- Email: [email protected]
Propriétés de monotonie et de symétrie unidimensionnelle pour les solutions de Δu+f(u)=0 avec des fonctions f éventuellement discontinues
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 973–978, 2000 Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations
Propriétés de monotonie et de symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0 avec des fonctions f éventuellement discontinues Alberto FARINA Lamfa, CNRS UPRES-A 6119, faculté de mathématiques et d’informatique, Université de Picardie Jules-Verne, 33, rue Saint-Leu 80039 Amiens, France
(Reçu le 20 avril 2000, accepté le 27 avril 2000)
Résumé.
Cette Note porte sur l’étude des propriétés de monotonie et de symétrie unidimensionnelle de solutions bornées de ∆u + f (u) = 0 dans RN , où la fonction f peut être discontinue. Nous considérons des solutions u satisfaisant µ− 6 u 6 µ+ et u(x1 , . . . , xN ) → µ± , lorsque xN → ±∞ uniformément en les autres variables. Nous prouvons que u est une fonction strictement croissante qui dépend de la seule variable xN dès que f appartient à une classe de fonction F0 , qu’on introduit dans ce travail. Comme F0 contient les fonctions lipschitziennes mais F0 n’est pas inclus dans C0 ([µ− , µ+ ]), ceci montre que nos résultats généralisent et améliorent les résultats précédemment connus concernant la classification des solutions du problème considéré. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Monotonicity and one-dimensional symmetry for the solutions of ∆u + f (u) = 0 with possibly discontinuous nonlinearity Abstract.
In this Note we study monotonicity and one-dimensional symmetry properties for bounded solutions of ∆u + f (u) = 0 in RN , where the nonlinearity f can be a discontinuous function. We consider solutions u such that µ− 6 u 6 µ+ and u(x1 , . . . , xN ) → µ± as xN → ±∞, uniformly with respect to x1 , . . . , xN−1 . We prove that the solutions are strictly increasing functions depending only on the variable xN , whenever f belongs to a suitable class of functions F0 . Since Lipschitz-continuous functions belong to F0 but F0 is not included in C0 ([µ− , µ+ ]), we recover and improve upon all known results concerning the classification of the considered problem. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Note présentée par Jean-Michel B ONY. S0764-4442(00)00305-0/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
973
A. Farina
Abridged English version This Note is devoted to the characterization of the solutions of: 0 N ∆u + f (u) = 0 in D R , µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ± uniformly in x1 , . . . , xN −1 ,
(1)
xN →±∞
where the nonlinearity f is defined on [µ− , µ+ ] and can be a discontinuous function. For given µ− < µ+ , we define a set of functions F0 such that, if f ∈ F0 , then any solution u of (1) is monotone, i.e., ∂u/∂xN > 0 in RN , and one-dimensional, i.e., u = u(xN ) (see Theorems 1 and 2). To define F0 we consider: F :=
f is a Lebesgue-mesurable function (everywhere defined) on [µ− , µ+ ]:
f (s) − f (t) 6 g(t − s), ∀ s 6 t ∈ [µ− , µ+ ], where g ∈ G,
where the set G is given by: g ∈ C0 [0, +∞) and satisfies: g(0) = 0, Z δ 1 p ds = +∞, G := ∃ δ > 0 : g is nondecreasing on [0, δ] and G(s) 0 Z s where G(s) = g(t) dt. 0
Finally, the set F0 is defined as follows: F0 :=
f ∈ F : f (µ+ ) = 0, ∃ t− , t+ ∈ (µ− , µ+ ) (with t− < t+ ) and
f is nonincreasing on [µ− , t− ] and [t+ , µ+ ].
Remark 1. – By definition of F we have C0,1 ([µ− , µ+ ]) ⊂ F ⊂ L∞ ([µ− , µ+ ]). On the other hand F is not included in C0 ([µ− , µ+ ]), as shown by the following example. Example 1. – Set µ− = −1 and µ+ = 1 and consider the function: −t − 1 if t ∈ [−1, 0], f (t) := −t + 1 if t ∈ (0, 1],
(2)
then f ∈ F0 , with t− = 0 < t+ < µ+ and g(t) = t, but it is not continuous at 0. Furthermore, a direct computation shows that the function u(x) :=
ex N − 1 1 − e−xN
if xN 6 0, if xN > 0,
is a monotone one-dimensional solution of (1), with f given by (2). This shows that the study of monotonicity and one-dimensional symmetry properties of (1) is meaningfull even in the wider context of discontinuous nonlinearity f .
974
Monotonie et symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0
To our knowledge, all the papers on this subject (see [1–3,5,6,8]) consider a nonlinearity f satisfying: f ∈ C0,1 ([µ− , µ+ ]), f (µ− ) = f (µ+ ) = 0 and
f is nonincreasing in a neighbourhood of µ− and µ+ .
Thus, Remark 1 shows that our results include and improve upon all of them. The proof of our results is based on: (i) the moving planes method, (ii) various versions of the maximum principle on domains (possibly unbounded) and (iii) the strong minimum principle and the Boundary lemma for non-negative solutions of ∆v − g(v) 6 0, where g ∈ G (see [4,9–11]). By making use of these facts we can consider functions f ∈ F0 and overcoming thus the lack of smoothness of f . Our results are: T HEOREM 1. – Assume N > 1, f ∈ F0 and let u be a solution of: 0 N ∆u + f (u) = 0 in D R , µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ+ uniformly in x1 , . . . , xN −1 . xN →+∞
Suppose that: ∃ µ < µ+ , M > 0 : u(x) 6 µ,
∀ x ∈ RN , with xN < −M.
Then, ∂u/∂xN > 0 on RN . Remark 2. – Theorem 1 also holds even without the monotonicity assumption for f on [µ− , t− ] (see [7]). T HEOREM 2. – Assume N > 1, f ∈ F0 and let u be a solution of (1). Then, u is monotone and onedimensional, i.e., u(x) = h(xN ), where h is a C1,1 (R) function satisfying: (
h00 + f (h) = 0 on R, lim h(t) = µ± and h0 (t) > 0, t→±∞
for all t ∈ R.
Theorems 1 and 2 are proved in [7]. The latter work also includes some extentions to nonlinearities of the form f (x, u).
1. Introduction Cette Note est consacrée à la caractérisation des solutions u de : dans D0 RN , ∆u + f (u) = 0 µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ± , les limites étant uniformes en les autres variables,
(1)
xN →±∞
où f est une fonction définie sur l’intervalle [µ− , µ+ ] qui peut être discontinue. Étant donné µ− < µ+ , on introduit une classe de fonctions F0 (voir la définition ci-dessous) telle que si f ∈ F0 , alors toute solution u de (1) est monotone, i.e. ∂u/∂xN > 0 dans RN , et à symétrie
975
A. Farina
unidimensionnelle, i.e. u = u(xN ) (voir théorèmes 1 et 2). Pour définir la classe F0 on utilise : F :=
f est une fonction Lebesgue-mesurable (et partout définie) sur [µ− , µ+ ] telle que :
f (s) − f (t) 6 g(t − s), ∀ s 6 t ∈ [µ− , µ+ ], où g ∈ G,
où G désigne la famille de fonctions suivante : g ∈ C0 [0, +∞) et satisfait : g(0) = 0, Z δ 1 p ds = +∞, G := ∃ δ > 0 : g est croissante sur [0, δ] et G(s) 0 Z s où G(s) = g(t) dt. 0
La classe F0 est alors ainsi définie : F0 :=
f ∈ F : f (µ+ ) = 0, ∃ t− , t+ ∈ (µ− , µ+ ) (avec t− < t+ ) et
f est décroissante sur [µ− , t− ] et [t+ , µ+ ].
Remarque 1. – Par définition de F on vérifie que C0,1 ([µ− , µ+ ]) ⊂ F ⊂ L∞ ([µ− , µ+ ]). D’autre part, F n’est pas inclus dans C0 ([µ− , µ+ ]) comme le montre l’exemple suivant. Exemple 1. – Soient µ− = −1 et µ+ = 1 alors la fonction f (t) :=
−t − 1 −t + 1
si t ∈ [−1, 0], si t ∈ (0, 1],
(2)
appartient à F0 , avec t− = 0 < t+ < µ+ et g(t) = t, mais elle n’est pas continue en 0. De plus, un calcul direct montre que la fonction : u(x) :=
ex N − 1 1 − e−xN
si xN 6 0, si xN > 0,
est une solution monotone et à symétrie unidimensionnelle de (1) avec f donnée par (2). Ceci montre que l’étude des proprietés de monotonie et symétrie unidimensionnelle des solutions de (1) a un sens même dans le contexte des fonctions f discontinues. À notre connaissance dans tous les travaux concernant les solutions de (1) (voir [1–3,5,6,8]) la fonction f vérifie les hypothèses suivantes : f ∈ C0,1 ([µ− , µ+ ]), f (µ− ) = f (µ+ ) = 0 et f est décroissante au voisinage de µ− et µ+ . Ainsi, la remarque 1 prouve que nos résultats généralisent et améliorent les résultats précédemment connus. Notre démonstration de la monotonie et de la symétrie unidimensionnelle repose sur : (i) la méthode des hyperplans mobiles (hh the moving planes method ii), (ii) diverses versions du principe du maximum dans des domaines (éventuellement non bornés) et (iii) le principe du minimum fort et le lemme de Hopf pour les solutions positives de ∆v − g(v) 6 0, pour g ∈ G. Ceci nous permet de travailler avec une fonction f ∈ F0 et de contourner ainsi la difficulté du manque de régularité de f . En effet, les résultats suivants sont bien connus (voir [4,9–11]).
976
Monotonie et symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0
P RINCIPE de :
DU MINIMUM FORT .
– Soient Ω un ouvert connexe de RN , g ∈ G et v ∈ C1 (Ω) une solution
∆v − g(v) 6 0 dans D0 (Ω), v>0 dans Ω.
S’il existe x0 ∈ Ω tel que v(x0 ) = 0, alors v ≡ 0 dans Ω. L EMME DE H OPF. – Soient Ω un ouvert connexe régulier de RN , g ∈ G et v ∈ C1 (Ω) une solution de : (
∆v − g(v) 6 0 v>0 v=0
dans D0 (Ω), dans Ω, sur ∂Ω.
Alors ∂u/∂ν < 0 sur ∂Ω, où ν désigne la normale extérieure au bord de Ω. Le théorème 1 concerne la monotonie des solutions, le théorème 2, la propriété de symétrie unidimensionnelle. Les preuves de ces résultats sont detaillées dans [7] ; ce travail inclut aussi une généralisation de ces résultats au cas des fonctions f de la forme f = f (x, u). 2. Énoncés des résultats T HÉORÈME 1. – Soient N > 1, f ∈ F0 et u une solution de : dans D0 RN , ∆u + f (u) = 0 µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ+ , la limite étant uniforme en les autres variables, xN →+∞
satisfaisant : ∃ µ < µ+ , M1 > 0 : u(x) 6 µ,
∀ x ∈ RN , avec xN < −M1 .
Alors ∂u/∂xN > 0 sur RN . Remarque 2. – Le théorème 1 est encore vrai sans l’hypothèse de monotonie de f au voisinage de µ− (voir [7]). T HÉORÈME 2. – Soient N > 1, f ∈ F0 et u une solution de (1) alors, u est monotone et à symétrie unidimensionnelle, i.e., u(x) = h(xN ), où h ∈ C1,1 (R) satisfait : (
h00 + f (h) = 0 dans R, lim h(t) = µ± et h0 (t) > 0, t→±∞
pour tout t ∈ R.
Références bibliographiques [1] Ambrosio L., Cabré X., Entire solutions of semilinear elliptic equations in R3 and a conjecture of De Giorgi, J. Amer. Math. Soc. (1999) (to appear). [2] Barlow M.T., Bass R., Gui C., The Liouville property and a conjecture of De Giorgi, Preprint, 1999. [3] Berestycki H., Hamel F., Monneau R., One-dimensional symmetry for some bounded entire solutions of some elliptic equations, Preprint, 1999. [4] Diaz J.I., Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries, Research Notes in Matematics, 106, 1985. [5] Farina A., Some remarks on a conjecture of De Giorgi, Calc. Var. Partial Differ. Eq. 8 (3) (1999) 233–245. [6] Farina A., Symmetry for solutions of semilinear elliptic equations in RN and related conjectures, Ricerche di Matematica: special issue in Memory of E. De Giorgi, XLVIII, 1999, pp. 129–154.
977
A. Farina [7] Farina A., (2000) (to appear). [8] Ghoussoub G., Gui C., On a conjecture of De Giorgi and some related problems, Math. Ann. 311 (1998) 481–491. [9] Pucci P., Serrin J., A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities, J. Math. Pures Appl. 9e série 79 (1) (2000) 57–71. [10] Pucci P., Serrin J., Zou H., A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities, J. Math. Pures Appl. 9e série 78 (8) (1999) 769–789. [11] Vazquez J.-L., A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations, Appl. Math. and Optim. 12 (1984) 191–202.
978
Propriétés de monotonie et de symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0 avec des fonctions f éventuellement discontinues Alberto FARINA Lamfa, CNRS UPRES-A 6119, faculté de mathématiques et d’informatique, Université de Picardie Jules-Verne, 33, rue Saint-Leu 80039 Amiens, France
(Reçu le 20 avril 2000, accepté le 27 avril 2000)
Résumé.
Cette Note porte sur l’étude des propriétés de monotonie et de symétrie unidimensionnelle de solutions bornées de ∆u + f (u) = 0 dans RN , où la fonction f peut être discontinue. Nous considérons des solutions u satisfaisant µ− 6 u 6 µ+ et u(x1 , . . . , xN ) → µ± , lorsque xN → ±∞ uniformément en les autres variables. Nous prouvons que u est une fonction strictement croissante qui dépend de la seule variable xN dès que f appartient à une classe de fonction F0 , qu’on introduit dans ce travail. Comme F0 contient les fonctions lipschitziennes mais F0 n’est pas inclus dans C0 ([µ− , µ+ ]), ceci montre que nos résultats généralisent et améliorent les résultats précédemment connus concernant la classification des solutions du problème considéré. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Monotonicity and one-dimensional symmetry for the solutions of ∆u + f (u) = 0 with possibly discontinuous nonlinearity Abstract.
In this Note we study monotonicity and one-dimensional symmetry properties for bounded solutions of ∆u + f (u) = 0 in RN , where the nonlinearity f can be a discontinuous function. We consider solutions u such that µ− 6 u 6 µ+ and u(x1 , . . . , xN ) → µ± as xN → ±∞, uniformly with respect to x1 , . . . , xN−1 . We prove that the solutions are strictly increasing functions depending only on the variable xN , whenever f belongs to a suitable class of functions F0 . Since Lipschitz-continuous functions belong to F0 but F0 is not included in C0 ([µ− , µ+ ]), we recover and improve upon all known results concerning the classification of the considered problem. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Note présentée par Jean-Michel B ONY. S0764-4442(00)00305-0/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
973
A. Farina
Abridged English version This Note is devoted to the characterization of the solutions of: 0 N ∆u + f (u) = 0 in D R , µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ± uniformly in x1 , . . . , xN −1 ,
(1)
xN →±∞
where the nonlinearity f is defined on [µ− , µ+ ] and can be a discontinuous function. For given µ− < µ+ , we define a set of functions F0 such that, if f ∈ F0 , then any solution u of (1) is monotone, i.e., ∂u/∂xN > 0 in RN , and one-dimensional, i.e., u = u(xN ) (see Theorems 1 and 2). To define F0 we consider: F :=
f is a Lebesgue-mesurable function (everywhere defined) on [µ− , µ+ ]:
f (s) − f (t) 6 g(t − s), ∀ s 6 t ∈ [µ− , µ+ ], where g ∈ G,
where the set G is given by: g ∈ C0 [0, +∞) and satisfies: g(0) = 0, Z δ 1 p ds = +∞, G := ∃ δ > 0 : g is nondecreasing on [0, δ] and G(s) 0 Z s where G(s) = g(t) dt. 0
Finally, the set F0 is defined as follows: F0 :=
f ∈ F : f (µ+ ) = 0, ∃ t− , t+ ∈ (µ− , µ+ ) (with t− < t+ ) and
f is nonincreasing on [µ− , t− ] and [t+ , µ+ ].
Remark 1. – By definition of F we have C0,1 ([µ− , µ+ ]) ⊂ F ⊂ L∞ ([µ− , µ+ ]). On the other hand F is not included in C0 ([µ− , µ+ ]), as shown by the following example. Example 1. – Set µ− = −1 and µ+ = 1 and consider the function: −t − 1 if t ∈ [−1, 0], f (t) := −t + 1 if t ∈ (0, 1],
(2)
then f ∈ F0 , with t− = 0 < t+ < µ+ and g(t) = t, but it is not continuous at 0. Furthermore, a direct computation shows that the function u(x) :=
ex N − 1 1 − e−xN
if xN 6 0, if xN > 0,
is a monotone one-dimensional solution of (1), with f given by (2). This shows that the study of monotonicity and one-dimensional symmetry properties of (1) is meaningfull even in the wider context of discontinuous nonlinearity f .
974
Monotonie et symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0
To our knowledge, all the papers on this subject (see [1–3,5,6,8]) consider a nonlinearity f satisfying: f ∈ C0,1 ([µ− , µ+ ]), f (µ− ) = f (µ+ ) = 0 and
f is nonincreasing in a neighbourhood of µ− and µ+ .
Thus, Remark 1 shows that our results include and improve upon all of them. The proof of our results is based on: (i) the moving planes method, (ii) various versions of the maximum principle on domains (possibly unbounded) and (iii) the strong minimum principle and the Boundary lemma for non-negative solutions of ∆v − g(v) 6 0, where g ∈ G (see [4,9–11]). By making use of these facts we can consider functions f ∈ F0 and overcoming thus the lack of smoothness of f . Our results are: T HEOREM 1. – Assume N > 1, f ∈ F0 and let u be a solution of: 0 N ∆u + f (u) = 0 in D R , µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ+ uniformly in x1 , . . . , xN −1 . xN →+∞
Suppose that: ∃ µ < µ+ , M > 0 : u(x) 6 µ,
∀ x ∈ RN , with xN < −M.
Then, ∂u/∂xN > 0 on RN . Remark 2. – Theorem 1 also holds even without the monotonicity assumption for f on [µ− , t− ] (see [7]). T HEOREM 2. – Assume N > 1, f ∈ F0 and let u be a solution of (1). Then, u is monotone and onedimensional, i.e., u(x) = h(xN ), where h is a C1,1 (R) function satisfying: (
h00 + f (h) = 0 on R, lim h(t) = µ± and h0 (t) > 0, t→±∞
for all t ∈ R.
Theorems 1 and 2 are proved in [7]. The latter work also includes some extentions to nonlinearities of the form f (x, u).
1. Introduction Cette Note est consacrée à la caractérisation des solutions u de : dans D0 RN , ∆u + f (u) = 0 µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ± , les limites étant uniformes en les autres variables,
(1)
xN →±∞
où f est une fonction définie sur l’intervalle [µ− , µ+ ] qui peut être discontinue. Étant donné µ− < µ+ , on introduit une classe de fonctions F0 (voir la définition ci-dessous) telle que si f ∈ F0 , alors toute solution u de (1) est monotone, i.e. ∂u/∂xN > 0 dans RN , et à symétrie
975
A. Farina
unidimensionnelle, i.e. u = u(xN ) (voir théorèmes 1 et 2). Pour définir la classe F0 on utilise : F :=
f est une fonction Lebesgue-mesurable (et partout définie) sur [µ− , µ+ ] telle que :
f (s) − f (t) 6 g(t − s), ∀ s 6 t ∈ [µ− , µ+ ], où g ∈ G,
où G désigne la famille de fonctions suivante : g ∈ C0 [0, +∞) et satisfait : g(0) = 0, Z δ 1 p ds = +∞, G := ∃ δ > 0 : g est croissante sur [0, δ] et G(s) 0 Z s où G(s) = g(t) dt. 0
La classe F0 est alors ainsi définie : F0 :=
f ∈ F : f (µ+ ) = 0, ∃ t− , t+ ∈ (µ− , µ+ ) (avec t− < t+ ) et
f est décroissante sur [µ− , t− ] et [t+ , µ+ ].
Remarque 1. – Par définition de F on vérifie que C0,1 ([µ− , µ+ ]) ⊂ F ⊂ L∞ ([µ− , µ+ ]). D’autre part, F n’est pas inclus dans C0 ([µ− , µ+ ]) comme le montre l’exemple suivant. Exemple 1. – Soient µ− = −1 et µ+ = 1 alors la fonction f (t) :=
−t − 1 −t + 1
si t ∈ [−1, 0], si t ∈ (0, 1],
(2)
appartient à F0 , avec t− = 0 < t+ < µ+ et g(t) = t, mais elle n’est pas continue en 0. De plus, un calcul direct montre que la fonction : u(x) :=
ex N − 1 1 − e−xN
si xN 6 0, si xN > 0,
est une solution monotone et à symétrie unidimensionnelle de (1) avec f donnée par (2). Ceci montre que l’étude des proprietés de monotonie et symétrie unidimensionnelle des solutions de (1) a un sens même dans le contexte des fonctions f discontinues. À notre connaissance dans tous les travaux concernant les solutions de (1) (voir [1–3,5,6,8]) la fonction f vérifie les hypothèses suivantes : f ∈ C0,1 ([µ− , µ+ ]), f (µ− ) = f (µ+ ) = 0 et f est décroissante au voisinage de µ− et µ+ . Ainsi, la remarque 1 prouve que nos résultats généralisent et améliorent les résultats précédemment connus. Notre démonstration de la monotonie et de la symétrie unidimensionnelle repose sur : (i) la méthode des hyperplans mobiles (hh the moving planes method ii), (ii) diverses versions du principe du maximum dans des domaines (éventuellement non bornés) et (iii) le principe du minimum fort et le lemme de Hopf pour les solutions positives de ∆v − g(v) 6 0, pour g ∈ G. Ceci nous permet de travailler avec une fonction f ∈ F0 et de contourner ainsi la difficulté du manque de régularité de f . En effet, les résultats suivants sont bien connus (voir [4,9–11]).
976
Monotonie et symétrie unidimensionnelle pour les solutions de ∆u + f (u) = 0
P RINCIPE de :
DU MINIMUM FORT .
– Soient Ω un ouvert connexe de RN , g ∈ G et v ∈ C1 (Ω) une solution
∆v − g(v) 6 0 dans D0 (Ω), v>0 dans Ω.
S’il existe x0 ∈ Ω tel que v(x0 ) = 0, alors v ≡ 0 dans Ω. L EMME DE H OPF. – Soient Ω un ouvert connexe régulier de RN , g ∈ G et v ∈ C1 (Ω) une solution de : (
∆v − g(v) 6 0 v>0 v=0
dans D0 (Ω), dans Ω, sur ∂Ω.
Alors ∂u/∂ν < 0 sur ∂Ω, où ν désigne la normale extérieure au bord de Ω. Le théorème 1 concerne la monotonie des solutions, le théorème 2, la propriété de symétrie unidimensionnelle. Les preuves de ces résultats sont detaillées dans [7] ; ce travail inclut aussi une généralisation de ces résultats au cas des fonctions f de la forme f = f (x, u). 2. Énoncés des résultats T HÉORÈME 1. – Soient N > 1, f ∈ F0 et u une solution de : dans D0 RN , ∆u + f (u) = 0 µ− 6 u 6 µ+ , lim u = µ+ , la limite étant uniforme en les autres variables, xN →+∞
satisfaisant : ∃ µ < µ+ , M1 > 0 : u(x) 6 µ,
∀ x ∈ RN , avec xN < −M1 .
Alors ∂u/∂xN > 0 sur RN . Remarque 2. – Le théorème 1 est encore vrai sans l’hypothèse de monotonie de f au voisinage de µ− (voir [7]). T HÉORÈME 2. – Soient N > 1, f ∈ F0 et u une solution de (1) alors, u est monotone et à symétrie unidimensionnelle, i.e., u(x) = h(xN ), où h ∈ C1,1 (R) satisfait : (
h00 + f (h) = 0 dans R, lim h(t) = µ± et h0 (t) > 0, t→±∞
pour tout t ∈ R.
Références bibliographiques [1] Ambrosio L., Cabré X., Entire solutions of semilinear elliptic equations in R3 and a conjecture of De Giorgi, J. Amer. Math. Soc. (1999) (to appear). [2] Barlow M.T., Bass R., Gui C., The Liouville property and a conjecture of De Giorgi, Preprint, 1999. [3] Berestycki H., Hamel F., Monneau R., One-dimensional symmetry for some bounded entire solutions of some elliptic equations, Preprint, 1999. [4] Diaz J.I., Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries, Research Notes in Matematics, 106, 1985. [5] Farina A., Some remarks on a conjecture of De Giorgi, Calc. Var. Partial Differ. Eq. 8 (3) (1999) 233–245. [6] Farina A., Symmetry for solutions of semilinear elliptic equations in RN and related conjectures, Ricerche di Matematica: special issue in Memory of E. De Giorgi, XLVIII, 1999, pp. 129–154.
977
A. Farina [7] Farina A., (2000) (to appear). [8] Ghoussoub G., Gui C., On a conjecture of De Giorgi and some related problems, Math. Ann. 311 (1998) 481–491. [9] Pucci P., Serrin J., A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities, J. Math. Pures Appl. 9e série 79 (1) (2000) 57–71. [10] Pucci P., Serrin J., Zou H., A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities, J. Math. Pures Appl. 9e série 78 (8) (1999) 769–789. [11] Vazquez J.-L., A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations, Appl. Math. and Optim. 12 (1984) 191–202.
978