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Propriété de viabilité pour des équations différentielles stochastiques rétrogrades et applications à des équations aux dérivées partielles
C. R, Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie Analyse mathematique/Mathematical (ProbabilitCs/Prohabi/ity Theory)
I, p. 1159-I Analysis
162,
1997
Prop&t& de viabilith pour des hquations diffhrentielles stochastiques ktrogrades et applications & des hquations aux d&iv&es partielles Rainer
BLJCKDAHN,
R&urn&
Marc
QLJINCAMPOIX
tilt Aurd
RASCANLJ
II s’agit dans cette Note d’ktudier des conditions liant une Cquation dif’Erentielle stochastique rktrograde et un ensemble de contraintes pour que les solutions de I’Cquation restent dans cet ensemble de contraintes. Cette dernikre propriCk ~ appelke proprit;rc dr GnhilirP - est abordke en Ctablissant un critkre qui permet d’obtenir des rkultats nouvcaux pour certnines Cquations XIX dCrivCes particlles.
Vinbility for uppliccctions
bnckumrd to PDE’s
stochnstic
differential
equntions,
On considkre l’kquation diffkrentielle stochastique rktrograde
Dans cette Note ((2. FT.I’. {F,> I > 0)) est une base stochastique compkte continue h droite telle que Ft = a({W(s). 0 5 s _< f}) U A[. oti A[ dksigne les ensembles n&ligeables. ITT cst le mouvement brownien standard dans R”, I+’ : II x [O. T] x Iw” x C(R”. W-Y) R”‘. On dCsigne par H un espace euclidien, par Lz,,(I1.C([O.T]. II)) l’espace des processusstochastiques adapt& de L”(~2,C([O. T1.H)) et par La,,(l2x]O. T[. H)) I’espace des processus de carrks int6grables SUI Qx]O.
T[
progressivement
mesurables.
Note prksentke par Alain BKNSOUSSA~. 07W4442/97/03?5
I I.59 0
,Acadhie
de\
Sciences/Elsevier.
Park
1159
R. Buckdahn,
M.
1. Notion
Quincampoix
de viabilit6
et A. Rascanu
pour les Cquations
Pour cette etude, les hypotheses
rktrogrades
sent requises :
yT E L2(i1, 3T. P. W),
(2) il existe des constantes positives
i) (3)
suivantes
diffkrentielles
ii) iii)
i iv)
L: L1 ~A.4 et un processus
F( .%., ;v. 2) est progressivement
mesurable,
~a E L”(llx]O,
T[) tels que :
T/ ++ F(w. t, y, 2) est continue,
(F(k :y, 2) - F(L ?I’, i),?/ - ?I’) I Lllu - Y’l12* IIFyt. y. 2) - F(f. y, %‘)I1 < LI ))z - 2’1/. IIF(k
;y. ())/I 5 70(f) + qYll-
DE~FINITION 1. - Soit K un fermi de I#“;. Un processusstochastique {Y,, t E [0, T]} est dit ~~iuh[e dans K si et seulement si pour P-presque tout w E It,
Y;(w) E K.
v t E [O,T].
L’ensemble K verifie la propriCk de ViabilitC Stochastique pour l’cquation Differentielle Stochastique Retrograde (1) - VSEDSR en abrege - si et seulement si pour tout T E 10,T] et pour toute variable aleatoire < t L2(i2,3T. I? K), il existe une solution {Y,. t E [O.T]} de l’equation :
(4) qui soit viable dans K. L’objectif de cette Note est d’etudier sousquelles conditions reliant F et K la propriete VSEDSR est satisfaite. Mais auparavant nous rappelons un resultat d’existence des solutions de (1) (voir 171et [6l) : PROPOSITION 1. - a) Pour tout fj E L2(S2.3T,l’, RAT), il ekstr un unique I?(< ) E Lz,,(S2x]O. T[, C(Iw”. 58”)) tel que < = E(t) + j;y’ R,(<)dWs. b) Sup~~mms (2) et (3) satisfaitrs, il aiste abrs me unique solution de (1 ). (I-. Z) E L;,,(Q. C([O, T]. I#“)) x L$(~tx]o, T[. C(W”, W”)). I1 est aussi possible d’obtenir des estimations n priori plus precises de la solution, que nous omettons faute de place.
2. Condition TH~OR~ME
nkcessaire et suffisante de viabilite I. - Snit K c R” un fermd. Supposonsque (3) soit satisfilite. Si 3 51(,E 3’:
(3
P(q))
= 1, avec ?I.H (pyw, t, ?/ + ‘U,2) - F(w: t, y, 2)/l’
continue en ?L= 0 un@whnent pur ruppwt & (W>t, It/. z) E S2” x [o, T] x EP x C(R’! W”)
(6)
1160
de
Propri&?
viabilitk
pour
des Cquations
diffPrentielles
alors les deux conditi0FL.s suivantes sent Gquivalentes : I . 1‘ensemble K vtrije la propri&P de viabilitk VSEDSR ; 2. pour toL4s E E 10. 7’[, t E [f. T]. ( E L’(R. 3+. I’. K). 1‘1 cxkte L4FZo,(k[) tel yue :
stochastiques
rCtrogrades
E L”(12,3+--F.
r. W)
(7)
Remarquons
(8)
que la condition (7) du th6orkme prCcCdent peut encore s’krire
Vc > 0. 36, > 0,
15~-----t 0 quand E d
pour tout f E [t, T] et tout < E L’(12,3t,
sous la forme ’ :
0, avec E[tlf$-(L,(!.<))]
5 c’ik,,
P, A’)
c’est cette dernikre forme qui, fournissant une estimation de la distance Zt K du processus, permet de prouver l’kquivalence dans le thkorkme 1. Celui-ci est Ccrit en utilisant un formalisme semblable 2 celui p&sent6 dans [2] et 131. Dans la section suivante. on obtient un jeu de conditions plus explicites. 3. ViabilitC
dans des ensembles
fermi%
et convexes
On considkre K un ensemble ferme et II, l’ensemble des projections sur K (cet ensemble est un singleton si K est convexe ou bien si l’on projette un point oti tlr; est diffkrentiable). PROPOSITION2 (Condition tel q~w :
alars h’ vkrije
Suffisante).
- S14pposo1z.vK cwn~lexe et (3) satisfirite.
S’il e.viste C > 0
la proprie’t& de VSEDSR pour (I ).
TH~OR&ME 2. - On suppose (6) et
(IO)
3 L > 0.
IIF(t, ?J,.Z) - F(f: :LJ’,Z’)ii < L( II;y - r/‘ll + 112- 2’11).
Soit K C Iw” 1411ensemble ,fermP non vide. L’msrmblr K vkr$e la propriPtP de VSEDSR poL4r l’e’quatiori (I) si et seulement si 3 C > 0: Y (t. 2) E [0, T] X C(Iw”, Iwiy), pour tout g E R” tel que (IT,-(‘) wit deL4x.fois dkrivable en ;y, on a :
oil D dksigne la d$2rentiatioFL ‘.
1161
R. Buckdahn,
M.
Quincampoix
4. Applications
et A. Rascanu
aux equations
Considerons
I’equation
aux d&i&es
J&f.
(11)
aux d&rivCes partielles partielles suivante, satisfaite par 11E C([O. T] x R”. R’.‘) :
.I,) + h,(f.
i‘ u(T. .I:) = N(J). oh H E C( W”. Iway) est don&e et
.I.) + ./((:r, 71(1.x). (CU,(T)(f..K))
= 0.
pour (t. .I.) E [O. T] x R” et 1 5 %< N.
On suppose ici 6. D et .f lipschitziennes. II est connu - d’apres 171 et [h] - qu’alors. il existe une unique solution de viscosite de (1 I). II E C([O. T] x R”. R’ ). Cette solution se represente par des equations differentielles stochastiques .’ ’ de la m ;mrere sutv,,n~e
(‘)
La distance de .I’ A K est ici (‘1 Rappelons que cl;, (,) est presque
Note
remise
le 22 aoCit
1997,
acceptke
notee cl,, (J), partout apt&
deux r&ision
Rkfkences 1 I ) Aubin 121 Aubin I.31 Aubin
J.-P., 1992. Vitrhilir~ T/war\, Bikhiiusr. J.-P. et Da Prato G., 1990. Stochastic J.-P. et Da Prato G., 1995. Stochastic
fois
Viability Napno’s
diffhentiable
le 20 octobre
h I’extCrieur
de li
lY97.
bibliographiques and
Invariance, Awrtrli Viability Theorem,
S~~uoltr Nor-ma/~ t/l Purr. N. 27. p. 595-694. .Sfoc~/urs~ic Aw/y.\i,~ nrttl Applj~ctrh~v. N. 13.
p. I-II.
141 Crandall
M.,
Equation\,
151 Gegout-Petit Sfoch\fic~.5,
161 Pardoux SrArwl.
171 Pardoux p. SS.fJl.
1162
Isbii
Rull.
H. et Lions
Amr/~.
Mr~h.
A. et Pardoux 57.
P.-I,., Six..
E.,
27. 1995.
19Y2. User’s p. I-67. 6quations
Guide
IO the
dift’&rntielle~
Vwohity
Solutions
stochastique\
of Second rCtropradrs
Order r3ldchies
Partial dans
Differential un
convcxc’.
p. I I- 128.
E., 1996. Backward Geilo. E. et Peng S., 1990.
Stochastic Adapted
Differential solution
Equations of a tuckward
and
Semilinear
stochastic
Partial
dift’erentinl
Differential equation.
Equations, $v.\r.
Co/?/.
.Su~wrw~ L~//r,:j,
13.
I, p. 1159-I Analysis
162,
1997
Prop&t& de viabilith pour des hquations diffhrentielles stochastiques ktrogrades et applications & des hquations aux d&iv&es partielles Rainer
BLJCKDAHN,
R&urn&
Marc
QLJINCAMPOIX
tilt Aurd
RASCANLJ
II s’agit dans cette Note d’ktudier des conditions liant une Cquation dif’Erentielle stochastique rktrograde et un ensemble de contraintes pour que les solutions de I’Cquation restent dans cet ensemble de contraintes. Cette dernikre propriCk ~ appelke proprit;rc dr GnhilirP - est abordke en Ctablissant un critkre qui permet d’obtenir des rkultats nouvcaux pour certnines Cquations XIX dCrivCes particlles.
Vinbility for uppliccctions
bnckumrd to PDE’s
stochnstic
differential
equntions,
On considkre l’kquation diffkrentielle stochastique rktrograde
Dans cette Note ((2. FT.I’. {F,> I > 0)) est une base stochastique compkte continue h droite telle que Ft = a({W(s). 0 5 s _< f}) U A[. oti A[ dksigne les ensembles n&ligeables. ITT cst le mouvement brownien standard dans R”, I+’ : II x [O. T] x Iw” x C(R”. W-Y) R”‘. On dCsigne par H un espace euclidien, par Lz,,(I1.C([O.T]. II)) l’espace des processusstochastiques adapt& de L”(~2,C([O. T1.H)) et par La,,(l2x]O. T[. H)) I’espace des processus de carrks int6grables SUI Qx]O.
T[
progressivement
mesurables.
Note prksentke par Alain BKNSOUSSA~. 07W4442/97/03?5
I I.59 0
,Acadhie
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Sciences/Elsevier.
Park
1159
R. Buckdahn,
M.
1. Notion
Quincampoix
de viabilit6
et A. Rascanu
pour les Cquations
Pour cette etude, les hypotheses
rktrogrades
sent requises :
yT E L2(i1, 3T. P. W),
(2) il existe des constantes positives
i) (3)
suivantes
diffkrentielles
ii) iii)
i iv)
L: L1 ~A.4 et un processus
F( .%., ;v. 2) est progressivement
mesurable,
~a E L”(llx]O,
T[) tels que :
T/ ++ F(w. t, y, 2) est continue,
(F(k :y, 2) - F(L ?I’, i),?/ - ?I’) I Lllu - Y’l12* IIFyt. y. 2) - F(f. y, %‘)I1 < LI ))z - 2’1/. IIF(k
;y. ())/I 5 70(f) + qYll-
DE~FINITION 1. - Soit K un fermi de I#“;. Un processusstochastique {Y,, t E [0, T]} est dit ~~iuh[e dans K si et seulement si pour P-presque tout w E It,
Y;(w) E K.
v t E [O,T].
L’ensemble K verifie la propriCk de ViabilitC Stochastique pour l’cquation Differentielle Stochastique Retrograde (1) - VSEDSR en abrege - si et seulement si pour tout T E 10,T] et pour toute variable aleatoire < t L2(i2,3T. I? K), il existe une solution {Y,. t E [O.T]} de l’equation :
(4) qui soit viable dans K. L’objectif de cette Note est d’etudier sousquelles conditions reliant F et K la propriete VSEDSR est satisfaite. Mais auparavant nous rappelons un resultat d’existence des solutions de (1) (voir 171et [6l) : PROPOSITION 1. - a) Pour tout fj E L2(S2.3T,l’, RAT), il ekstr un unique I?(< ) E Lz,,(S2x]O. T[, C(Iw”. 58”)) tel que < = E(t) + j;y’ R,(<)dWs. b) Sup~~mms (2) et (3) satisfaitrs, il aiste abrs me unique solution de (1 ). (I-. Z) E L;,,(Q. C([O, T]. I#“)) x L$(~tx]o, T[. C(W”, W”)). I1 est aussi possible d’obtenir des estimations n priori plus precises de la solution, que nous omettons faute de place.
2. Condition TH~OR~ME
nkcessaire et suffisante de viabilite I. - Snit K c R” un fermd. Supposonsque (3) soit satisfilite. Si 3 51(,E 3’:
(3
P(q))
= 1, avec ?I.H (pyw, t, ?/ + ‘U,2) - F(w: t, y, 2)/l’
continue en ?L= 0 un@whnent pur ruppwt & (W>t, It/. z) E S2” x [o, T] x EP x C(R’! W”)
(6)
1160
de
Propri&?
viabilitk
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des Cquations
diffPrentielles
alors les deux conditi0FL.s suivantes sent Gquivalentes : I . 1‘ensemble K vtrije la propri&P de viabilitk VSEDSR ; 2. pour toL4s E E 10. 7’[, t E [f. T]. ( E L’(R. 3+. I’. K). 1‘1 cxkte L4FZo,(k[) tel yue :
stochastiques
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E L”(12,3+--F.
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(7)
Remarquons
(8)
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15~-----t 0 quand E d
pour tout f E [t, T] et tout < E L’(12,3t,
sous la forme ’ :
0, avec E[tlf$-(L,(!.<))]
5 c’ik,,
P, A’)
c’est cette dernikre forme qui, fournissant une estimation de la distance Zt K du processus, permet de prouver l’kquivalence dans le thkorkme 1. Celui-ci est Ccrit en utilisant un formalisme semblable 2 celui p&sent6 dans [2] et 131. Dans la section suivante. on obtient un jeu de conditions plus explicites. 3. ViabilitC
dans des ensembles
fermi%
et convexes
On considkre K un ensemble ferme et II, l’ensemble des projections sur K (cet ensemble est un singleton si K est convexe ou bien si l’on projette un point oti tlr; est diffkrentiable). PROPOSITION2 (Condition tel q~w :
alars h’ vkrije
Suffisante).
- S14pposo1z.vK cwn~lexe et (3) satisfirite.
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TH~OR&ME 2. - On suppose (6) et
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Soit K C Iw” 1411ensemble ,fermP non vide. L’msrmblr K vkr$e la propriPtP de VSEDSR poL4r l’e’quatiori (I) si et seulement si 3 C > 0: Y (t. 2) E [0, T] X C(Iw”, Iwiy), pour tout g E R” tel que (IT,-(‘) wit deL4x.fois dkrivable en ;y, on a :
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et A. Rascanu
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Considerons
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J&f.
(11)
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.I,) + h,(f.
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.I.) + ./((:r, 71(1.x). (CU,(T)(f..K))
= 0.
pour (t. .I.) E [O. T] x R” et 1 5 %< N.
On suppose ici 6. D et .f lipschitziennes. II est connu - d’apres 171 et [h] - qu’alors. il existe une unique solution de viscosite de (1 I). II E C([O. T] x R”. R’ ). Cette solution se represente par des equations differentielles stochastiques .’ ’ de la m ;mrere sutv,,n~e
(‘)
La distance de .I’ A K est ici (‘1 Rappelons que cl;, (,) est presque
Note
remise
le 22 aoCit
1997,
acceptke
notee cl,, (J), partout apt&
deux r&ision
Rkfkences 1 I ) Aubin 121 Aubin I.31 Aubin
J.-P., 1992. Vitrhilir~ T/war\, Bikhiiusr. J.-P. et Da Prato G., 1990. Stochastic J.-P. et Da Prato G., 1995. Stochastic
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diffhentiable
le 20 octobre
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lY97.
bibliographiques and
Invariance, Awrtrli Viability Theorem,
S~~uoltr Nor-ma/~ t/l Purr. N. 27. p. 595-694. .Sfoc~/urs~ic Aw/y.\i,~ nrttl Applj~ctrh~v. N. 13.
p. I-II.
141 Crandall
M.,
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151 Gegout-Petit Sfoch\fic~.5,
161 Pardoux SrArwl.
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1162
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Mr~h.
A. et Pardoux 57.
P.-I,., Six..
E.,
27. 1995.
19Y2. User’s p. I-67. 6quations
Guide
IO the
dift’&rntielle~
Vwohity
Solutions
stochastique\
of Second rCtropradrs
Order r3ldchies
Partial dans
Differential un
convcxc’.
p. I I- 128.
E., 1996. Backward Geilo. E. et Peng S., 1990.
Stochastic Adapted
Differential solution
Equations of a tuckward
and
Semilinear
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dift’erentinl
Differential equation.
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13.