Eine verallgemeinerte Higman-Gruppe

MATHEMATICS

Proceedings A 85 (2), June I4, I982

Eine verallgemeinerte Higman-Gruppe

von Wolfgang Fluch U n g e r g a s s e 40, G r a z , A u s t r i a

Communicated by Prof. H. Freudenthal at the meeting of April 25, 1981

In [3] wurde bewiesen, dab die verallgemeinerte H i g m a n - G r u p p e Ha,~,y = {a, b, c l b - ~ a b ~ a - 2 = c - ~ b c ~ b - 2 = a - YcaYc - 2 = 1 } = E

ist, welche ftir c~= fl = 7 = 1 in die gew6hnliche H i g m a n - G r u p p e H={a,b,c]b-laba-2=c

lbcb-Z=a-lcac-2=l}=E

tibergeht (siehe [2]). Wir beweisen ftir die verallgemeinerte H i g m a n - G r u p p e H a , B, ym.n= ,r { a , b , c ] b - ~ a b = a

- m = c - ~ b c B b - ~ = a - YcaYc - r = 1}

den Satz, dab die E r z e u g e n d e n a, b, c e n d f i c h e O r d n u n g haben, welcher ftir m = n = r = 2 und o~= fl = ), = 1 wieder zur obigen H i g m a n - G r u p p e ftihrt. § 1) EINE 3-ERZEUGTE GRUPPE m, n, r Wir betrachten in diesem P a r a g r a p h e n die G r u p p e Ha,~,y = {a, b , c } mit den drei Erzeugenden a, b, c u n d den drei Relationen

(1)

b-aaba=am

(2)

c ~bc ~ = b n

(3)

a - Y e a y = Cr

und sechs P a r a m e t e r n a, fl, 7_>__1, sowie m, n, r > 2. Es gilt der Satz 153

THEOREM l. In der Gruppe H~'~'; mit den Relationen (1), (2), (3) haben die Erzeugenden a, b, c endliche Ordnung (siehe (14), (15), (16)) ffir alle a, fl, y _>1 und m , n , r > _ 2 und es gilt die Relation (II). BEWEIS. Aus (1) folgt b - a a - Y b ~ = a (4)

-my,

also

a - Ybaa ~ = b a. a - ( m - 1)y,

und ebenso b - n a . a r . b n a - - a y ' m n , also (5)

a-Y.bng.ar

=A =b~a.a -y(m"-l).

Wir setzen k = r m - r, s = m n - m = m ( m n - ~ - 1). Aus (2) folgt (6)

c-•k. b. c/~k= b nk.

Wir wenden die Transformation x ~ a - Y x a Y

auf (2) an und erhalten

( a - YcaY) p. ( a - ~ b ~ a Y ) ( a - YcaY)/~ = A = a - Yb~na y,

also (I)

c-r~.baa-(m-1)y.cr~=A

nach (4) oder ( c - rPbu cr#)( c - rPa - (m - l )Y crfl ) = A ,

also b a n r . Cfl(rm - r ) . a - (m -

1)y =

A

d.h. (IIa)

c~(rm-r)=b-anr'A

.a(m-1)~=b-a(nr-n)'a

-y(mn-m)

nach (5) und somit die Relation (II)

a~,(mn - m ) . btr(n r - n ) . ¢ p ( r m - r) = 1 ,

Setzt man (IIa) in (6) ein, so ergibt sich ay(mn -

m) . bCt(nr - n) . b . b - a(nr- n) . a - y(mn- m) = b nk,

also (7)

a ~s. b . a - ys = b nk

oder (8)

b = a

~s. b . k . ayS.

Mittels (1) folgt aber b -~. a (ran- ~- 1)y.b ~ = ayS, also aus (8) (9)

b=b-a.a

-(mn

I-1)~'.bC~.bnk.b-C~.a(mn-~-l)~'.ba

oder (10) 154

b~=a

(mn

l-1)Y'bank'gl(mn-l-l)Y

und damit (11)

b - a a ( m n - l - 1 ) y ' b a = b C ~ ( n k - l ) ' a (mn-I-1)y

und daher wegen der Relation b - ~- a (m"- 1_ a)y. b a = ayS (12)

B=ba(nk-1)=a

(m-1)(mn-l-1)7

Nach (1) folgt aus (12) (13)

b - aB b c~= B

= a (m - 1 ) ( m n - I _ 1)? - a ( m -

1)(m n - m)7,

also (14)

17(m _ 1)2(ran - 1 _ 1)y ._~

1.

Wegen m, n, r _ 2 ist der E x p o n e n t von a ~: 0. Analog beweist m a n die F o r m e l n (15)

b(n- i)2(n,-i_ 1)~ = 1

und

(16)

C(r-l)2(rm-I-l)fl= 1,

w o m i t der Satz bewiesen ist. In den Spezialffillen a = f l = y = 1 bzw. m = n = r = 2 Aussagen LEMMA

1.

BEWEIS.

d.h. Ha, B,y=E.

Siehe [3] oder (14), (15) und (16) in (1), (2), (3) eingesetzt! 2.

LEMMA

ImFallem=n=r=2ista=b=c=l

gelten die sch~irferen

I m Falle c~= fl = y = 1 und m, n, r__>2 ist die G r u p p e H = endlich.

BEWEIS. a, b , c h a b e n endliche O r d n u n g und nach den Relationen (1), (2), (3) hat jedes E l e m e n t g ~ H die F o r m g = a X b Y c z mit x,y,z>=O, w.z.b.w. W i t betrachten weiter noch den Fall m = r = 2: Aus (16) folgt c p = 1 und d a m i t nach ( 2 ) b n - 1 = 1 , und d a m i t aus (1): a 2 n - 1 - 1 = 1 . *

§ 2) E I N E

2-ERZEUGTE

GRUPPE

Wir betrachten n u n analog zu § 1 G r u p p e n mit nur zwei Erzeugenden Ha,Bm,n = {a, b} und den zwei Relationen (1)

b - aab ~ = a m

(2)

a - Bba~ = b n.

Fiihrt m a n in (1) die T r a n s f o r m a t i o n x ~ a - ~ x a B (3)

b

- n c e . a . b na = a m =

b - C~a.b a =

* A u s c •= 1 u n d (3) f o l g t ffir fl = g e r a d e :

durch, so folgt

a m,

Cfl/2= l. 155

also (4)

11m n - m

= l.

N a c h (1) u n d (4) ist a b e r (5)

b - a . a m . - i _ 1. b a = a m n - m :

1,

also s o g a r (6)

am n

1 _ 1 = 1, sowie a n a l o g b r i m - 1 _ 1 = 1 .

THEOREM 2.

I n der G r u p p e H ~ ' ~n m i t d e n R e l a t i o n e n (1) u n d (2) h a b e n die

E r z e u g e n d e n a u n d b e n d l i c h e O r d n u n g (siehe (6)). I m F a l l e m = n = 2 gilt sch~irfer das LEMMA 3.

D i e G r u p p e H am'pn1st" i m F a l l e m = n = 2 gleich E , d . h . a = b = 1 ffir

alle a, ft. BEWEIS.

I n (6) w i r d m n" 1 _ 1 =

n m-

1 _ 1 = 1, w . z . b . w .

LITERATUR 1. Kurosch, A. - G r u p p e n t h e o r i e , D e u t s c h e [ ) b e r s e t z u n g Berlin 1953. 2. H i g m a n , G. - A finitely g e n e r a t e d infinite s i m p l e g r o u p , J. L o n d o n M a t h . Soc. 26, 61-64

(1951). 3. Fluch, W. - Ein Theorem tiber die spezielle lineare Gruppe, Proc. Kon. Ned. Akad. van Wetensch,, A 82 (2), 143-146 (1982).

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