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Zéros et pôles des fonctions L de F -isocristaux☆
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 431–436, 2001 Géométrie algébrique/Algebraic Geometry
Zéros et pôles des fonctions L de F -isocristaux * Fabien TRIHAN Graduate School of Mathematical Science, University of Tokyo, 3-8-1 Komaba, Meguro-ku, Tokyo 153-8914, Japon Courriel : [email protected] (Reçu le 6 novembre 2000, accepté après révision le 28 janvier 2001)
Résumé.
Nous donnons une expression des zéros et pôles de la fonction L d’un F -isocristal surconvergent défini sur un ouvert d’une variété propre et lisse, lorsque la situation géométrique se relève à la caractéristique nulle et sous l’hypothèse que la connexion de l’isocristal est réguliere à l’infini et vérifie une condition sur les résidus. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Zeroes and poles of the L-functions of F -isocrystals Abstract.
We give an expression of the zeroes and poles of the L-function of an overconvergent F -isocrystal defined on an open variety when the geometric situation lifts to the characteristic 0 and under the hypothesis that the connexion of the isocrystal is regular at infinity and satisfies a condition on the residues. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let Fq , q = ps , Fq an algebraic closure of Fq , K = Frac(W (Fq )), K = Frac(W (Fq )) and σ : K → K, the lifting of the Frobenius on Fq . Let X/W (Fq ) be a proper and smooth scheme, D a divisor with normal crossings of X, union of smooth components Di and U := X D. We denote respectively X, D and U the special fibre of these schemes and Xan K the rigid analytic space associated to the generic fibre XK of X. Let E † an F -isocrystal on U overconvergent along D [3] and for any r ∈ Z, E † (r) its Tate-twist. We denote DR·rig (E † ) the de Rham complex associated to E † , endowed with its Frobenius operator Φ and P·rig (E † ) := Cone 1 − Φ, DR·rig (E † ) [−1]. T HEOREM. – (i) There is a long exact sequence: † 1−p−r Φ · −→ Hirig (U/K, E † ) −−−−→ Hirig (U/K, E † ) −→ · · · . · · · −→ Hi Xan K , Prig E (r) (ii) Let us denote E † the isocrystal induced by E † after the base change U := U ×Fq Fq → U . Then, if the the connexion of E † is regular at infinity and satisfies the residue condition of [13], 4.2, then the long exact sequence (i) induces a short exact sequence: 1−p−r Φ , P·rig E † (r) −→ Hirig (U /K, E † ) −−−−→ Hirig (U /K, E † ) −→ 0. 0 −→ Hi Xan K Note présentée par Michel R AYNAUD. S0764-4442(01)01870-5/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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Furthermore, if F := Φs , the groups Hi Xan , P·rig (E † (r)) are F -stable and the eigenvalues of F on these K groups are the eigenvalues of F on Hirig (U /K, E † ) of p-adic valuation equal to q r . C OROLLARY. – Let L(U, E † , t) be the L-function of E † , an F -isocrystal as in the (ii) of the theorem. We denote by Φi the automorphism of Frobenius on the cohomology of E † induced by the sth iterated of its Frobenius action Φ. Then the function: L(U, E † , t) ×
2n
†∨ −1 (−1)i · det 1 − q r t Φi , Hi Xan , P E (n − r)) , rig K
i=0
has no zeroes nor poles on the annulus |t|p = q r .
1. Action de Frobenius sur la cohomologie rigide 1.1. Soient Fq , q = ps , Fq une clôture algébrique de Fq , K = Frac(W (Fq )), K = Frac(W (Fq )) et σ : K → K, le relèvement du Frobenius sur Fq . Soient X/W (Fq ) un schéma propre et lisse, D un diviseur à croisements normaux de X relativement à W (Fq ), union de composantes lisses Di et U := X D. On note respectivement X, D et U la fibre spéciale de ces schémas et Xan K l’espace rigide analytique associé la complétion p-adique de X. On suppose de plus que le Frobenius à la fibre générique XK de X et X, absolu de X se relève à X ou à sa complétion p-adique et on le note ΦX . Soit E † un F -isocristal sur U surconvergent le long de D (au sens de [3]). Celui-ci correspond à la donnée d’un j † OXan -module muni K d’une connexion intégrable et surconvergente ∇ ainsi que d’un automorphisme de Frobenius horizontal par rapport à la connexion. Notons DR·rig (E † ) le complexe de de Rham associé à E † : DR·rig (E † ) := E † ⊗ Ω·Xan /K . K
Le Frobenius ΦX ainsi que l’action de Frobenius sur E † induisent un endomorphisme σ-linéaire : Φ : DR·rig (E † ) −→ DR·rig (E † ). · † La cohomologie rigide de E † est alors égale à Hirig (U/K, E † ) = Hi Xan K , DRrig (E ) . Celle-ci est munie d’un endomorphisme de Frobenius induit par Φ qui est en fait un automorphisme d’après [10], 4.2. Posons d’autre part P·rig (E † ) := Cone 1 − Φ, DR·rig (E † ) [−1], s’insérant dans le triangle distingué : P·rig (E † ) −→ DR·rig (E † ) −−→ DR·rig (E † ). 1−Φ
On déduit de ce dernier la suite exacte longue de cohomologie : · † i † 1−Φ i † · · · −→ Hi Xan K , Prig (E ) −→ Hrig (U/K, E ) −−→ Hrig (U/K, E ) −→ · · · . Notons E † (r), le r ième twisté de Tate de E † ([3]), r ∈ Z et P·rig (E † , r) := P·rig (E † (r)). On déduit alors immédiatement de la suite exacte longue ci-dessus, la suite exacte longue de cohomologie pour tout r ∈ Z : −r · † i † 1−p Φ i · · · −→ Hi Xan −−−→ Hrig (U/K, E † ) −→ · · · . (1) K , Prig (E , r) −→ Hrig (U/K, E ) − P ROPOSITION 1.2. – Sous les hypothèses 1.1, on suppose que la cohomologie de E † est de dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes K /K. On note E † l’isocristal déduit de E † par le changement de base U := U ×Fq Fq → U . Alors : (i) la suite exacte longue (1) induit une suite exacte courte : 1−p−r Φ , P·rig (E † , r) −→ Hirig (U /K, E † ) −−−−→ Hirig (U /K, E † ) −→ 0; 0 −→ Hi Xan K
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(ii) notons F := Φs . Alors Hi (Xan , P·rig (E † , r)) est F stable et les valeurs propres de F sur ce groupe sont K les valeurs propres de F sur Hirig (U /K, E † ) de valuation p-adique égale à q r . Démonstration. – La première assertion résulte de [11], 6.2, et la deuxième de [6], 3.3. Remarque 1.3. – Notons surconvergents. Alors ExtF· -iso† †les classes d’extensions †∨ †de F -isocristaux an . d’après [8], 1.3.1, on a H1 Xan , P (E , 0) Ext † E , j O X F-iso rig K K
Nous rappelons à présent quelques définitions de [13]. D ÉFINITION 1.4. – (i) Notons X := (X, L(D)) le log-schéma X muni de la log-structure induite par le diviseur D et FX : X → X son Frobenius. Si le F -isocristal E † provient d’un F -log-cristal E ∗ sur X /W (Fq ) faiblement non dégénérée (i.e. muni d’un morphisme de Frobenius FX E → E dont la restriction à U est une isogénie) celui-ci est dit régulier à l’infini. (ii) Le log-cristal E induit un module EK sur OXK à connexion à pôles logarithmiques le long de DK . On dira que E † un F -isocristal régulier à l’infini satisfait la propriété (Res) si les endomorphismes résidus de la connexion de EK le long des composantes DiK n’admettent aucun entier strictement positif pour valeurs propres. (iii) On dira que E † est strictement régulier à l’infini s’il provient d’un F -log-cristal E sur X /W (Fq ) non dégénéré. L EMME 1.5. – Les F -isocristaux strictement réguliers satisfont la condition (Res). Démonstration. – Soient E † le F -isocristal strictement régulier, E le log-cristal dont il provient et EK le OXK -module à connexion à pôles logarithmiques le long de DK muni d’un isomorphisme de Frobenius Φ : F ∗ EK EK horizontal par rapport à la connexion. Notons Res∇,i (resp. ResF ∗ ∇,i ) les endomorphismes résidus de EK (resp. F ∗ EK ) le long des composantes DiK . Par horizontalité on a Res∇,i Φ = ΦResF ∗ ∇,i . Or via l’isomorphisme Φ : F ∗ EK EK , on peut identifier ResF ∗ ∇,i = p · Res∇,i . L’opérateur Res∇,i est ainsi nilpotent et donc ces valeurs propres sont nulles. Exemples 1.6. – (i) La condition de la proposition 1.2 est conjecturalement toujours vérifiée. Elle résulte de la conjecture selon laquelle les F -isocristaux sont quasi unipotents et la cohomologie de ces derniers est de dimension finie (cf. [7]). (ii) Il a été montré dans [13] que la cohomologie rigide d’un F -isocristal régulier à l’infini et satisfaisant (Res) est de dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes ([13], 4.2.1). Il a été de plus conjecturé que les hypothèses de relèvements à la caratéristique 0 sont superflues. an (iii) L’espace rigide analytique Uan K est un voisinage strict de ]U [X dans XK . D’après [3], 2.2.3, il existe an un voisinage strict V de ]U [X dans XK et un OV module cohérent EV muni d’une connexion convergente est tel que le F -isocristal E † = j † EV . Si l’on peut choisir V = Uan K et si l’on suppose que l’isocristal an unipotent au sens de [9], 2.3.1, alors d’après [9], 2.4.1, on a Hirig (U/K, E † ) HidR Uan , E , et ainsi UK K les hypothèses de la proposition 1.2 sont également satisfaites.
(iv) Les F -isocristaux unité surconvergents vérifient les hypothèses de la proposition 1.2 d’après [18], 6.1.1, (i) et (ii). 2. Application aux fonctions L 2.1. Nous conservons les hypothèses du chapitre précédent. On note n la dimension de X. Soit E † un F -isocristaux surconvergent sur U correspondant aux exemples 1.6, (ii), (iii) ou (iv). On note E †∨ son dual. La cohomologie de E † est munie d’une action de Frobenius linéaire Φi induite par le sième itéré de l’action de Frobenius Φ de E † . D’après [10], la fonction L associée à E † est alors méromorphe et a pour
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expression : L(U, E † , t) =
2n
i+1 i †∨ (−1) det 1 − tq n Φ−1 . i , Hrig U, E
i=0
Nous allons donner une description fonction en reprenant la démarche de [16]. des zéros et pôles de cette 2n Posons u = 1/tq n , di := rang Hirig (U, E †∨ ) , χ := i=0 (−1)i+1 di , l’opposée de la caractéristique 1 (−1)i+1 . Avec ces notations nous pouvons d’Euler–Poincaré rigide de E †∨ et λ := (−1)χ × 2n i=0 det(Φi ) réécrire la fonction L de E sous la forme : 2n (−1)i+1 λ L(U, E, t) = χ × det 1 − uΦi , Hirig U, E †∨ . (2) u i=0 D’après ([6], 3.3) et la proposition 1.2, les Qp -espaces vectoriels Hi (Xan , P·rig (E †∨ , r)) sont munis de K −r s l’action linéaire Φi := q Φ . On déduit alors à l’aide de la proposition 1.2 et de manière analogue à ([16], théorème) le résultat suivant : T HÉORÈME 2.2. – La fonction †
L(U, E , t) ×
2n
−1 (−1)i †∨ · det 1 − q r t Φi , Hi Xan , P E , n − r rig K
i=0
n’a ni zéro ni pôle sur la couronne |t|p = q r . Nous allons donner à présent quelques exemples géométriques. Tout d’abord, dans le cas du coefficient trivial, le calcul a été effectué dans [16]. Dans ce cas l’isocristal trivial sur U est strictement régulier à l’infini et on peut déduire immédiatement de ([16], 2.3 et 2.5) et l’équation (1) : , P·rig (r) Hi−r (X, WΩrlog ), où WΩrlog est P ROPOSITION 2.3. – Pour tout entier r 0, on a Hi Xan K · le complexe de Hodge–Witt logarithmique de [14]. En particulier, Hi Xan , P (r) est nul dans les deux rig K cas suivants : (i) r > n ; (ii) 0 r n et i < r ou i > n + r. 2.4. Soit F un corps de fonctions algébriques en une variable, de corps des constantes Fq , q = pr et AF /F une variété abélienne. Soient S le modèle propre et lisse de F sur Fq et U l’ouvert dense sur lequel AF a bonne réduction, i.e. se prolonge en un schéma abélien f : A → U . D’après [1], III, 7.4, la courbe S se relève en une courbe propre et lisse S sur W (Fq ). On peut également relever les points de mauvaise réduction. Nous supposerons que le Frobenius de S se relève à S. Nous avons vu dans [17] que si AF a réduction semi-abélienne, alors le cristal de Dieudonné de A est surconvergent et même strictement régulier à l’infini. On le note D(A)† . On note LAF (t) la fonction de Hasse–Weil de AF définie en les points de bonne réduction. Celle-ci correspond alors à la fonction L de D(A)† et on a ainsi montré d’après le théorème 2.2 : P ROPOSITION 2.5. – On se place sous les hypothèses de 2.4. La fonction LAF (t) ×
2n
−1 (−1)i det 1 − q r t Φi , Hi San , P·rig D(A)†∨ , n − r , K
i=0
n’a ni zéro ni pôle sur la couronne |t|p = q r . C OROLLAIRE 2.6. – Si de plus AF a bonne réduction, i.e. se relève au-dessus de S en un schéma abélien f : A → S, alors on a pour i = 0 et 1 : , P·rig D(A)† , 0 Hiét S, R1 f ∗ Qp . Hi San K Démonstration. – L’assertion résulte de (1) et de [15], 3.9.
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3. Interprétation en termes de D† 3.1. Nous conservons les hypothèses de 1.1. Soit E un F -isocristal surconvergent sur U . On note sp : Xan K → X le morphisme de spécialisation de [3]. Le faisceau Rsp∗ E = sp∗ E := E a une structure † de F − D († D)-module cohérent. Il a aussi une structure de D† -module qui est induite par la ,Q ,Q X X précédente structure et donc une structure de F − D† -module, conjecturalement cohérent et même ,Q X holonome [3], 5.1.1. a une structure de F − D† -module cohérent d’après Exemples 3.2. – (i) Le faisceau sp∗ j † OXan K Q X [4], 4.4. (ii) On considère le carré cartésien :
f
A → X ↓ ↓f U → S
tel que U/k est un ouvert dense d’une courbe propre et lisse S/k se relevant en un schéma formel S/W , f : A → U est un schéma abélien se relevant en un schéma formel propre X/S tel que X/W soit propre et lisse. Soit X la réduction modulo p de X. On note j : A → X et j : U → S les immersions ouvertes canoniques. D’après [17,3], si X/S est semi-stable, alors le cristal de Dieudonné de A/U est alors surconvergent. On le note D(A)† . On peut sous ces conditions montrer que sp∗ D(A)† a une structure de † † DXQ -module cohérent. En effet, d’après le (i), sp∗ j † OXK a une structure de DXQ -module cohérent. On déduit alors de [4], 4.3.8, que : f + Rsp∗ j † OXK = Rsp∗ Rf ∗ j † OXK † appartient à la catégorie dérivée Dbcoh (DXQ ). En particulier, sp∗ D(A)† = sp∗ R1 f ∗ j † OXK a une structure † -module cohérent. de DXQ
3.3. On a d’après [2], 4.1.7, un isomorphisme canonique : Hirig (U/K, E † ) ExtiD† (OX Q , E). XQ ∗ On peut munir le terme de droite d’une action de Frobenius Φ := Φ−1 telle que l’isomorphisme E F précédent est compatible aux actions de Frobenius. C ONJECTURE 3.4. – Soient E et F deux F − D† -modules holonomes. Alors ExtiD† (E, F) est de Q X XQ dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes. Dans le cas de F -isocristaux régulier à l’infini et satisfaisant (Res), nous avons une description encore plus précise : soit E † un F -isocristal surconvergent sur U régulier à l’infini et satisfaisant la condition (Res). On note E le F -log-cristal prolongeant E † , EX sa réalisation en l’épaississement X → X et E := sp∗ E † . On note enfin PX le faisceau structural de la p.d.-enveloppe de l’immersion diagonale : → X , ×W X X
et DX -module dual. le OX P ROPOSITION 3.5. – On a
i OX , EX ExtiD† OX ⊗ K. Q , E ExtD X XQ De plus, le terme de gauche est de dimension finie et commute aux extensions de corps.
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Démonstration. – En utilisant l’isomorphisme de comparaison entre cohomologies rigide et logcristalline de [13] ainsi que [2], 4.1.7, on se ramène à montrer que : Hicris X /W (Fq ), E ExtiD OX , EX . X Nous inspirant de [12], 5.2, on peut déduire du lemme de Poincaré log-cristallin que le complexe · PX est une résolution à gauche de OX ⊗ ωX par des PX -modules libres. On en déduit que le complexe /W · de OX , O ) = Hom(ω · , DX ) que nous appelons complexe de -modules dual Hom(PX ⊗ ωX /W X /W X Spencer logarithmique, est une résolution à droite de OX -modules libres. On déduit que : par des DX · RHomD OX , EX ⊗ ωX EX /W X et l’assertion est alors claire. Il semble naturel de penser qu’il existe une preuve directe de l’assertion, i.e. uniquement en terme de D-modules. *
Research fellow of the Japan Society for the Promotion of Science.
Références bibliographiques [1] Grothendieck A., Revêtements étales et groupe fondamental, Lect. Notes in Math., Vol. 224, Springer-Verlag, 1971. [2] Berthelot P., Cohomologie rigide et théorie des D-modules, Lect. Notes in Math., Vol. 1454, Springer-Verlag. [3] Berthelot P., Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres. Première partie, Preprint, Université Rennes-1, 1996. [4] Berthelot P., Introduction à la théorie des D-modules arithmétiques, Preprint 99-38, Université Rennes-1. [5] Baldassarri F., Chiarellotto B., Algebraic versus rigid cohomology with logarithmic coefficients, in: Barsotti Symposium in Algebraic Geometry, Perspectives in Math., Vol. 15, Academic Press, 1994. [6] Crew R., Geometric Iwasawa theory and a conjecture of Katz, in: Canadian Mathematical Society, Conference Proceedings, Vol. 7, 1987, pp. 37–53. [7] Crew R., Finiteness theorems for the cohomology of an overconvergent isocrystal on a curve, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 4e série 31 (1998) 717–763. [8] Chiarellotto B., Le Stum B., Pentes en cohomologie rigide et F -isocristaux unipotents, Manuscr. Math. 100 (4) (1999) 455–468. [9] Chiarellotto B., Le Stum B., F -isocristaux unipotents, Compos. Math. 116 (1999) 81–110. [10] Etesse J.-Y., Le Stum B., Fonctions L associées aux F -isocristaux surconvergents : interprétation cohomologique, Math. Ann. (1993) 557–576. [11] Etesse J.-Y., Le Stum B., Fonctions L associées aux F -isocristaux surconvergents II : zéros et pôles unités, Invent. Math. 127 (1997) 1–31. [12] Le Stum B., Quiros A., The exact Poincaré lemma in crystalline cohomology of higher level, Preprint, Université Rennes-1 n◦ 99-35, 1999. [13] Le Stum B., Trihan F., Isocristaux associés à des log-cristaux, Ann. Inst. Fourier (à paraître). [14] Lorenzon P., Logarithmic Hodge–Witt forms and Hyodo–Kato cohomology, J. of Algebra (à paraître). [15] Trihan F., Fonction L-unité d’un groupe de Barsotti–Tate, Manuscr. Math. 96 (1998) 397–419. [16] Trihan F., Fonction zêta sur des variétés ouvertes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 331 (2000) 229–234. [17] Trihan F., Fonction de Hasse–Weil dans le cas de réduction semi-stable, Preprint, Université de Tokyo, 2000. [18] Tsuzuki N., On the Gysin isomorphism of rigid cohomology, Preprint, 1998.
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Résumé.
Nous donnons une expression des zéros et pôles de la fonction L d’un F -isocristal surconvergent défini sur un ouvert d’une variété propre et lisse, lorsque la situation géométrique se relève à la caractéristique nulle et sous l’hypothèse que la connexion de l’isocristal est réguliere à l’infini et vérifie une condition sur les résidus. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Zeroes and poles of the L-functions of F -isocrystals Abstract.
We give an expression of the zeroes and poles of the L-function of an overconvergent F -isocrystal defined on an open variety when the geometric situation lifts to the characteristic 0 and under the hypothesis that the connexion of the isocrystal is regular at infinity and satisfies a condition on the residues. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let Fq , q = ps , Fq an algebraic closure of Fq , K = Frac(W (Fq )), K = Frac(W (Fq )) and σ : K → K, the lifting of the Frobenius on Fq . Let X/W (Fq ) be a proper and smooth scheme, D a divisor with normal crossings of X, union of smooth components Di and U := X D. We denote respectively X, D and U the special fibre of these schemes and Xan K the rigid analytic space associated to the generic fibre XK of X. Let E † an F -isocrystal on U overconvergent along D [3] and for any r ∈ Z, E † (r) its Tate-twist. We denote DR·rig (E † ) the de Rham complex associated to E † , endowed with its Frobenius operator Φ and P·rig (E † ) := Cone 1 − Φ, DR·rig (E † ) [−1]. T HEOREM. – (i) There is a long exact sequence: † 1−p−r Φ · −→ Hirig (U/K, E † ) −−−−→ Hirig (U/K, E † ) −→ · · · . · · · −→ Hi Xan K , Prig E (r) (ii) Let us denote E † the isocrystal induced by E † after the base change U := U ×Fq Fq → U . Then, if the the connexion of E † is regular at infinity and satisfies the residue condition of [13], 4.2, then the long exact sequence (i) induces a short exact sequence: 1−p−r Φ , P·rig E † (r) −→ Hirig (U /K, E † ) −−−−→ Hirig (U /K, E † ) −→ 0. 0 −→ Hi Xan K Note présentée par Michel R AYNAUD. S0764-4442(01)01870-5/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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Furthermore, if F := Φs , the groups Hi Xan , P·rig (E † (r)) are F -stable and the eigenvalues of F on these K groups are the eigenvalues of F on Hirig (U /K, E † ) of p-adic valuation equal to q r . C OROLLARY. – Let L(U, E † , t) be the L-function of E † , an F -isocrystal as in the (ii) of the theorem. We denote by Φi the automorphism of Frobenius on the cohomology of E † induced by the sth iterated of its Frobenius action Φ. Then the function: L(U, E † , t) ×
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†∨ −1 (−1)i · det 1 − q r t Φi , Hi Xan , P E (n − r)) , rig K
i=0
has no zeroes nor poles on the annulus |t|p = q r .
1. Action de Frobenius sur la cohomologie rigide 1.1. Soient Fq , q = ps , Fq une clôture algébrique de Fq , K = Frac(W (Fq )), K = Frac(W (Fq )) et σ : K → K, le relèvement du Frobenius sur Fq . Soient X/W (Fq ) un schéma propre et lisse, D un diviseur à croisements normaux de X relativement à W (Fq ), union de composantes lisses Di et U := X D. On note respectivement X, D et U la fibre spéciale de ces schémas et Xan K l’espace rigide analytique associé la complétion p-adique de X. On suppose de plus que le Frobenius à la fibre générique XK de X et X, absolu de X se relève à X ou à sa complétion p-adique et on le note ΦX . Soit E † un F -isocristal sur U surconvergent le long de D (au sens de [3]). Celui-ci correspond à la donnée d’un j † OXan -module muni K d’une connexion intégrable et surconvergente ∇ ainsi que d’un automorphisme de Frobenius horizontal par rapport à la connexion. Notons DR·rig (E † ) le complexe de de Rham associé à E † : DR·rig (E † ) := E † ⊗ Ω·Xan /K . K
Le Frobenius ΦX ainsi que l’action de Frobenius sur E † induisent un endomorphisme σ-linéaire : Φ : DR·rig (E † ) −→ DR·rig (E † ). · † La cohomologie rigide de E † est alors égale à Hirig (U/K, E † ) = Hi Xan K , DRrig (E ) . Celle-ci est munie d’un endomorphisme de Frobenius induit par Φ qui est en fait un automorphisme d’après [10], 4.2. Posons d’autre part P·rig (E † ) := Cone 1 − Φ, DR·rig (E † ) [−1], s’insérant dans le triangle distingué : P·rig (E † ) −→ DR·rig (E † ) −−→ DR·rig (E † ). 1−Φ
On déduit de ce dernier la suite exacte longue de cohomologie : · † i † 1−Φ i † · · · −→ Hi Xan K , Prig (E ) −→ Hrig (U/K, E ) −−→ Hrig (U/K, E ) −→ · · · . Notons E † (r), le r ième twisté de Tate de E † ([3]), r ∈ Z et P·rig (E † , r) := P·rig (E † (r)). On déduit alors immédiatement de la suite exacte longue ci-dessus, la suite exacte longue de cohomologie pour tout r ∈ Z : −r · † i † 1−p Φ i · · · −→ Hi Xan −−−→ Hrig (U/K, E † ) −→ · · · . (1) K , Prig (E , r) −→ Hrig (U/K, E ) − P ROPOSITION 1.2. – Sous les hypothèses 1.1, on suppose que la cohomologie de E † est de dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes K /K. On note E † l’isocristal déduit de E † par le changement de base U := U ×Fq Fq → U . Alors : (i) la suite exacte longue (1) induit une suite exacte courte : 1−p−r Φ , P·rig (E † , r) −→ Hirig (U /K, E † ) −−−−→ Hirig (U /K, E † ) −→ 0; 0 −→ Hi Xan K
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(ii) notons F := Φs . Alors Hi (Xan , P·rig (E † , r)) est F stable et les valeurs propres de F sur ce groupe sont K les valeurs propres de F sur Hirig (U /K, E † ) de valuation p-adique égale à q r . Démonstration. – La première assertion résulte de [11], 6.2, et la deuxième de [6], 3.3. Remarque 1.3. – Notons surconvergents. Alors ExtF· -iso† †les classes d’extensions †∨ †de F -isocristaux an . d’après [8], 1.3.1, on a H1 Xan , P (E , 0) Ext † E , j O X F-iso rig K K
Nous rappelons à présent quelques définitions de [13]. D ÉFINITION 1.4. – (i) Notons X := (X, L(D)) le log-schéma X muni de la log-structure induite par le diviseur D et FX : X → X son Frobenius. Si le F -isocristal E † provient d’un F -log-cristal E ∗ sur X /W (Fq ) faiblement non dégénérée (i.e. muni d’un morphisme de Frobenius FX E → E dont la restriction à U est une isogénie) celui-ci est dit régulier à l’infini. (ii) Le log-cristal E induit un module EK sur OXK à connexion à pôles logarithmiques le long de DK . On dira que E † un F -isocristal régulier à l’infini satisfait la propriété (Res) si les endomorphismes résidus de la connexion de EK le long des composantes DiK n’admettent aucun entier strictement positif pour valeurs propres. (iii) On dira que E † est strictement régulier à l’infini s’il provient d’un F -log-cristal E sur X /W (Fq ) non dégénéré. L EMME 1.5. – Les F -isocristaux strictement réguliers satisfont la condition (Res). Démonstration. – Soient E † le F -isocristal strictement régulier, E le log-cristal dont il provient et EK le OXK -module à connexion à pôles logarithmiques le long de DK muni d’un isomorphisme de Frobenius Φ : F ∗ EK EK horizontal par rapport à la connexion. Notons Res∇,i (resp. ResF ∗ ∇,i ) les endomorphismes résidus de EK (resp. F ∗ EK ) le long des composantes DiK . Par horizontalité on a Res∇,i Φ = ΦResF ∗ ∇,i . Or via l’isomorphisme Φ : F ∗ EK EK , on peut identifier ResF ∗ ∇,i = p · Res∇,i . L’opérateur Res∇,i est ainsi nilpotent et donc ces valeurs propres sont nulles. Exemples 1.6. – (i) La condition de la proposition 1.2 est conjecturalement toujours vérifiée. Elle résulte de la conjecture selon laquelle les F -isocristaux sont quasi unipotents et la cohomologie de ces derniers est de dimension finie (cf. [7]). (ii) Il a été montré dans [13] que la cohomologie rigide d’un F -isocristal régulier à l’infini et satisfaisant (Res) est de dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes ([13], 4.2.1). Il a été de plus conjecturé que les hypothèses de relèvements à la caratéristique 0 sont superflues. an (iii) L’espace rigide analytique Uan K est un voisinage strict de ]U [X dans XK . D’après [3], 2.2.3, il existe an un voisinage strict V de ]U [X dans XK et un OV module cohérent EV muni d’une connexion convergente est tel que le F -isocristal E † = j † EV . Si l’on peut choisir V = Uan K et si l’on suppose que l’isocristal an unipotent au sens de [9], 2.3.1, alors d’après [9], 2.4.1, on a Hirig (U/K, E † ) HidR Uan , E , et ainsi UK K les hypothèses de la proposition 1.2 sont également satisfaites.
(iv) Les F -isocristaux unité surconvergents vérifient les hypothèses de la proposition 1.2 d’après [18], 6.1.1, (i) et (ii). 2. Application aux fonctions L 2.1. Nous conservons les hypothèses du chapitre précédent. On note n la dimension de X. Soit E † un F -isocristaux surconvergent sur U correspondant aux exemples 1.6, (ii), (iii) ou (iv). On note E †∨ son dual. La cohomologie de E † est munie d’une action de Frobenius linéaire Φi induite par le sième itéré de l’action de Frobenius Φ de E † . D’après [10], la fonction L associée à E † est alors méromorphe et a pour
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F. Trihan
expression : L(U, E † , t) =
2n
i+1 i †∨ (−1) det 1 − tq n Φ−1 . i , Hrig U, E
i=0
Nous allons donner une description fonction en reprenant la démarche de [16]. des zéros et pôles de cette 2n Posons u = 1/tq n , di := rang Hirig (U, E †∨ ) , χ := i=0 (−1)i+1 di , l’opposée de la caractéristique 1 (−1)i+1 . Avec ces notations nous pouvons d’Euler–Poincaré rigide de E †∨ et λ := (−1)χ × 2n i=0 det(Φi ) réécrire la fonction L de E sous la forme : 2n (−1)i+1 λ L(U, E, t) = χ × det 1 − uΦi , Hirig U, E †∨ . (2) u i=0 D’après ([6], 3.3) et la proposition 1.2, les Qp -espaces vectoriels Hi (Xan , P·rig (E †∨ , r)) sont munis de K −r s l’action linéaire Φi := q Φ . On déduit alors à l’aide de la proposition 1.2 et de manière analogue à ([16], théorème) le résultat suivant : T HÉORÈME 2.2. – La fonction †
L(U, E , t) ×
2n
−1 (−1)i †∨ · det 1 − q r t Φi , Hi Xan , P E , n − r rig K
i=0
n’a ni zéro ni pôle sur la couronne |t|p = q r . Nous allons donner à présent quelques exemples géométriques. Tout d’abord, dans le cas du coefficient trivial, le calcul a été effectué dans [16]. Dans ce cas l’isocristal trivial sur U est strictement régulier à l’infini et on peut déduire immédiatement de ([16], 2.3 et 2.5) et l’équation (1) : , P·rig (r) Hi−r (X, WΩrlog ), où WΩrlog est P ROPOSITION 2.3. – Pour tout entier r 0, on a Hi Xan K · le complexe de Hodge–Witt logarithmique de [14]. En particulier, Hi Xan , P (r) est nul dans les deux rig K cas suivants : (i) r > n ; (ii) 0 r n et i < r ou i > n + r. 2.4. Soit F un corps de fonctions algébriques en une variable, de corps des constantes Fq , q = pr et AF /F une variété abélienne. Soient S le modèle propre et lisse de F sur Fq et U l’ouvert dense sur lequel AF a bonne réduction, i.e. se prolonge en un schéma abélien f : A → U . D’après [1], III, 7.4, la courbe S se relève en une courbe propre et lisse S sur W (Fq ). On peut également relever les points de mauvaise réduction. Nous supposerons que le Frobenius de S se relève à S. Nous avons vu dans [17] que si AF a réduction semi-abélienne, alors le cristal de Dieudonné de A est surconvergent et même strictement régulier à l’infini. On le note D(A)† . On note LAF (t) la fonction de Hasse–Weil de AF définie en les points de bonne réduction. Celle-ci correspond alors à la fonction L de D(A)† et on a ainsi montré d’après le théorème 2.2 : P ROPOSITION 2.5. – On se place sous les hypothèses de 2.4. La fonction LAF (t) ×
2n
−1 (−1)i det 1 − q r t Φi , Hi San , P·rig D(A)†∨ , n − r , K
i=0
n’a ni zéro ni pôle sur la couronne |t|p = q r . C OROLLAIRE 2.6. – Si de plus AF a bonne réduction, i.e. se relève au-dessus de S en un schéma abélien f : A → S, alors on a pour i = 0 et 1 : , P·rig D(A)† , 0 Hiét S, R1 f ∗ Qp . Hi San K Démonstration. – L’assertion résulte de (1) et de [15], 3.9.
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Zéros et pôles des fonctions L de F -isocristaux
3. Interprétation en termes de D† 3.1. Nous conservons les hypothèses de 1.1. Soit E un F -isocristal surconvergent sur U . On note sp : Xan K → X le morphisme de spécialisation de [3]. Le faisceau Rsp∗ E = sp∗ E := E a une structure † de F − D († D)-module cohérent. Il a aussi une structure de D† -module qui est induite par la ,Q ,Q X X précédente structure et donc une structure de F − D† -module, conjecturalement cohérent et même ,Q X holonome [3], 5.1.1. a une structure de F − D† -module cohérent d’après Exemples 3.2. – (i) Le faisceau sp∗ j † OXan K Q X [4], 4.4. (ii) On considère le carré cartésien :
f
A → X ↓ ↓f U → S
tel que U/k est un ouvert dense d’une courbe propre et lisse S/k se relevant en un schéma formel S/W , f : A → U est un schéma abélien se relevant en un schéma formel propre X/S tel que X/W soit propre et lisse. Soit X la réduction modulo p de X. On note j : A → X et j : U → S les immersions ouvertes canoniques. D’après [17,3], si X/S est semi-stable, alors le cristal de Dieudonné de A/U est alors surconvergent. On le note D(A)† . On peut sous ces conditions montrer que sp∗ D(A)† a une structure de † † DXQ -module cohérent. En effet, d’après le (i), sp∗ j † OXK a une structure de DXQ -module cohérent. On déduit alors de [4], 4.3.8, que : f + Rsp∗ j † OXK = Rsp∗ Rf ∗ j † OXK † appartient à la catégorie dérivée Dbcoh (DXQ ). En particulier, sp∗ D(A)† = sp∗ R1 f ∗ j † OXK a une structure † -module cohérent. de DXQ
3.3. On a d’après [2], 4.1.7, un isomorphisme canonique : Hirig (U/K, E † ) ExtiD† (OX Q , E). XQ ∗ On peut munir le terme de droite d’une action de Frobenius Φ := Φ−1 telle que l’isomorphisme E F précédent est compatible aux actions de Frobenius. C ONJECTURE 3.4. – Soient E et F deux F − D† -modules holonomes. Alors ExtiD† (E, F) est de Q X XQ dimension finie et commute aux extensions de corps de valuations discrètes. Dans le cas de F -isocristaux régulier à l’infini et satisfaisant (Res), nous avons une description encore plus précise : soit E † un F -isocristal surconvergent sur U régulier à l’infini et satisfaisant la condition (Res). On note E le F -log-cristal prolongeant E † , EX sa réalisation en l’épaississement X → X et E := sp∗ E † . On note enfin PX le faisceau structural de la p.d.-enveloppe de l’immersion diagonale : → X , ×W X X
et DX -module dual. le OX P ROPOSITION 3.5. – On a
i OX , EX ExtiD† OX ⊗ K. Q , E ExtD X XQ De plus, le terme de gauche est de dimension finie et commute aux extensions de corps.
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F. Trihan
Démonstration. – En utilisant l’isomorphisme de comparaison entre cohomologies rigide et logcristalline de [13] ainsi que [2], 4.1.7, on se ramène à montrer que : Hicris X /W (Fq ), E ExtiD OX , EX . X Nous inspirant de [12], 5.2, on peut déduire du lemme de Poincaré log-cristallin que le complexe · PX est une résolution à gauche de OX ⊗ ωX par des PX -modules libres. On en déduit que le complexe /W · de OX , O ) = Hom(ω · , DX ) que nous appelons complexe de -modules dual Hom(PX ⊗ ωX /W X /W X Spencer logarithmique, est une résolution à droite de OX -modules libres. On déduit que : par des DX · RHomD OX , EX ⊗ ωX EX /W X et l’assertion est alors claire. Il semble naturel de penser qu’il existe une preuve directe de l’assertion, i.e. uniquement en terme de D-modules. *
Research fellow of the Japan Society for the Promotion of Science.
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