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Translation et expansion des potentiels harmoniques sphéroïdaux ; application à deux problèmes d'élasticité linéaire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie II b, p. 241-248, 1997 Mkcanique des milieux continus/Continuum mechanics
Translation et expansion des potentiels harmoniques sphkdidaux ; application 2 deux problemes dWasticit6 Arnaud ,
RICCARDI
et Frank MONTHEILLET
Ecole des Mines de Saint-htienne, cedex 2, France.
R&urn&
lineaire
Centre
SMS, URA
CNRS 1884, 158, cows Fauriel,
42023 Saint-ktknne
La mkthode des trois potentiels a CtC utiliske pour traiter analytiquement deux configurations particulkres en ClasticitC linkaire : deux inclusions sphkroi’dales allongkes identiques, aligrkes suivant un axe de rkvolution commun, et une inclusion enrobke d6limitCe par deux interfaces sphkroidales allongkes de mCme centre et de m&me axe de rCvolution. Dans les deux cas, la matrice infinie est soumise g un chargement axisymktrique. La rksolution du problkme exige d’ktablir des relations mathkmatiques gCnCrales de translation et d’expansion des potentiels sphkrofdaux. Celles-ci ont CtC obtenues analytiquement et la validit de la mkthode a CtC vCrifiCe par comparaison avec les rksultats obtenus g partir d’une analyse par ClCments finis. Mots cl& : inclusion / Clasticitk / potentiels sphkroldaux / interaction / enrobage / &lCments finis
Translation application Abstract.
and expansion of spheroidal harmonics; to two problems of linear elasticity
The ‘three function approach’ was used to investigate analytically two particular conjigurations in linear elasticity: a pair of similar prolate spheroidal inclusions aligned with a common revolution axis, and a coated inclusion bounded by two prolate spheroidal inter&aces sharing the same center and revolution axis. In both cases, the injinite matrix is submitted to remote axisymmetric loading. To solve the problem, general mathematical formulae are then required for the translation and expansion of spheroidal harmonics. These were derived analytically and the valid@ of the method was verijed by comparison with results obtained from a jinite element analysis. Keywords: elements
inclusion / elasticity /spheroidal
harmonics / interaction / coating /jinite
Note prCsentCe par AndrC ZAOUI. 1251-8069/97/03250241 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris
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A. Riccardi et F. Montheillet
Abridged
English Version
Elastic stressesinduced by inhomogeneities in materials have a great influence over local damage phenomena [e.g. Montheillet (1986)]. Though Eshelby’s approach (1957) has been extensively used to model the latter, the required assumptions are clearly inappropriate to some common industrial materials. In this paper, two particular issues are addressedin the context of linear isotropic elasticity: the interacting (non-isolated) and coated (heterogeneous)inclusions. These have been widely investigated in the literature. Among other authors, papers by Chen (1978), Meisner (1995) for the interacting inhomogeneities, and Christensen (1979), Mikata (1985), Her+ (1993, 1995) for the coated inclusion should be mentioned. The present work aims at solving two boundary value problems involving a pair of similar prolate spheroidal inclusions aligned with a common revolution axis (jig. la), and a coated inclusion bounded by two prolate spheroidal interfaces sharing the samecenter and revolution axis, but not necessarily confocal or homothetic (fig. Ib), in an infinite matrix submitted to remote axisymmetric loading. The formulation, based on the Papkovitch (1932) and Neuber (1944) approach, expressesdisplacements as a function of two harmonic potentials ~1and I// [eq. (l)]. The above equation is usually written with cylindrical coordinates ( p, z), but a more natural way here is to employ prolate spheroidal coordinates (p, 4). In fact, two prolate spheroidal coordinate systems are needed, with different centers for the interacting inhomogeneities (jig. la), and different distances between foci for the coated inclusion @g. Ib). The solution of Laplace’s equation in these coordinates is classical (Hobson, 1955). For the interacting inhomogeneities, q and v are expanded in a series of general term: (9 Ph > P,( 41) in inclusion 1 and P,(pz) P,( q2) in inclusion 2, (ii) (Y,P,(p, ) Q,( q1 ) + /3,,P,(p, ) Q,,( q2) in the matrix in addition to the potentials of the remote axisymmetric loading. For the coated inclusion, v and y are similarly expanded in a series of general term: (i) P,( p1 ) P,( q1 ) in the inclusion, (ii) (.y,P,(p, ) Q,( q1 ) + p, P,( p1 ) Q,( q, ) in the coating and (iii) P,(p,) Q,( q2) in the matrix in addition to the potentials of the remote axisymmetric loading. Here, P,, and Q, are the Legendre functions of the first and second kind. Coefficients in each term of the series are unknown and must be determined from the boundary conditions to solve the two problems [see, for example, Mikata (1985) for a more detailed description of the method]. To reduce boundary conditions to equalities between series of general term involving either PJp,) or P&J, it is necessaryto expressP,(pJ Q,(qJ in system 2 for the problem of interacting inhomogeneities, which is symmetrical with respect to the two inclusions, and P&J Q,(qJ, P&J P,(q,) (inside the coating) in system 2 for the coated inclusion problem. The first operation calls for a spheroidal potentials translation formula [eq. (S)]. The second one requires spheroidal potentials expansion formulae [eqs (lo), (1 l)]. Using these relations and identifying the series term by term, boundary conditions turn into an infinite system of linear equations, which is truncated and inversed numerically to obtain the unknown coefficients. The proposed method is illustrated by a stressisovalue map cfig. 2) for the coated inclusion problem. The comparison between local stress extrema values obtained from a finite element analysis (Abaqus) and the present resolution confirms the validity of the spheroidal potentials translation and expansion formulae. In conclusion, it should be noted that these relations can be used to deal with the problem of interacting inhomogeneities involving more than two inclusions (alignment of spheroidal inclusions with a common revolution axis) and the problem of multi-coated inclusions (the spheroidal interfaces sharing the same center and revolution axis).
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Translation
et expansion
des potentiels
sphkrdidaux
1. Introduction La presence d’inhomogerkitts (inclusions, renforts particulaires ou fibres, cavites, etc.) dans les materiaux ti usage industriel est connue pour &tre un facteur propice a un amorcage local de l’endommagement (par exemple Montheillet et Moussy, 1986). Pour modeliser ces phenomenes,il est necessaireavant tout de calculer les champs locaux existant au voisinage des inhomogeneitts, au stade ou le ma&au n’est pas encore endommage: le comportement consid& est alors tlastique lineaire. Dans ce contexte, le travail bien connu d’Eshelby (1957) permet de resoudre le probleme d’une inclusion de constantes Clastiquesuniformes, de forme ellipso’idale, isolee dans une matrice infinie et soumise a une sollicitation homogkne. Toutefois, cette approche ne permet pas de traiter certaines configurations inclusionnaires rencontrees dans les materiaux reels. Nous nous interessons plus particulierement ici aux problemes d’interaction Clastique entre inclusions voisines et aux inclusions enrobks ; ces questions sont abordeesdans le cadre de l’elasticite lineaire isotrope. De nombreux travaux ont CtCconsacresa ces sujets et il convient de titer les plus importants. En ce qui conceme le cas d’inclusions non isolees, Chen et Acrivos (1978), en se limitant au cas de la paire d’inclusions spheriques,ont calculi les champs Clastiquescorrespondants.Un travail recent (Meisner et Kouris, 1995) s’est attache a Ctudier l’interaction Clastique entre deux inclusions elliptiques identiques (geomttrie et milieu similaires) dans l’hypothese de deformations ou de contraintes planes. La resolution utilisee necessiteun changementd’origine pour les potentiels harmoniques elliptiques et fait appel a des relations mathematiques essentielles, for-mules appeleesdans la suiteformules de trandadon. Nous presentons ici une approche similaire permettant le calcul des champs Clastiquesautour de deux inclusions sphero’idales (ellipso’idales de revolution) identiques, alignees suivant un axe de revolution commun et soumises a un chargement axisymetrique (/is. la).
enrobage (coating)
inclusion (inclusion)
matrice (matrix)
matrice (matrix)
Fig. 1. - (a) Paire d’inclusions sph&oYdales allong& identiques, align&es suivant leur axe de rkolution commun (reprCsentation dans un plan mkidien). (b) Inclusion enrobte d&nitCe par deux interfaces sphtkdidales allongkes de meme centre et de m&me axe de rkolution. Fig. 1. - (a) Pair of similar prolate spheroidal inclusions, aligned with their common revolution axis (meridian plane view). (b) Coated inclusion bounded by two prolate spheroidal interfaces sharing the some center and revolution acis.
En ce qui conceme les problemes d’inclusions heterogenes,les situations de geometric spherique ou cylindrique ont CtClargement CtudiCesdans le cadre des methodes d’homogeneisation autocoherentes 243
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(modele <
2. Application de la mkthode des trois potentiels et spkcification des fonctions dans chacun des probl&mes Papkovitch (1932) et Neuber (1944) ont ramene la resolution des problemes d’tlasticite lineaire isotrope a la recherche de trois fonctions harmoniques (en fait, la formulation initiale fait intervenir quatre fonctions ; ce nombre peut &re reduit a trois dans le cas general et deux potentiels suffisent pour un probleme axisymetrique). Les deplacements,dans un rep&e cylindrique ( Opz), s’tcrivent alors : 2G[u,,uo,uzl=grad(y,+z~/)-
[0,0,4(1-~)vl
(1)
avec Av = Av = 0 et u0 = 0 pour un probleme axisymetrique. G et v sont les modules de cisaillement et de Poisson du milieu consider6 Dans les deux problemes etudies, les front&es de chaque milieu sont des spheroi’desallonges. I1 convient d’utiliser alors les coordonnees spheroldales allongees (p, s) definies par z = c cash CIcos /? et p = c sinh Q!sin /3, ou 2 c designe la distance entre les foyers et p = cos /3, i = sin /I, 9 = cash QI, S = sinh CY(Mikata et Taya, 1985). La solution de l’equation de Laplace dans ce systeme est classique (Hobson, 1955) ; les potentiels q et
w s'expiment sousla forme ngl [~,P,(P) p,(q) +&P,(P) Qn(q)17 oti
P,, et Q, designent
respectivement les polynomes de Legendre et les fonctions de Legendre de deuxieme espece. Les coefficients (Y, et p,, de chacun des milieux constituent alors les inconnues du probleme. 2.1. Paire d ‘inclusions
Pour decrire les deux interfaces, deux systemesde coordonnees sphero’idalesallongees centres sur chaque inclusion sont utilises @g. la) : - PI = cq9bp2= 21 =
cq,
- cq2p2
Ply z2 = cq2p2
avec
pl=
p2=p,
avec zr = z2 + d,
(2)
ou c est la demi-distance entre les foyers des spheroi’des(identiques) 1 et 2, et d la distance entre les centres des deux inclusions. Suivant Meisner et Kouris (1995), les potentiels harmoniques v, et I,U s’expriment comme des series infinies de terme general : P,(p, ) P,( q1 )et P,(p2 ) P,( q2) dans les inclusions 1 et 2 respectivement ; a, P,( PI ) Q,( q1 ) + P, P,( P? ) Q,( q2 ) dans la matr% auwel on ajoute les potentiels du chargement impose. Le probleme &ant symetrique par rapport aux deux inclusions, les coefficients apparaissant dans le developpement en serie de chaque potentiel harmo244
Translation
et expansion
des potentiels
sphbrdidaux
nique lie au systeme 1 se deduisent de ceux du systeme 2 par des relations de symetrie (identiques a celles de Meisner et Kouris, 1995). Pour resoudre totalement le probleme, il faut traduire les conditions de continuite des deplacements et des vecteurs contraintes (interface parfaite) sur l’interface de l’inclusion 2, par exemple, en fonction uniquement de (p2, q2). Cela necessite d’exprimer P,(p,)Q,(ql) dans le systeme 2 et nous qualifions cette operation de translation &es potentiels sphe’roi’daux. 2.2. Inclusion
duplex
Deux systemesde coordonnees spherofdalesallongees sont necessairespour decrire les interfaces 1 et 2 (fig. 16) :
1 PI
=
21 =
-- --
ClqlPl~ c1q1
P2
=
c2cwz
Ply z2 = c2 q2p2
avec p, = p2 = p, avec z, = z2 = z,
(3)
oti c, et c2 sont les demi-distances entre les foyers des spheroi’des1 et 2. Les potentiels harmoniques v et I,Us’expriment comme des series infinies de terme general : P,(p, ) P,( q1 ) dans l’inclusion ; P,(p, ) Q,( q2) dans la matrice, auquel on ajoute les potentiels du chargement imposC ; et ff, UpI ) CL q1 > + A M p1 ) Q,
3. Formules de translation et d’expansion des potentiels sphbrdidaux 11 est done nCcessaire d’etablir des relations de translation pour les potentiels harmoniques spherdidaux P,( p ) Q,( q ) afin de resoudre le probleme d’interaction entre deux inclusions spherdidales, et des formules d’expansion pour les deux types de potentiels spheroidaux UP) Q,(s) et P,(P) p,(q) en vue de l’etude de l’inclusion duplex. Des equations Ctablies par Cooke (1956) relient les potentiels sphero’idaux aux fonctions de Bessel J,, I,, K,, des coordonnees cylindriques (valables uniquement pour z > 0) :
P,(p)
Q,(q)
= (~)“‘So’^‘e-‘~J,(Pr)I,,~+,(ct)
tf112dt 245
A. Riccardi
et F. Montheillet
(5)
(- I)“P,.(p)Q~~(q)=(~)1’2~~‘mcos(:r)K,(et)J,,,,2.(cr)r1’2dt
IO(PJ”) cm (22) = ( &yz
so (- 1 )Y4s+
1)
(6)
J,,,+,,(c~)
P,,(P)
P2s(q)
(7)
Les relations (6) et (7) restent vraies pour les indices impairs, en rempla9ant n par n + l/2 et s par s + l/2 (sauf (- 1)” et (- 1)’ qui restent inchangts), et cosinus par sinus (for-mulesdesigneespar (6bis) et (7bis) dans la suite). 3.1. Formules de translation La relation (4) est appliquee dans le systeme 1. En se rappelant que zr = z2 + d, la relation (5) permet de developper e- Qt .I,,( pt ) dans l’integrale et d’obtenir la formule de translation suivante pour z*>O: p,(p~)Q~(ql)=~~(-1)S(2s+l)
s=o
avec u,, ,J d/c ) =
us,A d/c 1 P,( PZ) Ps( q2)
+I s e- (d/c)f
112+s(t)
0
11,2+n(t)
(8)
dt
t
3.2. Formules d’expansion Suivant Angot (1957) et en considerant la decomposition en serie entiere de J,,, + Jt), il est facile d’etablir : J I,2 +.( Cl) = cn+ lc?2
{ gi
[~]k’L}
J112+n+2iW (n 2 0)
(9)
r-l
aveca;‘,‘= (- l)i+r Cj::;(2n+4i+1)kF,[2(n+i+k)+1] CZ~~=~i,oeta~‘i1=(-1)‘+‘(2n+4i+1)
(l
La premiere formule d’expansion s’obtient en Ccrivant les equations (6) et (6bis) dans le systeme 1 et en remplagant les J,,, +n(~l t) par les J,,, + n+ 2 i(c2 t) a l’aide de la relation (9), oti l’on pose c = c,Ic, (t etant remplace par c2 t). En appliquant alors les equations (6) et (6bis) dans le systeme 2, la relation obtenue se transforme en : PAPI ) Q,< 41) = cn+’ z
(- 1)’ { gi
[~]‘a?~}
(n 2 0),0ilc=c,/c, 246
Pn+2i(P2) Qn+2Lq2)
(10)
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et expansion
des potentiels
sphbrdidaux
Deux series des I,( pi ) cos ( 5 ) de m&me terme general J ,,?+ z ,y(c, i. ) sont obtenues en appliquant l’equation (7) avec c = c,, puis avec c = c2 et en utilisant la relation (9). L’identification terme a terme de ces series conduit a la deuxieme formule d’expansion pour les indices pairs :
Un traitement analogue pour les indices impairs (relation (7bis)) conduit a une formule qui se deduit de la precedente en remplaqant II par II + l/2 et s par s + l/2 (sauf (- 1 )‘I et (- 1 )’ qui resknt inchanges).
4. Conclusion Pour le probleme de l’inclusion duplex, nous illustrons la resolution par une carte isocontrainte obtenue en appliquant la demarche exposee ci-dessus (fig. 2). La troncature des series a CtCeffectuee de man&e a assurer les conditions de continuite des contraintes aux interfaces avec une precision de 0,l % du chargement impose (les conditions sur les deplacements sont alors verifiees avec une
MPa 1900 1700 1640 (1630
1500 1300
1100 900 700 500 853 } ; 580 (855); I (585) I J I , J 3) ’ , I’ I
I \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ \ ’ \ ‘.-d’ \
‘.--<’
u
P
Fig. 2. -Carte des isovaleurs de la contrainte de ‘van Mises dans le plan meridien (Opr ), amour et ir I’intk-ieur d’une inclusion enrobee, delimitte par deux interfaces sphero’idales allongees homothetiques (facteur de forme de I,5 et Cpaisseur minimale ‘de I’enrobage de 0.25). sous un chargement longitudinal (I 000 MPa). Les rapports des modules de cisaillement inclusion/matrice et enrobage/matrice sent respectivement de 5 et 2. Les coefficients de Poisson sont Cgaux h 0.3. Les positions des wrremcr locaux sont indtquees et leurs valeurs comparees aua resultats obtenus par elements finis (nombres entre parentheses). Fig. 2. - Isnrwlues of the van Mises stress in the nteridim plane (Opz ). around and inside m coated incbsiorr, bomded bx two hnmothetic prolate spheroidtrl interfnces (the aspect rutin is 1.5 and the minimd coating thickness is 0.25), submitted to remote longitudinal loading (1 000 MPo). The inclusion/matrix and conting/mc~trix sheor tnoduli ratios are, respectire!\; 5 md 2. The Poisson utios me equtrl to 0.3. The positions of local e.rtrema are showa trnd their values are compared with jinir’e element data (rumber.s in brtrckets).
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precision au moins aussi bonne) : 14 termes sont alors necessaires.Une analyse par elements finis (logiciel ABAQUS)a confirme la validite des formules de translation et d’expansion des potentiels sphero’idaux: les &arts (normalises par l’amplitude du chargement impose) entre extrema locaux de contraintes donnes par les deux methodes ne depassentjamais plus de 4 5%.Les maxima globaux sont legerement sous-evalds par la methode des elements finis en comparaison de ceux obtenus a partir de notre mtthode de resolution et de meme les minima sont surevalues.Dans tous les cas, un maillage plus dense tend a reduire ces differences. Notre approche offre une alternative interessantea la methode des elements finis, en particulier pour des paires d’inclusions tres rapprochees ou des inclusions duplex presentant un enrobage d’epaisseur fortement variable. Dans de tels cas, un maillage plus fin est necessairedans les regions confinees entre les deux inclusions ou dans la zone d’enrobage la plus mince. Les temps de calcul et la precision des resultats peuvent en etre affect&. En revanche, la methode proposee permet d’obtenir les champs Clastiquesen tout point avec une precision arbitrairement choisie. En conclusion, il est a noter que le formalisme presentedans cette etude peut s’etendre naturellement a des configurations comportant plus de deux inclusions (alignement d’inclusions sphho’idales suivant un axe de revolution commun) et B des inclusions enrobees multicouches delimitees par des interfaces spheroi’dalesde mCmecentre et de m&me axe de revolution (mais pas necessairementconfocales ou homothetiques). De plus, les relations d’expansion des potentiels permettraient de traiter naturellement le cas d’une inclusion sphtro’idale dans un milieu fini de forme Cgalement spherdidale. Pour des problemes non axisymetriques, les potentiels harmoniques sphboidaux font intervenir deux indices II et m (m &ant rattache a la dependanceangulaire), et de nouvelles formules de translation et d’expansion pourraient etre Ctablies a partir de Cooke (1956). Cependant, m&me dans le cas axisymetrique, les relations de translation et d’expansion exposeesdans cet article ne semblent pas avoir CtCanterieurement utilisees dans les problemes d’elasticite lineaire. Note remisele 7 avril 1997,accepteele 30 avril 1997.
RCfkences bibliographiques Angot A., 1957. ComplGmerm de math~mmrrtiques,Collection Technique et Scientifique du CNET. Paris, p.594. Chen H. S., Acrivos A., 1978. The solution of the equations of linear elasticity for an infinite region containing two spherical inclusions. Inr. /. Solids Struct., 14, p. 331-348. Christensen R. M., Lo K. H., 1979. Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models, J. Mech. Phys. Solids, 27, p. 3 15-330. Cooke J. C., 1956. Some relations between Bessel and Legendre functions, Monarshefre fzk Mafh.. 60, p. 322-328. Eshelby J. D., 1957. The determination of the elastic held of an ellipsoidal inclusion, and related problems, Proc. R. Sot. (London), A241, p. 376-396. Herve E., Zaoui A., 1993. N-layered inclusion-based micromechanical modelling. Inr. .I. Engng Sci., 31, p. l-10. Hem? E., Zaoui A., 1995. Elastic behaviour of multiply coated fibre-reinforced composites, Znr. J. Engng Sci., 33, p. 1419-1433. Hobson E. W., 1955. The Theor? ofSpherical and Ellipsoidal Harmonics, Chelsea Publishing Company, New York. Meisner M. J., Kouris D. A., 1995. Interaction of two elliptic inclusions, Inr. J. Solids Swucf., 32. p, 45 l-466. Mikata Y., Taya IX, 1985. Stress field in and around a coated short fiber in an infinite matrix subjected to uniaxial and biaxial loadings, J. Appi. Me&.. 52, p. 19-24. Montheillet F., bfoussy F., 1986. Physique et mkanique de l’endommngemenr, Les editions de Physique, Paris. Neuber H., 1944. Kerhspnnnlmgsleh~e, Edwards J. W., Arbor Mi Ann, eds. Papkovitch P. F., 1932. Solution &n&ale des equations differentielles fondamentales d’elasticite, exprimee par trois fonctions harmoniques, C.R. Acad. Sci. Paris, 195, p. 513-515.
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La mkthode des trois potentiels a CtC utiliske pour traiter analytiquement deux configurations particulkres en ClasticitC linkaire : deux inclusions sphkroi’dales allongkes identiques, aligrkes suivant un axe de rkvolution commun, et une inclusion enrobke d6limitCe par deux interfaces sphkroidales allongkes de mCme centre et de m&me axe de rCvolution. Dans les deux cas, la matrice infinie est soumise g un chargement axisymktrique. La rksolution du problkme exige d’ktablir des relations mathkmatiques gCnCrales de translation et d’expansion des potentiels sphkrofdaux. Celles-ci ont CtC obtenues analytiquement et la validit de la mkthode a CtC vCrifiCe par comparaison avec les rksultats obtenus g partir d’une analyse par ClCments finis. Mots cl& : inclusion / Clasticitk / potentiels sphkroldaux / interaction / enrobage / &lCments finis
Translation application Abstract.
and expansion of spheroidal harmonics; to two problems of linear elasticity
The ‘three function approach’ was used to investigate analytically two particular conjigurations in linear elasticity: a pair of similar prolate spheroidal inclusions aligned with a common revolution axis, and a coated inclusion bounded by two prolate spheroidal inter&aces sharing the same center and revolution axis. In both cases, the injinite matrix is submitted to remote axisymmetric loading. To solve the problem, general mathematical formulae are then required for the translation and expansion of spheroidal harmonics. These were derived analytically and the valid@ of the method was verijed by comparison with results obtained from a jinite element analysis. Keywords: elements
inclusion / elasticity /spheroidal
harmonics / interaction / coating /jinite
Note prCsentCe par AndrC ZAOUI. 1251-8069/97/03250241 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris
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Elastic stressesinduced by inhomogeneities in materials have a great influence over local damage phenomena [e.g. Montheillet (1986)]. Though Eshelby’s approach (1957) has been extensively used to model the latter, the required assumptions are clearly inappropriate to some common industrial materials. In this paper, two particular issues are addressedin the context of linear isotropic elasticity: the interacting (non-isolated) and coated (heterogeneous)inclusions. These have been widely investigated in the literature. Among other authors, papers by Chen (1978), Meisner (1995) for the interacting inhomogeneities, and Christensen (1979), Mikata (1985), Her+ (1993, 1995) for the coated inclusion should be mentioned. The present work aims at solving two boundary value problems involving a pair of similar prolate spheroidal inclusions aligned with a common revolution axis (jig. la), and a coated inclusion bounded by two prolate spheroidal interfaces sharing the samecenter and revolution axis, but not necessarily confocal or homothetic (fig. Ib), in an infinite matrix submitted to remote axisymmetric loading. The formulation, based on the Papkovitch (1932) and Neuber (1944) approach, expressesdisplacements as a function of two harmonic potentials ~1and I// [eq. (l)]. The above equation is usually written with cylindrical coordinates ( p, z), but a more natural way here is to employ prolate spheroidal coordinates (p, 4). In fact, two prolate spheroidal coordinate systems are needed, with different centers for the interacting inhomogeneities (jig. la), and different distances between foci for the coated inclusion @g. Ib). The solution of Laplace’s equation in these coordinates is classical (Hobson, 1955). For the interacting inhomogeneities, q and v are expanded in a series of general term: (9 Ph > P,( 41) in inclusion 1 and P,(pz) P,( q2) in inclusion 2, (ii) (Y,P,(p, ) Q,( q1 ) + /3,,P,(p, ) Q,,( q2) in the matrix in addition to the potentials of the remote axisymmetric loading. For the coated inclusion, v and y are similarly expanded in a series of general term: (i) P,( p1 ) P,( q1 ) in the inclusion, (ii) (.y,P,(p, ) Q,( q1 ) + p, P,( p1 ) Q,( q, ) in the coating and (iii) P,(p,) Q,( q2) in the matrix in addition to the potentials of the remote axisymmetric loading. Here, P,, and Q, are the Legendre functions of the first and second kind. Coefficients in each term of the series are unknown and must be determined from the boundary conditions to solve the two problems [see, for example, Mikata (1985) for a more detailed description of the method]. To reduce boundary conditions to equalities between series of general term involving either PJp,) or P&J, it is necessaryto expressP,(pJ Q,(qJ in system 2 for the problem of interacting inhomogeneities, which is symmetrical with respect to the two inclusions, and P&J Q,(qJ, P&J P,(q,) (inside the coating) in system 2 for the coated inclusion problem. The first operation calls for a spheroidal potentials translation formula [eq. (S)]. The second one requires spheroidal potentials expansion formulae [eqs (lo), (1 l)]. Using these relations and identifying the series term by term, boundary conditions turn into an infinite system of linear equations, which is truncated and inversed numerically to obtain the unknown coefficients. The proposed method is illustrated by a stressisovalue map cfig. 2) for the coated inclusion problem. The comparison between local stress extrema values obtained from a finite element analysis (Abaqus) and the present resolution confirms the validity of the spheroidal potentials translation and expansion formulae. In conclusion, it should be noted that these relations can be used to deal with the problem of interacting inhomogeneities involving more than two inclusions (alignment of spheroidal inclusions with a common revolution axis) and the problem of multi-coated inclusions (the spheroidal interfaces sharing the same center and revolution axis).
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des potentiels
sphkrdidaux
1. Introduction La presence d’inhomogerkitts (inclusions, renforts particulaires ou fibres, cavites, etc.) dans les materiaux ti usage industriel est connue pour &tre un facteur propice a un amorcage local de l’endommagement (par exemple Montheillet et Moussy, 1986). Pour modeliser ces phenomenes,il est necessaireavant tout de calculer les champs locaux existant au voisinage des inhomogeneitts, au stade ou le ma&au n’est pas encore endommage: le comportement consid& est alors tlastique lineaire. Dans ce contexte, le travail bien connu d’Eshelby (1957) permet de resoudre le probleme d’une inclusion de constantes Clastiquesuniformes, de forme ellipso’idale, isolee dans une matrice infinie et soumise a une sollicitation homogkne. Toutefois, cette approche ne permet pas de traiter certaines configurations inclusionnaires rencontrees dans les materiaux reels. Nous nous interessons plus particulierement ici aux problemes d’interaction Clastique entre inclusions voisines et aux inclusions enrobks ; ces questions sont abordeesdans le cadre de l’elasticite lineaire isotrope. De nombreux travaux ont CtCconsacresa ces sujets et il convient de titer les plus importants. En ce qui conceme le cas d’inclusions non isolees, Chen et Acrivos (1978), en se limitant au cas de la paire d’inclusions spheriques,ont calculi les champs Clastiquescorrespondants.Un travail recent (Meisner et Kouris, 1995) s’est attache a Ctudier l’interaction Clastique entre deux inclusions elliptiques identiques (geomttrie et milieu similaires) dans l’hypothese de deformations ou de contraintes planes. La resolution utilisee necessiteun changementd’origine pour les potentiels harmoniques elliptiques et fait appel a des relations mathematiques essentielles, for-mules appeleesdans la suiteformules de trandadon. Nous presentons ici une approche similaire permettant le calcul des champs Clastiquesautour de deux inclusions sphero’idales (ellipso’idales de revolution) identiques, alignees suivant un axe de revolution commun et soumises a un chargement axisymetrique (/is. la).
enrobage (coating)
inclusion (inclusion)
matrice (matrix)
matrice (matrix)
Fig. 1. - (a) Paire d’inclusions sph&oYdales allong& identiques, align&es suivant leur axe de rkolution commun (reprCsentation dans un plan mkidien). (b) Inclusion enrobte d&nitCe par deux interfaces sphtkdidales allongkes de meme centre et de m&me axe de rkolution. Fig. 1. - (a) Pair of similar prolate spheroidal inclusions, aligned with their common revolution axis (meridian plane view). (b) Coated inclusion bounded by two prolate spheroidal interfaces sharing the some center and revolution acis.
En ce qui conceme les problemes d’inclusions heterogenes,les situations de geometric spherique ou cylindrique ont CtClargement CtudiCesdans le cadre des methodes d’homogeneisation autocoherentes 243
A. Riccardi et F. Montheillet
(modele <
2. Application de la mkthode des trois potentiels et spkcification des fonctions dans chacun des probl&mes Papkovitch (1932) et Neuber (1944) ont ramene la resolution des problemes d’tlasticite lineaire isotrope a la recherche de trois fonctions harmoniques (en fait, la formulation initiale fait intervenir quatre fonctions ; ce nombre peut &re reduit a trois dans le cas general et deux potentiels suffisent pour un probleme axisymetrique). Les deplacements,dans un rep&e cylindrique ( Opz), s’tcrivent alors : 2G[u,,uo,uzl=grad(y,+z~/)-
[0,0,4(1-~)vl
(1)
avec Av = Av = 0 et u0 = 0 pour un probleme axisymetrique. G et v sont les modules de cisaillement et de Poisson du milieu consider6 Dans les deux problemes etudies, les front&es de chaque milieu sont des spheroi’desallonges. I1 convient d’utiliser alors les coordonnees spheroldales allongees (p, s) definies par z = c cash CIcos /? et p = c sinh Q!sin /3, ou 2 c designe la distance entre les foyers et p = cos /3, i = sin /I, 9 = cash QI, S = sinh CY(Mikata et Taya, 1985). La solution de l’equation de Laplace dans ce systeme est classique (Hobson, 1955) ; les potentiels q et
w s'expiment sousla forme ngl [~,P,(P) p,(q) +&P,(P) Qn(q)17 oti
P,, et Q, designent
respectivement les polynomes de Legendre et les fonctions de Legendre de deuxieme espece. Les coefficients (Y, et p,, de chacun des milieux constituent alors les inconnues du probleme. 2.1. Paire d ‘inclusions
Pour decrire les deux interfaces, deux systemesde coordonnees sphero’idalesallongees centres sur chaque inclusion sont utilises @g. la) : - PI = cq9bp2= 21 =
cq,
- cq2p2
Ply z2 = cq2p2
avec
pl=
p2=p,
avec zr = z2 + d,
(2)
ou c est la demi-distance entre les foyers des spheroi’des(identiques) 1 et 2, et d la distance entre les centres des deux inclusions. Suivant Meisner et Kouris (1995), les potentiels harmoniques v, et I,U s’expriment comme des series infinies de terme general : P,(p, ) P,( q1 )et P,(p2 ) P,( q2) dans les inclusions 1 et 2 respectivement ; a, P,( PI ) Q,( q1 ) + P, P,( P? ) Q,( q2 ) dans la matr% auwel on ajoute les potentiels du chargement impose. Le probleme &ant symetrique par rapport aux deux inclusions, les coefficients apparaissant dans le developpement en serie de chaque potentiel harmo244
Translation
et expansion
des potentiels
sphbrdidaux
nique lie au systeme 1 se deduisent de ceux du systeme 2 par des relations de symetrie (identiques a celles de Meisner et Kouris, 1995). Pour resoudre totalement le probleme, il faut traduire les conditions de continuite des deplacements et des vecteurs contraintes (interface parfaite) sur l’interface de l’inclusion 2, par exemple, en fonction uniquement de (p2, q2). Cela necessite d’exprimer P,(p,)Q,(ql) dans le systeme 2 et nous qualifions cette operation de translation &es potentiels sphe’roi’daux. 2.2. Inclusion
duplex
Deux systemesde coordonnees spherofdalesallongees sont necessairespour decrire les interfaces 1 et 2 (fig. 16) :
1 PI
=
21 =
-- --
ClqlPl~ c1q1
P2
=
c2cwz
Ply z2 = c2 q2p2
avec p, = p2 = p, avec z, = z2 = z,
(3)
oti c, et c2 sont les demi-distances entre les foyers des spheroi’des1 et 2. Les potentiels harmoniques v et I,Us’expriment comme des series infinies de terme general : P,(p, ) P,( q1 ) dans l’inclusion ; P,(p, ) Q,( q2) dans la matrice, auquel on ajoute les potentiels du chargement imposC ; et ff, UpI ) CL q1 > + A M p1 ) Q,
3. Formules de translation et d’expansion des potentiels sphbrdidaux 11 est done nCcessaire d’etablir des relations de translation pour les potentiels harmoniques spherdidaux P,( p ) Q,( q ) afin de resoudre le probleme d’interaction entre deux inclusions spherdidales, et des formules d’expansion pour les deux types de potentiels spheroidaux UP) Q,(s) et P,(P) p,(q) en vue de l’etude de l’inclusion duplex. Des equations Ctablies par Cooke (1956) relient les potentiels sphero’idaux aux fonctions de Bessel J,, I,, K,, des coordonnees cylindriques (valables uniquement pour z > 0) :
P,(p)
Q,(q)
= (~)“‘So’^‘e-‘~J,(Pr)I,,~+,(ct)
tf112dt 245
A. Riccardi
et F. Montheillet
(5)
(- I)“P,.(p)Q~~(q)=(~)1’2~~‘mcos(:r)K,(et)J,,,,2.(cr)r1’2dt
IO(PJ”) cm (22) = ( &yz
so (- 1 )Y4s+
1)
(6)
J,,,+,,(c~)
P,,(P)
P2s(q)
(7)
Les relations (6) et (7) restent vraies pour les indices impairs, en rempla9ant n par n + l/2 et s par s + l/2 (sauf (- 1)” et (- 1)’ qui restent inchangts), et cosinus par sinus (for-mulesdesigneespar (6bis) et (7bis) dans la suite). 3.1. Formules de translation La relation (4) est appliquee dans le systeme 1. En se rappelant que zr = z2 + d, la relation (5) permet de developper e- Qt .I,,( pt ) dans l’integrale et d’obtenir la formule de translation suivante pour z*>O: p,(p~)Q~(ql)=~~(-1)S(2s+l)
s=o
avec u,, ,J d/c ) =
us,A d/c 1 P,( PZ) Ps( q2)
+I s e- (d/c)f
112+s(t)
0
11,2+n(t)
(8)
dt
t
3.2. Formules d’expansion Suivant Angot (1957) et en considerant la decomposition en serie entiere de J,,, + Jt), il est facile d’etablir : J I,2 +.( Cl) = cn+ lc?2
{ gi
[~]k’L}
J112+n+2iW (n 2 0)
(9)
r-l
aveca;‘,‘= (- l)i+r Cj::;(2n+4i+1)kF,[2(n+i+k)+1] CZ~~=~i,oeta~‘i1=(-1)‘+‘(2n+4i+1)
(l
La premiere formule d’expansion s’obtient en Ccrivant les equations (6) et (6bis) dans le systeme 1 et en remplagant les J,,, +n(~l t) par les J,,, + n+ 2 i(c2 t) a l’aide de la relation (9), oti l’on pose c = c,Ic, (t etant remplace par c2 t). En appliquant alors les equations (6) et (6bis) dans le systeme 2, la relation obtenue se transforme en : PAPI ) Q,< 41) = cn+’ z
(- 1)’ { gi
[~]‘a?~}
(n 2 0),0ilc=c,/c, 246
Pn+2i(P2) Qn+2Lq2)
(10)
Translation
et expansion
des potentiels
sphbrdidaux
Deux series des I,( pi ) cos ( 5 ) de m&me terme general J ,,?+ z ,y(c, i. ) sont obtenues en appliquant l’equation (7) avec c = c,, puis avec c = c2 et en utilisant la relation (9). L’identification terme a terme de ces series conduit a la deuxieme formule d’expansion pour les indices pairs :
Un traitement analogue pour les indices impairs (relation (7bis)) conduit a une formule qui se deduit de la precedente en remplaqant II par II + l/2 et s par s + l/2 (sauf (- 1 )‘I et (- 1 )’ qui resknt inchanges).
4. Conclusion Pour le probleme de l’inclusion duplex, nous illustrons la resolution par une carte isocontrainte obtenue en appliquant la demarche exposee ci-dessus (fig. 2). La troncature des series a CtCeffectuee de man&e a assurer les conditions de continuite des contraintes aux interfaces avec une precision de 0,l % du chargement impose (les conditions sur les deplacements sont alors verifiees avec une
MPa 1900 1700 1640 (1630
1500 1300
1100 900 700 500 853 } ; 580 (855); I (585) I J I , J 3) ’ , I’ I
I \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ \ ’ \ ‘.-d’ \
‘.--<’
u
P
Fig. 2. -Carte des isovaleurs de la contrainte de ‘van Mises dans le plan meridien (Opr ), amour et ir I’intk-ieur d’une inclusion enrobee, delimitte par deux interfaces sphero’idales allongees homothetiques (facteur de forme de I,5 et Cpaisseur minimale ‘de I’enrobage de 0.25). sous un chargement longitudinal (I 000 MPa). Les rapports des modules de cisaillement inclusion/matrice et enrobage/matrice sent respectivement de 5 et 2. Les coefficients de Poisson sont Cgaux h 0.3. Les positions des wrremcr locaux sont indtquees et leurs valeurs comparees aua resultats obtenus par elements finis (nombres entre parentheses). Fig. 2. - Isnrwlues of the van Mises stress in the nteridim plane (Opz ). around and inside m coated incbsiorr, bomded bx two hnmothetic prolate spheroidtrl interfnces (the aspect rutin is 1.5 and the minimd coating thickness is 0.25), submitted to remote longitudinal loading (1 000 MPo). The inclusion/matrix and conting/mc~trix sheor tnoduli ratios are, respectire!\; 5 md 2. The Poisson utios me equtrl to 0.3. The positions of local e.rtrema are showa trnd their values are compared with jinir’e element data (rumber.s in brtrckets).
247
A. Riccardi et F. Montheillet
precision au moins aussi bonne) : 14 termes sont alors necessaires.Une analyse par elements finis (logiciel ABAQUS)a confirme la validite des formules de translation et d’expansion des potentiels sphero’idaux: les &arts (normalises par l’amplitude du chargement impose) entre extrema locaux de contraintes donnes par les deux methodes ne depassentjamais plus de 4 5%.Les maxima globaux sont legerement sous-evalds par la methode des elements finis en comparaison de ceux obtenus a partir de notre mtthode de resolution et de meme les minima sont surevalues.Dans tous les cas, un maillage plus dense tend a reduire ces differences. Notre approche offre une alternative interessantea la methode des elements finis, en particulier pour des paires d’inclusions tres rapprochees ou des inclusions duplex presentant un enrobage d’epaisseur fortement variable. Dans de tels cas, un maillage plus fin est necessairedans les regions confinees entre les deux inclusions ou dans la zone d’enrobage la plus mince. Les temps de calcul et la precision des resultats peuvent en etre affect&. En revanche, la methode proposee permet d’obtenir les champs Clastiquesen tout point avec une precision arbitrairement choisie. En conclusion, il est a noter que le formalisme presentedans cette etude peut s’etendre naturellement a des configurations comportant plus de deux inclusions (alignement d’inclusions sphho’idales suivant un axe de revolution commun) et B des inclusions enrobees multicouches delimitees par des interfaces spheroi’dalesde mCmecentre et de m&me axe de revolution (mais pas necessairementconfocales ou homothetiques). De plus, les relations d’expansion des potentiels permettraient de traiter naturellement le cas d’une inclusion sphtro’idale dans un milieu fini de forme Cgalement spherdidale. Pour des problemes non axisymetriques, les potentiels harmoniques sphboidaux font intervenir deux indices II et m (m &ant rattache a la dependanceangulaire), et de nouvelles formules de translation et d’expansion pourraient etre Ctablies a partir de Cooke (1956). Cependant, m&me dans le cas axisymetrique, les relations de translation et d’expansion exposeesdans cet article ne semblent pas avoir CtCanterieurement utilisees dans les problemes d’elasticite lineaire. Note remisele 7 avril 1997,accepteele 30 avril 1997.
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