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Identification d’un processus gaussien multifractionnaire avec des ruptures sur la fonction d’échelle
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Identification d 'un processus gaussien multifractionnaire avec des ruptures sur Ia fonction d' echelIe Albert BENASSI ., Pierre BERTRAND ., Serge COllEN
b,
Jacques ISTAS
e
• Universite Blaise-Pascal (Clermont-Ferrand II), 63177 Aubiere cedex, France b Departement de !"athematiques, hatiment Fermat, Universite de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines, 45, avenue des Etats-Unis, 78035 Versailles, France e Departement IMSS, BSIIM, Universite Pierre-Mendes-France, 38000 Grenohle, France (Rec u Ie 22 janvier 1999, accepte apres revision Ie 23 juin 1999)
Resume.
Nous proposons un modele de processus stochastique gaussien multifractionnaire a trajectoires continues, mais dont la fonction d'echelle presente des discontinuites, i.e. une fonction d'echelle constante par morceaux (SFBM: «Step Fractional Brownian Motion »). Ceci permet de modeliser des phenomenes, a trajectoires continues, comportant des changements abrupts de nature acertains moments. Nous construisons Ie modele theorique, puis nous proposons un estimateur de Ia fonction d' echelle du processus en detectant les instants de rupture et en estimant les valeurs de la fonction d' echelle entre les instants de rupture. © 1999 Academie des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Identification ofa multlfractionalGaussian process with a piece-wise constant scale function
Abstract.
We propose a Gaussian multifractional process with continuous paths, but with a piecewise constant scale function. We call it Step Fractional Brownian Motion (SFBM). Therefore. we get a model to describe phenomenon with continuous paths and abrupt changes in their nature at some times. First, we build our model and then we propose an estimatorofthe scale function. by detecting the change timesa ndestimating the values of the scale function between these change times.© 1999 Academie des ScienceslEditions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Abridged English Version Introduction We propose a stochastic process of second order with continuous paths but with abrupt change in their nature at some times, called change times. Our purpose is to identify the change times and the nature of the changes. This note is twofold. First, we build our model (Section 1), then we precise the identification of the parameter for this model (Section 2). Note presentee par Yves MEYER. 0764-4442199/03290435 © 1999 Academic des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS. Tous droits reserves
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A. Benassi et al,
1. The model The fractional Brownian motion (BH(t), t E R) has been introduced by Mandelbrot and Van Ness [10], the Hurst parameter II measures the long range correlation. We have the following harmonic representation
r (e 1) BH(t) = JR 1€IH+1/2 W(de) , it
{ -
(1)
where W(de) is a Gaussian white noise and W(de) its Fourier transform. In (1). the parameter H is constant, but for modelization the multifractional Brownian motion has been introduced by LevyVehel and Peltier [12] and Benassi et al. [3]. This model, in the moving average representation, was called multifractional Brownian motion by Levy-Vehel and Peltier. In [3], the multi fractional Brownian motion is still defined by (1), but the scale parameter H is replaced by a Holder continuous function !L(t) with values in ]0,1[. We identify the scale function h( . ), under some regularity and technical assumption (see [5], Th. 1, p. 342) . However. this model could not describe the apparently simple case of abrupt change on the scale function without abrupt change on the process. If h( .) is a step function with a discontinuity at time to, then the process defined by (I) is a.s. non-continuous at to; moreover, the estimation procedure given in [5] does not work. Therefore, we have to proceed another way. We use a modification of the wavelet decomposition of multi fractional Brownian motion ([3], fonnule (44), p. 4I). Let cp et ?/J be the «father» and «mother» of the Lemarie-Meyer wavelet basis (see French version for more details) and «p~(x,
r (elel
Y) = JR
i
" { -
1) -;:::
h (y )+ l / 2
?/J~(e)
de
we have the following wavelet representation of the
multi fractional Brownian motion (MFBM), Bh(t) =
E
«p~(t,
t) (~.
where (~,
A E A+ is a family
~EA+
=
of independent Gaussian r.v, Since the functions «p~(t , t) are localized in vicinity of t A, we replace ~(t , t) by «p~(t , A) in the definition of Step Multifractional Brownian Motion (SFBM). DEFINITION OF STEP MULTIFRACfIONAL BROWNIEN MOTION (SFBM). - Let h(·) a function verifying (A I) (see French version), ~ defined by (2) and (~, -\ E A + a family of Gaussian standard r.v., we define the Step Multifractional Brownian Motion associated to the scale function h( .) by
Qh(t)
= E »,«, -\) «. ~EA+
To each scale function we associate an unique Gaussian process, and in the case of a constant function, i.e. h(y) = II, VY E R, we obtain the classical Fractional Brownian Motion of Hurst parameter H. Moreover, we have the following continuity result: THEOREM 1. - Let Qh be a SFBM of scale function h(.) satisfying (AI) with H* i = 0, ... , N}; then Qh E Ck,c(R) a.s. for every Q E [0, H*[.
= min{Hi ,
2. Identification of the step scale function We observe one sample path of the process Qh(t) at the discrete times tt = lin for I E Z and we want to identify the associate step scale function h(·), that is the parameter eo = (a1, ... , aN ; Ho , .",lIN ). Let Vn(s,t) be the generalized quadratic variation, as in [5], a.s. To detect Remark 1. p. 343, we have lim 21 / I) In(Vn(s, t» = inf{h(u), 'U E]s, n-+ oo n n
tn
jump times we consider the difference between the estimation of the parameter on the right box In(Vn(s, t» and and the left box of size A (see [7]). We define the function fn(s, t) = -21~(n) Dn(A, t) = fn(t, t + A) - fn(t - A , t). Let Vo = . min lai+1 - ad and 8i = Hi - Hi- 1 ; then. for 1=1, ...,N -1
436
Le mouvement brownien multifractionnaire par morceaux
every A < vo, we have lim Dn(A, s) n--oo
= Doo(A, s)
i such that 6, >0
a.s. The limit function Doo(A, t) is given by:
i such that 6, <0
Since A < lIO. the different jumps appear separately on Doo(A, s) and correspond to a crenel of size A at the right of a positive jump at time ai and at the left of a negative jump. From this property, we . . en (~(n) bI deduce a consistent estimator a l , .. . , ~(n a K n ) j l~I 0(n) , .• . , l~I(n»)K n 0 f0,e as state e ow.
=
THEOREM 2. - Let Qh be a SMFBMassociate to the scale function h(·) satisfying (AI), assume that eo a.s. A < lIo and 1] E]bo/2 , 150 [. then lim en
n--+ oo
=
Introduction Dans cette Note, nous proposons un processus stochastique du second ordre a trajectoires continues, permettant de modeliser des phenomenes comportant des changements abrupts de leur nature acertains instants. Nous appelons ces instants, instants de rupture. Notre but est d'identifier les instants de ruptures et de determiner la nature des ruptures. Cette Note s'articule en deux temps. Tout d'abord, nous construisons le modele theorique (section 1), puis nous precisons I'identification des parametres du modele (section 2). La section 3 contient une indication des demonstrations. Notre modele (qui sera precise dans la section I) est une modification du mouvement brownien multifractionnaire introduit simultanement par [3], [12], it presente des ruptures sur la fonction d'echelle. La detection et I'estimation d'une ou plusieurs ruptures sur les parametres de la loi d'une suite d'observations est un domaine important des statistiques (cf. par exemple les deux ouvrages recents [2] et [8]). En general, on observe une suite (Xi pour i 1, .. . , n) de v.a. independantes (ou faiblement dependantes) de moyenne JLi et d'ecart-type ai. On peut s'interesser a la detection des ruptures sur la moyenne ou sur la variance. L'etude de suites fortement dependantes en est encore a ses debuts, ainsi [8], ch. 4.3. proposent une methode de detection d'une seule rupture sur la moyenne d'une suite de v.a. fortement correlees, Notre objet est different. Notre processus brownien multifractionnaire par morceaux (SFBM) est a trajectoires continues , les observations (Yi)i=I..... n correspondent aux accroissements de ce processus. Ces variables sont correlees et les ruptures portent sur le degre de cette correlation. 11 s'agit dans cette Note de detection a posteriori de ruptures. pour un processus scalaire.
=
1. Description du modele Pour commencer, rappelons la definition du mouvement brownien multifractionnaire, done sans rupture
1.1. Rappels sur Ie mouvement brownien multifractionnaire Le mouvement brownien fractionnaire a ete introduit par [10] pour modeliser des phenomenes presentant des correlations a longue portee. On le note (BH(t), t E R), le parametre II etant le facteur d'echelle. On a la representation harmonisable suivante :
BH(t) =
[ (ei t € - 1) --
in
1~IH+l/2
W(d~)
,
(1)
ou W(d~) est le bruit blanc gaussien et W(d~) sa transformee de Fourier au sens des distributions. Plusieurs methodes existent pour identifier le facteur d'echelle II d'un processus brownien fractionnaire
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A. Benassi et al, (voir par exemple [6], [9]). Dans Ie modele precedent, Ie facteur d'echelle H est constant. Cependant,
pour des raisons theoriques et de modelisation, Ie mouvement brownien multifractlonnaire (MFBM) a ete introduit par Levy-Vehel et Peltier [12] en dimension 1 et par Benassi, Jaffard et Roux [3] en dimension finie quelconque. Ce processus, defini a partir d'une generalisation de la representation « moyenne mobile » du brownien fractionnaire, a ere appele mouvement brownien multifractionnaire par Levy-Vehel et Peltier. Dans [3J, Definition lA, p. 41, Ie mouvement brownien multifractionnaire scalaire est defini 1 par (1), mais avec un facteur d'echelle H qui est desormais remplace par une fonction h(t) holderienne a valeurs dans lO,I[. Sous des hypotheses supplementaires de regularite, (h( . ) E Cl plus une hypothese technique), on peut identifier la fonction d'echelle h(.) (cf. [5], Theorem I, p. 342). Le principal defaut de ce modele est de ne pas pouvoir decrire Ie cas apparemment simple d'un processus continu avec une fonction d'echelle presentant des discontinuites, par exemple h( .) constante par morceaux. En effet, si on injecte dans (1) une fonction avec une discontinuite a t'instant to alors : I) Bh(t) est, presque surement, discontinue en to ; 2) la methode d'estimation de h( .) decrite dans [5] ne fonctionne pas.
1.2. Definition du mouvement brownien multifractionnaire par morceaux (SFBM) Ceci nous conduit a definir differement Ie mouvement brownien multifractionnaire par morceaux. On utilise alors la decomposition sur une base d'ondelette de Lemarie-Meyer du mouvement brownien multifractionnaire (MFBM) qui a ete introduite dans [3] pour etudier la regularite. Rappelons brievement, les definitions des bases d'ondelettes (voir [II] pour plus de details). Soient ep et 1/;, respectivement, Ie « pere » et la « mere» de l'analyse multi-resolution de Lemarie-Meyer, on note 1/;>.(x) = 21 / 21/;(2i x - k) pour>. E A avec A := {(j, k) E Z2}, on definit egalement A+:= {(j,k) E Z2, j ~ O}. La famille {ep(. -k), k E Z} U {1/;>., >. E A+} forme une base orthonormale de L2(R), notee ¢>., >. E A+ := A+ U Z. Par abus de notation on ecrira 1/;>. au lieu de 1/;>., k 2- i = ,\ et on designera encore par A et A+ les ensembles de points dyadiques correspondants, par exemple A+ = {k2-i , pour (i,k) E A+}. Avec ces notations, on definit les fonctions
f (e'z{ - 1) -;:::
l« lelh (Y)+l / 2 1/1>. (e) de
(2)
et on obtient la representation du mouvement brownien multifractionnaire (MFBM) sur une base d'ondelette [3], formule (44), p. 41, Bh(t) = E
.(t, t) (>. avec (>., A E A+ famille de v.a, >.eA+
independantes gaussiennes centrees reduites, D'apres [3J, formule (96), p. 79, la fonction
.(t, t) est localisee au voisinage de t = A. Ceci nous conduit a remplacer
.(t, t) par
.(t, A) pour definir Ie mouvement brownien multifractionnaire par morceaux (SFBM). Nous considerons des fonctions d'echelle par morceaux h( . ) verifiant l'hypothese suivante : (AI) soient N E N*, all ... , aN une suite croissante de nombres reels et Ho , ... , HN E]O, 1[, on a h(t) =
N
E l[a ..a.+d(t) Hi, avec, par convention, ao = -00 et aN+! ::::: +00. Sans restriction
;=0
de generalite, on peut supposer
ai
¢ A, pour tout i = 1, .. . , N.
DIOANITION DU MOUVEMENT BROWNIEN MULTIFRACfIONNAlRE PAR MORCEAUX (SFBM). - Soient h( . ) une fonetion verifiant (AI),
. les fonctions donnees par (2) et (>., >. E A + une famille de v.a. independantes gaussiennes centrees reduites, on definit par : Qh(t) =
L
.(t, >.) (>.. >.eA+
Ie mouvement brownien multifractionnaire par morceaux de fonetion d'echelle h( . ).
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(3)
Le mouvement brownien multifractionnaire par morceaux
=
Dans Ie cas d'une fonction d'echelle con stante, i.e. h(y) H, 'Vy E R, la fonnule (3) correspond A un brownien fractionnaire d'indice H. On a Ie resultat suivant de continuite des trajectoires : THEOIffiME 1. - Soit Qh un processus brownien multifractionnairepar morceauxde fonction d'echelle h( . ) verifiant (AI), pour tout intervalle ouvert de I C R on a presque sarement Qh E CI:.c(R), pour tout a E [O,H*(I)[ avec H*(I) = inf{h(u), pour u E I}. Remarque 1. - II est possible de generaliser la definition en dimension d finie quelconque. Le theoreme 1 reste valide avec une demonstration inchangee.
2. Detection des ruptures et identification des parametres
=
On suppose disposer de I'observation du processus Qh, defini par (3), Ades instants discrets te lin pour lEI et on souhaite estimer les parametres de la fonction d'echelle h( . ), c'est-a-dire les instants de ruptures al,"" aN et les valeurs Ho,... , HN. Pour tout couple de reels (s, t) avec s < t, on definit - 2 Qh(~) + Qh( l~l)t On a : la variation quadratique generalisee : Vn(s, t) = ~ E [Qh (~) s<':'
n-+oo
t
n n
(4)
-1) In(Vn(s,t»:::: inf{h(u), u E]s,t[} p.s.
En s'inspirant de [7], on en deduit une procedure d'identification de la fonction d'echelle h( . ). L'idee consiste a faire la difference entre I'estimation du parametre sur la boite de taille fixee A a droite de I'instant t et celIe de gauche. On batit ainsi une fonction Dn(A, t) presentant (asymptotiquement) un profil caracteristique lors d'une rupture, ceci permet de batir un test de detection de rupture In(Vn(s, t», on definit la fonction et d'estimer les instants de ruptures. Posons fn(s, t) = -21~(n~ Dn(A, t) = fn(t, t + A) - fn(t - A, t). Soient lIo ::::. min ai+l - ail et Ci Hi - Hi-I; pour
=
t=I,... ,N-l
tout A
<
lim Dn(A, s) = Doo(A, s) p.s, avec
vo, on a
n-+oo
Doo(A,t) =
L
s. l[ai,a,+A)(t) +
i tel que 6. >0
L
(5)
8; l[a.-A,ai)(t).
; tel que 6. <0
Comme A < vo, les differentes ruptures interviennent separernent sur la fonction Doo(A, 8), par un creneau de largeur A a droite de I'instant de rupture a; en cas de saut positif (i.e. C; > 0), au A gauche de I'instant de rupture a; en cas de saut negatif (i.e. 8i < 0). DEFlNITION DE L'ESTIMATEUR DES PARAMID-RES DE LA FONCTION D'ECHELLE. - On suppose connu un minorant de la taille des sauts et un minorant de la distance entre deux sauts, i.e. T}o ~ 80 = min 10;1et A o S vo, alors pour tout seuil 11 S 110 et toute taille de fenetre A SAo, on definit
;=I,...,N-I
71 =.!.n min {I E I, n
)
puis, si
71n) <
~n) =!n
+00,
max{l E
Ti~i
I,
tel que Dn(A,lln) ~
1J}
avec Tin) =
+00
si Dn(A, lin)
= ~ min {I E I, tel que lin ~ Tt) + A et Dn{A,lln) ~ tel que Dn(A, lin) S -11} avec
~n) = -00
< T},
Vi E Z;
T}} ; de meme
si Dn(A,lln) >
-Tl,
VI E
z,
puis, si ~~1 > -00, ~~l = ~ max {I E Z, tel que kin S T~) - A et Dn{A, lin) S -Tl}. . . . Ies f amI'11es (~(n)T ' i=l,... L On 0 btrent amSI , n)et (~n)C;m , m = 1,... , M n) , avec T.....(n) L +00 l n et ~~ = -00 ; puis on definit (a~n), ... ,ak:») en triant dans I'ordre croissant les deux families
=
439
A. Benassi et al, precedantes pour i = 1, ... , L n - 1 et m = 1, ... , Aln - 1. On estime les valeurs de la fonction d'echelle h(·) par fl~") = In (a~n) - lOA, a~n) - SA}, fit) == In (a~n) + SA, a~n) + lOA} et
il!n) == In(ai n) + A/3, a~~)l
- A/3} pour t == 1, ... ,1\;10 - 1. On a Ie resultat suivant de consistance pour notre estimateur de la fonction h( . ).
Tlll'iORtME 2. - Soit Qh un processus brownien multifractionnaire par morceaux de fonction == 8 0 p.s. avec d'echelle h( .) verifiant (AI). si de plus A < Vo et n E]80/2, 80 [. alors lim n-++cx:>
Bn
== (a~n),
en
... ,at:.); ilt), ... ,flt); I\;n} et 8 0 == (al, ... ,aN; IIo, ... ,IIN; N).
3. Demonstration abrcgce du theoreme 1 Pour toute fonction a(x, y) on definit sa transforrnee (A)a(x, y) == a(2i x - k, y). Par changements de variables dans Ie calcul de "'J;>. et de 4>>. (x, y), on obtient 4>>. (x, y) == 2-;h(Y) [(>')g(x,y) - (>')g(O, y)] avec !J(:I:, y)
= JR lelh('vj:1/2 ~(e) Qh(t)
de, pour tout (x, y) E R2 • On en deduit
= 2: T i W2- i [h(A)- W ] [(>')g(t , A) -
(>')g(O,A)](>..
>.eA+
La regularite en t de Qh(t) provient de celie en t des fonctions (>')g(t, A). D'apres [3], pp. 79-80, pour tout entier J( E N, iI existe une constante CK(h) > 0, telle que pour tous Xl, X2 E R, pour tout y E R,
(6) II est fondamcntal de remarquer que la variable y n'intervient plus dans la majoration (6), or Ie parametre y correspond a h(y) variable. On est ainsi rarnene au cas II constant, c'est-a-dire a un brownien fractionnaire. Ceci permet de deduire Ie theoreme I, apres divers calculs compJementaires.
o
I
II s'ugit d'une generalisation de la representation harmonisable du mouvement brownien fractionnaire.
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440