Noyaux fortement surmédians et mesures de Revuz

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Sbrie I, p. 139-142, Analyse mathCmatiquelMathematical Analysis (Thkorie du potentiellPotentia/ Theory)

Noyaux Lucian

fortement

BEZNEA

a, Nicu

1998

surmhdians BOBOC

et mesures

de Revuz

h

’ Institut de math&matiques,P.O. Box l-764, 70700 Bucarest, Roumanie ” Faculti: de math&matiques,Universit& de Bucarest. str . Academiei 14, 70109Bucarest, Roumanie (ReCu le 25 mai 1998, accept6 le 8 juin 1998)

R&urn&

Nous montronsqu’il existe une correspondance entre les mesuresa-finies qui ne chargent pas les ensembles<-polaireset p-nkgligeables(resp. <-polaire, E-semipolaires) et les noyaux fortement surmkdiansrkguliers (resp. noyaux excessifs semi-rCguliers, naturels,rkguliers), oti < = p 0 li + h est une mesureexcessivepar rapport B une rCsolvanteU d’un processus droit borblien. Dans cette correspondance I’hypoth&se(B) de Hunt signifieque tout noyau excessif semi-r6guIierest nature].Ce sont des versions analytiques et des extensions, des r&ultats probabilistes obtenus par AzCma, Dellacherie-Maisonneuve-Meyer, Fitzsimmons, Getoor-Sharpe. 0 Acad&mie des Sciences/Elsevier, Paris

Strongly Abstract.

supermedian

kernels and Revuz measures

We show that there exists a corre$pondence between the cr-jinite measures charging no set that is both <-polar and p-negligible (resp. E-polar, <-semi-polar) and the regular strongly supermedian kernels (resp. semi-regular, natural, regular excessive kernels), where < = p o U + h is an excessive measure with respect to the resolvent U of a Bore1 right process. In this correspondence, hypothesis (B) qf Hunt means that any semi-regular excessive kernel is natural. These are analytic versions and improvements qf probabilistics results obtained by Aze’ma, Dellacherie-MaisonneuveMeyer, Fitzsimmons and Getoor-Sharpe. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

1. Dans toute la suite (X, f3) sera un espacemesurablelusinien et 2.4= (Ua)n>~ seraune rCsolvante propre, sous-markovienne de noyaux sur (X, f?) telle clue l’ensemble des fonctions B-mesurables,Uexcessives et finies 24-p.p., contient les fonctions constantespositives et engendre B. Nous supposons aussi que X sera semi-sature’ par rapport 6 U, c’est-A-dire que toute mesureU-excessive dominte par un potentiel est elle-m&me un potentiel. (Cette demibe propriM est Cquivalente au fait qu’il lxiste un processusdroit ayant 2.4comme rCsolvante associ&e.)Un noyau V sur X est dit fortement surmkdian (resp. excessif) si Vf est une fonction fortement surmCdiane(resp. U-excessive) pour toute f E F (3 sera l’ensemble des fonctions borCliennes positives). Si < est une mesure U-excessive sur X et s une fonction fortement surmCdiane sur X, nous designerons par L(e! s) 1e nombre positif L(<: s) := sup{p(s) 1p o U < E}. L’application (E, s) H L(<, s) g&Cralise la fonctionnelle de masse(<
par Gustave

07644442/98/03270139

CHOQUET.

0 Acadhie

des Sciences/Fkevier, Paris

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1. Beznea,

N. Boboc

est une mesure positive sur X, rapport B 0. evidemment, si [ = Un noyau fortement surmkdian [f > 0] ==+ Vf < s, pour toute

dCsignCe par v:, et nommCe souvent mesure de Revuz du V (par p o U (c’est-a-dire < est potentiel), alors nous avons v[.. = p o V. V sur X est dit rkggulier s’il est propre et si on a : V.f I s sur f E 3 et toute fonction U-excessive s.

Remarque. - Si s est une fonction fortement surmkdiane finie, alors il existe un noyau fortement surmkdian rkgulier V sur X avec Vl = s si et seulement si s est rtgulikre (c’est-h-dire R(s - s,) \ 0 pour toute suite (s,), de fonctions fortement surmtdianes telle que s,, /” s) (voir [8] et [9]). TH~ORI?ME 1.1. - Soit E = p o U + h une mesure U-excessive 03 p o U (resp. h) est sa composante potentiel (resp. harmonique). Alors : (i) un sow-ensemble borPlien M de X sera I-polaire et p-nkgligeable si et seulement si Y:. (M) = 0 pour tout noyau fortement surmkdian rkgulier V sur X; (ii) une mesure ajinie sur X est la mesure de Revuz d’un noyau fortement surmbdian rkgulier (par rapport i2 [) si et seulement si elle ne charge pas les ensembles de X qui sont <-polaires et p-nLgligeab1e.s. Si V est un tel noyau, alors pour toute f E 3, V,f est uniquement de’termine’e sauf sur un ensemble<-polaire et p-nkgligeable. Remarque. - Ce thkorkme a CtC d&montrk par AzCma [I] dans un contexte probabiliste pour le cas oti < est potentiel. Remarquons qu’un noyau propre 1~’ sera fortement surmCdian rkgulier si et seulement s’il existe une mesure akatoire k, homogkne sur [0, w) (voir [5]), telle que Vf(x)

= E”

f 0 X,k(&) pour toute f E 3. En fait, Aztma a utilisC les d-fonctionnelles au (./ > lieu des mesures%&oires homogknes. Plus tard, dans le m&mecontexte probabiliste, Fitsimmons [5] a dkmontr& le resultat dans le cas g&&al, en utilisant la technique des mesuresde Kuznetsov. Un noyau excessif V est dit semi-rkgulier s’il existe un noyau fortement surmkdian rkgulier W sur X tel que Vf = rf pour toute f E 3. (Si s est une fonction fortement surmkdiane, 2 est sa rkgulariske excessive.) Une fonction M-excessive est dite semi-rkgulidre si elle est la rCgularisCeexcessive d’une fonction fortement surmkdiane finie rkgulikre. Pour ces definitions, voir les travaux [I] et [S]. TH~OR~ME1.2. - Soit < si une mesure U-excessive. Alors : (i) un sous-ensemblebarklien A4 de X sera <-polaire si et seulement si u{-(M) = 0 pour tout noyau excessif semi-rkgulier V sur X; (ii) une mesureg-jinie sur X est la mesurede Revuz d’un noyau excessifsemi-rkgulier si et seulement si elle ne charge pas les ensembles<-polaires de X. Si V est un tel noyau, alors pour toute f E 3, Vf est uniquement dr’terminke sauf sur un ensembleI-polaire. Remarque. - Une variante probabiliste de ce thkorbme a CtC dkmontrte par DellacherieMaisonneuve-Meyer [4]. Un noyau excessif propre sera semi-rtgulier si et seulement s’il existe une mesure alkatoire k, homog?ne sur [O!‘cc) telle que Vf(:r)

= E” (s

toute f E 3.

(o ) f 0 Xtk(dt) pour > >m

COROLLAIRE 1.3. - Soient V, W deux noyaux excessifssemi-rkguliers tels que Vf 5 W f <-p.p. pour toute f E 3. Alors il existe CJE 3, 0 5 9 < 1 telle que Vf 5 W(g f) I-p.p. pour toute f E 3. 2. Un noyau excessif V sur X est dit nature1 s’il est propre et si on a RGVf ouvert de Ray G et toute f E 3 nulle en dehors de G.

= Vf,

pour tout

Remarques. - 1. Si le processusest standard et V le noyau potentiel propre d’une fonctionnelle additive A = (At)t>o,

O”f o X,dAt (.i une fonctionnelle additive naturelle (vo!r [4] et [2]).

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Vf(x)

= E”

, alors il est nature1 si et seulement si il est

Noyaux

fortement

surmkdians

2. Si V est un noyau excessif nature1 borne, alors il est uniquement U-excessive Vl. On a pour tout compact de Ray K : V(~K) = h{RGV1/G

et mesures

de Revuz

determine par la fonction ouvert de Ray, G > K}.

THEOR~ME 2.1. - Si < est une mesureU-excessive, alors les ajjirmations suivantes sont equivalentes :

(i) pour tout compact de Ray K qui n ‘estpas I-polaire, il existe unefonction U-excessive borne’es telle que t(s) > 0 et RGs = s pour tout ouvert de Ray G, G > K ; (ii) toute mesure a-finie qui ne charge pas les ensemblesI-polaires est la mesure de Revue d’un noyau excessif naturel; (iii) un sous-ensembleborelien de X sera <-polaire si et seulements’il est negligeable pour mute mesure de Revuz u{- ou V est un noyau excessif naturel. Remarque. - Si V et W sont deux noyaux excessifs naturels ayant la meme mesure de Revuz (par rapport a 0, alors en general il n’est pas vrai que V = W <-p.p. (c’est-B-dire Vf = Wf I-p.p. pour toute f E .T). PROPOSITION 2.2. - Les affirmations suivantes sont equivalentes :

(i) si V, W sont deux noyaux excessifsnaturels tels que ut7 = z&, Y{, a-jinie, alors V = W I-p.p. ; (ii) pour tout noyau excessif nature1 et borne V tel que L$. est a-firtie et toute fonction U-excessive s telle que s + Vl, il existe f E 3, 0 < f < 1 telle que s = Vf I-p.p. (c’est-a-dire V \+rije la propriete de Motoo-Mokobodzki par rapport a E). Remarque. - Si 24est la resolvante d’un processusde Hunt qui verifie l’hypothese CMF par rapport a [ (voir [l] et [4]), alors on sait que les assertionsdu theoreme 2.1 et de la proposition 2.2 sont vraies. 3. Soient < une mesure U-excessive et Y un sous-ensembleborelien de X. Nous disons que l’hypothese (B) de Hunt est satisfaite sur Y par rapport a < si pour tout sous-ensembleborelien il de Y et tout ouvert de Ray G, X > G > il, on a BGBAs = B*s I-p.p. pour toute fonction U-excessive s. Remarque. - L’hypothese (B) de Hunt est satisfaite sur X (c’est-a-dire BGBAs = B”s pour toute fonction U-excessive s, tout sous-ensembleborelien il et tout ouvert de Ray G, G 2 A) si et seulement si elle est satisfaite sur X par rapport a toute mesure U-excessive <. TH~OR~ME 3.1. - Pour toute mesureU-excessive <, il existe un ensembleborelien Y tel que X\Y semi-polaire et l’hypothdse (B) de Hunt est satisfaite sur Y par rapport a <.

est

Remarque. - Dans le cas oti < est une mesure de reference, ce resultat a CtCobtenu dans [3]. THBOR~ME 3.2. - Soient < une mesureU-excessive et Y un sous-ensembleborelien de X. Alors les

affirmations suivantes sont Pquivalentes : (i) l’hypothese (B) de Hunt est satisfaite sur Y par rapport a <; (ii) pour tout noyau excessif semi-regulier V porte’ par Y, il existe un noyau excessif nature1 W tel que V = W <-p.p. COROLLAIRE 3.3. - Les deux afirmations suivantes sont equivalentes :

(i) l’hypothtse (B) de Hunt est satisfaite sur X ; (ii) tout noyau excessif semi-regulier est naturel. TH~ORI?ME 3.4. - Soit E une mesureU-excessive telle que l’hypothese (B) de Hunt est satisfaite sur X par rapport a I. Alors les afirmations suivantes sont Pquivalentes : (i) toute fonction U-excessive born&e de type potentiel sur X est egale I-p.p. a une fonction U-excessive semi-regulidre ; (ii) tout noyau excessif nature1 est &gal <-p.p. a un noyau excessifsemi-regulier; (iii) tout noyau excessif nature1 borne v&tie la propriete de Motoo-Mokobodzki par rapport a <.

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COROLLAIRE 3.5. - S’il existe une mesure de reference et l’hypothese (B) de Hunt est satisfaite, alors les affirmations suivantes sont equivalentes : (i) les fonctions U-excessives bornees de type potentiel sur X sont semi-regulidres; (ii) tout noyau excessif nature1 borne’ verijie la proprie’te de Motoo-Mokobodzki.

4. Supposons que soit donnee une mesure U-excessive C$ telle qu’il existe une resolvante W = (Wu)n>c en dualite avec U par rapport a <, qui est propre et telle que pour tome f E 3, la fonction Wf est <-quasi-continue sur X par rapport a la topologie de Ray sur X engendree par U; alors on a : 4.1. - Tout noyau excessif nature1 ve’rifie la formule de Revue; c’est-a-dire on a our tout fonction W-excessive t. Toute mesure a-jinie sur X qui ne ut . E, v.0 = L(I: v(tf)) P charge pas les ensembles [-polaires est la mesure de Revue d’un noyau nature1 sur X qui ve’rijie la formule de Revuz. THGORBME

Remarques. - 1. La formule de Revuz obtenue generalise les resultats de [lo],

[4] et [7].

2. Si de plus l’hypothese (B) de Hunt est satisfaite sur X par rapport a <, il existe une fonction Mexcessive strictement positive potentielle et si l’ensemble des fonctions W-excessives est mini-stable et engendre la tribu borelienne de X, alors les ensembles I-polaires coincident avec les ensembles I-copolaires. Pour le reste de ce paragraphe nous supposons que la resolvante U est associee a une forme semi-Dirichlet (quasi-reguliere) (&: TD(E)) sur l’espace mesurable (X, m) de Lusin (voir [6]). THEOREME 4.2. - Pour toute mesure a-finie p sur X qui ne charge pas les ensembles m-polaires, il existe un noyau excessif regulier V sur X tel que p(f?j) = &( I/nf? g) pour tome g E D(&) et toute f E 3 telle que Volf E D(E), oti ?j est une version &-quasi-continue de g et V, est le noyau n-excessif regulier defmi par V = (I + oU)V, pour lequel il existe 9. E 3, 0 < 90 < 1, avec V,go E ID(E). De plus, tout noyau excessif regulier V, verijant les proprietes ci-dessus, est associe a une telle mesure p.

Remarques. - 1. Puisque toute fonction U-excessive s E IT(E) est m-quasi-partout fonction U-excessive reguliere, alors tout noyau excessif nature1 est Cgal m-quasi-partout regulier.

Cgale a une a un noyau

2. Nous avons p(jg) = E(Vf,g) p our toute f E 3 avec Vf E D(E) et toute 9 E D(&). Si Vl E D(E), alors ce resultat a 6tC obtenu par Fitzsimmons [6], en utilisant une technique probabiliste.

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