Marche aléatoire dynamique dans une scène aléatoire

C. R. Acad. Sci. ProbabilitCs/Probability

Paris,

t. 324, S&ie Theory

I, p. 231-234,

1997

Marche alhatoire dynamique dans une s&be albatoire Nadine Institut IJnivrrsit6 Campus E-mail:

GUILLOTIN de Rwherchr Mathi?maticlue dr Rmnrs, de Rrnnrs-I rt CNRS IJRA 305, clr Beaulieu, 35042 Rennrs CEDEX, France. guillotiQlrvy.univ-rennesl .fr

R&urn&

On considkre une Z-marche akatoire (S,,),,E~ sur plus prochesvoisins ayant des probabilitksde transitiondynamiques,dCterminCes par une fonction quasipkriodique, qui kvolue dans une sckne alkatoire <(cY), N E Z, une famille de variables altatoires Cd., indkpendantes de ka marche alkataire. Premikrement, on montre que (S,,),,EN vtrifie un thgorkme limite local et est r&xn-rente sur sa moyenne mobile.

Puis. on montreque Z,, = C:L,, <(S, ) satisfaitune loi desgrandsnombres. Dynamic

Abstract.

random

walk

in a random

scenery

In this Note, we consider u Z-random wulk (S,, )T,EN on nearest neighhours with dynamicul trunsition pmbubilities determined by u yuusiperiodic function, in a rundom scenery <((Y). CYE Z, u ,fhmily of i.i.d. mndom vuriables, independent of the rundom walk. First we pro\ae that u locul limit theorem holds,for (.TIG’,~)~,~~which is recurrent on its movin,g uveruge. Next. we show explicitly, that Z,, = XI’=,, <(S,) sutisjies u luw of large numbers.

1. Introduction

et rCsultats

Soit X,, Z E NJ, une suite de variables alkatoires indipendantes prenant les valeurs fl, soient f : Td + [O, l] une fonction 1-pkiodique en chaque variable et r, la rotation sur le tore d-dimensionnel T”, associke au vecteur cy = (ckl,. . . ,cE~), N< E R \ Q, Z = 1,. . . ,d, dktinie par x H z + (k mod 1. Pour tout i, la loi de la v.a Xi est donnCe par qx;

= +1)

= f(T:,X) = 1 - $(Xi

Note

prbsentke

par

Gilles

oa 2' E T".

0 = (Ql, . . . , (Yd)!

11, E R \ Q

= -1).

PISIER.

0764.4442/97/0324023 I % AcadCmie des ScienceslElsevier. Paris

231

N. Guillotin

On delinit

so = 0,

S, = 2

Xi

pour n 2 1

i==l

la marche aleatoire associee a la famille (Xi)iE~. De plus, soit s(o), cr E Z, une famille de variables aleatoires i.i.d. a valeurs dans R, independante de la famille (Xi&, d’esperance nulle et de variance finie positive ~7~.Ces variables aleatoires jouent le role de la scene aleatoire. Nous dtmontrons que (SnLl,N est une chaine de Markov inhomogene recurrente sur sa moyenne mobile et que 2, = &S,) i=o satisfait une loi faible des grands nombres. Lorsque (Sn)nEN est une Z”-marche altatoire standard a accroissements independants, identiquement distribues et (t(Sn))n~~ est une suite stationnaire, la loi forte des grands nombres est Cvidente par le theoreme de Birkhoff. En dimension d = 1, Kesten et Spitzer [4] ont prouvt que si X et < appartiennent aux domaines d’attraction de lois stables differentes d’indices 1 < o 5 2 et 0 < p 5 2, respectivement, alors il existe S > $ tel que n-6Z(,,tl converge faiblement lorsque n + w vers un processus autosimilaire a accroissements stationnaires, 6 ttant relic a a et /? par 6 = 1 - o-r + (@)-I. Le cas 0 < (Y < 1 et /!I arbitraire est plus facile ; ils ont montre qu’alors, n-h,Z~~~l converge faiblement, lorsque n + co, vers un processus stable d’indice ,0. Bolthausen [2] a donne une methode pour resoudre le cas plus difficile ou (I: = 1 et p = 2 et, surtout, il a prouve que lorsque (S,),,N est une Z2-marche aleatoire recurrente, (nlogn)-iZ[,t] satisfait un theoreme central limite. Pour des marches altatoires arbitraires transiantes, Z, /fi est asymptotiquement normal [ 131. Dans cette Note, nous &tendons les resultats de [4] et [2] en considerant des marches aleatoires a accroissements non identiquement distributs. Nos principaux resultats sont reunis dans les theoremes suivants. On utilise la notation Q, ‘v 13, pour urL, b, > 0 si lim,,, f = 1. Soit (Y un irrationnel. On note 0 = [o] + [ur, . . , n,, . .] le developpement en fraction continue de o. 1. - Soient f : T1 + [0, l] unefonction l-pe’riodique a variation bornee, Ji f(x)dx = 3 et a, = Jo14f(x)( 1 - f(x))dx > 0. Alors pour tout x E [O, 1[ et pour tout irrationnel a tel que I’inegalite’ a, < 7n1+’ (02 E > 0), soit THBORBME

satisfaite pour

tout

rn a partir

d’un certain rang,

1. P(&!& = 0) - (a7rn,-+ et (S 71),nE~ est une chai’ne de Markov recurrente sur sa moyenne mobile. 2. 2-n -5 0. L’en”semble des irrationnels qui satisfont l’hypothese est de mesure pleine (voir [5]). Le cas a = 0 qui correspond a la situation ou f = 0 ou 1 presque partout est exclu et doit &tre trait6 de mar&e differente. THCORBME 2. - Soit f : Bd -+ [0, l] une fonction I-periodique en chaque variable. Supposons que f est a variation born&e duns le sens de Hardy et Krause, JTd f(x)dx = i et a = $c,f41i~:)(l - f(.x))dx > 0.. Alors, pour tout x E Td, pour tout cy = (al,. . ,(Y~),Q~ E W \ Q . . ~act lmeatrement mdependants sur Q, et de type 17tel que 1 5 77< 1 + i, l.l$(Ssli = 0) N (Ann)-+ et (S n ) Ned est une chaine de Markov recurrente sur sa moyenne mobile.

2. LII 5 0. Les definitions dune fonction a variation bomee dans le sens de Hardy et Krause et du type d’un vecteur a = (~1,. . . , ad) d’irrationnels sont donnees dans le livre de Osgood [9] sur les approximations diophantiennes et leurs applications, 232

Marche

albatoire

dynamique

dans une scene alkatoire

2. Esquisses des d6monstrations Les dtmonstrations compl&tes de ces r6sultats sont donntes dans [3]. La dCmonstration du 1 de chacun des thCor6mes est basCe sur un calcul classique utilisant la transformation d’inversion standard pour le calcul de P(&, = 0). En utilisant la m&ode prCsent6e dans [ 121 afin de montrer la ricurrence d’une marche alCatoire standard sur Z, on montre que (Sn)nE~ est r&urrente sur sa moyenne mobile, c’est-g-dire que Vt > 0, P(limsup{IS, 7%

- 2(2f(~iz)

- 1)1 < E}) = 1.

i=l

L’intgalid de Tchebychev et les deux lemmes suivants nous permettent de prouver la convergence en probabilit& de % vers 0. LEMME 1. - On note V, = CT’=,

l{S,=s,~. Alors,

E(K)- -n+ 2 6

et var2,

= a’E(V,).

asymptotique de Dans les calculs, il apparait nicessaire de connaitre le comportement a, uniformt5ment en 2 E Td. Ceci revient, $ Cr’l f(q$) - f et de i C;“& 4f(7$)(1 - f(~b)) en quelque sorte, B estimer la <qui sipare les marches alCatoires que nous considCrons et la marche alCatoire standard. Les deux propositions suivantes nous permettent de rt5pondre g cette question. PROPOSITION 1. - Soit f : T1 -+ [0, l] une fonction I-pe’riodique 2 variation born&. Pour tout z E [0, l[ et pour tout irrationnel ck tel que l’inkgalite’ CL, < ml+’ (oti t > 0), soit satisfaite pour tout rn ci partir d’un certain rang, 2

f(TAX) - 711’ f(x)dx

= U(log*+

n).

0

l=l

Les n%ultats de la thCorie des fractions continues [5] et 1’inCgalitC de Denjoy-Koksma permettent d’obtenir ce r&ultat.

[8] nous

PROFWITION2. - Soit f : UTd-+ [0, l] une fonction 1-pe’riodique en chaque variable, B variation bome’e dans le sens de Hardy et Krause. Pour tout x E T” et pour tout vecteur a d-dimensionnel d’irrationnels tels que 1, ~1, . . . , ad soient line’airement indkpendants sur Q, de type r} 2 1,

Cette proposition dicoule des rCsultats sur le comportement asymptotique de la discr6pance de la suite (21 + &,. . .,xd+hd), 1 = 1,2 ,... en fonction du type de (X [6] et du Workme de Hlawka-Zaremba [ 91. Remargues. - 1. La fonction f dtfinie sur Td par f(x)

= f 5

cm2(27rx;)

i=l

vCrifie les hypoth&ses des tMor&mes.

233

N.

Cuillotin

2. Schmidt [I I] a montrC que (1: = (nl,. . . , cyd), oti les a; soient des nombres algtbriques reels tels que 1, ftl,. . . CY~ soient linkairement indtpendants sur les rationnels, est de type q = 1. De plus, Baker [l] a prouvC que LY= (erl !. . . , erd), oiI ~1,. . . , rd sont des rationnels distincts non nuls, est de type r/ = 1. 3. Le thkorkme I reste vrai si au lieu de prendre une rotation sur le tore T1, on considere un homkomorphisme 4 prkservant l’orientation, de nombre de rotation irrationnel N, la mesure de Lebesgue sur le tore itant remplacCe par une mesure $-invariante (voir [8]) 4. Le thCor&me 2 est aussi v&if% pour des suites 2 faible discrkpance [lo] telles que les suites gkneralisant les suites de Halton (ou de Van der Corput en dimension 1) (voir par exemple {lo] et 171). Travail partiellement soutenu par EU grant CHRX-CT93-0411. Note remise le 26 janvier 1996. accept&e aprks rCvision le 24 mai 1996.

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p. S-25.

151 Khinchin 161 Kuipers [71 Lapeyre [Xl [9]

[ 101 11 I] 1121 [ 131

234

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