Mikroskopische theorie der Coulomb-excitonen und die rolle der nichtanalytischen und analytischen austauschwechselwirkung

Solid State Communications,Vol. 15, pp. 889—894, 1974.

Pergamon Press.

Printed in Great Britain

MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN UND DIE ROLLE DER NICHTANALYTISCHEN UND ANALYTISCHEN AUSTAUSCHWECHSELWIRKUNG von Walter Ekardt Berlin, Technische Universität (Received 2 February 1974; in revised form 13 April 1974 by E. Moliwo)

In den bisherigen Ableitungen dergelingt mikroskopischen der Coulomb13 vom Wannier-Typ es nicht, dieTheorie voile Aquivalenz Excitonen zwischen der mikroskopischen und der makroskopischen Theorie herzustellen, da die erwahnten Autoren nur von einer verkurzten Bethe—SalpeterGleichung ausgehen. Dieser Mangel wird behoben und die mikroskopische und makroskopische Rolle des analytischen und des nichanalytischen Teiles der Austauschwechselwirkung ist diskutiert.

DIE BSE für die ailgememe Teilchen-Loch-Amplitude unter Berücksichtigung des Teilchen-Loch-Anteiles und des Loch-Teilchen.Anteiles lautet unter Beruck-

(—w

+ )B~e(k)

—

~.

=

—

.

~“

JV

ie’iv’h’

—

falls man dynamische 46 Aspekte der Abschirmung you berucksichtigt: 47v(k

+ ~

je,

(wi

(w2) +

= Je’J~k’{

(

~

~ jejv,k

~ k+q k

~)+

fh(w1’~w2’;c~)~÷q

+ ~ k+ q

je

je h(w, w2w) ~

\k+q k’ 1w

‘—

1

w

‘I

k ~

)+

~+q

))B~e’(k’).

(3)

Jdwi’dw2’

h(wj w2’

(~k÷a~

~

/e’

JV

k’+q k

))

Ø~~(w ~

X ~ In (3) bedeuten die runden Kiammem Spinorprodukte zwischen den jeweiigen Doppeigruppen-Darstellungszeilen.

‘}+

JV

k +q k

+ ,i

k +q k

~w2’ij ~

~

/\ je

e~’~ + e~)A~7~,(k) =

—

~e

Aje’jv’(k

In (2) bedeutet:

~‘IIW1’~W2’I~ k k’+q)} A~”~v(k’)+

~k+q +

+ (~+q

(1)

B~~(k)~v,k+q(wI)cbj~e,k(W2).

je,jv

(

k+q k

je’jv’k’

= je~v

+

k~ q k

2~w~ Iv

Exzitonenamplitude: f~(Wl,w2)

.

h(w

1’, w2’ ~ k + q2 k je je’ \ + \/ kiv+ q iv’ k’ 1w e 1’ w2’ I k k’ + q/ + ~ (iv je [h(wi~,w

sichtigung der Austauschwechselwirkung (als Bestandteil irreduziblen Teilchen-Loch-Wechselwirkung) imder Rahmen der Leitemaherung wie foigt,

=

/

q) ~Bjv’je’(k’),

Das Potential h(w1’, w2’; w) ist in geschlossener Weise in dieser Allgemeinheit nicht angebbar; aber naturlich smd die einzelnen Matrixpositionen leicht

2

(2) 889

890

MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN

hinzuschreiben. Zum Beispiel erhalt man im Falle eines polaren Haibleiters mit einer Sorte LO-Phononen im Fröhlich-schen Kopplungsmodell für den ersten in der Gleichung (2) aufgefuhrten Term leicht den foigenden Ausdruck:

/ je

jv

I

k+q k

I

I.,

1 w2 w) ‘

‘

k +q k

+ ~C(w2’))(~V’(w2’), ~~(w2’))

—

,

—

x~ A

—

—

(‘9) In der Definitionsgleichung (9) ist Pa +g die Fouriertransformierte des Elektronendichteoperators und die

f dw1’ dw2’(Ø~(w2’),~~(w2’)H_(w1’,w2’;~IC(w1’)

Bra und Ket sind die exakten N-Elektronenzustände des wechselwirkenden Systems der Elektronen und

a ~jv

Phononen.

—

—

~

~

k+q k’+q fdWi’dw2’(øje (w1’), ~je’ (w1’))H+(w1’,w2’;~.,—

=

—

—

k+q “-‘)(øje (wi’), çb~e~(Wi))

(4)

In (4) ist H+(w1’, w2’; ~L)der bezUglich des eingetragenen Frequenzargumentes ~2in derTeilchen-Lochwechseloberen Haibebene regulare Teil der irreduziblen wirkung H(wi’, w 2’; ~) (minus der Austauschwechseiwirkung, die ja explizit aufgefUhrt ist). Dabei soil die Konvention gelten, daf~die überall regularen Teile von H zu gleichen Teile zu JJ~und zu H_ (das naturlich ganz analog definiert 1st) zugeschlagen werden. Die in (4) verwendeten Operatoren ~C(w 2)und ~IC(w1’) sind die “Hamiltonoperatoren” für die elementaren Anregungen vomPfeil Einteilchentyp und wirken nur auf die durch einen explizit gekennzeichneten Gröi~en.SchliefMich ist die Wechselwirkung H(w 1’, w2’; ~2)definiert durch:

Alie Austauschintegrale in der Gleichung (2) 3’7 werden wie der nachfoigende Term ausgewertet (auf direkte optisch erzeugte Exzitonen zugeschnittene Naherung; die k, k’-Abhangigkeit könnte man beibehaiten ohne die Durchfilhrbarkeit der Rechnung zu storen; man ginge dann erst bei der Auswertung zu “mittieren” Matrixeiementen Uber): 2 /•e jv’ _______ e \ \k+q k’ lw1 —w2’I 1k k’+ q/

x

~

1’,w2’;~l) =~

(

e~ ~ 2 c~q~2 ~_&~x (11)47re

1 —

WLO

1 + ~fl

~ +

~

—

~

(6) In der Gleichung (6) haben alle GrOQ,en ihre Ubiiche aus der Polaronentheorie bekannte Bedeutung. Die Wechselwirkung V(w 1,w2 &2) ist der “elektronische” Teil der Wechselwirkung und 1st im bequemsten durch seine Fouriertransformierte zu charakterisieren:

— —

V(k + g, k + gi; ~) = 1(k+g,k+g’;ñ)v(k+g’) 1k 1k + + g’l ~I e_ 4ire2 v(k + g’) = &21 k + g i

2

~ Ujejv(k + q , k;g) Uiv~je’(k’,k’ + q; —g) ~q4ire+ gi2

2 h2(je,Olp 4ire 1ljv,O)(jv’, Olp~l je’, 0) 2 jqj m2(e7~ O)(O 0) + ~q

H(w1’,w2’;~)= V(w1,w2’;~)+W(w1’,w2~), (5) ~W(w

~‘

1k + gl v(k+g)X 1k + g f(NOIPk +g’N, A, kXN, A, kIp_~g1 NO)

e’(k+g,k+g’;~l)

~v)

je

Ih(w

Vol. 15, No.

g

~O

+ ~

L~ejv(k+q,k;g)(J~jvje(k’,k’+q~g)X

X

4ire2 (10) ~2ig+ q12 In (10) sind die Ujej~(k+ q, k;g) etc. diewie Qblich definierten Biochintegraie und die (je,OIptIfv,O) etc. die wie ublich definierten Impulsmatrixelemente. Der erste Ausdruck in (10) ist der makroskopische Anteil der Austauschwechselwirkung, verantwortlich für die Nichtanalytizitat der Energieflache bei q 0;

(7)

der 2, Anteil ist der reine Lokaifeldanteil; er ist analytisch bei q = 0 und trennt dort die verschiedenen irreduziblen Darstellungen; er bringt selbstverständlich keine Longitudinal-Transversal-Aufspaltung.8’9

(8)

wir uns Fürdas die entsprechende weitere Behandiung Problem des ohne Problems nichtanaiytische denken

Vol. 15, No. 5

MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN

Austauschwechselwirkung gelost. Dethalb ist die folgende Schreibweise gUnstig: ~,

je’jv k’ je.iv jv je

+ K’~. —

,

1K~1.

(11)

—

2)’y.~

q* q* ~jejv~~je’jv’

[jejvk ~(k)n”

X

(je, 0 lpljv, 0) (12) m(ej~e e1 Die Matrix K dagegen enthält alie ubrigen Terme der Gleichung; zum Beispiel gilt: —

K~•, jejv je jv .(k,k’)=

—

+

K

je

k+q 2 ~ ~ 4ire

fV

—

\+

h(w 1’,w2’;w)’ je

k’I

~

—.

~ ~

~

—

d

e(k)fl7ejv}7,.zA, q L

jejVk

DasGleichungssystem (15) hat ersichtlich die folgenden Losungen: 1. Für Niveaus mit verschwindender Oszillatorstärke bzw. für transversale, optisch erlaubte Niveaus: w = (16) weilnämlich für diese Niveaus gilt: fq~ ~ ~~(k)n~ _b~*1k)n7J~)= 0

k+q ~-jvjv’~jeje’~k,k’

X

[~{ a~~(k)n7~~ ~ b7~je(k)n7ejv}X~”~ + jejvk ~z jejvk j.~ jejvk

0~)lqq I

=

jejv . — .~ . ejvk ~. dJvje (k)n14

~

1’

(15)

Xq

(w + c.$

je’jv

,

+~

~jeje”~jvjv’~k,k’

“jvje~je iv] X

jejvk

~

In der Gleichung (11) wurde definiert:

\/~Z~

jejv

Jeivk ejvk X,q ~ C7e~v(k)fl7e~jv ~ j”v’~e(k)fl7ejv}7M ~ jejvk jejvk

—

X

~~jejv —

=

v h~i~q*

—

~ a7~,(k)n7~3~’1~..— ~ b7~e(k)n7eiv}X~’~ +

X AX~‘(k’) + fl7e~’jv~27ejv’B~e’} = ~~B~7e(k). je’jv

h

w~’)~

+~

+ KJ’vje jv’je’(k, k’)Bj je’(k’) —

2V~e

~

‘(k k’)A”~.(k’) +

I. jvje je’jv

—

*~~L(~)~

jejvk

<

11jejv11je’jv je’Jv’ q Q* ,AX,c~

‘7ejv’i7e’jv’Bi~e’Q~’)}= wAJ’~7~(k),

je’JV k’

[

k’)A~’fj~’(k’) +

~

‘(k, k’)B~,~e’(k’) +

~

(w ç~

891

.

JV

lk’+q k

Jejv

/

jvje~

(17a) ~ (c7~(k)n7~—d~’ ‘k)n7~~~) = 0

jejvk

bzw.

g *0

V

jejvk

jVje~

(13)

(17b)

k+q

In (13) bedeuten die Matrizen ~Kjeje’und ~ die entsprechenden Einteilchenhamiltonoperatoren im System der Pseudoblochfunktionen,3 also zum Beispiel in der quadratischen Naherung die Kohn—LuttingerMatrizen.16 Die Losungen von (11) werden nach den Losungen von (11) ohne nichtanalytische Austauschwechselwirkung entwickelt: ~ jejv ~

~

(k)\

jvje(k)i

)~ (

q’ a7i~~(k) P

b7v~e(k)

X,q

~

(Unter Benutzung von Zeitumkehreigenschaften lälM sich leicht zeigen, daL~(17b) eine Folge von (17a) ist. 2. Für Niveaus mit f~ * 0

=~

* 0

~

f *Q~Lf~~1.L

1

folgt:

~ q

(18)

Da sich leicht zeigen läl~t: =

f_Q~Lf*_~M =

f*~fq~ (19)

Cj~jy(k)\

folgt endgUltig als mikroskopisch exakte Gleichung,

d~’~ jvje (k))

die via BSE abgeleitet worden ist: 0 = 1 ~ 2w~

(14)

—

q2

In (14) gehort die erste Spalte zu den Losungen positiver Energie o.,~> 0 und die zweite Spalte gehort zu den Losungen negativer Energie w~<0. Setzt man (14) in (11) em und benutzt für die Losungen nullter Ordnung die für sie gultigen Orthogonalitatsreiationen,5 dann halt man schlielMich:

P 0)

If

~

(20)

—

Die Gleichung (20) stimmt ersichtlich mit der makroskopischen Gleichung uberein13’10 in ihr ist der bisher aufgetretene Mangel’3 beseitigt. Wie man setht, ist dafür der Loch-Teilchen-Aspekt der allgemeinen Teilchen-Loch-Ampiitude wesentlich.

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MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN

Vol. 15, No. 5

Tabelle 1. Transversal-Longitudinal-Aufspallung von direkten Exzitonen in Zinkblendekristallen im Zentrum der BZ Kristall

e~

Po

a

—

m 99~

Ry0 [meV]

~[meV]

fc~

b meV

2220

2,71

0,24 10-2 0,21 10-2

2740

2,58

1519

5,63

0,54 0,81 0,42 0,32

0,010 0,010

1,37 1,07

0,075 0,081 0,048 0,045

8,30 9,80 4,18 3,73

1569b

0,035 0,031

2,06 1,71

810

9,2

0,26 0,17

InP

12,1k 12,29l~

0,053

4,94 4,78

1424

4,8

0,56 0,53

InAs

14,61b

0,018 0,016 0,012 0,178

1,15 1,02 0,51 37

410 240

17,6 32,5

0,16 0,11 0,08

3800

1,79

9,9

0,229 0,125 0,132 0,069 0,081 0,079

49,6 22,5 25,9 9,18 11,33 11,42

2800

2,86

2390

2,66

A1Sb

1122b

11 ,la l0,28’~ 12,5a

GaP GaAs

1283b

15,2a

GaSb

InSb

1788b

ZnS

8,1k 8,7a

ZnSe ZnTe

833b

lo,ia 986b 9,7a

0,70 0,97 0,70 1,20 2,86

exp.

02~01d

<0,3e O,6~

1,0g

1610 4,32 CdTe 1023b 0,070 9,06 1,86Formel (22). Die in der 1’s folgen nach Der Wertaufgeführten Tabelle b gibt den Aufspaltungswert Daten stammen aus des folgenden Exzitons Veroffentlichungen: is [‘5 Die Werte ns a BALDERESCHI A. and LIPARI N.C.,Phys. Rev. B3, 439 (1971). b KARTHEUSER E.,Polarons in Ionic Crystals and Polar Semiconductors p.7 17. North-Holland, Amsterdam, London (1972). C LAWAETZ P.,Phys. Rev. B4, 3460 (1971). ~ SELL D.D., DINGLE R., STOKOWSKI S.E. and DILORENZO J.V.,Phys. Rev. Lett. 27, 1644 (1971). e POLLAK F.H. and AGGARWAL R.L.,Phys. Rev. B4, 432 (1971). —

—

~ WHITE A.M., DEAN P.J., TAYLOR L.L., CLARKE R.C., ASHEN D.J. and MULLIN J.B., J. Phys. C: Solid State Phys. 5,1727(1972). g HOPFIELD J.J. and THOMAS D.G.,Phys. Rev. 132, 563 (1963). Die sonst abgeleitete mikroskopische Gleichung lautete demgegenüber:13 0

‘l

~

_______ q 2 1 ql Jefvk ~ a7e~,(k)njejvi —

(21)

Diese Gleichung ist ersichtlich nicht korrekt; sic hat ailgemein betrachtet nur Naherungscharakter.

Für die Gleichung (20) kann man die folgende Interpretation geben: Die Methode der ZweiteilchenGreensfunktion benutzt üblicherweise einen Hamiltonoperator ohne transversalesStrahlungsfeld; d.h. man kann sagen: Man benutzt den (nichtrelativistischen) Hamiltonoperator eines Systems von geladenen Teilchen plus ihr eigenesMaxwellfeld unter

Vol. 15, No. 5

MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN

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Vemachlassigung des transversalen Strahlungsfeldes.

konkreten Bandstrukturverhältnisse ([‘8-Valenz.

Da die Methode der Zweiteilchen-Greensfunktion eine Methode zur Berechnung der elementaren Anregungen liefert, mull demnach für solche Energie. niveaus, für die diese Strahlungsfeld keine RoBe spielt, weil der Kopplungsfaktor verschwindet, die Energie exakt berechnet werden kännen. Das heillt aber auch: Die durch das makroskopische longitudinale 1’ Feld bedingte Longitudinal-Transversal-Aufspaltung mull mit diesem Hamilronoperator exakt berechnet werden konnen. DalI dies tatsächlich der Fall ist zeigt die Ableitung.

bandkante und f’6.Leitungsbandkante) das folgende Resultat in StOrungstheorie erster Ordnung: [‘34~ ij: keine Beeinflussung (das ist eme exakte Aussage) b (wr~l wr~) = (22) 2 e2 1 32 Ry 16 ir h ~ f~ = -i-- —i— 0 e~110 f~ b Rv 0 (23)

Andererseits zeigt diese natürlich auch 3’11Ableitung dalI der analytische das altbekannte Resultat, Teil der Austauschwechselwirkung als mikroskopisches Feld eine derartige Aufspaltung bei q = 0 nicht bewirken kann. Er trennt nur die verschiedenen irreduziblen Darstellungen des Kristalles bei q = 0. Es gibt nun allerdings eine Reihe von Halbleitern, in denen die Verwendung der exakten Formel (20) nicht notig ist, weil bei ihnen die Wirkung des nichtanalytischen Teiles der Austauschwechselwirkung klein ist. Man kann dann zunächstversuchen, mit der vereinfachten Formel (21) bzw. mit der noch weiter vereinfachten Einniveauformel nach der Storungstheorie 1. Ordnung auszukommen:

~zo/m: Ry mittlere reduzierte Masse “nuilter” Ordnung 0 : die mit diesen Gröllen berechnete Bindungsenergie nuilter Ordnung: Das ist also die Bmdungsenergie der [‘34 5-Exzitonen vom s-Typ ohne jede Korrektur infolge anderer EinflUsse 2 2 I(sIp~IzI ~ m ~ : Bandlücke bei k = 0.

Der eben zitierte Fall tritt in einer Rethe von III—V-Verbindungen mit Zinkblende-Struktur auf, für die auch die zur numerischen Auswertung notwendigen Materialparameter recht gut bekannt sind. Das gleiche gilt für soiche Il—VI-Verbindungen die auch in Zinkblendestruktur kristallisieren. Für diese Stoffe folgt leicht bein Zugrundelegung derb

—

—~

—

— —

-~-

~

~-

In (23) bedeuten: 0 : statische DK

~

Die Auswertung der Formel (22) befindet sich in der Tabelle. Der Vergleich mit dem Experiment beruht auf der Polaritoneninterpretation der Reflexionsspektren nach Hopfield.14 Da der Wert b aufgrund der verschiedenen Angaben für die Materialkonstanten schwankt, sind jeweils zwei Werte berechnet, die den Moglichen Bereich eingrenzen sollen. Acknowledgements Herrn Prof. Dr. A. Haug vom Lehrstuhl HBerlm für Theoretische Physik der Technischen Universitat danke ich fur hilfreiche Diskussrnn.en. —

REFERENCES 1.

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2.

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3.

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KUBLERJ.,Phys. Status Solidi (b) 46, 311 (1971).

5.

ZIMMERMANN R.,Phys. Status Solidi (b)41, 23(1970).

6.

EKARDT W., to be published.

7. 8.

Bei den Entwicklungen sind die den Spinterm enthaltenden Operatoren v~wie Ublich durch k ersetzt. DENISOVM.M. and MAKJIROV V.P., Preprint, Moskau (1971).

894

9. 10.

MIKROSKOPISCHE THEORIE DER COULOMB-EXCITONEN

Vol. 15, No. 5

ZIMMERMANN R. and STOLZ H.,Phys. Status Solidi(b) 53, 315 (1972).

11.

AGRANOVICH V.M. and GINZBURG V.L., Spatial Dispersion in Crystal Optics and the Theory of Excitons, John Wiley, London (1966). PEKAR S.I., Soy. Phys. JETP 8, 360 (1958).

12.

HOPFIELDJ.J.,Phys.Rev. 112, 1555(1958).

13.

EKARDT W., to be published.

14. 15.

HOPFIELD J.J. and THOMAS D.G.,Phys. Rev. 132, 563 (1963); HOPFIELD J.J.,J. Phys. Soc. Japan 21 Suppl. 77 (1966). LAWAETZ P.,Phys. Rev. B4, 3460 (1971).

16.

Zwischen (2) und (11) denkt man sich den Ubergant von Bloch zu Pseudobloch-Funktionen durchgeführt (vgl. 3). 13 In theWannier-type previous derivations the microscopic theory of coulomb-excitons from it is notof achieved the full equivalence between microscopic and macroscopic approach because the authors cited start from a restricted Bethe—Salpeter-equation (BSE). This lack is removed and the microscopic and macroscopic role of the analytic and nonanalytic part of the exchange interaction is discussed.