Pression partielle par classe granulométrique dans un empilement polydisperse

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, S6rie II b, p. 457-464, 1997 Milieux granulaires, sols, milieux poreux/Granular media, soils, porous media

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Pression partielle par classe granulom trique dans un

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empilement polydisperse

Olivier TSOUNGUI, Denis VALLET, Jean-Claude CHARMET et St~phane ROUX Laboratoire de Physique et de M~canique des Milieux H b~t~rog~nes, URA CNRS 857, l~eole Sup6rieure de Physique et de Chimie Industrielles de la Ville de Paris, 10, rue Vauquehn, 75231 Paris cedex 05, France.

R~sum~.

Un empilement de particules soumis h une compression oedom6trique montre une large distribution de forces interparticulaires. Ces tbrces sont statistiquement corr616es /~ la taille des particules supportant ces contacts. Le principe des travaux virtuels permet de relier la pression moyenne par classe granulom6trique, (proportionnelle ~t la somme des composantes normales des forces de contact) h u n probl~me purement g6om6trique : le calcul de la compacit6 du milieu en fonction de sa granulom6trie. Nous appliquons en particulier ce r6sultat au cas d'un empilernent bimodal et nous montrons que les pressions par classe sont plus fortes pour les petites pamicules ~ trois dimensions, alors qu'h deux dimensions nous attendons une ind6pendance de la pression partielle par rapport ~t la taille de la classe granulom6trique consid6r6e. Des simulations num6riques sur des systbmes bidimensionnels confirment ces rEsultats. Mots cl6s : milieu granulaire / force de contact l pression partielle / travaux virtuels

Partial pressure supported by granulometric classes in a polydisperse packing Abstract.

A packing of particles subjected to an oedometric compression displays a large distribution of interparticle contact forces. The latter are correlated with the particle size. Using the principle of virtual work, we relate the 'partial' pressure supported by a granulometric class of particles to a purely geometrical problem, namely the compacity of a polydisperse granular medium as a function o f its granulometD'. We apply this result in particular to the case of bi-modal packings and we show that the partial pressures are larger for small particles in three dimensions, whereas size independence is predicted in two dimensions. Numerical simulations in two dimensions confirm this result. Keywords: granular medium /contact force/partial pressure /virtual work

Abridged English Version Many studies have revealed the heterogeneous nature of stress transmission in granular media (Dantu, 1957; Liu et al., 1995; Radjai et al., 1996). However, understanding how stress is distributed amongst the particles, in particular as a function of the grain size, may provide an efficient key to a

Note pr@sent@e par Pierre-Gilles de GENNES. 1251-8069/97/03250457 © Acad6mie des Sciences/Elsevier, Paris

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O. Tsoungui, D. Vallet, J.-C. Charmet et S. Roux

better fragmentation efficiency through an optimal recycling of crushed particles designed to adjust the granulometry of the input in the crushing device. The purpose of this note is to show that the average pressure supported by a specific granulometric class depends on the particle size, and that this dependence can be obtained from a purely geometric approach, namely the determination of the compacity as a function of the granulometry, a problem which has been studied by various authors in the past, and for which efficient and accurate modelling exists (Dodds, 1980; Ouchiyama and Tanaka, 1981). We consider a packing of N grains with a statistical distribution f ( x ) of diameter x. The mean partial pressure, ( p ( x ) ), supported by the. grains of diameter x is defined as the ratio of the sum of normal components of their contact forces divided by their areas Aj x d 1 [eq. (2)]. Let us imagine the virtual transformation such that the diameter x is dilated to x + 6x. In this transformation, the internal virtual work 6Wi is given by equation (3), whereas the global packing expands by 6V given in equation (7), where c is the compacity and v is the mean particle volume. The work of the external pressure Pext is equal to 6W~ as follows from the virtual work principle and thus the key result equation (9) is obtained where the right-hand side is purely geometrical, whereas the left-hand side contains the partial pressure we wanted to compute. In order to illustrate the previous result, we consider the case of a bimodal distribution where x only takes two values x 1 and x 2. We define o~ = Xl/x2, with the convention c~ < 1. The results on the partial pressures take a simple form explicited in equation (12), where f is the numerical proportion of small grains. In three dimensions, using classical results we can show that 0~u/0c~ is negative as long as o~ > ac where c~c = 1/6 is the critical ratio above which the small grains can fit inside tZhe neck formed by three large grains in contact. We deduce that [see eq. (12)] the smaller grains support a higher pressure than the larger ones. In two dimensions, the situation is very different. Experimental results of Bideau et al. (1984) provide evidence for a quasi constant compacity as a function of the ratio c~ and the numerical proportion f Therefore 0~u/0a = 0, from which we deduce that the partial pressures are equal :for both types of particles, i.e. ( p ( x ~ ) ) = ( p ( x 2 ) ) = Pex~/C. We have partially checked these theoretical predictions on the bimodal packings of grains under an cedometric compression, using two-dimensional numerical simulations. The computer simulations based on molecular dynamics (MD) simulations with elastic interactions between the grains have been performed for various combinations of grain sizes and proportions of the two classes as shown in table I. A detailed description of the MD method can be found in the literature (Allen and Tildesley, 1987; Herrmann, 1993). Grains are enclosed by a lixed bottom plane and a top horizontal plane where the vertical displacement is imposed. Lateral boundary conditions are periodic, and thus the macroscopic strain is simply a uniaxial compression (cedometric compression) as shown figure 1. This geometry guarantees the absence of lateral friction. A first external pressure P~x~is applied on the system to achieve the consolidation phase. After unloading the system, we again apply a progressive load on the top of the sample and we measure the compacity c, the coordination number n, the mean normal contact force (F.} and the: partial pressures supported by the two granulometric classes ( p ( x l ) } and (p(x=)). Figure 2 shows the products of partial pressures by the compacity as a function of external pressure Pext applied on the granular samples A, B and C. In this two-dimensional case we observe that these quantities are approximately equal to the external pressure /'ext. As anticipated from the theoretical model in two dimensions we find 0~,/0c~ = 0. Note, however, that the compacity of the packing varies by about 15%, for the range', of external pressures presented here. We also measure the mean normal force contact {F,,) on each granular system (all classes included). Figure 3 shows the product of the mean normal force contact ( F , ) by the coordination

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Pressions partielles dans un empilement number n divided by the mean particle perimeter as a function of the ratio of external pressure Pext on the compacity c. This figure shows that the slope of the regression through the data points tends to one, in agreement with the theoretical prediction (dashed line in figure 3). These figures show that the theoretical predictions compare well with the numerically determined results. They confirm the independence of partial pressures from the particle size.

1. Introduction De nombreuses exp6riences et simulations num6riques ont montr6 que, quelle que soit l'homog& n6isation des milieux granulaires sous compression, la rdpartition spatiale des contraintes locales demeure h6t6rogbne (Dantu, 1957; Liu et al., 1995; Radjai et al., 1996). En raison de cette h6t6rog6n6it6, l'6volution de la fragmentation des grains au sein des empilements sous compression reste difficile ~t moddliser. Qui plus est, rant sur le plan exp6rimental qu'en simulation numdrique, il est trop cofiteux, voire impossible, de suivre de manibre complbte et prdcise l'6tat de contrainte de chaque grain depuis la configuration initiale de l'empilement jusqu'h sa fragmentation sous compression. Cependant, diff6rentes m6thodes prenant en compte le nombre, la position et l'amplitude des conl:acts sur un grain ont 6t6 d6velopp6es pour apprdhender certaines caract6ristiques de son 6tat, telles que la pression ou la contrainte de cisaillement maximale appliqu6e sur le grain. Nous nous sommes intdressds la r6partition des pressions locales exercdes sur les grains, en particulier leur valeur moyenne sur chaque classe de taille de grains d'un empilement polydisperse en fonction de la pression extdrieure appliqude au syst6me. Cela nous a conduit ~ ddvelopper un modble simple fond6 sur l'application du principe des travaux virtuels aux milieux granulaires sous compression. Ce modble fournit, d'une part, le lien entre la compacit6 du milieu et les pressions moyennes par classe et, d'autre part, il permet d'estimer la valeur moyenne de la force normale de contact entre les grains en fonction de la pression extdrieure et du nombre moyen de contacts par grain au sein de l'empilement. Afin de valider notre modble, nous avons effectu6, par le biais de simulations numdriques, des essais en compression oedom6trique sur plusieurs empilements binaires bidimensionnels de disques de rdpartitions granulomdtriques diff6rentes. Pour chacun de ces empilements, nous avons d6termin6 num6riquemenr les pressions locales, les forces normales de contact et la compacit6 en fonction de la pression ext6rieure appliqude h l'empilement. Ces r6sultats qui confirment les travaux expdrimentaux de Bideau et Troadec (1984) en ce qui concerne l'6volution de la compacit6, ont 6t6 compar6s aux pr6dictions du modi~le.

2. Description du modble Consid6rons un empilement constitu6 de N grains sphdriques '~ trois dimensions ou cylindriques deux dimensions, dont la granulom~trie est caract6ris6e par une distribution, f ( x ) , telle que N f ( x ) dx soit le nombre de particules dont le diam6tre est compris entre x et x + dx. Introduisons le volume moyen d'un grain v: v = Sa

xd J( x ) dx

(1)

or) Sd est le volume d'un grain de diambtre unit6 clans l'espace de dimension d, i.e., S 2 -- n/4 et S 3 -- n/6. Nous nous intdressons ~ la pression moyenne, ( p ( x ) ), exercde sur un grain dont le diambtre est x pour une compression de l'ensemble du milieu sous la pression Pext" (P(X)} est la valeur moyenne sur ,459

O. Tsoungui, D. Vallet, J.-C. C h a r m e r et S. Roux

les particules de taille x, de la somme des composantes normales des forces de contact, rapport6e h la surface du grain, i.e. :

'

>

\

(p(x))-

(2)

Adxa_ 1

ob F i n i est le produit scalaire de la force de contact Fi au point i par la normale extdrieure ni en ce point et A a la surface d'une particule de diamStre unit6, A 2 = A 3 = n. Notons que A d = 2 dS d. La s o m m e entre crochets est 6tendue h t o u s l e s contacts i d'une particule de taille x, et les crochets repr6sentent une moyenne sur toutes ces particules. Pour acc6der h cette quantit6, nous utilisons le principe des travaux virtuels. Imaginons une transformation virtuelle qui consiste h dilater de maniSre infinit6simale les N 8f( x ) particules de taille x pour obtenir un diam6tre x + 8x. Le travail des torces de contact sur ces particules s'exprime dans cette transformation c o m m e : 5 W i = N ~)f( x ) ( p ( x ) ) S~ dx d ~ ~)x

(3)

Au cours de cette transformation le volume de l'empilement varie d'une quantit6 8V, h partir de laquelle nous 6crivons le travail des efforts extdrieurs, i.e., la pression Pext, sOUS la forme : 5W~ = P~,,t 8V

(4)

Le volume de l'empilement est : Wmatihre v

N]s -

=

C

(5)

C

ob c est la compacit6 de l'empilement. Nous introduisons ici une hypoth~se essentielle pour la suite en supposant que cette compacit6 est une fonctionnelle suppos6e connue de la r6partition granulom6trique de l'empilement : c = C[f]

(6)

La transformation virtuelle intmduite ci-dessus s'accompagne ainsi d'une variation de compacit6 8c. Nous ne prdsentons pas de r6sultats nouveaux sur le calcul de la compacit6 et nous sugg6rons donc, pour ce point, d'utiliser les r6sultats usuels de la littdrature (Dodds, 1980; Ouchiyama et Tanaka, 1981). Par diff6rentiation, nous obtenons la variation de volume :

--

C

,

=-

(7)

~.

off 6 v ( x ) = dS d x d 1 8x 8f(x )

(8)

Le principe des travaux virtuels nous permet d'6crire l'6galit6 3W~ = 8We, qui suffit alors ~t conclure que : (p(x)) 1 (1 Pex~ - c

460

v ~c c 6v(x)/

~

(9)

Pressions partielles dans un empilement A partir de ce rdsultat gdndral, nous pouvons ais6ment en ddduire la valeur moyenne ( F , ( x ) ) de la composante normale de la force de contact exercde sur une particule de diam6tre x : (F,(x))=A~x ~ l (P(X))

n(x)

(10)

off nous avons introduit la coordinance moyenne n ( x ) (i.e., nombre de contact) pour la classe x. Ces rdsultats permettent ainsi de relier la pression partielle sur une classe granulom6trique i~ un simple problbme g6omdtrique, i.e., la variation de compacit6 dans une transformation intinitdsimale. 3. Cas particulier : distribution bimodale Pour concrdtiser le r6sultat pr6c6dent, nous considdrons le cas d'une distribution bimodale, o?~ x est suppos6 ne prendre que deux valeurs Xl et x 2, en choisissant conventionnellement

Xl /X2- O~< 1. Soit f = f l la proportion numdrique de petits grains (taille xl), et donc f2 = 1 - f la proportion de gros grains. La compacit6 qui est g6n6riquement une fonctionnelle difficile ~ expliciter, prend dans le cas prdsent une forme simple : c = ~u(f, c~)

(11)

i.e., c ne ddpend que du rapport de taille et non des ta!illes absolues. L'application du calcul pr6cfident ce cas particulier conduit aux expressions suivantes des pressions partielles :

I ~(p( -x, )- )

1( c\

]{P(X2)) ( Pe×t

1( c

1

o~v 0_~'~ = -1 (1 - cdSdx~fO~ J c\

~_ O~L'~ cd~ On]

___ o~'___._O_.~_'~=~(l+ l+cdSdxg(1-f)

OotJ

1 cd(

~:L)

(12)

-¢)

Ces expressions se simplifient en introduisant les fractions volumiques des deux types de particules, =j'Sex I d/v, pour les particules de taille x I e t (1 - ~ ) pour la taille x 2. A partir de ce point, nous devons discuter en fonction de la dimensionnalit6 du syst6me. En effet, h trois dimensions, on sait que la compacit6 des systbmes bi-disperses ddpend crucialement du rapport des tailles et de la proportion des grains dans chaque classe. En particulier, en fonction d e f h ~ fix6, la compacit6 montre un maximum prononc6 pour une proportion optimale f * ( a ) avec un point anguleux prbs de ce maximum. Lorsque a varie, ce maximum est d'autant plus 61ev6 que le rapport de taille est faible (rappelons ici que par convention a < 1). Ce comportement n'est limit6 que par o~ > % ob % = 1/6 est le rapport critique off les petits grains peuvent passer librement ~ travers les pores form6s par trois grosses particules en contact mutuel. Dans ce cas, le systbme s6gr6ge d6s que la proportion f est inf6rieure g celle n6cessaire pour remplir la porosit6 du syst~me de grosses sph6res. Ainsi, rant que ~ > oG 0~,/0~ est n6gatif. Nous en ddduisons que la pression partielle subie par les petites particules est toujours sup6rieure ~ celle support6e par les grosses particules/t trois dimensions. A deux dimensions, la situation est diff6rente. Des 6tudes de Bideau et Troadec (1984) ont en effet montr6 que la compacit6 6tait sensiblement ind@endante du rapport de taille o~, i.e., O~u/Oc~= O. Cela montre alors que la pression par classe dans le cas bimodal bidimensionnel est ind@endante de la classe granulom6trique considdrde ; en effet, les 6quations (12) deviennent

(p(Xl)) = (p(x2)) ----Pext/C.

461

O. Tsoungui, D. Vallet, J.-C. Charmet et S. Roux

4. Simulations num6riques Nous avons test6 partiellement ces rdsultats en effectuant des simulations numdriques de compression ~edom6trique d'assembl6es bimodales de disques 61astiques. La technique de simulation choisie est fondde sur un algorithme de dynamique moldculaire (Allen et Tildesley, 1987 ; Herrmann, 1993), en utilisant une loi de contact 61astique lindaire, avec un amortisseur visqueux qui n'est qu'un artifice numdrique permettant d'atteindre un 6tat de quasi-6quilibre avec la prdcision souhaitde. Nous avons inclus clans la loi de contact un coefficient de frottement coulombien ( ~ = 0,3 ). Nous n'avons retenu dans les rdsultats prdsent6s ci-aprbs que des faibles valeurs de compression globale (quelques pourcent au maximum) de mani6re ~t prdserver la gdom6trie des disques. Chaque simulation a 6t6 effectu6e avec 700 disques pour diffdrents rapports de taille c~ et diffdrentes proportions f ddtaillds darts le tableau I. TABLEAU I Composition granulom~trique des 6chantillons A, B, C et D. Granulometric composition of samples A, B, C and D.

l~chantillons

Rapport de taille ~

Proportion numdrique f

A B C D

0,40 0,66 O,40 0,66

72,9 % 69,2 % 85,5 % 60,O %

La gdomdtrie considdrde est une cellule rectangulaire limitde par une paroi infdrieure rigide et un piston supdrieur sur lequel s'exerce une force normale F. Les conditions aux limites latdrales sont choisies pdriodiques pour limiter les effets de bord. La figure 1 montre la g6om6trie de la simulation. Cet essai est donc 6quivalent ~ une compression oedomdtrique sans frottement latdral.

Pext

Fig. 1 . - Gdomdtrie de l'empilement utilis6 dans les simulations numdriques. Latdralement, les conditions aux limites sont pdriodiques. Fig. 1. - Geometo' of the 2D packing used in the numerical simulai!ions. Lateral boundary conditions are periodic.

La construction de l'empilement est faite sous gravit& ~ la suite de quoi une premiere pression Pext est appliqude de fagon ~ permettre une consolidation du milieu. Puis, awes avoir ddcharg6 le

syst6me, la pression est de nouveau augment6e par dtape en enregistrant au cours de la compression la compacit6, le nombre de contact par classe de grain, les forces normales par classe, et les pressions partielles par classe.

462

Pressions partielles d a n s u n e m p i l e m e n t

Sur la figure 2, nous montrons les produits des pressions partielles par la compacit6 (p(x I ) ) c et (p(x2)) c en fonction de la pression ext6rieure Pext appliqu6e sur les 6chantillons A, B et C. On observe comme attendu dans le cas bidimensionnel ,(o?a 0~,/0a = 0), que ces deux quantit6s ,;ont sensiblement 6gales ~t P¢×t (droite en pointill6s sur lafigure 2). Notons que pour la gamme de valeur de Pext consid6r6e sur cette figure, la cornpacit6 varie d'environ 15 %.

c 60 i en N/ram

n/n~-.x> 60 -enN/ram

50 +I

50

401

...$ t""

D. Q.-

40

a..a D.

.I

a

in.- e

30 i

30

cpourA • cpourA [] c pour B • c pour B c pour C • e pour C °

[

..if

"g

20 4-

,0!, .

.,ira If

20

0

10

20

30

40

A

50

60

C

Pe./c en N/mm

0

t

D

,,

10

Po~ en N/mm

0

o

~.~

i ---

lO

20

30

40

i

50

.....

60

Fig. 2 Fig. 3 Fig. 2 . - Produits des pressions partielles par la compacit6 en fonction de la pression exercde sur les 6chantillons A, B et C. Les symboles correspondent aux points obtenus dans la simulation sur les deux classes granulom6triques, et la droite en pointillds est la prfidiction thdorique. Fig. 2. - Variations of the products of partial pressures by the compacit3" as a function of external pressure applied on the samples A. B and C. Symbols represent the numerically determined partial pressures for a range ,)fl external pressures and the dashed line is the theoretical prediction.

Fig. 3.-I~volution du produit de la moyenne (F,) des forces normales de contact avec la coordinance moyenne n divis6 par le p6rimbtre moyen des particules, en fonction du rapport de la pression extdrieure Pe~t sur la compacit6 c. Fig. 3. - Variation of the product of the mean normal force contact {F,,) by the coordination number n divided by the mean particle perimeter as a function of the ratio of external pressure P ~ over the compacity c.

Enfin, nous avons calcul6 la composante normale moyenne (1~) des forces de contact sur l'ensemble du systbme (toutes classes confondues), off l'analyse thdorique prdc6dente conduit fi :

Ad(X a- I) P~xt (&)

-

n,:

(13)

pour une coordinance moyenne n, avec d = 2 e t A 2 = :re. Lafigure 3 montre {F.) n/zc(x) en foncfion de P e x t / c pour les 6chantillons D, A et C. La prddiction thdorique (droite de pente 1) est trac6e sur le meme graphe. Ici encore, l'accord est remarquable. Nous avons aussi 6tudi6 des empilements o~ le rapport de taille se rapproche de l'unit6 (cas homogbne). Dans ce cas, il semble qu'il soit difficile de conclure dans la mesure o~ le syst6me pr6sente une trbs forte tendance h s'organiser, son degr6 de cristallisation d@endant crucialement de l'6tape de

463

O. Tsoungui, D. Vallet, J.-C. Charmet et S. Roux

construction de l'empilement. Dans ce cas, la prerrfi~re phase de consolidation ne semble pas suffisante pour s'affranchir de l'histoire du chargement. Les limitations du module proviennent en grande pattie de la fonctionnelle d6finissant la compacit6. En effet, cette dernibre n'est pas toujours uniquement d6finie par la granulom6trie ; en particulier, on sait qu'en faisant vibrer un empilement, il est possible de le compacifier sans changer sa composition granulom6trique. Cette variabilit6 de la compacit6 selon l'histoire du milieu est souvent de faible amplitude et donc, le modble d6velopp6 ici permet d'obtenir une approximation raisonnable de la pression partielle par classe. Outre la d6pendance vis-h-vis de l'histoire du milieu ou de son mode de construction, il est ~t noter que de nombreux processus physiques donnent lieu ~t une s6gr6gation dans le mdlange granulaire, laquelle invalide 6videment les r6sultats pr6cddents. Cette limitation doit atre prise en compte darts l'application de ce type d'analyse 5 des processus mettant en oeuvre des milieux granulaires comme, par exemple, le broyage.

5. Conclusion Nous avons montr6 que la notion de pression partielle par classe granulom6trique pouvait ~tre rdduite au problbme purement gdom6trique de la ddtermination de la compacit6 d'un milieu granul~Lire polydisperse. L'application au cas d'un milieu h granulom6trie bimodale montre des diff6rences notables entre les cas bi- et tridimensionnels. L'ind6pendance de la pression partielle vis-~t-vis de la taille des particules ~ deux dimensions pour les distributions bimodales prddite th6oriquement est confirm6e par les simulations num6riques.

Remerciements. Nous remercions MM, H. J. Herrmann et 5;. Luding pour une premibre version d'un code de calcul de milieux granulaires qui a servi de base aux simulations num6riques prdsent6es dans ceue note. Ce travail a b6n6fici6 du support du Groupe de Recherche Physique des Milieux H6t6rog~nes Complexes du CNRS. Note remise le 24 avril 1997, accept6e apr~s r6vision le 28 juillet 1997.

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