r/2) que si 0 est sutfisamment petit. I1 est cependant int6ressant d'6tudier la quantit6 A _-- [ ~ (9' = ¢r/4) - - ~ v (9, = 0)]/3fay (0 -----0), qui se r6duit tr6s simplement h: 1 A 15
~ (/oo2 -t- 12oo
6 11oi)
0 sin 2 ~ (Ioll
11ol).
(2)
La raison p o u r laquelle on a conserv6 t o u s l e s termes en sin 2 0/2 devient 6vident e s l'on porte dans (2) les valeurs des Ip~, calcul6es /t partir de (1): le premier terme s'annule, et il ne reste que: 2 0 A ~_ -- ff co Po' (0) sin 2 ~, qui est du signe de [--co]. D ' u n e fagon plus g6n6rale, si on utilise les d6veloppement en s6rie des/par, on trouve: 0 A _~ (co v) 10 -2 sin 4 ~ [--1,5 + l0 -2 (co v)] + . . . 2
ce qui m o n t r e bien que, quelque soit co positif, et si la particule est suffisamment petite (~ v ~< 100 par exemple, soit 4 ~r a/~ ~1/2 ~< 5), l'intensit~ diffus~e dans le plan 9, = 45 ° doit atre inf~rieure h celle qui est diffus~e dans le plan 9, = 0. En fait, ~tant donn6 le facteur sin 4 0/2, il est tout ~ fait illusoire de vouloir mettre en ~vidence le ph6nom~ne/~ des angles inf~rieurs ~ 0 = 30 °. Lorsque 0 = 0, on a: A = 15/8 [12oo + loll - - 4 11ol]. C o m m e pr6c6demment, l'6tude de cette expression m o n t r e que A est du signe de (--oa) si les particules diffusantes ont une taille inf6rieure ~t une certaine valeur
52
J.-C. RAVEY
(environ L/~ < 1, dans le cas de b,~tonnet de longueur L). L'effet, quoique faible n'est cependant plus n6gligeable. Cependant, lorsque 0 = 90 °, intensit6 diffus6e dans le plan y = ~-/4 est la m~me que celle diffus6e dans le plan y = 0, ~t condition que l'onde incidente ne soit plus polaris6e verticalement, mais ~t 45 ° de l'axe vertical. Sachant que la sym&rie d'ordre 4 n'existe plus aux angles 0 qui ne sont plus petits, il est int~ressant de consid6rer l'intensit6 .,~v (0 = ~/2, y = ~r/2), c'est ~ dire la composante //,(90°). IIL Etude de la diffdrence Hn(90 °) -- I-Iv (90 °) Les expressions de l'article pr6c6dent conduisent h: (cf/x) l'expression de En 2 (0) dans "Expressions g6n6rales des carr6s des amplitudes")
/-/.(90) 982,~2 = ~ (1200 "-~ 1002 - -
2 11ol).
on en tire: /-/,(90) -- Hv(90) = ¼ (12oo -b loo2 -- 6 11ox) -- ½ (Io11 -- 1/.Ol)
(3)
By(90) = ½ (11ol + lo11); On reconnait dans (3) l'expression (2) de A/15 qui vient d'etre &udi6e. On en d6duit donc le r6sultat final suivant" ~t 0 = 90 °, la diff6rence (Hn -- Hv) est positive ou ndgative selon que les particules diffusantes sont aplaties ou allongdes, et ont une dimension inf6rieure h une certaine valeur critique, de l'ordre de la longueur d'onde. (A) EllipsoMes de r~volution. Pour des particules quasi sph6riques de petite taille, ona : R =
~
o=90"
7 J3/2(ha) ha J512(ha)
2oJ q- . . .
)t
2"
Sur les Figs. 4 et 5 sont repr6sent6es les variations du rapport R respectivement pour les particules allong6es et aplaties, en fonction de l'ellipticit6 p e t de leur taille, (8~ra];~ pour les ellipsoides, 4rrL]~ pour les bgttonnets). On est doric en pr6sence d'un ph6nom6ne tr6s sensible ~t l'ellipticit6, ind6pendant de tout autre facteur d'anisotropie, ne n6cessitant aucun processus &orientation des particules. L'effet n'est plus d'un ordre de grandeur trop petit pour pouvoir ~tre mis en 6vidence exp6rimentalement, si les particules sont suffisamment anisotropes: un bhtonnet et un disque de mSme taille, voisine de 2000 A, pr6sentent respectivement un effet de --15 et de + 15 pour cent. (B) Cas de cylindres de r~volution. A ce sujet, dans une publication r6cente, (2) Van Aartsen a tir6 de ses calculs des conclusions qui sont en contradiction avec les r6sultats du pr6sent article. L'incorrection constat6e provient du fait qu'il a n6glig6 dans sort expression de Hv le terme en sin z 0/2, c'est ~t dire (Iloi -- Io11) sin 2 02. Si les calculs sont conduits correctement, on obtient les r6sultats suivants. En utilisant ses notations, on obtient: 8
15
A = ¼(3Do-- 30D1 + 35 D2) -- sin 2 0 ( D O - 6 D 1 2
+5D2).
Diffusion de la Lumi~re p a r des Particules A n i s o t r o p e s - - I 1
J8"rra/X
53
/
% m
×
__
~
=
p
=6
-I0
2 -15
FK;. 4. E t u d e d u r a p p o r t R = [ ( H n - - H , , ) / H v ] , ~t O = 90°; cas des particules allong6es.
10
P=O
L
I
0~1
o,o~
II
I
i
I
I
T
I
I
I~l
2
3
4
5
6
7
8
4~ra/X
F]o. 5. Etude du rapport R = [(Hn
-
-
H,,)/H,,],
h 0 = 90°; cas des particules aplaties.
J.-C. R A V E Y
Si le cylindre a pour longueur 2L et pour rayon R, posant e = R/L, l'utilisation des d6veloppements limit6s fournit 4 A 4rr2 ( L ) 2 ( ~ ~ ) ( ~) 15h2L 2 ~- 27 -- 12a 2 + a* + ,~2-. D'oit le r~sultat int&essant suivant: le cylindre qui correspond h la particule sph6rique est donc tel que 2Lo = a/(3)R; ainsi, pour un rayon R donn6, et si la particule est assez petite, A sera n6gatif si L est sup6rieur h Lo, donc pour le b~tonnet infiniment mince. 75*
FIG. 6. Diagrammes de diffusion de ~g'v (7, 0)/(~8)2 aux petits angles, correspondant au bgttonnet, tel que 4~r L/A = 100. La valeur des intensit6s diffus6es est not6e le long des diverses courbes iso-intensit6. Les diagrammes ont 6t6 trac6s pour z = 0°, 30°, 50°, 70°, et sont h compl6ter par la sym6trie d'ordre quatre. IV. Particules pour lesquelles des axes de r~volution des ellipsoMes de forme et de polarisabilit~ ne coincident pas. D6signant par z l'angle que font les deux axes, nous avions pr6vu par le calcul qu'il existait deux angles ~'1 et ~2 pour lesquels les diagrammes de diffusion aux petits angles concernant la composante .¢t~v se r6duisent exactement ~t des cercles concentriques. A titre d'illustration, les Figs. 6 et 7 repr6sentent l'&at de tels diagrammes lorsque ~- vaut successivement 0 °, rx # 30 °, 50 °, ~'2 # 70°, qui sont relatifs ~t des particules respectivement en forme de b~tonnet et de disque.
Diffusion de la Lumi~re par des Particules Anisotropes--II
55
Soulignons que ces r6sultats sont encore valables lorsque les axes des particules sont distribu6s dans le plan perpendiculaire au faisceau incident (film bidimensionnel). Ces r6sultats sont en accord avec les r6sultats num6riques et exp6rimentaux obtenus par Stein et al., concernant les films de poly6thyl6ne (cf. (t), r6f6rences 11-15).
~v
75 °
FIG. 7. Diagrammes de diffusion de ~'v(y, 0)/(~78)2 aux petits angles, correspondant au bgttonnet, tel que 47r R/A = 50. La valeur des intensit6es diffus6es est not6e le long des diverses courbes iso-intensit6. Les diagrammes ont 6t6 tracks pour ~- = 0 °, 30°, 50°, 70 °, et sont ~ complgter par la sym6trie d'ordre quatre.
CONCLUSION Le m6rite essentiel de cet article est d ' a v o i r 6tabli que les composantes d6polaris6es de la lumi6re diffus6e perpendiculairement au faisceau incident sont telles qu'eUes permettent, en principe, de distinguer entre particules aplaties et allong6es, i n d 6 p e n d a m m e n t du signe de tout autre facteur. En effet, l'6tude de la diff6rence HH(90) -- Hv(90) m o n t r e que des particules faiblem e n t aplaties et allong6es se c o m p o r t e n t de faqon tr6s diff6rente. Ce r6sultat, dfi la seule interf6rence des ondelettes r66mises par les diff6rents points de la particule diffusante, ne n6cessite aucun processus d'orientation, 61ectrique ou hydrodynamique. P o u r des particules dont les dimensions valent a p p r o x i m a t i v e m e n t 2000 A, l'effet est de --15 p o u r cent si l'ellipsoide est allong6, et de + 1 5 p o u r cent s'il est aplati.
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J.-C. RAVEY
N o u s p e n s o n s d o n e que l ' & u d e de cette diff6rence, coupl6e p a r exemple avec l ' u t i l i s a t i o n des dissym6tries Vv(45)/Vv(135) est u n m o y e n n o u v e a u et r a p i d e p o u r la d 6 t e r m i n a t i o n de la f o r m e des particules a n i s o t r o p e s 6tudi6es p a r diffusion de la lumi6re. Cette m & h o d e d ' a n a l y s e relativement simple est c o m p a r a b l e aux m 6 t h o d e s classiques d ' a n a l y s e h y d r o d y n a m i q u e des d i m e n s i o n s et f o r m e s des particules rigides.< a,4> L ' 6 t u d e de ce p h 6 n o m 6 n e pr6sente 6galement l ' a v a n t a g e de n'6xiger q u ' u n a p p a r e i l l a g e r e l a t i v e m e n t simple, les mesures p o u v a n t 8tre 6ffectu6es sur un p h o t o diffusom6tre traditionnel.
BIBLIOGRAPHIE (1) (2) (3) (4)
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Abstract--After indicating some numerical results related to the Ip~, integrals, from which each light scattering component is expressible, the effect of the anisodiametry of the scattering particles on the depolarized components is studied. So we show that the difference Hn(90) --Ho(90) is positive or negative if the particles are respectively disc- or rod-like, when their dimensions are less than the wavelength.
Sommario---Dopo aver indicato alcuni risultati numerici circa gli integrali Ip~,, con cui si pub esprimere ciascuna componente di diffusione luminosa, si passa allo studio delreffetto che ranisodiametro delle particelle diffondenti ha sui componenti depolarizzati. Cosi si mostra chela differenza HH(90) -- Hv(90)/~ positiva o negativa a seconda che le particelle siano a forma di disco oppure bastoncello, don dimensioni minori della lunghezza d'onda.
Zusammenfassung--Nach Angabe einiger numerischer Ergebnisse bez~iglich der Ipq, Integrale, mit denen jede Streulichtkomponente ausgedriickt werden kann, wird der Einflu6 der Anisodiametrie der streuenden Teilchen auf die depolarisierten Komponenten untersucht. Wit zeigen auf diese Weise, dab die Differenz HH (90) - - Hv (90) positiv oder negative ist, wenn die Partikel Scheibchen- oder St~bchenform besitzen, vorausgesetzt dab ihre Dimensionen kleiner als die Wellenl~inge sind.