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Fonctions PSH sur une variété presque complexe
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514 Analyse complexe/Complex Analysis
Fonctions PSH sur une variété presque complexe Fathi Haggui Département de mathématiques, faculté des sciences de Monastir, 5019 Monastir, Tunisie Reçu le 24 juin 2002 ; accepté le 25 juillet 2002 Note présentée par Jean-Pierre Demailly.
Résumé
Soit (M, J ) une variété presque complexe. Une application u : (M, J ) → [−∞, +∞[ semicontinue supérieurement est dite plurisousharmonique si u ◦ ϕ est sousharmonique, pour toute courbe pseudo-holomorphe ϕ : (, J0 ) → (M, J ). En utilisant des techniques de régularisation des courants et des développements de Taylor dans des coordonnées locales adaptées à la structure J , on démontre qu’une application u : (M, J ) → [−∞, +∞[ semicontinue supérieurement et non identiquement égale à −∞ est plurisousharmonique si et seulement si la partie de type (1, 1) de −dJ ∗ du est (semi-)positive au sens des courants. Pour citer cet article : F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Plurisubharmonic functions in almost complex manifolds Abstract
Let (M, J ) be an almost complex manifold. An upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ is said to be plurisubharmonic if u ◦ ϕ is subharmonic for every pseudoholomorphic curve: ϕ : (, J0 ) → (M, J ). By using regularization techniques for currents and Taylor series expansions in suitable coordinates with respect to the structure J , we prove that an upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ which is not identically equal to −∞ is plurisubharmonic if and only if the (1, 1)-part of −dJ ∗ du is (semi-)positive as a current. To cite this article: F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509– 514. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let (M, J ) be an almost complex manifold of dimension n. The standard complex structure on Ck is denoted by J0 . An upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ is said to be plurisubharmonic if, for every pseudo-holomorphic curve ϕ : (, J0 ) → (M, J ) defined on a disk, the composition u ◦ ϕ is a subharmonic map. We use the following trivial observation (see, e.g., Demailly [1]): for every point a ∈ M, there exists a smooth coordinate system centered at a such that ∂zj (a) = 0 for j = 1, . . . , n. We say that such a coordinate system is almost holomorphic at a. We prove: M AIN T HEOREM. – Let (M, J ) be an almost complex manifold, and let u : (M, J ) → [−∞, +∞[ be an upper semi-continuous function. If u is of class C2 we have ϕ ∗ (dJ ∗ du) = ϕ ∗ (dJ ∗ du)(1,1) = dJ0∗ d(u ◦ ϕ) Adresse e-mail : [email protected] (F. Haggui). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S 1 6 3 1 - 0 7 3 X ( 0 2 ) 0 2 5 1 8 - 9 /FLA
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for every pseudo-holomorphic curve ϕ. In general, u is plurisubharmonic if and only either u ≡ −∞ or u is locally integrable and the current (−dJ ∗ du)(1,1)) is positive. Remark 1. – In the case that (M, J ) is a complex (integrable) manifold we have dJ ∗ du = −2i∂∂u. In order to prove the main theorem, we proceed in the following way. In the first step we prove that, in a neighborhood of zero, the almost complex structure J is of the form given by Eq. (1), where bk,,m , ck,,m ∈ C. In the second step we prove the identity stated in the main theorem when the function u is of class C 2 . In the third step we compute a Taylor expansion of the Hessian of u: P ROPOSITION 0.1. – Let u be a locally integrable function on M. Then the Hermitian form Huz associated with the (1, 1)-form (−dJ ∗ du)(1,1) is given in the sense of distributions by Eq. (4) where aj,k,ν are the coefficients of the Taylor development of ∂zj in a neighborhood of 0. In the last step, we use this expansion and regularization techniques similar to those employed by Demailly [2] to prove the main theorem in the general case.
D ÉFINITION 0.2. – Soient (M, J ) une variété presque complexe et u : M → [−∞, +∞[, une fonction semi-continue supérieurement. La fonction u est dite plurisouharmonique si pour toute courbe pseudoholomorphe ϕ : (, J0 ) → (M, J ) définie sur un disque, l’application composée u ◦ ϕ est sousharmonique sur . T HEOREM 0.1. – Soit (M, J ) une variété presque complexe et soit u : M → [−∞, +∞[ une fonction semi-continue supérieurement. Si u est de classe C2 , on a ϕ ∗ (dJ ∗ du) = ϕ ∗ (dJ ∗ du)(1,1) = dJ0∗ d(u ◦ ϕ) pour toute courbe pseudo-holomorphe ϕ. En général, la fonction u est plurisousharmonique si et seulement si u ≡ −∞ ou si u est localement intégrable avec −dJ ∗ du 0 au sens des courants. Remarque 1. – Dans le cas où M est une variété complexe (i.e. la structure complexe est intégrable), on a dJ0∗ du = −2i∂∂u. Démonstration. – Soit a ∈ M, il existe un système de coordonnées locales (x1 , y1 , . . . , xn , yn ) centré au point a tel que J (0) soit la structure complexe usuelle. Soit (z1 , . . . , zn ) le système de coordonnées complexe défini par zj = xj + iyj , 1 j n. Dans ce cas on a J (∂/∂xk ) = ∂/∂yk au point z = 0. On note encore dxk et dyk les extensions C-linéaires à TC M de dxk et dyk . On pose alors ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = −i = +i , , dzk = dxk + i dyk et d¯zk = dxk − i dyk . ∂zk 2 ∂xk ∂yk ∂zk 2 ∂xk ∂yk Alors dzj (∂/∂zk ) = δj,k , d¯zj (∂/∂ z¯ k ) = δj,k , d¯zj (∂/∂zk ) = 0. On rappelle que d¯zk (u) = dzk (u). ¯ Considérons la structure complexe usuelle, J (0) = J0 = i
n j =1
dzj ⊗
∂ ∂ − d¯zj ⊗ . ∂zj ∂ z¯ j
Comme J est une section C ∞ , le développement de Taylor de J dans un voisinage de 0 s’écrit ∂ ∂ (ak,,m zm + ak,,m z¯ m ) dzk ⊗ + (bk,,m zm + bk,,m z¯ m ) dzk ⊗ J (z) = J0 + ∂z ∂ z¯ k,,m
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k,,m
Pour citer cet article : F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514
+
(ck,,m zm + ck,,m z¯ m ) d¯zk ⊗
k,,m
∂ ∂ + (dk,,m zm + dk,,m z¯ m ) d¯zk ⊗ + O |z|2 . ∂z ∂ z¯ k,,m
∂J ∂J (0)J (0) + J (0) ∂z (0) = 0, ce qui implique ak,,m = ak,,m = dk,,m = Comme J 2 = −Id, on a ∂z j j dk,,m = 0. De plus J¯ = J , donc ck,,m = b¯k,,m et ck,,m = b¯k,,m . Par conséquent, dans un voisinage de 0 on a :
J (z) = i
n ∂ ∂ ∂ dzk ⊗ + − d¯zk ⊗ (bk,,m zm + c¯k,,m z¯ m ) dzk ⊗ ∂zk ∂ z¯ k ∂ z¯ k
k,,m
+
(b¯k,,m z¯ m + ck,,m zm ) d¯zk ⊗
k,,m
∂ + O |z|2 . ∂z
(1)
Comme J (0) est la structure complexe usuelle, on voit facilement qu’on a les relations ¯ j = O |z| , ∂z
∂ z¯ j = ∂zj + O |z| et ∂ z¯ j = O |z| ,
donc dzj ∧ d¯z = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|), dzj ∧ dz = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|) et d¯zj ∧ d¯z = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|). ∂u dz + ∂∂u z . D’après Soit u : (M, J ) → [−∞, +∞[ une application de classe C 2 et du = n=1 ∂z z¯ d¯ l’équation (1) on a J ∗ (du) =
n ∂u ∗ ∂u ∗ J (dz ) + J (d¯z ) ∂z ∂ z¯ =1
=
∂u ∂u (¯zm b¯k,,m + ck,,m zm ) d¯zk + (zm bk,,m + c¯k,,m z¯ m ) dzk ∂z ∂ z¯
k,,m
+i
n ∂u k=1
∂u dzk − d¯zk ∂zk ∂ z¯ k
+ O |z|2
et dJ ∗ du = −2i
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u dzk ∧ d¯zp + i dzk ∧ dz − i d¯zk ∧ d¯z ∂zk ∂ z¯ p ∂zk ∂z ∂ z¯ k ∂ z¯ k,p
k,
k,
∂u ∂u b¯k,,m d¯zm ∧ d¯zk + + bk,,m dzm ∧ dzk ∂z ∂ z¯ k,,m
+
∂u ∂u ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| ∂z ∂ z¯
k,,m
= −2i
∂u ∂ 2u ∂u dzk ∧ d¯z + bk,,m dzm ∧ dzk b¯ k,,m d¯zm ∧ d¯zk + ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k,
k,,m
∂u ∂u + ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| ∂z ∂ z¯ k,,m = dJ ∗ du(1,1) − θ (J ∗ du) − θ¯ (J ∗ du) + O |z| ,
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où θ = k,,m bk,,m dzk ∧ dzm ∂∂z¯ est le tenseur de torsion de Nijenhuis de la structure presque complexe, et où dJ ∗ du(1,1) est la partie de bidegré (1, 1) donnée par dJ ∗ du(1,1) = 2i
∂ 2u ∂u ∂u d¯z ∧ dzk + ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| . (2) ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k,
k,,m
Soit ϕ : (, J0 ) → (M, J ) une courbe pseudo-holomorphe, on cherche à comparer i∂∂(u ◦ ϕ) et la partie de bidegré (1, 1) de ϕ ∗ (dJ ∗ du), on a : ∂ 2 u ∂ ϕ¯ ∂ϕk ∂ 2 u ∂ϕ ∂ ϕ¯ k ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂ϕ ∂ϕk = + + ∂w∂ w¯ ∂zk ∂z ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂ z¯ ∂w ∂ w¯ ∂ z¯ k ∂z ∂w ∂ w¯ k,
∂ 2 u ∂ ϕ¯ ∂ ϕ¯ k ∂u ∂ 2 ϕk ∂u ∂ 2 ϕ¯k + + . ∂ z¯ k ∂ z¯ ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂w∂ w¯ ∂ z¯ k ∂w∂ w¯ n
+
k=1
Comme ϕ est une courbe pseudo-holomorphe, alors ∂ϕ = O(|ϕ|) pour tout 1 l n et ∂ ϕ¯ = ∂ϕ + O(|ϕ|), ce qui implique que ∂u ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂u = ∂ϕ ∂ϕk + ∂∂ϕk + ∂∂ ϕ¯ k + O |ϕ| . ∂w∂ w¯ ∂ z¯ k ∂z ∂zk ∂ z¯ k n
k,
k=1
De plus dϕ ◦ i = J ◦ dϕ ; ce qui implique que ¯ k + O |ϕ|2 i(∂ϕ − ∂ϕ ) = i(∂ϕ + ∂ϕ ) + (ϕ¯m b¯k,,m + ck,,m ϕm )∂ϕk + (ϕm bk,,m + ϕ¯m b¯k,,m )∂ϕ k,,m
⇒ −2i∂ϕ =
k,m
i ϕm ck,,m ∂ϕk + O |ϕ|2 ⇒ ∂ϕ = ϕm ck,,m ∂ϕk + O |ϕ|2 , 2 ,m
i ⇒ ∂∂ϕ = ck,,m ∂ϕm ∂ϕk + O |ϕ| . 2 k,m
Comme ∂∂ ϕ¯ k = ∂∂ϕk + O(|ϕ|) = − 2i ∂∂(u ◦ ϕ) =
k,,m c¯k,,m ∂ϕ ∂ϕm
+ O(|ϕ|), alors
∂ 2u i ∂u i ∂u ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| . (3) ∂zk ∂ z¯ 2 ∂z 2 ∂ z¯ k,
k,,m
k,,m
D’autre part et d’après (2) on a : ∂ 2u ∂u ∂u ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k, k,,m 2 ∂ u i ∂u = −2i ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk ∂zk ∂ z¯ 2 ∂z k, k,,m i ∂u − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| = −2i∂∂(u ◦ ϕ) + O |ϕ| 2 ∂ z¯
ϕ ∗ (dJ ∗ du) = −2i
k,,m
en particulier au point 0 on a l’égalité −ϕ ∗ (dJ ∗ du) = 2i∂∂(u ◦ ϕ). Donc l’égalité est vérifiée point par point.
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To cite this article: F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514
On se propose maintenant de démontrer le résultat pour les fonctions semi-continues supérieurement. α α On note dans la suite α = (α1 , . . . , α2n ) ∈ N2n et z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn , zα = z1α1 · · · znαn z¯ 1 n+1 · · · z¯ n 2n et pour tout 1 p n on note δp = (0, . . . , 1, . . .) et δp¯ = δp+n (le coefficient 1 étant situé à la p-ième place pour δp et à la (p + n)-ième place pour δp¯ . Pour démontrer le résultat dans le cas général, on démontre la proposition suivante : P ROPOSITION 0.3. – Soit u : (M, J ) → [−∞, +∞[ une application semi-continue supérieurement. Le développement de Taylor du Hessien Huz associé à la (1, 1)-forme (−dJ ∗ du)(1,1) au sens des distributions est donné par 2 n ∂ 2u ∂ u ∂u ν ¯ ¯ λk λ + 2 aj,,ν z λk λj + aj,k,ν νp zν−δp λp λ¯ j Huz (λ) = ∂zk ∂ z¯ ∂zk ∂z ∂zk k, k, j,α k=1 |ν|=2 , (4) + aj,k,ν νp¯ zν−δp¯ a¯ i,p,µ z¯ µ λi λ¯ j + aj,k,ν a¯ i,p,µ zν zµ−δp λ¯ p λi |ν|=2
|ν|=1
où les aj,k,ν sont les coefficients du développement de Taylor de ∂zj au voisinage de 0. ν ¯ j (0) = 0, ce qui implique ∂z ¯ k= Démonstration. – On a ∂z |ν|1 aj,k,ν z ∂zj . Par conséquent, si ϕ est une courbe pseudo-holomorphe, on a ∂ϕk /∂ w¯ = |ν|1 aj,k,ν ϕ ν ∂ϕj /∂w. Soit u : M → [−∞, +∞[ une application de classe C 2 . Un calcul fournit 2 n ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂ϕk ∂ϕ ∂ u ∂ϕk ∂ϕ ∂u ∂ 2 ϕk = + 2 + 2 ∂w∂ w¯ ∂zk ∂ z¯ ∂w ∂w ∂zk ∂z ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂w∂ w¯ k,
= =
∂ 2u
k,
∂zk ∂ z¯
λk λ + 2
∂ 2u λk λ + 2 ∂zk ∂ z¯ k,
+
k,
∂ 2u
λk aj,,ν ϕ ν λ¯ j
+ 2
k,
∂zk ∂z
k,
∂ 2u λk aj,,ν ϕ ν λ¯ j + 2 ∂zk ∂z
n k=1
n k=1
k=1
∂u ∂ ∂zk ∂w
∂u
∂zk
aj,k,ν νp¯ ϕ ν−δp¯ a¯ i,p,µ ϕ¯ µ λi λ¯ j + aj,k,ν µp ϕ µ ai,j,µ ϕ µ−δp λi λ¯ p
aj,k,ν ϕ ν
|ν|1
aj,k,ν νp ϕ ν−δp
|ν|1
∂ϕj ∂w
∂ϕp ∂ϕj ∂w ∂w
ν=2
d’où le résultat. Essayons de démontrer le résultat dans le cas où u est semi-continue supérieurement. On reprend la méthode de convolution utilisée par Demailly dans [2]. Soit χ : R+ → R une fonction de classe C ∞ qui vérifie χ(t) > 0 si t < 1, χ(t) = 0 si t 1, χ |v|2 = 1. v∈Cn
Pour u une application Psh on définit pour ε > 0 : uε (z) =
1 ε2n
ξ ∈Tz X
u(z + ξ )χ
|ξ |2 + |J ξ |2 2ε2
dV(|ξ |2+|J ξ |2 )/2 ,
(5)
où dVg signifie l’élément de volume associé à une métrique riemannienne g. Effectuons le changement de variables ξ ∈ Cn → η ∈ Cn C-linéaire tel que |η|2 = (|ξ |2 + |J ξ |2 )/2. Comme on a |J ξ |2 =
n
(J ξ )k (J ξ )k
k=1
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=
n
|ξk |2 +
k=1
+
−ibk,,m zm ξ¯ ξ¯k − ib¯k,,m z¯ m ξ ξ¯k + ib¯k,,m z¯ m ξ ξk + ibk,,m zm ξ¯ ξk
,m
−ick,,m zm ξ ξ¯k − ic¯k,,m z¯ m ξ¯ ξ¯k + ic¯k,,m z¯ m ξ¯ ξk + ick,,m zm ξ ξk + O |z|2 , ξ 2 ,
,m
ηk = ξk −
i¯ i i i bk,,m zm ξ¯ − c¯k,,m z¯ m ξ¯ + ck,,m zm ξ + O |z|2 ξ , bk,,m z¯ m ξ + 2 2 2 2 ,m
,m
,m
,m
d’où ξk = ηk +
i¯ i i i bk,,m zm η¯ + c¯k,,m z¯ m η¯ − ck,,m zm η + O |z|2 η bk,,m z¯ m η − 2 2 2 2 ,m
,m
,m
,m
ce qui implique que |η|2 =
n
|ξk |2 −
k=1
i i i i bk,,m zm ξ¯ ξ¯k − b¯k,,m z¯ m ξ ξ¯k + b¯k,,m z¯ m ξ ξk + bk,,m zm ξ¯ ξk 2 2 2 2 k,,m
i i i i + ck,,m zm ξ ξ¯k − c¯k,,m z¯ m ξ¯ ξ¯k − c¯k,,m z¯ m ξ¯ ξk − ck,,m zm ξ¯ ξk + O |z|2 |ξ |2 , 2 2 2 2 k,,m
2 d’où uε (z) = ε12n η∈Tz M u(h(z, η))χ( |η| ) dλ(η) avec hk (z, ξ ) = zk + ξk + |α|,|β|1 ck,α,β zα ξ β où α, β ∈ ε2 N2n , ck,α,β ∈ C, à partir de l’expression de h, on remarque que ∂z (u ◦ h) = ε∂ξ (u ◦ h), de plus, modulo la formule d’intégration par partie on a pour |α| 1 et |β| 2 ; ∂u cs,α,β β¯βk zα ε|β|−1 ξ β−δ¯ −δk χ |ξ |2 dλ(ξ ) = O |z| et pour |α| 1, |β| 1; ¯ Tz M ∂ ξs ∂ 2u cs,α,β β zα ε|β|−1 ξ β−δ χ |ξ |2 dλ(ξ ) = O |z| , ¯ ∂ ξ ∂ξ Tz M s,α,β k s ce qui nous permet de conclure que pour tout λ ∈ Tz M, Huε (z)(λ) = Tz M Hu(h(z, εξ ))(λε ) + O(|z|), avec λε, = λ + s,α,β c,α,β βs zα ε|β|−1 ξ β−δs λs , ce qui implique que au voisinage de 0, Huε (z) 0, comme Huε (z) converge vers Hu(z), on conclut que Hu(z) 0. Remerciements. Je remercie les professeurs M. Blel et J.-P. Demailly pour de fructueuses discussions.
Références bibliographiques [1] J.-P. Demailly, Analytic Geometry, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr. [2] J.-P. Demailly, Regularization of closed positive currents of type (1, 1) by the flow of a Chern connection, in: H. Skoda, et al. (Eds.), Contributions to Complex Analysis and Analytic Geometry. Based on a colloquium dedicated to Pierre Dolbeault, Paris, France, June 23–26, 1992, Aspects of Math. E, Vol. 26, Vieweg, Braunschweig, 1994, pp. 105–126. [3] A. Newlander, L. Nirenberg, Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. of Math. 65 (1957) 391–404. [4] D. McDuff, D. Salamon, J -Holomorphic Curves and Quantum Cohomology, University Lecture Series, Vol. 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.
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Fonctions PSH sur une variété presque complexe Fathi Haggui Département de mathématiques, faculté des sciences de Monastir, 5019 Monastir, Tunisie Reçu le 24 juin 2002 ; accepté le 25 juillet 2002 Note présentée par Jean-Pierre Demailly.
Résumé
Soit (M, J ) une variété presque complexe. Une application u : (M, J ) → [−∞, +∞[ semicontinue supérieurement est dite plurisousharmonique si u ◦ ϕ est sousharmonique, pour toute courbe pseudo-holomorphe ϕ : (, J0 ) → (M, J ). En utilisant des techniques de régularisation des courants et des développements de Taylor dans des coordonnées locales adaptées à la structure J , on démontre qu’une application u : (M, J ) → [−∞, +∞[ semicontinue supérieurement et non identiquement égale à −∞ est plurisousharmonique si et seulement si la partie de type (1, 1) de −dJ ∗ du est (semi-)positive au sens des courants. Pour citer cet article : F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Plurisubharmonic functions in almost complex manifolds Abstract
Let (M, J ) be an almost complex manifold. An upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ is said to be plurisubharmonic if u ◦ ϕ is subharmonic for every pseudoholomorphic curve: ϕ : (, J0 ) → (M, J ). By using regularization techniques for currents and Taylor series expansions in suitable coordinates with respect to the structure J , we prove that an upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ which is not identically equal to −∞ is plurisubharmonic if and only if the (1, 1)-part of −dJ ∗ du is (semi-)positive as a current. To cite this article: F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509– 514. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let (M, J ) be an almost complex manifold of dimension n. The standard complex structure on Ck is denoted by J0 . An upper semi-continuous map u : (M, J ) → [−∞, +∞[ is said to be plurisubharmonic if, for every pseudo-holomorphic curve ϕ : (, J0 ) → (M, J ) defined on a disk, the composition u ◦ ϕ is a subharmonic map. We use the following trivial observation (see, e.g., Demailly [1]): for every point a ∈ M, there exists a smooth coordinate system centered at a such that ∂zj (a) = 0 for j = 1, . . . , n. We say that such a coordinate system is almost holomorphic at a. We prove: M AIN T HEOREM. – Let (M, J ) be an almost complex manifold, and let u : (M, J ) → [−∞, +∞[ be an upper semi-continuous function. If u is of class C2 we have ϕ ∗ (dJ ∗ du) = ϕ ∗ (dJ ∗ du)(1,1) = dJ0∗ d(u ◦ ϕ) Adresse e-mail : [email protected] (F. Haggui). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S 1 6 3 1 - 0 7 3 X ( 0 2 ) 0 2 5 1 8 - 9 /FLA
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F. Haggui / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514
for every pseudo-holomorphic curve ϕ. In general, u is plurisubharmonic if and only either u ≡ −∞ or u is locally integrable and the current (−dJ ∗ du)(1,1)) is positive. Remark 1. – In the case that (M, J ) is a complex (integrable) manifold we have dJ ∗ du = −2i∂∂u. In order to prove the main theorem, we proceed in the following way. In the first step we prove that, in a neighborhood of zero, the almost complex structure J is of the form given by Eq. (1), where bk,,m , ck,,m ∈ C. In the second step we prove the identity stated in the main theorem when the function u is of class C 2 . In the third step we compute a Taylor expansion of the Hessian of u: P ROPOSITION 0.1. – Let u be a locally integrable function on M. Then the Hermitian form Huz associated with the (1, 1)-form (−dJ ∗ du)(1,1) is given in the sense of distributions by Eq. (4) where aj,k,ν are the coefficients of the Taylor development of ∂zj in a neighborhood of 0. In the last step, we use this expansion and regularization techniques similar to those employed by Demailly [2] to prove the main theorem in the general case.
D ÉFINITION 0.2. – Soient (M, J ) une variété presque complexe et u : M → [−∞, +∞[, une fonction semi-continue supérieurement. La fonction u est dite plurisouharmonique si pour toute courbe pseudoholomorphe ϕ : (, J0 ) → (M, J ) définie sur un disque, l’application composée u ◦ ϕ est sousharmonique sur . T HEOREM 0.1. – Soit (M, J ) une variété presque complexe et soit u : M → [−∞, +∞[ une fonction semi-continue supérieurement. Si u est de classe C2 , on a ϕ ∗ (dJ ∗ du) = ϕ ∗ (dJ ∗ du)(1,1) = dJ0∗ d(u ◦ ϕ) pour toute courbe pseudo-holomorphe ϕ. En général, la fonction u est plurisousharmonique si et seulement si u ≡ −∞ ou si u est localement intégrable avec −dJ ∗ du 0 au sens des courants. Remarque 1. – Dans le cas où M est une variété complexe (i.e. la structure complexe est intégrable), on a dJ0∗ du = −2i∂∂u. Démonstration. – Soit a ∈ M, il existe un système de coordonnées locales (x1 , y1 , . . . , xn , yn ) centré au point a tel que J (0) soit la structure complexe usuelle. Soit (z1 , . . . , zn ) le système de coordonnées complexe défini par zj = xj + iyj , 1 j n. Dans ce cas on a J (∂/∂xk ) = ∂/∂yk au point z = 0. On note encore dxk et dyk les extensions C-linéaires à TC M de dxk et dyk . On pose alors ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = −i = +i , , dzk = dxk + i dyk et d¯zk = dxk − i dyk . ∂zk 2 ∂xk ∂yk ∂zk 2 ∂xk ∂yk Alors dzj (∂/∂zk ) = δj,k , d¯zj (∂/∂ z¯ k ) = δj,k , d¯zj (∂/∂zk ) = 0. On rappelle que d¯zk (u) = dzk (u). ¯ Considérons la structure complexe usuelle, J (0) = J0 = i
n j =1
dzj ⊗
∂ ∂ − d¯zj ⊗ . ∂zj ∂ z¯ j
Comme J est une section C ∞ , le développement de Taylor de J dans un voisinage de 0 s’écrit ∂ ∂ (ak,,m zm + ak,,m z¯ m ) dzk ⊗ + (bk,,m zm + bk,,m z¯ m ) dzk ⊗ J (z) = J0 + ∂z ∂ z¯ k,,m
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k,,m
Pour citer cet article : F. Haggui, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514
+
(ck,,m zm + ck,,m z¯ m ) d¯zk ⊗
k,,m
∂ ∂ + (dk,,m zm + dk,,m z¯ m ) d¯zk ⊗ + O |z|2 . ∂z ∂ z¯ k,,m
∂J ∂J (0)J (0) + J (0) ∂z (0) = 0, ce qui implique ak,,m = ak,,m = dk,,m = Comme J 2 = −Id, on a ∂z j j dk,,m = 0. De plus J¯ = J , donc ck,,m = b¯k,,m et ck,,m = b¯k,,m . Par conséquent, dans un voisinage de 0 on a :
J (z) = i
n ∂ ∂ ∂ dzk ⊗ + − d¯zk ⊗ (bk,,m zm + c¯k,,m z¯ m ) dzk ⊗ ∂zk ∂ z¯ k ∂ z¯ k
k,,m
+
(b¯k,,m z¯ m + ck,,m zm ) d¯zk ⊗
k,,m
∂ + O |z|2 . ∂z
(1)
Comme J (0) est la structure complexe usuelle, on voit facilement qu’on a les relations ¯ j = O |z| , ∂z
∂ z¯ j = ∂zj + O |z| et ∂ z¯ j = O |z| ,
donc dzj ∧ d¯z = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|), dzj ∧ dz = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|) et d¯zj ∧ d¯z = ∂zj ∧ ∂z + O(|z|). ∂u dz + ∂∂u z . D’après Soit u : (M, J ) → [−∞, +∞[ une application de classe C 2 et du = n=1 ∂z z¯ d¯ l’équation (1) on a J ∗ (du) =
n ∂u ∗ ∂u ∗ J (dz ) + J (d¯z ) ∂z ∂ z¯ =1
=
∂u ∂u (¯zm b¯k,,m + ck,,m zm ) d¯zk + (zm bk,,m + c¯k,,m z¯ m ) dzk ∂z ∂ z¯
k,,m
+i
n ∂u k=1
∂u dzk − d¯zk ∂zk ∂ z¯ k
+ O |z|2
et dJ ∗ du = −2i
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u dzk ∧ d¯zp + i dzk ∧ dz − i d¯zk ∧ d¯z ∂zk ∂ z¯ p ∂zk ∂z ∂ z¯ k ∂ z¯ k,p
k,
k,
∂u ∂u b¯k,,m d¯zm ∧ d¯zk + + bk,,m dzm ∧ dzk ∂z ∂ z¯ k,,m
+
∂u ∂u ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| ∂z ∂ z¯
k,,m
= −2i
∂u ∂ 2u ∂u dzk ∧ d¯z + bk,,m dzm ∧ dzk b¯ k,,m d¯zm ∧ d¯zk + ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k,
k,,m
∂u ∂u + ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| ∂z ∂ z¯ k,,m = dJ ∗ du(1,1) − θ (J ∗ du) − θ¯ (J ∗ du) + O |z| ,
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F. Haggui / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 509–514
où θ = k,,m bk,,m dzk ∧ dzm ∂∂z¯ est le tenseur de torsion de Nijenhuis de la structure presque complexe, et où dJ ∗ du(1,1) est la partie de bidegré (1, 1) donnée par dJ ∗ du(1,1) = 2i
∂ 2u ∂u ∂u d¯z ∧ dzk + ck,,m dzm ∧ d¯zk + c¯k,,m d¯zm ∧ dzk + O |z| . (2) ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k,
k,,m
Soit ϕ : (, J0 ) → (M, J ) une courbe pseudo-holomorphe, on cherche à comparer i∂∂(u ◦ ϕ) et la partie de bidegré (1, 1) de ϕ ∗ (dJ ∗ du), on a : ∂ 2 u ∂ ϕ¯ ∂ϕk ∂ 2 u ∂ϕ ∂ ϕ¯ k ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂ϕ ∂ϕk = + + ∂w∂ w¯ ∂zk ∂z ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂ z¯ ∂w ∂ w¯ ∂ z¯ k ∂z ∂w ∂ w¯ k,
∂ 2 u ∂ ϕ¯ ∂ ϕ¯ k ∂u ∂ 2 ϕk ∂u ∂ 2 ϕ¯k + + . ∂ z¯ k ∂ z¯ ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂w∂ w¯ ∂ z¯ k ∂w∂ w¯ n
+
k=1
Comme ϕ est une courbe pseudo-holomorphe, alors ∂ϕ = O(|ϕ|) pour tout 1 l n et ∂ ϕ¯ = ∂ϕ + O(|ϕ|), ce qui implique que ∂u ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂u = ∂ϕ ∂ϕk + ∂∂ϕk + ∂∂ ϕ¯ k + O |ϕ| . ∂w∂ w¯ ∂ z¯ k ∂z ∂zk ∂ z¯ k n
k,
k=1
De plus dϕ ◦ i = J ◦ dϕ ; ce qui implique que ¯ k + O |ϕ|2 i(∂ϕ − ∂ϕ ) = i(∂ϕ + ∂ϕ ) + (ϕ¯m b¯k,,m + ck,,m ϕm )∂ϕk + (ϕm bk,,m + ϕ¯m b¯k,,m )∂ϕ k,,m
⇒ −2i∂ϕ =
k,m
i ϕm ck,,m ∂ϕk + O |ϕ|2 ⇒ ∂ϕ = ϕm ck,,m ∂ϕk + O |ϕ|2 , 2 ,m
i ⇒ ∂∂ϕ = ck,,m ∂ϕm ∂ϕk + O |ϕ| . 2 k,m
Comme ∂∂ ϕ¯ k = ∂∂ϕk + O(|ϕ|) = − 2i ∂∂(u ◦ ϕ) =
k,,m c¯k,,m ∂ϕ ∂ϕm
+ O(|ϕ|), alors
∂ 2u i ∂u i ∂u ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| . (3) ∂zk ∂ z¯ 2 ∂z 2 ∂ z¯ k,
k,,m
k,,m
D’autre part et d’après (2) on a : ∂ 2u ∂u ∂u ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| ∂zk ∂ z¯ ∂z ∂ z¯ k, k,,m 2 ∂ u i ∂u = −2i ∂ϕ ∂ϕk + ck,,m ∂ϕm ∂ϕk ∂zk ∂ z¯ 2 ∂z k, k,,m i ∂u − c¯k,,m ∂ϕk ∂ϕm + O |ϕ| = −2i∂∂(u ◦ ϕ) + O |ϕ| 2 ∂ z¯
ϕ ∗ (dJ ∗ du) = −2i
k,,m
en particulier au point 0 on a l’égalité −ϕ ∗ (dJ ∗ du) = 2i∂∂(u ◦ ϕ). Donc l’égalité est vérifiée point par point.
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On se propose maintenant de démontrer le résultat pour les fonctions semi-continues supérieurement. α α On note dans la suite α = (α1 , . . . , α2n ) ∈ N2n et z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn , zα = z1α1 · · · znαn z¯ 1 n+1 · · · z¯ n 2n et pour tout 1 p n on note δp = (0, . . . , 1, . . .) et δp¯ = δp+n (le coefficient 1 étant situé à la p-ième place pour δp et à la (p + n)-ième place pour δp¯ . Pour démontrer le résultat dans le cas général, on démontre la proposition suivante : P ROPOSITION 0.3. – Soit u : (M, J ) → [−∞, +∞[ une application semi-continue supérieurement. Le développement de Taylor du Hessien Huz associé à la (1, 1)-forme (−dJ ∗ du)(1,1) au sens des distributions est donné par 2 n ∂ 2u ∂ u ∂u ν ¯ ¯ λk λ + 2 aj,,ν z λk λj + aj,k,ν νp zν−δp λp λ¯ j Huz (λ) = ∂zk ∂ z¯ ∂zk ∂z ∂zk k, k, j,α k=1 |ν|=2 , (4) + aj,k,ν νp¯ zν−δp¯ a¯ i,p,µ z¯ µ λi λ¯ j + aj,k,ν a¯ i,p,µ zν zµ−δp λ¯ p λi |ν|=2
|ν|=1
où les aj,k,ν sont les coefficients du développement de Taylor de ∂zj au voisinage de 0. ν ¯ j (0) = 0, ce qui implique ∂z ¯ k= Démonstration. – On a ∂z |ν|1 aj,k,ν z ∂zj . Par conséquent, si ϕ est une courbe pseudo-holomorphe, on a ∂ϕk /∂ w¯ = |ν|1 aj,k,ν ϕ ν ∂ϕj /∂w. Soit u : M → [−∞, +∞[ une application de classe C 2 . Un calcul fournit 2 n ∂ 2 (u ◦ ϕ) ∂ 2 u ∂ϕk ∂ϕ ∂ u ∂ϕk ∂ϕ ∂u ∂ 2 ϕk = + 2 + 2 ∂w∂ w¯ ∂zk ∂ z¯ ∂w ∂w ∂zk ∂z ∂w ∂ w¯ ∂zk ∂w∂ w¯ k,
= =
∂ 2u
k,
∂zk ∂ z¯
λk λ + 2
∂ 2u λk λ + 2 ∂zk ∂ z¯ k,
+
k,
∂ 2u
λk aj,,ν ϕ ν λ¯ j
+ 2
k,
∂zk ∂z
k,
∂ 2u λk aj,,ν ϕ ν λ¯ j + 2 ∂zk ∂z
n k=1
n k=1
k=1
∂u ∂ ∂zk ∂w
∂u
∂zk
aj,k,ν νp¯ ϕ ν−δp¯ a¯ i,p,µ ϕ¯ µ λi λ¯ j + aj,k,ν µp ϕ µ ai,j,µ ϕ µ−δp λi λ¯ p
aj,k,ν ϕ ν
|ν|1
aj,k,ν νp ϕ ν−δp
|ν|1
∂ϕj ∂w
∂ϕp ∂ϕj ∂w ∂w
ν=2
d’où le résultat. Essayons de démontrer le résultat dans le cas où u est semi-continue supérieurement. On reprend la méthode de convolution utilisée par Demailly dans [2]. Soit χ : R+ → R une fonction de classe C ∞ qui vérifie χ(t) > 0 si t < 1, χ(t) = 0 si t 1, χ |v|2 = 1. v∈Cn
Pour u une application Psh on définit pour ε > 0 : uε (z) =
1 ε2n
ξ ∈Tz X
u(z + ξ )χ
|ξ |2 + |J ξ |2 2ε2
dV(|ξ |2+|J ξ |2 )/2 ,
(5)
où dVg signifie l’élément de volume associé à une métrique riemannienne g. Effectuons le changement de variables ξ ∈ Cn → η ∈ Cn C-linéaire tel que |η|2 = (|ξ |2 + |J ξ |2 )/2. Comme on a |J ξ |2 =
n
(J ξ )k (J ξ )k
k=1
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=
n
|ξk |2 +
k=1
+
−ibk,,m zm ξ¯ ξ¯k − ib¯k,,m z¯ m ξ ξ¯k + ib¯k,,m z¯ m ξ ξk + ibk,,m zm ξ¯ ξk
,m
−ick,,m zm ξ ξ¯k − ic¯k,,m z¯ m ξ¯ ξ¯k + ic¯k,,m z¯ m ξ¯ ξk + ick,,m zm ξ ξk + O |z|2 , ξ 2 ,
,m
ηk = ξk −
i¯ i i i bk,,m zm ξ¯ − c¯k,,m z¯ m ξ¯ + ck,,m zm ξ + O |z|2 ξ , bk,,m z¯ m ξ + 2 2 2 2 ,m
,m
,m
,m
d’où ξk = ηk +
i¯ i i i bk,,m zm η¯ + c¯k,,m z¯ m η¯ − ck,,m zm η + O |z|2 η bk,,m z¯ m η − 2 2 2 2 ,m
,m
,m
,m
ce qui implique que |η|2 =
n
|ξk |2 −
k=1
i i i i bk,,m zm ξ¯ ξ¯k − b¯k,,m z¯ m ξ ξ¯k + b¯k,,m z¯ m ξ ξk + bk,,m zm ξ¯ ξk 2 2 2 2 k,,m
i i i i + ck,,m zm ξ ξ¯k − c¯k,,m z¯ m ξ¯ ξ¯k − c¯k,,m z¯ m ξ¯ ξk − ck,,m zm ξ¯ ξk + O |z|2 |ξ |2 , 2 2 2 2 k,,m
2 d’où uε (z) = ε12n η∈Tz M u(h(z, η))χ( |η| ) dλ(η) avec hk (z, ξ ) = zk + ξk + |α|,|β|1 ck,α,β zα ξ β où α, β ∈ ε2 N2n , ck,α,β ∈ C, à partir de l’expression de h, on remarque que ∂z (u ◦ h) = ε∂ξ (u ◦ h), de plus, modulo la formule d’intégration par partie on a pour |α| 1 et |β| 2 ; ∂u cs,α,β β¯βk zα ε|β|−1 ξ β−δ¯ −δk χ |ξ |2 dλ(ξ ) = O |z| et pour |α| 1, |β| 1; ¯ Tz M ∂ ξs ∂ 2u cs,α,β β zα ε|β|−1 ξ β−δ χ |ξ |2 dλ(ξ ) = O |z| , ¯ ∂ ξ ∂ξ Tz M s,α,β k s ce qui nous permet de conclure que pour tout λ ∈ Tz M, Huε (z)(λ) = Tz M Hu(h(z, εξ ))(λε ) + O(|z|), avec λε, = λ + s,α,β c,α,β βs zα ε|β|−1 ξ β−δs λs , ce qui implique que au voisinage de 0, Huε (z) 0, comme Huε (z) converge vers Hu(z), on conclut que Hu(z) 0. Remerciements. Je remercie les professeurs M. Blel et J.-P. Demailly pour de fructueuses discussions.
Références bibliographiques [1] J.-P. Demailly, Analytic Geometry, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr. [2] J.-P. Demailly, Regularization of closed positive currents of type (1, 1) by the flow of a Chern connection, in: H. Skoda, et al. (Eds.), Contributions to Complex Analysis and Analytic Geometry. Based on a colloquium dedicated to Pierre Dolbeault, Paris, France, June 23–26, 1992, Aspects of Math. E, Vol. 26, Vieweg, Braunschweig, 1994, pp. 105–126. [3] A. Newlander, L. Nirenberg, Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. of Math. 65 (1957) 391–404. [4] D. McDuff, D. Salamon, J -Holomorphic Curves and Quantum Cohomology, University Lecture Series, Vol. 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.
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