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Un théorème de Harris et Segal pour un anneau d'entiers algébriques exceptionnel
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 1107-I 112, 1999 ThPorie des nombreslNumber Theory
Un th&or&me de Harris et Segal d’entiers alg&briques exceptionnel Hinda
HAMRAOUI
FacultB Maroc Courriel
des
(Regu
sciences,
1, UniversitC
Hassan
II,
Km
8, route
pour
El
Jadida,
un anneau
B.P.
5366
Mairif,
Casablanca,
: [email protected] le 2 janvier
RbumC.
1999,
accept6
le 8 mars
1999)
Soient K un corps de nombres, 01; l’anneau des entiers de K, e un nombre premier et Z(O) le localise de Z en .L Harris et Segal [4] ont montre qu’il existe une infinite d’ideaux premiers p de 01; tels que le morphisme nature1 K(OK) @ Z(o) + K(Or< /PI 8 Z(o) soit surjectif scinde pour i > 0 en K-theorie algebrique, sauf si e = 2 et 0,; est exceptionnel. Dans cette Note, nous montrons que le theoreme de Harris et Segal reste vrai pour e = 2 dans le cas exceptionnel, a condition de remplacer la K-theorie algebrique par la K-thkorie orthogonalede Karoubi [5]. Grace a [3], on determine alors un facteur direct de la 2-torsion de KO,(Otc). 0 Academic des SciencesElsevier. Paris
A Harris
and
algebraic
Segal
theorem
for
exceptional
rings
of
integers
Abstract.
Let K be a number field, 01; the ring of the integers of K, Y a prime integer and Z(c) the localisation of Z at C. Harris and Segal [4] proved that there exists infinitely many primes p of 01; such that the natural morphism K,(Ot;) @ Z(p) + K;(Otc /p) @ Z(r) in algebraic K-theory is split surjective for i > 0, except if e = 2 and K is exceptional. In this Note, we prove that the Harris-Segal theorem is still true for e = 2 in the exceptional case, if we replace algebraic K-theory by orthogonal K-theory defined by Karoubi [5]. Thanks to [3], we can then determine a direct summand of the 2-torsion of KO,,(O,;). 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
A bridged
English
Version
Let A be a commutatif unitary ring, O(A) its infinite orthogonal group and BO(A)+ the plus = n,(BO(A)+), the forgetful construction relative to [O(A), O(A)] [6]. K aroubi definies KO,(A) [S]. Let C = (t) be a functor: KO, (A) ---t K,(A) and the hyperbolic functor K,(A) + KO,(A) cyclic group of order 2” with an action of Z/2 sending t to t-l and Us the valuation at 2 of an Note
prCsent6e par Christophe
0764-4442/99/0328
I 107 0 AcadCmie
SOUL%.
des SciencesElsevier,
Paris
1107
H.
Hamraoui
integer a. Thanks to Lemma 2, we prove that, if F, is a finite field, 4 odd and v2(q2 - 1) = n + 1, the groups Z/2 K C (resp. C,,, J(Z/2 K C)) are isomorphe to sub-groups of 0(2, Frl) (resp. 0(2m, F4) and of odd index). Denote C, s(Z/2 K C) = UC, s(Z/2 K C), i : C, s(Z/2 K C) C O(F,), (Bi)+ : B&j-(Z/2 K C))+ t BO(F,)+ and i2 : B(C, j’(Z/2 D( C)).$ --f BO(F,);’ after localisation at 2 (see [l]). Following Harris-Segal’s strategy [4], we show, in Theorem 4 that i2 is a homotopy retraction. The proof of this theorem uses Lemma 1 and the induction in representation theory of finite groups. Application Let K be a number field such that 0~ the ring of its integers is exceptional (see [4]) and EzTLE K(a) a primitive 2” root of unity of maximal order. In Lemma 7, using the Tchebotarev density theorem, we prove the existence of residue fields F, of 0~ such that 4 odd and Vz(Q2 - 1) = n + 1. Appling Lemma 2 to 0 K, the following triangles with natural arrows are commutatifs: tK z/2 K /Lp O(2, OK) L/x t, \ (x2, cl)
Appling Theorem 4 to F, we then get Theorem 8 assertingthat B0(01;)&) --+ BO(F,)z, induced by the residue map, is a homotopy retraction. Thanks to [3], we determine a direct summand of the 2-torsion of KO,(OK).
Pour tout anneau commutatif unitaire A, on d&nit les groupes O(m, m, A) (resp. 0(2m, matrices inversibles d’ordre 2m laissant invariante la forme quadratique, de A”” @ A”“, (resp. la forme quadratique XT + . . . + z$,).
Le groupe O(A)
= lim,O(m,
et F, un corps$ni
b q dkments,
012a O(F,)
A)) des
~
o
m, A) est par &inition
le groupe orthogonal infini de A. 11 est quasi-parfait, d’ou laconstruction = n,(BO(A)+), ( voir [6]). Karoubi definit KO,,(A) rappofi g [O(A),O(A)I KO,(A) + KTL(A) et le foncteur hyperbolique K,(A) -+ KO,(A) [5]. LEMME 1. - Si q est impair
[0 L1
plus BO(A)+ par le foncteur oubli :
= lim 0(2m, Fq).
Dkmonstrution. - Comme q est impair, en chaque dimension m il y a exzement deux classes d’isomorphisme de formes quadratiques non dtgenerees @(x1,. . . ,x,) = (XT + . . + zi) et = (a$ + . . . + ~j!~) avec a un Clement de F, qui n’est pas un cart+ (vat, [2]. Q-(Xl,. . . ,z,)
Comme le determinant de la forme hyperbolique [1z,L B Q+, done 0(2m, 2m, F4) = 0(4m, Q+) = 0(4m,
‘im]
est (-1)2m = 1, elle est Cquivalente
- 0(2m, F,) = lim 0(4m, F4) = F4). D one lim
lim 0(2m, 2m, F4) = lim O(m, m, F4) = O(F,). Notons C, le groupe~ymetrique de m lettres. Pour tout groupe G, le groupe C, s G designe le produit semi-direct C, D<(,G x .,. x q), ou C, opere en permutant les facteurs. On note II,(U) la valuation en 2 d’un entier a. Soi? C = (t) un groupe cyclique d’ordre 2” sur lequel Z/2 opere en
1108
Un
envoyant t sur t-l, 2n-emes de l’unite
thCor+me
de Harris
et Segal
et soit 5 une racine primitive dans Q est note ,LL~“.
pour
un anneau
d’entiers
algkbriques
exceptionnel
2”-eme de I’unite dans Q. Le groupe des racines
LEMME 2. - 11existe une application Z/2 KC -+ 0(2,Z[(+<-‘1) telle que, pour tout homomorphisme d’anneau Z[< + c-l] -+ A, ou A admet un homomorphisme vers un corps de caracte’ristique differente de 2, l’application induite Z/2 K C + 0(2, A) soit injective. Demonstration. - Les anneaux Z[< + <-‘I et Z[<] sont les anneaux d’entiers des corns Q(< + c-‘) et Q(c), I’extension Q(C)/Q(< + c-l) est de degrk 2. (a) L’action galoisienne de Z/2 et l’action de Q(c)* par multiplication induisent une action de Z/2 D( Q(c)*, done en particuher de Z/2 K pp, sur Q(C). (b) Comme N(c) = 1 et que l’action galoisienne de Z/2 respecte la forme quadratique Z/2 K pp NQ(C)/Q(C+C-‘)(x) = a2 + b2, a et b &ant les coordonnees de 5’ dans la base (1, a), opere sur Z[(] munie de ladite forme. (c) Soit un corns F de caracdristique differente de 2, tel q_u’il existe 1c, : Z[< + c-l] + F. Cet homomorphisme donne naissance a un homomorphisme T,!J: Z[c] --f F[X]/(X2 - $J(C + <-l)X + 1) envoyant 1 sur 1 et [C] sur X. L’homomorphisme $ induit une action, de Z/2 K pp, respectant NF[~~I(x~-~(~+~~~)x’+~~,~. En effet, si 1 est l’tlement non nul de Z/2, il opbre envoyant 1 sur 1 et X sur $J(( + <-‘) - X. De m&me, paTL opere par : (c)P = XP avec la norme de X est 1. I1 est clair que l’application Z/2 ---) 0(2, F) est injective. Comme la caracteristique de F est differente de 2 l’application p2= 4 0(2, F) est aussi injective ; d’oti le lemme. ci COROLLAIRE 3. - Si A = F,, avec v2(q2 - 1) = n + 1, alors : (a) le groupe Z/2 K C est isomorphe a un sous-groupe de 0(2,F,) (b) pour tout m > 1, C, s(Z/2 K C) est isomorphe a un sous-groupe
: de 0(2m,
F4) d’indice impair.
Demonstration. - Si q = 1 (mod 4), F, contient une racine primitive 2”-i&me de l’unite I. Le morphisme Z[(] + F, se restreint en : Z[C + <-‘I -+ F,. Si q E -1 (mod 4), soit < une racine primitive 2”-ieme de l’unite dans Fqz. Le morphisme Z[<] -+ F,a induit un morphisme + C-l)) = Gal(F,z/F,) = Z/2. Comme q est impair, W + <-‘I 4 F, car Gal(Q(<)/Q(< (Z/2 D( C) est un sous-groupe de 0(2, F,), done C, s Z/2 K C c C,, j” 0(2, F4) C 0(2m, Fq) et l’indice (0(2m,F,), C, J(Z/2 K C)) es t tm p air, d’apres [2], p. 199 et p. 344. Notons C, J(Z/2 D( C) = UC,J(Z/2 D< C) et i l’inclusion de C,J(Z/2 R C) dans O(F,) induite par les inclusions de la proposition precedente. Elle induit (pour une definition fonctorielle de la construction +) une application (Bi)+ : B(C, J(Z/2 K C))+ + BO(F,)+. Notons Z2 l’anneau des entiers dyadiques : on a Z(2) = Q rl Z2. A tout CW-complexe X, Bousfield et Kan associent, dans [l], des espaces et morphismes x +
X(2) -
x2,
oti X(2) (resp. X2) est le localise (resp. le complete) de X en 2. On a 7r*(Xc2)) = X2 = holim,X A M(2%), oti M(2n) est l’espace de Moore associe au groupe Z/2”Z. les groupes d’homotopie sont finis, les deux espaces precedents sont homotopiquement (voir [7]). On note simplement X2 le type d’homotopie correspondant : il verifie 57,(X2) = Ceci s’applique a X = B(C, J(Z/2 K C))+ et X = BO(F,)+ ( voir [4], [3]). D’apres un CW-complexe dont les groupes d’homotopie sont finis, on a
[Y, BO(F,)+]
@z 22 = P'2,
T*(X)(~) et Si de plus equivalents 7r*(X)@Z2. 171, si Y est
BW’,)3 1109
H.
Hamraoui
L’inclusion
i induit l’application i,:B(~,/(z,2~C)):-BO(F,):
et aussi (&I* : [V,_B(C,J’(Z/2
M4
-
[Yz>BW’,),f].
4. - L’application iz est une rktraction d’homotopie.
T&OR&E
Nous suivons la strategic de Harris-Segal [4]. Soient X un sous-CW-complexe fini de BO(F,) (j,), l’appl’tc at’ion X2 + BO(F,)a induite par l’inclusion. PROPOSITION 5. - L.u classe [(jx),]
et
est dans Im(ia),.
11 s’agit de prouver l’existence de u E [X2, B (C, s(Z/2 M c)) :] tel que (j~)p = i2 o u a homotopie pres. Cette existence va Ctre prouvee a l’aide de I’induction en theorie des representations des groupes finis. D’apres le lemme 1, X est contenu dans B0(2m, F4) pour m assezgrand. Soit G un groupe fini. Rappelons (voir [4]) que A(G) (resp. M(G)) est le groupe associe au mono’ide, muni de la somme directe, du morphisme G -+ C, (resp. G -+ C, J(Z/2 M C)) ; M(G) est un A(G)-module. Definissons de man&e analogue le groupe ROF~ (G) associe au mono’ide des morphismes G -+ O(F,). De m&me, ROF~ (G) est un A( G)-module et I’inclusion %induit un morphisme i, : M(G) + ROF,(G) de A(G)-modules. En envoyant chaque representation de G, de permutation monomiale ou orthogonale, vers la classe d’homotopie de l’application correspondante, on obtient un homomorphisme d’anneaux : n : A(G)
---+ [BGW4+
x Z]
et un diagramme commutatif de morphismes de A(G)-modules : M(G) i*
=
R&(G) +m9
+ > 1 x Z
I i* [BG, BO(tF,)+
x z].
Considerons les deux cas particuliers G = C,, J(Z/2 K C) et 0(2m, F4). Notons k, I’inclusion induisant l’induction I;,, et la restriction k, * de T(C, s(Z/2 K C)) vers T(0(2m, F,)) (T = A, M ou ROF,). Les homomorphismesk,, et k,* commutent avec Q, a:m et o*. Du carrt commutatif,
oh fm e, sont les inclusions canoniques, on deduit i*(fnl) = k&(elrL). En composant avec k,,, et ag, on obtient a((&,). . l)[(j,)z] = kG(i*(a,(fm))), 1 est l’unid de A(C,J(Z/2 K C)). En poussant cette relation dans [X,BO(F,)+ x Z] @z Z2 on trouve (jS)2*o((&)* . l)[(js)a] = (iz)*(jX)2*(am((l6,)*f,)). c omme (0(2m,F,),C,, s(Z/2 K C)) est impair, le lemme de [4], p. 25, permet de prouver que (jx)2*~((k,,). . 1) est inversible dans [X, B(C,)+ x Z] @z Z2. Done [(i~)2]
1110
E
Im(i2)*.
Un
Soient j l’inclusion localises.
thCorPme
de Harris
de BO(F,)
COROLLAIRE 6. - La classe [(j)z] Dkmonstrution.
et Segal
pour
=
d’entiers
algebriques
et [ja] la classe d’homotopie
dans BO(F,)+
exceptionnel
de l’induite
aux
est duns Im(ia),.
- Soient X un sous-CW-complexe Fs
un anneau
(4,'{[(jx)z]}
c
fini de BO(F,)
[X,B(L
/(Z/2
K Cl)']
et @z
22
Les FX forment un systeme projectif d’ensembles non vides, d’apres la proposition 4, et finis, done lgmFx # 0. D’autre part, [CX, B(C, J(Z/2 K c))‘] et [CX, BO(F,)+] sont finis, done
l&i’
[CX, BO(F,)+]
= 1% 1[LX;B(4Z,2aC))+]
Les suites exactes de Milnor donnent le cart-6 commutatif ~O(Fq),B(iy/IZ,2
0:
tx (:))+I
li5
=0.
oti les lignes sont des isomorphismes k,B(&/(Z,2
:
K C))+]
i*
WP,PW,)+l En tensorisant Dkmonstrution
+ (2.x)*
par Z2, on obtient (i2);l{[j2]} du thkorkme
12 s[X,
= llmFzY
4. - Comme [,j2] E Im(ia),,
191E [BW’,)2,B(L
B;(Fg)t].
# 0. il existe
J’ P/2 x Cl);]
telle que (ia), [g] = [js]. Les proprietes universelles de la localisation et de la construction + montrent que g induit une section de ia E [B (C, s(Z/2 K C)):, BO(F,);‘] ; l’application ia est done scindee. Application Soient K un corps Notons
de nombres dont l’anneau des entiers OK est exceptionnel (voir [4]). une racine 2-primaire de l’unite d’ordre maximal. Comme J-1 $ K, = { gi, ~2, gs, uq} est un groupe non cyclique d’ordre 4 avec
Gal(K(&+l)/K) g1(&+1)=
D’aprbs P
de
tp+1>
a2(&+1)=
le theoreme de Tchebotarev OK(F~~+~)
tels
&L,
m(&'L+')=
<,':+Y,
u4(&+1)=
gjY.
faible, pour un i donne il existe une infinite d’ideaux premiers
que
avec F, = OK/P n OK. Done q e 1, ou - 1, ou 1 + 2” ou - 1 + 2” (mod 2n+‘) de i. En retenant les deux derniers cas, on a :
LEMME 7. - I1 existe duns OK une injkite’ d’idkaux premiers p tels que IOK/PI et v2(q2 - 1) = n + 1.
selon la valeur
= q, uvec q impair
1111
H.
Hamraoui
THBORBME
8. - Pour un tel q, l’upplication
: BO(OK)&,
-+ BO(F,),f
est une &traction
d ‘homotopie. Dkmonstration. - (a) Le nombre t2” + <;L est dans OK, done le sous-anneau par 12” + <.&’ est isomorphe g z[&= + &‘I. En poussant vers ]es corps r&idue]s a le triangle commutatif :
z/2 K ,Ll2*
+
tK
O(2;
de 0~ F,
engendrk de
OK,
on
OK)
Jr
t, \
0(2> F4) (b) En passant B la limite inductive,
c,
le triangle suivant commute :
J(Z/2
D( #L&2”) tK
O(oK) k/m
;\ W,)
(c) En passant aux espaces classifiants, Zx
(d) Aprks localisation r&action d’homotopie. D’aprks [3] on a : COROLLAIRE
ou 2 (mod8),
j-W:!
le triangle suivant commute B homotopie p&s : K ~2”)
+ B(tK) --
en 2, comme i2 est scindke, l’application
BWK)+
BO(Oh.)&,
+ BO(F,),f
est une
9. - Le groupe KO,(OIc) @ ZC2) admet un facteur direct isomorphe & Z/2 si n E 0 ci Z/2 @ Z/2 si n E 1 (mod8), d Z/(q(‘“+1)/2 - 1) si n E 3 ou 7 (mod8). R6fkrences bibliograpbiques
[1] Bousfield A.K., Kan D.M., Homotopy limits, completions and localisation, Lect. Notes in Math. 304, Springer-Verlag, Berlin, 1972. [2] Fiedorowicz A., Priddy S., Homology of classical groups over finite fields and their associated infinite loop spaces, Lect. Notes in Math. 674; Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978. [3] Friedlander E.M., Computations of K-theories of finite fields, Topology 15 (1976) 87-109. [4] Harris B., Segal G., K,-groups of rings of algebraic integers, Ann. Math. 101 (1975) 20-33. [5] Karoubi M., ThCorie de Quillen et homologie du groupe orthogonal, Ann. Math. 112 (1980) 207-257. [6] Loday J.L., K-thCorie algCbrique et repksentations de groupes, Ann. Sci. &ole Norm. Sup. 9 (1976) 309-337. [7] May J.P., Equivariant completion, Bull. London Math. Sot. 14 (1982) 231-237.
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Un th&or&me de Harris et Segal d’entiers alg&briques exceptionnel Hinda
HAMRAOUI
FacultB Maroc Courriel
des
(Regu
sciences,
1, UniversitC
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II,
Km
8, route
pour
El
Jadida,
un anneau
B.P.
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Mairif,
Casablanca,
: [email protected] le 2 janvier
RbumC.
1999,
accept6
le 8 mars
1999)
Soient K un corps de nombres, 01; l’anneau des entiers de K, e un nombre premier et Z(O) le localise de Z en .L Harris et Segal [4] ont montre qu’il existe une infinite d’ideaux premiers p de 01; tels que le morphisme nature1 K(OK) @ Z(o) + K(Or< /PI 8 Z(o) soit surjectif scinde pour i > 0 en K-theorie algebrique, sauf si e = 2 et 0,; est exceptionnel. Dans cette Note, nous montrons que le theoreme de Harris et Segal reste vrai pour e = 2 dans le cas exceptionnel, a condition de remplacer la K-theorie algebrique par la K-thkorie orthogonalede Karoubi [5]. Grace a [3], on determine alors un facteur direct de la 2-torsion de KO,(Otc). 0 Academic des SciencesElsevier. Paris
A Harris
and
algebraic
Segal
theorem
for
exceptional
rings
of
integers
Abstract.
Let K be a number field, 01; the ring of the integers of K, Y a prime integer and Z(c) the localisation of Z at C. Harris and Segal [4] proved that there exists infinitely many primes p of 01; such that the natural morphism K,(Ot;) @ Z(p) + K;(Otc /p) @ Z(r) in algebraic K-theory is split surjective for i > 0, except if e = 2 and K is exceptional. In this Note, we prove that the Harris-Segal theorem is still true for e = 2 in the exceptional case, if we replace algebraic K-theory by orthogonal K-theory defined by Karoubi [5]. Thanks to [3], we can then determine a direct summand of the 2-torsion of KO,,(O,;). 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
A bridged
English
Version
Let A be a commutatif unitary ring, O(A) its infinite orthogonal group and BO(A)+ the plus = n,(BO(A)+), the forgetful construction relative to [O(A), O(A)] [6]. K aroubi definies KO,(A) [S]. Let C = (t) be a functor: KO, (A) ---t K,(A) and the hyperbolic functor K,(A) + KO,(A) cyclic group of order 2” with an action of Z/2 sending t to t-l and Us the valuation at 2 of an Note
prCsent6e par Christophe
0764-4442/99/0328
I 107 0 AcadCmie
SOUL%.
des SciencesElsevier,
Paris
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H.
Hamraoui
integer a. Thanks to Lemma 2, we prove that, if F, is a finite field, 4 odd and v2(q2 - 1) = n + 1, the groups Z/2 K C (resp. C,,, J(Z/2 K C)) are isomorphe to sub-groups of 0(2, Frl) (resp. 0(2m, F4) and of odd index). Denote C, s(Z/2 K C) = UC, s(Z/2 K C), i : C, s(Z/2 K C) C O(F,), (Bi)+ : B&j-(Z/2 K C))+ t BO(F,)+ and i2 : B(C, j’(Z/2 D( C)).$ --f BO(F,);’ after localisation at 2 (see [l]). Following Harris-Segal’s strategy [4], we show, in Theorem 4 that i2 is a homotopy retraction. The proof of this theorem uses Lemma 1 and the induction in representation theory of finite groups. Application Let K be a number field such that 0~ the ring of its integers is exceptional (see [4]) and EzTLE K(a) a primitive 2” root of unity of maximal order. In Lemma 7, using the Tchebotarev density theorem, we prove the existence of residue fields F, of 0~ such that 4 odd and Vz(Q2 - 1) = n + 1. Appling Lemma 2 to 0 K, the following triangles with natural arrows are commutatifs: tK z/2 K /Lp O(2, OK) L/x t, \ (x2, cl)
Appling Theorem 4 to F, we then get Theorem 8 assertingthat B0(01;)&) --+ BO(F,)z, induced by the residue map, is a homotopy retraction. Thanks to [3], we determine a direct summand of the 2-torsion of KO,(OK).
Pour tout anneau commutatif unitaire A, on d&nit les groupes O(m, m, A) (resp. 0(2m, matrices inversibles d’ordre 2m laissant invariante la forme quadratique, de A”” @ A”“, (resp. la forme quadratique XT + . . . + z$,).
Le groupe O(A)
= lim,O(m,
et F, un corps$ni
b q dkments,
012a O(F,)
A)) des
~
o
m, A) est par &inition
le groupe orthogonal infini de A. 11 est quasi-parfait, d’ou laconstruction = n,(BO(A)+), ( voir [6]). Karoubi definit KO,,(A) rappofi g [O(A),O(A)I KO,(A) + KTL(A) et le foncteur hyperbolique K,(A) -+ KO,(A) [5]. LEMME 1. - Si q est impair
[0 L1
plus BO(A)+ par le foncteur oubli :
= lim 0(2m, Fq).
Dkmonstrution. - Comme q est impair, en chaque dimension m il y a exzement deux classes d’isomorphisme de formes quadratiques non dtgenerees @(x1,. . . ,x,) = (XT + . . + zi) et = (a$ + . . . + ~j!~) avec a un Clement de F, qui n’est pas un cart+ (vat, [2]. Q-(Xl,. . . ,z,)
Comme le determinant de la forme hyperbolique [1z,L B Q+, done 0(2m, 2m, F4) = 0(4m, Q+) = 0(4m,
‘im]
est (-1)2m = 1, elle est Cquivalente
- 0(2m, F,) = lim 0(4m, F4) = F4). D one lim
lim 0(2m, 2m, F4) = lim O(m, m, F4) = O(F,). Notons C, le groupe~ymetrique de m lettres. Pour tout groupe G, le groupe C, s G designe le produit semi-direct C, D<(,G x .,. x q), ou C, opere en permutant les facteurs. On note II,(U) la valuation en 2 d’un entier a. Soi? C = (t) un groupe cyclique d’ordre 2” sur lequel Z/2 opere en
1108
Un
envoyant t sur t-l, 2n-emes de l’unite
thCor+me
de Harris
et Segal
et soit 5 une racine primitive dans Q est note ,LL~“.
pour
un anneau
d’entiers
algkbriques
exceptionnel
2”-eme de I’unite dans Q. Le groupe des racines
LEMME 2. - 11existe une application Z/2 KC -+ 0(2,Z[(+<-‘1) telle que, pour tout homomorphisme d’anneau Z[< + c-l] -+ A, ou A admet un homomorphisme vers un corps de caracte’ristique differente de 2, l’application induite Z/2 K C + 0(2, A) soit injective. Demonstration. - Les anneaux Z[< + <-‘I et Z[<] sont les anneaux d’entiers des corns Q(< + c-‘) et Q(c), I’extension Q(C)/Q(< + c-l) est de degrk 2. (a) L’action galoisienne de Z/2 et l’action de Q(c)* par multiplication induisent une action de Z/2 D( Q(c)*, done en particuher de Z/2 K pp, sur Q(C). (b) Comme N(c) = 1 et que l’action galoisienne de Z/2 respecte la forme quadratique Z/2 K pp NQ(C)/Q(C+C-‘)(x) = a2 + b2, a et b &ant les coordonnees de 5’ dans la base (1, a), opere sur Z[(] munie de ladite forme. (c) Soit un corns F de caracdristique differente de 2, tel q_u’il existe 1c, : Z[< + c-l] + F. Cet homomorphisme donne naissance a un homomorphisme T,!J: Z[c] --f F[X]/(X2 - $J(C + <-l)X + 1) envoyant 1 sur 1 et [C] sur X. L’homomorphisme $ induit une action, de Z/2 K pp, respectant NF[~~I(x~-~(~+~~~)x’+~~,~. En effet, si 1 est l’tlement non nul de Z/2, il opbre envoyant 1 sur 1 et X sur $J(( + <-‘) - X. De m&me, paTL opere par : (c)P = XP avec la norme de X est 1. I1 est clair que l’application Z/2 ---) 0(2, F) est injective. Comme la caracteristique de F est differente de 2 l’application p2= 4 0(2, F) est aussi injective ; d’oti le lemme. ci COROLLAIRE 3. - Si A = F,, avec v2(q2 - 1) = n + 1, alors : (a) le groupe Z/2 K C est isomorphe a un sous-groupe de 0(2,F,) (b) pour tout m > 1, C, s(Z/2 K C) est isomorphe a un sous-groupe
: de 0(2m,
F4) d’indice impair.
Demonstration. - Si q = 1 (mod 4), F, contient une racine primitive 2”-i&me de l’unite I. Le morphisme Z[(] + F, se restreint en : Z[C + <-‘I -+ F,. Si q E -1 (mod 4), soit < une racine primitive 2”-ieme de l’unite dans Fqz. Le morphisme Z[<] -+ F,a induit un morphisme + C-l)) = Gal(F,z/F,) = Z/2. Comme q est impair, W + <-‘I 4 F, car Gal(Q(<)/Q(< (Z/2 D( C) est un sous-groupe de 0(2, F,), done C, s Z/2 K C c C,, j” 0(2, F4) C 0(2m, Fq) et l’indice (0(2m,F,), C, J(Z/2 K C)) es t tm p air, d’apres [2], p. 199 et p. 344. Notons C, J(Z/2 D( C) = UC,J(Z/2 D< C) et i l’inclusion de C,J(Z/2 R C) dans O(F,) induite par les inclusions de la proposition precedente. Elle induit (pour une definition fonctorielle de la construction +) une application (Bi)+ : B(C, J(Z/2 K C))+ + BO(F,)+. Notons Z2 l’anneau des entiers dyadiques : on a Z(2) = Q rl Z2. A tout CW-complexe X, Bousfield et Kan associent, dans [l], des espaces et morphismes x +
X(2) -
x2,
oti X(2) (resp. X2) est le localise (resp. le complete) de X en 2. On a 7r*(Xc2)) = X2 = holim,X A M(2%), oti M(2n) est l’espace de Moore associe au groupe Z/2”Z. les groupes d’homotopie sont finis, les deux espaces precedents sont homotopiquement (voir [7]). On note simplement X2 le type d’homotopie correspondant : il verifie 57,(X2) = Ceci s’applique a X = B(C, J(Z/2 K C))+ et X = BO(F,)+ ( voir [4], [3]). D’apres un CW-complexe dont les groupes d’homotopie sont finis, on a
[Y, BO(F,)+]
@z 22 = P'2,
T*(X)(~) et Si de plus equivalents 7r*(X)@Z2. 171, si Y est
BW’,)3 1109
H.
Hamraoui
L’inclusion
i induit l’application i,:B(~,/(z,2~C)):-BO(F,):
et aussi (&I* : [V,_B(C,J’(Z/2
M4
-
[Yz>BW’,),f].
4. - L’application iz est une rktraction d’homotopie.
T&OR&E
Nous suivons la strategic de Harris-Segal [4]. Soient X un sous-CW-complexe fini de BO(F,) (j,), l’appl’tc at’ion X2 + BO(F,)a induite par l’inclusion. PROPOSITION 5. - L.u classe [(jx),]
et
est dans Im(ia),.
11 s’agit de prouver l’existence de u E [X2, B (C, s(Z/2 M c)) :] tel que (j~)p = i2 o u a homotopie pres. Cette existence va Ctre prouvee a l’aide de I’induction en theorie des representations des groupes finis. D’apres le lemme 1, X est contenu dans B0(2m, F4) pour m assezgrand. Soit G un groupe fini. Rappelons (voir [4]) que A(G) (resp. M(G)) est le groupe associe au mono’ide, muni de la somme directe, du morphisme G -+ C, (resp. G -+ C, J(Z/2 M C)) ; M(G) est un A(G)-module. Definissons de man&e analogue le groupe ROF~ (G) associe au mono’ide des morphismes G -+ O(F,). De m&me, ROF~ (G) est un A( G)-module et I’inclusion %induit un morphisme i, : M(G) + ROF,(G) de A(G)-modules. En envoyant chaque representation de G, de permutation monomiale ou orthogonale, vers la classe d’homotopie de l’application correspondante, on obtient un homomorphisme d’anneaux : n : A(G)
---+ [BGW4+
x Z]
et un diagramme commutatif de morphismes de A(G)-modules : M(G) i*
=
R&(G) +m9
+ > 1 x Z
I i* [BG, BO(tF,)+
x z].
Considerons les deux cas particuliers G = C,, J(Z/2 K C) et 0(2m, F4). Notons k, I’inclusion induisant l’induction I;,, et la restriction k, * de T(C, s(Z/2 K C)) vers T(0(2m, F,)) (T = A, M ou ROF,). Les homomorphismesk,, et k,* commutent avec Q, a:m et o*. Du carrt commutatif,
oh fm e, sont les inclusions canoniques, on deduit i*(fnl) = k&(elrL). En composant avec k,,, et ag, on obtient a((&,). . l)[(j,)z] = kG(i*(a,(fm))), 1 est l’unid de A(C,J(Z/2 K C)). En poussant cette relation dans [X,BO(F,)+ x Z] @z Z2 on trouve (jS)2*o((&)* . l)[(js)a] = (iz)*(jX)2*(am((l6,)*f,)). c omme (0(2m,F,),C,, s(Z/2 K C)) est impair, le lemme de [4], p. 25, permet de prouver que (jx)2*~((k,,). . 1) est inversible dans [X, B(C,)+ x Z] @z Z2. Done [(i~)2]
1110
E
Im(i2)*.
Un
Soient j l’inclusion localises.
thCorPme
de Harris
de BO(F,)
COROLLAIRE 6. - La classe [(j)z] Dkmonstrution.
et Segal
pour
=
d’entiers
algebriques
et [ja] la classe d’homotopie
dans BO(F,)+
exceptionnel
de l’induite
aux
est duns Im(ia),.
- Soient X un sous-CW-complexe Fs
un anneau
(4,'{[(jx)z]}
c
fini de BO(F,)
[X,B(L
/(Z/2
K Cl)']
et @z
22
Les FX forment un systeme projectif d’ensembles non vides, d’apres la proposition 4, et finis, done lgmFx # 0. D’autre part, [CX, B(C, J(Z/2 K c))‘] et [CX, BO(F,)+] sont finis, done
l&i’
[CX, BO(F,)+]
= 1% 1[LX;B(4Z,2aC))+]
Les suites exactes de Milnor donnent le cart-6 commutatif ~O(Fq),B(iy/IZ,2
0:
tx (:))+I
li5
=0.
oti les lignes sont des isomorphismes k,B(&/(Z,2
:
K C))+]
i*
WP,PW,)+l En tensorisant Dkmonstrution
+ (2.x)*
par Z2, on obtient (i2);l{[j2]} du thkorkme
12 s[X,
= llmFzY
4. - Comme [,j2] E Im(ia),,
191E [BW’,)2,B(L
B;(Fg)t].
# 0. il existe
J’ P/2 x Cl);]
telle que (ia), [g] = [js]. Les proprietes universelles de la localisation et de la construction + montrent que g induit une section de ia E [B (C, s(Z/2 K C)):, BO(F,);‘] ; l’application ia est done scindee. Application Soient K un corps Notons
de nombres dont l’anneau des entiers OK est exceptionnel (voir [4]). une racine 2-primaire de l’unite d’ordre maximal. Comme J-1 $ K, = { gi, ~2, gs, uq} est un groupe non cyclique d’ordre 4 avec
Gal(K(&+l)/K) g1(&+1)=
D’aprbs P
de
tp+1>
a2(&+1)=
le theoreme de Tchebotarev OK(F~~+~)
tels
&L,
m(&'L+')=
<,':+Y,
u4(&+1)=
gjY.
faible, pour un i donne il existe une infinite d’ideaux premiers
que
avec F, = OK/P n OK. Done q e 1, ou - 1, ou 1 + 2” ou - 1 + 2” (mod 2n+‘) de i. En retenant les deux derniers cas, on a :
LEMME 7. - I1 existe duns OK une injkite’ d’idkaux premiers p tels que IOK/PI et v2(q2 - 1) = n + 1.
selon la valeur
= q, uvec q impair
1111
H.
Hamraoui
THBORBME
8. - Pour un tel q, l’upplication
: BO(OK)&,
-+ BO(F,),f
est une &traction
d ‘homotopie. Dkmonstration. - (a) Le nombre t2” + <;L est dans OK, done le sous-anneau par 12” + <.&’ est isomorphe g z[&= + &‘I. En poussant vers ]es corps r&idue]s a le triangle commutatif :
z/2 K ,Ll2*
+
tK
O(2;
de 0~ F,
engendrk de
OK,
on
OK)
Jr
t, \
0(2> F4) (b) En passant B la limite inductive,
c,
le triangle suivant commute :
J(Z/2
D( #L&2”) tK
O(oK) k/m
;\ W,)
(c) En passant aux espaces classifiants, Zx
(d) Aprks localisation r&action d’homotopie. D’aprks [3] on a : COROLLAIRE
ou 2 (mod8),
j-W:!
le triangle suivant commute B homotopie p&s : K ~2”)
+ B(tK) --
en 2, comme i2 est scindke, l’application
BWK)+
BO(Oh.)&,
+ BO(F,),f
est une
9. - Le groupe KO,(OIc) @ ZC2) admet un facteur direct isomorphe & Z/2 si n E 0 ci Z/2 @ Z/2 si n E 1 (mod8), d Z/(q(‘“+1)/2 - 1) si n E 3 ou 7 (mod8). R6fkrences bibliograpbiques
[1] Bousfield A.K., Kan D.M., Homotopy limits, completions and localisation, Lect. Notes in Math. 304, Springer-Verlag, Berlin, 1972. [2] Fiedorowicz A., Priddy S., Homology of classical groups over finite fields and their associated infinite loop spaces, Lect. Notes in Math. 674; Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978. [3] Friedlander E.M., Computations of K-theories of finite fields, Topology 15 (1976) 87-109. [4] Harris B., Segal G., K,-groups of rings of algebraic integers, Ann. Math. 101 (1975) 20-33. [5] Karoubi M., ThCorie de Quillen et homologie du groupe orthogonal, Ann. Math. 112 (1980) 207-257. [6] Loday J.L., K-thCorie algCbrique et repksentations de groupes, Ann. Sci. &ole Norm. Sup. 9 (1976) 309-337. [7] May J.P., Equivariant completion, Bull. London Math. Sot. 14 (1982) 231-237.
1112