Sur une extension d'un lemme de Skorokhod avec une application aux semi-martingales

C. R. Acad. Sci. ProbabilitCs/Probabi/ify

Paris,

t. 325, S&ie Theory

I, p. 1197-1202,

1997

SW une extension d’un lemme de Skorokhod avec une application aux semi-martingales Mohamed Institut ,Atlrrssr &mail

A. ZANOUN

dr> Mathtmatiqurs. ac.tarllc : 7. rue : mzanoun@minitc~l.nPt

RCsumC.

U.S.T.H.B.. El-Alia, R&is de la I’ostr,

BP n o 32, Bah 49100 Angws,

lb-Zonar France.

1611 I Alp-.

Algbrir.

Nous prouvons I’extension aux fonctions c%d-kg d’un lemme de reflexion bien connu dans le cas continu, puis now indiquons la formulation d’un problkme plus ghkal de rkgulation. Comme application, nous construisons, pour toute semi-martingale rCelle ,Y don&. une semi-martingale Y ayant m6me filtration naturelle et m&me variation quadratique que X, et vrifiant : 1x1 = 1. + sup,< Y’-.

An

extension

with

A bridged

du

English

an

of the

application

Skorokhod

reflection

lemma

to semimartingules

Version

I. The Skorokhod reflection lemma (frequently used when dealing with semimartingaleslocal times and reflected equations) is usually stated for continuous functions. Actually, it remains true for a larger (and more convenient) class, as shown by the following: THEOREM I. - Let m : R, + R be a real-valued ,functian and d&e a, = s~lp~,:, rn; (Mahere 111 ,,~ = snp( --rn,! 0)). Jf’ m,. is right-continunus on R+ and left-limited on 10. CG[, then n. is the unique function 017 K which satisfies the folhing three properties: i) ‘rn + (I, is nonnegative; ii) a. is nonnegative, nondecreasing, and right-continuous; iii) ,h,l,l;,(n!, + n)dn = 0 (convention: da( (0)) = (11)= n?()).

2. Given m as in Theorem 1, one may formulate the more general problem of finding a function :I;. sharing with n. the properties i) and ii), and satisfying, in place of iii), the following equation: Note prksentke par Laurent 07&L3442/07/032S

fk~w;zerz.

1202 0 Acadklnic

des ScienceslElsevicr.

Paris

1197

M.

A. Zanoun

= 0 (here, f is a given function on iw+ x Iw, ). Theorem 1 shows this problem J),,,,xr(Irl~ + f(L , ~))nr , for f(~: ,I:) = %:, while the case f( II, U) = i( 71 + V) has been studied in [3]. We describe in [IO] a whole class of functions f for which the above problem admits a unique solution. 3. As an immediate application of Theorem I, consider a (right-continuous and left-limited) real semimartingale S defined on some filtered probability space (12!.T, Ftt, P) satisfying the “usual conditions” of [4]. We denote by L (resp. L’) the local time (in the senseof [4]) of X (resp. -.‘i’) at 0. and we set z = i(L + L’). For any given process 2, we use the symbol ;F-(Z) to denote the minimal right-continuous and P-complete filtration making Z adapted. We then have the following: THEOREM 2. - For any real 4 2 0, the .semimnrtinguleIy(L’i = 1x1 -/3x satisfies: ;C(ITc:‘)) = .F( ISI)

and ai.

= sups5 (IIJ’i))p (and, trivially:

[Iy(“ll, IV(“)] = [ISI, IS/]).

Remcrrk. - Theorem 2 remains true if the pair (IS\, z) is replaced by (S+, L) or (S-:

L’).

0. Notations et prCliminaires Nous consid&ons l’ensemble A = {X : Iw+ + Iw, ; z est croissante et continue 5 droite}. Soit :c une fonction de W+ dans Iw, suppos6e<(c8d-18g D (c’est-A-dire continue B droite sur Iw+ et admettant une limite B gauche en tout point t ~10, BX[) ; nous Ccrirons ~~ et .x’!- pour z(t) et ~(t-). Pour :I’ E A, nous conviendrons toujours de poser z+ = 0. Soit .I‘ E A. Comme il est d’usage. n:r sera l’unique mesure positive sur (Iw, . LI(W+)) dt!terminke par : dx((O}) = LO et dz(]s. t]) = ,x1 - 2, si 0 5 s < t < m. I1 est bien connu que le plus petit ferm6 de W.+ portant la mesure [Lx est exactement l’ensemble des points de croissance de x:, d6fini par S(J) = {t 2 0; z(t - E) < :r:(t + E) ‘dz > 0} (oti I’on a convenu de poser X(U) = 0 si u < 0). L’ensemble des points de croissancej droite pour z est ,dCfini par So = {t > 0; :1:(t) < :r:(t + E) YE > 0) et son adherence (pour la topologie usuelle sur R. ) sat&fait la relation S,,(X) U ((0) Cl {:I: > 0)) = S(x). 1. Extension du lemme de Skorokhod au cas non continu &ant donnt! une application ‘~1: iw+ + R, l’ensemble des fonctions L <(r6gulant D m (c’est-h-dire telles que :I; est croissante, positive et v&ifie rrr + :I: > 0) admet un plus petit ClCment, g savoir la fonction (I. dkfinie par at = ~up,,~~~, ‘rn.,<, oti ~1; = sup( --7rt,,, 0). Le thCor&mesuivant montre que, sous des conditions minimales de rkgularit6 sur m, la mesure da est caractCrisCepar la condition de support suivante : a = -m da-presque partout. Lorsque la donnCe mn,est continue, il est dG g Skorokhod (voir [S] pour une preuve simple). TH~OREME 1. - Soient m une upplication c&d-lirg de Iw+ duns W, et u 1‘upplication d&ie ut = supslt - m,;. Alors u est 1‘unique solution du p&&me suivant fd’inconrrue rj :

(RI (ml)

(i) z E A,

(ii) 771+ .x’> 0,

(iii)

par

(I& + xs) dx:, = 0. .I’~O.ixr~

Remarque. - La <(condition initiale D x0 = rn, est implicite dans (RI(m)) ; elle r6sulte des conditions (i)-(iii) et de dz((0)) = 50. DPmonstrution. - I1 est Cvident que n satisfait les conditions (i) et (ii). Pour vCrifier (iii), nous aurons besoin du lemme suivant :

1198

Extension

d’un

lemme

de Skorokhod

LEMME. - Soir f : R+ + W+ une application c&d-l&g. Alors la ,fonctiorz F d@inie sur W+ par F(f) = w?T f, et en tout point to tel que F(to) > f(to), il existe (par la continuitk ~3droite de f) un reel E > 0 tel que F(t) = F’(t~~) pour tout f E [to, to + ‘I] ; il en rksulte l’inclusion S,,(F) C {F = p}. C omme de plus F(O) = %((I), dF est done portCe par le fermC :1 = {F = f} qui est lui-m&me inclus dans le fermt5 A’ = {F = f} u {t > 0; qt..

) = f(t-)}.

Posons alors :I” = 11’ \ {F = f} ; cet ensemble est inclus dans I’ensemble des instants de saut de Ia fonction (chd-18g) F-f. il est done dknombrable. II reste & vtrifier que le saut aF(t) = F(t) - F(t-) est nul en tout point t de .1”. Or, pour tout t > 0 tel que F(t-) = f(t-), on a (en notant 0, v h pour niax (0, b}) : AF(t) ce qui montre que aF(t)

= F(t-)

v f(t)

- f(t-)

= f(t-)

ne peut valoir que 0 ou af(t) AF(t)

= F(t)

v f(t)

- f(t-):

; si t vkrifie de plus F(f)

- ,f(t-)

> ,f(t), alors :

> ilf(t)>

et dans ce cas la seule valeur possible pour AF(t) est la valeur 0, ce qui prouve Ie lemme. Revenant g la dkmonstration du thCor&me, on obient, en posant n, = rn;, que (la est portke par l’ensemble (0, = 77) ; or

{a = n,} = { 711 + (I = 0) n { ?n< 0) + {n = 0) n { 711> 0) et (%n ne charge pas I’ensemble {~~.= 0). 11 en rksulte que (I, vCrifie bien (iii) et resoud Ie problkme CRI (777,)). Soit T une solution de (R, (777,)). Alors. par la remarque qui suit Ie thCor&me, on a .x’(~= Q) = II,,, et la fonction h, = :I’~ - al est nulle en t = 0 ; comme elle est 2 variation finie sur Ies compacts de Iw+, la formule de changement de variables permet d’kcrire pour tout t > 0 :

ZZ-2

[I]O.t] (rn

+ :I:) fin

+

10<.%
](l.t] + 0,)d:r- c (Ahgy> (777,

J

oh la dernikre CgaIitC rtsulte de la proprittt (iii) vCrifiCe par CLet z ; compte tenu de (i) et (ii), elle montre que 17,: < 0. On a done h, E 0 et n. est l’unique solution du problkme (RI (77~)). Remarque. - Une version stochastique (oti la donnCe apparait dans [Sl.

(777+)

est une martingale locale) du thCor&me 1

1199

M.

A.

Zanoun

2. La forme

gCnCrale du problhme

de rCgulation

Lorsque la solution (Us) du probleme (RI (rn)) n’est pas continue, la condition (iii) impose a la fonction II, de verifier i tout instant de saut : -rn! =
-711 = i-x + (1 - T) II’-

‘l.r-p.p.

Le cas 1’ = 1 fait I’objet du theoreme 1 ci-dessuset le cas 7’ = l/2 a CtCCtudiC dans l’article 131. II est possible de demontrer le resultat suivant : THI?O&ME

2. - Pour

tout r&l

I’ E [l/2,

I], 1~ prohl&ne

(R,.(rr~,)) adtnet

LMW

solution

unique.

En fait, dans le cas ou (u,,) n’est pas continue. il est utile de poser le probleme de regulation sow la forme g&r&ale suivante (oh */r/,(B)et f(., .) sent donnees) : (R(m. f))

(i) .I’ E A.

(ii) rrt + :r > 0.

(iii) - ‘rrt, = f(cz-,

:I:) tl:r-p.p.

Nous decrivons dans [lo] une large classe de fonctions f pour lesquelles le probleme (R(rn: f)) admet (pour toute rn cad-lag) une solution unique ; le theoreme 2 s’obtient comme un cas particulier de ce resultat general. 3. Une application aux semi-martingales Pour les notions d’integration stochastique et de temps local d’une semi-martingale utilisees dans ce qui suit, nous renvoyons a la reference [4]. Sur un espaceprobabilise liltre ([I, F. Ft) satisfaisant les
sent a valeurs finies. Nous associonsa S deux semi-martingales I$- et I? definies comme suit :

ou la notation ZaAYf designe l’integrale stochastique ,&l.t, Z,CLY,~et sg (.c) = -1 si :I‘ < 0, 0 si d: = 0, +l si z > 0. Nous notons (L,) (resp. (Li), (z,)) le temps local de X (resp. -S. IS]) en 0. Rappelons que L, L’ et L sont des processuscroissants continus, nuls en 0. que les mesuresassocieessont portees par l’ensemble {-Y = 0}, et que l’on a la relation i = i(L + L’). Enhn. nous utiliserons la notation F(Z) pour d&signer la filtration naturelle (rendue Fcomplete et continue a droite) d’un processus2. La formule de Tanaka-Meyer permet alors d’ecrire IS] = I/Ii + z = W + C + 2 p.s. ; on peut en deduire a l’aide du theoreme 1 (applique a chaque trajectoire) les CnoncCssuivants (voir [IO] pour les details) : 1200

Extension

THI~OR~ME

3. - Lu semi-martingalr

E ve’r$e les relations sui\wztes

d’un

lemme

de Skorokhod

:

(i) JSI = F + sup,<,- iFs- p..s., --

TH~OR~ME 4. - La \w+ation quadrutique proprie’tP.5 suivuntes sent e’quivulentes :

(i) ISI = IIT + sup3<.- II,, (ii) TIT = F p.s. (c’est-h-dire

de IT;’ est donrzke par [I,$/‘,W] = [S, S] p.s. De

plus,

Ies

p.s., : SS-

> 0 p.s.).

(iii) Pour presque tout w, la trujectoire S. (CJJ)gurdr cu.4,fernzC {t > 0 ; -Yf(ti) = 0 o’u St- = O}.

UFZ

signe constant sur chuque intervulle contign

Remurques 1). - Pour la comparaison de F(N’) et F(E). voir [lo]. 2) Supposons S continue, nulle en t = 0 : on a alors TIT = IT = sg (S-)-S et ISI = IIT - inf,<. 11, p.s. Comme observk dans 161, la semi-martingale Z = sgn (S-).S (oti sgn (.I.) diffkre de sg (T) par la convention sgn (0) = -1) vCrifie Cgalement ISI = Z - iI&<. Z, et [S, S] = [Z, Z] ; elle diffkre de I/t’ par Z - bl’ = - 1,\__ = 0.X = i(1;’ - 15) qui n’est gf%CAement pas nul (un exemple figure dans [4]. p. 347), et l’on a sup,,.(-Z,) = L p.s. 3) Si S est un mouvement brownien issu de 0, il en est de mi?me pour UT, et la formule JSJ = TIT - inf,s<. l&H est la reprksentation de P. LCvy du brownien rkfltchi, la propri& F(lSl) = F(TjI’) Ctant due B M. Yor dans ce cas. Le thkoritme 3 constitue une gCn&alisation de ces rksultats pour une semi-martingale quelconque. II rksulte de la relation [WT.W’] = [-U. S] q ue S est continue (resp. spkiale) si et seulement ci TIT est continue (resp. spkiale). En contraste, nous dkrivons dans 1’CnoncC suivant une classe de martingales locales S vtrifiant SS> 0 p.s., mais pour lesquelles 14’ ne vCrifie pas llV1lT- 2 0 p.s. : 5. - Soit S wze murtingule p.s. les proprie’t&s suivarztes : a) So = So- = 0 et S-Y- > 0, b) l’ensemble H = {S = 0} est non c) sur chuque intervulle ouvert contigu Alors lu murtirzgule locale (&d-l&g) M TH~~OR~ME

locale (&d-l@),

non p.s. identiquement

FZU~~~J,

born&, & g, lu,fonction t H ) St I est croissurzte. = sg (S-).S ne ve’ri$e pus lu proprie’tt M:K

et vlr$mt

> 0 p.s.

D&monstrution. - (voir [9]). Lorsque la martingale locale S vkrifie, en plus des propriCtCs a), b), c), la propriCtC : d) Es>,, l~,~~=o)( S, 1 = 0, on obtient que la martingale locale I/t’ = sg(S-).A= IS) - L ne vCrifie U’11- 2 0 p.s. que dans le cas trivial oti S = 14,’ = 0 p.s. Exemple. - Soit (B,) un mouvement brownien riel issu de 0. DCsignons par (F!) la filtration naturelle (convenablement compl&Ce) du processus (sg (I?1 )). I1 est prouvk dans [ I] que le processus s, = sg (Bt ) dm, oh ytt = sup{.s 5 t; B,- = 0}, est une (.‘Ft)-martingale. I1 est facile de vkrifier que (-yt) satisfait a), b), c) et d) ; en condquence. la martingale IT’ = sg (X).S (qui est telle que [II,‘, It’]t = [S. S], = [B, B], = t) ne vkrifie pas TV;‘n_ 2 0 p.s. Ce m&me exemple montre que la propriCtC (iii) du thCorkme 4, tout comme la continuitk, ne se conserve pas par projection optionnelle. D’aprks [ I]. W- = sg (S-).X est la (.Ft)-projection optionnelle du mouvement brownien sg (B-).B. Remurque. - Pour d’autres propriCtCs des martingales locales S telles le cas oiI {S = 0) est ferme, et [7] et [9] dans le cas gCn&al.

que

SS-

> 0, tpoir 121 dans

1201

M.

A. Zanoun

Remerciements. L’auteur exprime sa reconnaissance Strasbourg pour leur aide dans la Galisation typographique

Note

remise

29

le

1997,

septembre

acceptke

le

14

RCfkences 1I] Azema 121 A&ma 1.526,

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1202

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octobre

de I’IRMA

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14) Dellacherie [5] El-Karoui

[7] Zanoun

M.,

B M. P. A. Meyer et au secrktariat de cette Note.

A.,

mesnres

regulant

une

fonction

cad-lag.

(snp,<. ItI. ) lorsque Paris VI, juin 1993. en preparation. en preparation.

(121, ) est

nne

martingale

locale,

I,