Oscillations sous-harmoniques dans un asservissement par plus-ou-moins

Oscillations Sous-harmoniques dans un Asservissement par Plus-ou-moins J-C. GILLE, S.

W~GRZYN

et J-G. PAQUET

Summary Conditions for the existence of nth-order sub!1armonics in an on-off control system whose linear part is of any order are established. In the case of a symmetrical relay without a dead zone use of Ramel locus of the system (instead of Tsypkin locus) immediately shows that only odd subharmonics can occur and provides a geometrical interpretation of commutation within half-period. It is thus seen that, for conventional servomechanisms, subharmonics, especially of high order, seldom appear, but the presence of backlash makes them more apt to appear; some particular types of systems easily generate subharmonics of all orders. Use of Ramel loci makes immediate generalization possible for the case in which a proportional-plus-derivative compensator is placed before the relay. Investigation of the global stability, or stability in the large, or the oscillations by direct simulation verifies these results. It shows that the border between two possible oscillations involves hysteresis, i.e., there is frequency entrainment; the part played by commutation within half-period appears as the cause of the disappearance of the higher-order subharmonic. Conditions for existence in the presence of asymmetry or of a dead zone are obtained as an extension of the Tsypkin method for determining forced oscillations from two families of loci. In the case of a non-symmetrical relay the problem is shown to be solved with one locus when the linear part of the servo system has integration or has a zero equal to zero. Sommaire On don ne des conditions necessaires d'existence pour le sous-harmonique d'ordre n d'un asservissement par plus-ou-moins dont la partie lineaire est d'ordre quelconque. Dans le cas d'un relais symetrique sans seuill'utilisation du lieu de Ramel (au lieu de celui de Cypkin) montre immediatement que seuls peuvent exister les sous-harmoniques d'ordre impair; elle donne l'interpretation geometrique du phenomene de commutation prematuree. On voit ainsi que pour les asservissements usuels les sous-harmoniques, surtout d'ordre eleve, apparaissent difficilement, mais la presence d'hysteresis favorise leur production; certains types particuliers de systemes presentent facilement des sousharmoniques impairs de tous ordres. Grace aulieu de Ramel ces resultats se generalisent sans calcul pour le cas ou un correcteur derive precede le relais. L'etude de la stabilite globale des oscillations par simulation verifie ces reSUltats: elle met en evidence une hysteresis dans la frontiere entre deux oscillations possibles, i.e. l'existence d'un trainage de frequence, et le role physique joue par la commutation prematuree dans la disparition de l'harmonique d'ordre plus eleve. Les conditions d'existence dans le cas dissymetrique ou avec seuiI s'obtiennent par une extension de la methode de Cypkin de determination de I'oscillation forcee par deux familIes de lieux. Dans le cas d' un relais dissymetrique ayec une fonction lineaire possedant une integration ou un zero nul on montre qu'on peut resoudre le probleme ayec un lieu unique . Zusammenfassung Es werden die notwendigen Bedingungen fUr die Existenz einer /I-ten subharmonischen Schwingung eines Zweipunktregelsystems, dessen linearer Teil von beliebiger Ordnung ist, angegeben. Fur ein Relais mit symmetrischer Kennlinie ohne Totzone (Ansprechempfindlichkeit) zeigt die Benutzung der Methode nach Ramel (nicht nachZypkin)

204

sofort, daB nur subharmonische Schwingungcn von ungerader Ordnung auftreten konnen ; daraus bekommt man auch eine geometrische Deutung fUr das Umschalten wahrend der ersten Halfte der Periode. Es zeigt sich, daB bei ilblichen Regelkreisen subharmonische Schwingungen, besonders hoherer Ordnung, selten auftreten; Hysterese hingegen begunstigt deren Auftreten. In einigen besonderen Arten von Zweipunktregelsystemen treten leicht subharmonische Schwingungen von beliebiger ungerader Ordnung auf. Die Benutzung der Methode nach Hamel lal3t diese Ergebnisse ohne Berechnung fUr den Fall verallgemeinern, dal3 ein PD-Kompensationsglied vor dem Relais liegt. Untersuchungen uber die Stabilitat im Grol3en mit Hilfe eines Analogrechners bestatigen diese Ergebnisse. Es zeigt sich, dal3 in dem Bcreich zwischen zwei moglichen Schwingungen eine Hysteresewirkung besteht, die eine Frequenzmitnahme erzeugt. DUfch Umschalten wahrend der ersten Halfte der Periode verschwinden die subharmonischen Schwingungen hoherer Ordnung. Bedingungen fUr das Auftreten subharmonischer Schwingungen bei einer asymmetrischen Relaiskcnnlinie oder bei einem Relais mit Ansprechempfindlichkcit erhalt man durch Verallgemeinerung des Zypkinschen Verfahrens zur Bcstimmung von erzwungenen Schwingungen durch zwei Ortskuryenscharen. Im Falle eines asymmetrischen Relais zeigt sich, dal3 das Problem mit Rilfe einer einzigen Ortskurye losbar ist, wenn der lineare Teil des Regelsystems integrales Verhalten aufweist oder einen Pol im Nullpunkt besitzt.

Introduction

L'existence d'oscillations sous-harmoniques a fait l'objet d'etudes a cause de son importance technique, soit qu'on recherche ce phenomene pour realiser une division de frequencel, so it qu'on l'evite a caUSe de son influence defavorable 2 , 3. Plus rares, et recents, sont les travaux4- B consacres au cas des systemes asservis. Ci-apres nous presentons une etude de cette question pour les systemes asservis par plus-ou-moins. Nous considerons (Figure 1) un systeme a retour unitaire (entree e; erreur E) dont

Figure 1

la branche directe comprend un correcteur -;.- ;, p , un organe non-lineaire N et une boite L (p) lineaire de degre arbitraire. On sait9 ,lO que tous asservissements dont N est le seul organe nonIineaire, situe dans la chaine directe, peuvent se ramener a ce type. La boite N represente un element par plus-ou-moins (ci-apres appele «relais») a caracteristique symetrique (w M sign x) ou non (w = + Ml ou - M z), avec seuil ± 1/2 et hysteresis ± h/2.

OSCILLATIONS SOUS-HARMONIQUES DANS UN ASSERVISSEMENT PAR PLUS-OU-MOINS

On sait9 ,lO que lorsqu'un tel systeme est force par une entree periodique d'amplitude F et frequence Wj il y a un seuil de synchronisation F j qui depend de Wt: une oscillation forcee fondamentale de frequence Wt n'existe que si F > Ft. Le present travail contribue a etudier le comportement du systeme dans la zone (F < Ft), ombree sur les Figures 3,4,5, ou il ne peut y avoir d'oscillation fondamentale, en y etudiant la possibilite d'oscillations sous-harmoniques de frequence Wt/n, n etant en tier. Il suppose connues les methodes developpees independamment par Hamel en France et Cypkinl1 en U. R. S. S. dont il existe des exposes elementaires9 ,lo indiqu'ant les references origin ales. Sous-harmoniques dans le Cas Symetrique sans Seuil (6=0, M t =M2 ) On sait l1 que le seuil de synchronisation Ft pour la fondamentale est donne lorsque j = 0 par Ff

fa~on

Cette

de raisonner presente les avantages suivants:

(1) L'inspection geometrique permet immediatement une discussion qualitative, notamment de prevoir (i) les fonctions L (p) susceptibles de donner des sous-harmoniques - celles dont

un segment important du lieu de Hamel, parcouru dans le sens des frequences croissantes, s'eloigne de la droite de commutation - et (ii) le role favorisant de l'hysteresis. (2) Sur la Figure 2, le point Bn decrit un lieu Rn facilement deduit de L (P), et le point Cn [E (t), i (t)] un lieu P n qui se construit par composition de mouvements, comme explique ailleurs 7,8 par les auteurs. C'n represente une commutation de - a + et en est la commutation a mi-periode. On voit que Bn Cn et B' n C' n sont paralleles et necessairement de sens oppose, donc n est impair: il n'y a pas de sous-harmoniques d'ordre pair dans le cas symetrique.

H'

=/ ~

+~/ 4MI· =---;V(wJ)+T1 V(3 wJ)+s1V()_ wf)+ ... +a I

V(w)=ImL(jw) Sakawa 6 et les presents auteurs 7 , 8 ont montre facilement que le seuil de synchronisation Fn pour le sous-harmonique d'ordre n est de meme donne par

Fn =/ =

~ +IX

n/

4;lv(:f)+ ~

ve:f)+ ! ve:f)+ ... +

IX n l(1)

Dans ces expressions IXn (ou IX) est l'ordonnee du point de frequence n Wf (ou wf) du lieu de Cypkin9 , 10 du systeme. D'ou la technique suivante pour trouver des conditions necessaires de production du sous-harmonique d'ordre n: (l) tracer la courbe Ft versus log Wt, ombrer la zone sous-jacente; (2) la courbe Fn versus log Wt s'obtient en la decalant vers la droite de log2 11 octaves (1.6 octave pour n = 3,2.3 pour 5, 2.8 pour 7, etc.); (3) alors le sous-harmonique d'ordre n peut s'observer dans la partie de la zone ombree situee au-dessus de la courbe Fn. Nous croyons qu'i! y a avantage araisonner geometriquement dans le plan (E, i), en utilisant le lieu de Hamel et non le lieu de Cypkin. On est amene a couper la droite de commutation D (E + A i = - h/2) par le lieu ~n deduit de la courbe fermee de representation parametrique e (t), e (t) par la translation qui en amene le centre au point Wn = wr/n du lieu de Hamel H (Figure 2). Ce point Bn a pour coordonnees IX=

4;[v(:r)+ ~

ve:f)+ ...]

p= 4;[U(:J)+ue~J)+···]

Figure 2. Production du sous-harmonique d'ordre n, cas synu?trique. Le lieu Pn' montre une commutation prematuree

(3) Lorsqu'il y a un correcteur (A > 0) la methode se generalise sans aucun nouveau calcul: le seuil Fn s'obtient en ecrivant que ~ n est tangent a D. Dans le cas d'une entree harmonique e (t) = F sin Wf t, le lieu ~ nest I'ellipse

w;(t:- ~/ +(i- p)2 =W;F2 d'ou l'expression explicite de F"

F2-/(IX+!!...)2+ p2 _[(h/2+IX)AW}-PJ 2 / n 2 w;(l +A 2W;)

w;

(2)

dont (I) est un cas particulier. (4) On possede une interpretation geometrique de la condition supplementaire qu'i! n'y ait pas de commutation avant la demiperiode. Sur la Figure 21a courbe Pn' coupe la droite de commutation de far;on prematuree en Cn" avant la demi-periode (pour t < n n/wf). On con~oit que les harmoniques d'ordre eleve, dont les courbes Pn' ont plusieurs points doubles, presentent facilement ce phenomene quand on agrandit ~n' i.e. augmente l'amplitude de l'entree. On en verra l'interpretation plus loin. Exemples

U (w)=ReL(jw) Il n'y a sous-harmonique que si ~n coupe D (et on montre facilement comme pour la fondamentale l1 qui seule est stable l'oscillation qui correspond a l'intersection la plus bas situee). 205

(a) Soh d'abord le systeme regulier L (P) = l/p (1 + p) La courbe Ft versus log Wt a la forme indiquee par la courbe Cl des Figures 3 ou 4. En l'absence d'hysteresis (Figure 3) des oscillations sous-

(1

+ a p).

J-c. GILLE, S. WIiGRZYN, ET J-G. PAQUET

harmoniques de tous ordres sont possibles mais seulement dans des zones etroites du plan (wj, F). Le sous-harmonique d'ordre 3 apparait dans la zone hachuree horizontalement; celui d'ordre 5 (et de meme les suivants) n'apparait que dans le tout petit triangle ou la courbe Cs passe en-dessous de Cl' c'est-a-dire pour une entree de tres faible amplitude et dont la frequence a justement ete choisie extremement voisine de 5 wo. Lorsque a = 0 toutes les courbes C n sont au-dessus de la courbe Cl: les sous-harmoniques n'apparaissent pas.

= 0.1). Pour une frequence Wt telle que celle indiquee sur la figure on peut avoir des sous-harmoniques de tous ordres, ceux d'ordres eleve etant obtenus pour de faibles valeurs de F. Pour des frequences d'entree plus hautes on ne peut produire que les sous-harmoniques d'ordre eleve. n est facile de retrouver directement ces resultats (Figure 6, ou on a suppose a = 0 pour rendre plus clair le mecanisme de generation des sous-harmoniques). On peut les expliquer par la forme du lieu de Hamel du systeme (la meme que celle des

(a

F

"

log"'f

Figure 3. Sous-harmoniques d'un systeme regulier L (p) = lip (1 + p) (1 + ap) par plus-oll-moills sails hysteresis Figure 6. Oscilfatiolls sous-harmoniques d'ordres 3 et 5 dll systeme particulier L (p) = pl(! + p)

F

- --. -.''':..:' ~ ~----------¥-------~--~-1~----~------

Figure 4. L'hysteresis facilite l'apparitioll des sous-harmoniques 5 F

I

Ff

O'

F

Figures 7. Simulation sur calculateur analogique dll s),steme L (p) = 41p (1 + 0·1 p)

lieux de la Figure 10) car dans toute une bande 0, Wm ce lieu s'eloigne de la droite de commutation, d'ou la possibilite de tous sous-harmoniques.

<.If

Figure 5. Sous-harmoniques dll systeme particulier L (p) = pl(l + p) (\ + ap)

La presence d'hysteresis facilite l'apparition d' oscillations sous-harmoniques, car le lieu de Hamel decrit dans le sens des frequences croissantes s'e]oigne de la droite de commutation sur un segment plus long. On peut le verifier aussi directemene, 8. La Figure 4 est relative au meme cas (a = 0.1) que la Figure 3. On con state de plus larges zones de possibilites pour les sousharmoniques d'ordre 3 (hachures horizontales), 5 (verticales), 7 (obliques), etc., leur aire decroissant lorsque n augmente. (b) Notre methode permet d'etudier egalement le systeme particulier L (p) = p/(! + p) (l + a p) avec relais inverse. Les courbes Ft et Fn versus log Wt sont alors celles de la Figure 5

206

Cas Oil Plusieurs Oscillations sont Simultanement Possibles 11 peut arriver qu'a une frequence Wj deux sous-harmoniques d'ordres m et n (m < n) soient possibles (F> Fm et Fn). La theorie ci-dessus - comme la piu part des theories sur l'existence d'oscillations forcees - donnant seulement des conditions necessaires d'existence, nous avons recouru a la simulation (montage du type de la Figure 7) pour savoir lequel s'observe effectivement, c'est-a-dire trouver les conditions egalement suffisantes. (a) Si Fm < Fn (w < W! sur la Figure 8), nous avons toujours observe le sous-harmonique d'ordre le moins eleve 1'1't.

03CILLATIONS SOUS-HARMONIQUES DANS UN ASSERVISSEMENT PAR PLUS-OU-MOINS

(b) Si Fm > Fn (cas W > Wl), la frontiere presente une sorte d'hysteresis. (I) Lorsqu'on fait decroitre I'amplitude d'entree F on observe d'abord le sous-harmonique m, et le sous-harmonique n apparait exactement pour F egal cl la valeur Fm qu'indique la theorie, so it sur la courbe Cm. (2) Si au contraire, on franchit Cm de bas en haut on peut observer au-dessus de Cm l'un ou l'autre sous-harmonique, selon les conditions initiales du probleme (cette dependance est vraisemblablement complexe; experimen-

coupent determinant le cjJ et le y qui caracterisent le sous-harmonique d'ordre n. Nous avons calcuIe et donnons en Figure 9 ces families de lieux pour L(p) = I/O -+- p) (1 + ap) avec a = 0,1; les lieux y = 0,5 sont les lieux de Hamel pour l'oscillation symetrique translates horizontalement de (Ml - M 2)/2. La Figure 10 montre les families de lieux pour le «systeme particuiier» mentionne ci-dessus L(p) = p/O + p) (1 -+- ap) avec a = 0,1.

?

Ii))<;:'-

?-

,

,

/ I

"I' /

,~

<-6

.... -----; _ _ _ - 6__

~_

,,0_ - - - - , -- ;go_ I

Figure 8. Frontiere entre les oscillations d'ordres m et n quand on jait croftre ou decroitre l'amplitude d'entree F: trainage de frequence

"

+h

+10

2' talement on con state que la probabilite d'apparition du sousharmonique d'ordre le plus eleve n decroit tres vite quand on augmente F); le passage au sous-harmonique d'ordre moins eleve m s'effectue par l'apparition d'une commutation prematuree qui fait disparaitre le sous-harmonique d'ordre n. Ce «trainage de frequence» s'observe sur les exemples des Figures 3 et 4. Il peut mettre enjeu les sous-harmoniques d'ordres 3 et 5, ou 5 et 7, etc.: dans c(s cas il est specialement facile cl mettre en evidence sur le systeme de la Figure 4. Il existe egalement dans le cas OU m = 1: le seuil de synchronisation du fondamental Ft presente lui aussi ce caractere d'hysteresis. Au total, cette premiere approche du probleme de la stabilite globale (conditions necessaires et suffisantes) des oscillations forcees met en evidence les resultats suivants: (1) Il existe un trainage de frequence dans les systemes par plus-ou-moins. (2) A cc point de vue toutes les oscillations forcees (fondamentale et sous-harmoniques) jouent le meme role. Donc dans la zone F > Ft, ou on admettait habituellement qu'existe la fondamentale, les choses sont en realite plus complexes et on pcut parfois observer un sous-harmonique quand on opere en faisant croitre F. (3) Le phenomene de commutation prematuree etait jusqu'ici considere 12 comme une possibilite theorique guere rencontree dans les systemes reels: nous connaisons main tenant sa signification physique - la disparition d'un sous-harmonique au profit d'un autre d'ordre moins eleve - et comprenons ainsi pourquoi son interet reel n'a pu apparaitre avant qu'on se penche sur le probleme des sous-harmoniques.

-15

Figure 9. Families de lieux de Hamel pour le systeme rtfgulier + p) Cl + 0·1 p) dalls le cas d'un relais dissymtftrique avec M, = 15 et M2 = 10

L (p) = 1/(1

+275

+2575

-15

-10

-5

5 -2575

1'=03

Cas d'un Relais it Caracteristique non Symetrique ou avec SeuiI Lorsque le relais a une caracteristiquedissymetrique(w= +Ml M 2 ) les deux «demi-periodes» Tl et T2 du sous-harmonique (Tl -+- T2 = 2 nn/wf) sont inegales. Pour les determiner on peut 5 appliquer cl la frequence wf/n la methode proposee par Cypkinll pour la fondamentale. Cela conduit a centrer la courbe fermee g n aux differents points Wt/n des lieu x de deux families, et cl en deduire par intersection avec la droite de commutation deux courbes du dephasage cjJ versus y = Ts/(Tl + T 2 ), qui se OU -

-275

Figure 10. Familles de lieux de Hamel pour le sys feme particulier = p/(l -+- p) (1 -+- 0·1 p) dans le cas dissymtftrique avec M, = 15 et M2 = 10

L (p)

207

J-C. GILLE. S. WJ;;GRZYN ET J-G. PAQUET

Le cas d'un relais avec seuil peut se traiter de la meme fa90n avec l'aide des familles de lieux de Cypkin definies au paragraphe 23 de Cypkinll. Cette methode resoud theoriquement le probleme. Dans le cas dissymetrique on note que cette fois les vecteurs En' Cn' (t = TI + T2 ) et En Cn (t = TI) pour y donne ne sont plus necessairement paralleles. On peut donc obtenir aussi des sousharmoniques d'ordre pair. De plus l'inspection des lieux montre que la production de sous-harmoniques devient plus difficile A mesure que la dissymetrie s'accentue. Malheureusement la discussion plus precise de l'influence des divers parametres n'est guere possible A cause du grand nombre des courbes en jeu. Toutefois le probleme se simplifie dans les cas ou la fonction de transfert lineaire L(P) est telle qu'on connaisse a priori une relation entre TI et T2 • Cela se produit notamment lorsque: (1) L(P) possede une integration, c.-A.-d. le pole p = 0 (c'est le cas de la majorite des servomecanismes reels) - on a alors la relation TIIT2 = M 2 IMI ; (2) L(P) possede le zero p = 0 (exemple: le systeme particulier etudie en (3» - on a alors TI = T2. Ci-apres nous developpons le calcul dans le premier cas, ou nous montrerons que le probleme de determination d'une oscillation forcee, fondamentale ou sous-harmonique, peut se resoudre avec un lieu unique.

De la meme fa90n, I'integration de

TiHe= +KM2=B A partir des conditions Cl

=

l ip (I

+ Tp).

e=e 1 r+B(1-r) L'instant

pour lequel

C =

-

auquel

E

est revenu en

EO

est donne par

On determine ainsi

, _ '( )_2e o -Bt 2 +BT(1-r 2 ) el-et)T(1-r2) En prescrivant alors, pour la periodicite, e(t2 ) = eo (ce qui revient A appliquer A la droite de commutation D' de - A + la methode generale de la transformation ponctuelleI4 • 15), on trouve doivent satisfaire que les deux demi-periodes TI = tI et T2 = la relation annoncee

'2

qui determine directement le rapport 0 periodes:

=

T21TI des demi(6)

Les conditions de periodicite sont donc les relations (3) A (5) qui, avec (6), determinent eo et eo, La resolution de ce systeme transcend ant peut se faire soit graphiquement, soit pour plus de precision avec calculateur (machine A NALAC, ou par iteration avec un calculateur digital). Pour chaque valeur de 0 (qui cette fois est connu) on construit ainsi (Figure 12, ou T = 0,1) un lieu unique eo versus Co gradue en (TI + T2), qui donne directement l'oscillation libre et le sous-harmonique par intersection, avec la droite de commutation D' de - a +, respectivement de ce lieu et de la courbe fermee (e, e) (ellipse si l'entree est harmonique) centree en son point w = 2nln (TI + TJ. La methode est exactement la meme pour des fonctions L(P) avec integrations plus compliquees, telles que lip (1 + Tp) (l + T'p). Les seconds membres des equations (3) A (5), obtenus

En

e = er - A (1 - r) 11

12

(5)

A partir des conditions initiales co' eo lors de la commutation de - A + iI vient, posant ri = exp(- tilT) pour simplifier I'ecriture: e=eo -At+ T(eo+A)(l- r)

L'instant

Co et eI = e(tI), donne

e=el +Bt+ T(e l -B)(I-r)

Calcul dans le cas ou L(P) Possede une Integration Soit d'abord le cas tres simple ou L(p) integrant

= -

eo est donne par:

e= -eo=eo-At 1 + T(eo+A)(l-rl) i

On determine ainsi: 50

, - 2eo+At)-AT(1-r) eo= T(1-r) et

5 4

22

1·5

12

10

20

30

40

w

6=0'5

(3)

e(tI)=eOrI-A(1-rl)

o

e (tl) =e o +(2 eo - Atl)/T '( )_ r) (-2eo+AtI)-AT(1-rl) e tl T(1-r)

(4)

50

E

Figure 12. Lieu de Hamel unique pour le systeme regulier simple L(p) = 4/p (I + 0'1 p) dans le cos dissymetrique Ml = 6,25, M2 = 12·5 (15 = 0'5)

w _--=--------6 = 05

10

L (P) Figure 11

208

=

20

30

40

Figure 13. Lieu de Homel unique pour le systeme regulier 4/p (l + p) (l + 0'1 p) dons le cos dissymetrique Ml = 6·25 M2 = 12,5 (15 = 0'5)

OSCILLATIONS SOUS-HARMONIQUES DANS UN ASSERVISSEMENT PAR PLUS-OU-MOINS

avec l'aide d'expressions connucs 16 , ont une ecriture plus compliquee, la quantite best toujours donnee directement par l'equation (6) et pour chaque b on a un lieu unique gradue en cv (Figure J3) a partir duquelles sous-harmoniques se determinent comme dans le cas symetrique. Notamment, les seuils de synchronisation s'obtiennent en tral;ant versus logwf I'abscisse du lieu par rapport a la droite de commutation D' et en decalant cette courbe parallelement a I'axe des frequences. La presente etude a ete rendue possible grace a un genereux don du Conseil des Recherches pOllr la Dejense (Canada).

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Teorija

kolebanij,