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Une inégalité de décorrélation pour la mesure gaussienne
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SPrie I, p. 1325-l ProbabilitCslProbability Theory
328,
1998
Une in&alit& de d6corr6lation pour la mesure gaussienne Gilles
HARGI?
kcpipe Courrirl
(Rqu
d’analysr et de prohabilitik, : [email protected]& le 12 mars
R&urn&
1998,
accept6
apA
r6vision
d’Evry,
boulward
lc 28 mai
des Coquihus.
91025
Evry
crdex,
France
1998)
Le but de cette Note estde dkmontrerun casparticulierd’uneinCgalitCdedCcorr6lation portant surla mesuregaussienne del’intersectiondedeux convexessymhriquesde R” II s’agit du casoti I’un des deux convexesest un ellipsoi’desymdtrique,le deuxikme convexe &ant simplementsymktrique.Le problhmegCnCra1 resteouvert. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris A correlation
Abstract.
llnivrrsiti
The purpose the Gaussian precisely, we and the other
inequality
for the Gaussian measure
oj” this Note is to prove u particular cuse of an inequal@ concerning mea.sure of the intersection qf two symmetric convex sets of W”. More prove the inequality when one of the two convex is a symmetric ellipsoid one is simply symmetric. The general case is still open. 0 Acadkmiedes
ScienceslElsevier,Paris
1. Introduction L’objet de ce travail est la conjecture suivante : si A et I3 sont deux convexes symktriques de R” et si ~1 est la mesure gaussienne centree reduite sur IF!‘“, a-t-on ,/,(A n l.3) > p(A)p(B)
?
Cette question est apparue pour la premibre fois dans [l] oh le rksultat est dCmontr6 si B est une
bande, c’est-h-dire du type : I3 = { :I: = (2:1. . . I XTI). 1x11 5 a} (ceci a et6 redemontre par Sugita dans 121). Dans [3], Pitt a montre ensuite l’inegalite (1) en dimension 2. Enfin, dans 141, Schechtman, Schlumprecht et Zinn ont demontre (1) lorsque A et I3 sent des ellipso’ides. Dans cette Note, nous allons montrer (1) dans le cas ou A est convexe et symetrique, et I3 est un ellipso’ide (B = {:rz E W ; (CCC.:I;) _< l}. oti CTest une matrice symetrique positive, (‘, .> designant le produit scalaire canonique sur W”). En particulier, ceci redemontre le cas de la bande. Note pr&entCe par Marc YOK. 0764.4442/98/03261325
0 Acadbmie des ScienceslElsevier, Paris
1325
Nous allons utiliser les deux resultats suivants : THBORI~ME 1. I (Prekopa [5]). - Soit f : R” x IV -+ W, (2, y) H f(z, y) log-concave sur Wn+p ;
alors l’application : 2 H
J
f(2, y)dy est log-concave sur R”.
1.2. Soit C une matrice symetrique definie positive. On note PC la mesure sur W’” dont la densite par rapport a la mesure de Lebesgue est : Ic +$ J&ij-yjj
e-+gy’. PT
On note Lc(f) = i(Af - (Cx,VC7f)), oti f est une application de W’” dans Iw telle que cette expression ait un sens. Si on pose EbL(.(f) = J‘ fdp C, on a alms ~f3,,,.(fLc(.9)) = -$E,,,.((Vf, Vg)). Soit Ptc(f) la solution de :
On a la formule de Mehler
[6] :
f’Ff(x)
= / f(e-$c
x + (I - eetc)iy)dpc(y)
(plus exactement, pFf(z) = [I’(e-~C)][f(C-f.)](C~x), oti r est don& dans [6]). Pour C = I, on obtient le semi-groupe d’omstein-Uhlenbeck. On voit immediatement avec le theoreme 1.1 que PC conserve la log-concavite. 2. Demonstration
du rCsultat
THI~ORBME 2.1. - Soient g : IF!” -+ R log-concave paire et f : Iw+ + W+ de’rivable telle que f’ L: 0 sur W+. Soit C une matrice syme’triqued&nie positive. Alors on a :
.I
f((C-lx,
z))g(z)dp(z)
Dkmonstration. - On pose y = C-4,.
/ f(llyl12).~(~3Y)d~c(yI)
>
.I
f((C-‘xc,
L’inCgalitC
x))dfi(x)
.I
g(x)d/L(x).
devient :
2 / f(llvl12kkh)
/kC!u)d,d/i.
Soit g(y) = g(C+ y) ; j est log-concave paire. On pose v(t) = E,,.(f(ll~ll~)p~(.~)(~)). On a : $sL
cp(t) = ~,~,.(f(ll~ll~))~,~~.(~)
et
f&p(t)
= -Wf(ll:~ll~k).
11 suffit done de demontrer que cp est decroissante. L’application y H P,c(g)(:y) est log-concave paire et strictement positive si ~1est non nulle. Elle est done de la forme ewe;, oti G est convexe paire. De plus, G est C”. 1326
Une in&ah?
de dCcorrClation
pour la mesure gaussienne
Apres un calcul, on obtient v’(t) = E,,. [f’( Ilvll’)(y, VG(y))~~(y)l. Grace a la park? et a la convexite de G, on voit facilement que (VG(y), y) 2. 0, ce qui permet de conclure. COROLLAIRE 2.2. - Soient C une matrice syme’triquepositive et A un convexe symktrique de W”. Alors :
Remarques. - 1. Le resultat precedent est bien sQr valable pour PLg B la place de ~1 oh D est
sym&ique dkfinie positive. 11est aussi valable d’une mani&e plus g&&ale lorsque ~1est une mesure gaussienne centree. Ce dernier cas se dkmontre en considkrant le sous-espace de R” portant CL. 2. Des inegalites du type de celle du theoreme 2.1 et concernant d’autres fonctions que les fonctions log-concaves ont &t dkmontrkes dans [7] et [8]. Les dkmonstrations sont elles aussi basCes sur l’utilisation de semi-groupes particuliers. 3. Comparaison
de semi-groupes
La methode du theoreme 2.1 permet d’obtenir un resultat legbrement plus fort qui consiste a comparer deux semi-groupes particuliers. Soit G : R” + R differentiable et soit C une matrice symetrique positive. On travaille sur un espace probabilise filtre (a, F, (.Ft), P) et on consider-e Bt un mouvement brownien issu de 0 a valeurs dans UP Soit X la solution de l’equation differentielle stochastique suivante : dX,” = cIBt - ;CX;dt
- ;VG(X;)dt>
x; = 2. On associe a XF le semi-groupe
:
Pt(f(x)) = w(x:)). THBORI~ME 3.1. - Si f est log-concave paire et si G(z) = U( I~z[I*), avec u de’rivable croissante et lipschitzienne, alors, pour tout re’el positif t, on a :
Sche’made la demonstration. - On approche X par X”,
dX,” = tIB* - ;CX;“dt x;
solution de :
- +G,(X;)dt,
=x;
oti VG, est borne et VG,,(z) = X,(:c)s avec X,, E R+. On applique le theoreme de Girsanov pour faire disparaitre la-partie du <
:= EQ7,(f(X;))
= Pyf(x).
1327
G. Harg6
D’autre part, on peut Ccrire :
Une application de la formule d’lto donne :
On en deduit P(‘f(x) COROLLAIRE
> Pyf(x).
3.2. - On en d&it
une nouvelle dkmonstrution du thPor>me 2.1.
Schkmu de la dkmonstrution. - On reprend les notations du thboreme 2. I. On peut supposerque f(]/;t~ll’) = c!-~‘(I~~JI’)avec 71,’2 0 et ~1.’bomee. On pose G(:y) = ~~(lly[l~). D’ou, d’apres le theoreme 3.1 :
P,(,q(cq)(2:) > P,c’(g(C’.))(:1$ On considere la mesure : C--Q(C.~,~r)-G(~) dv(x)
=
,f ,:-~(‘.r,x)-G(r)
On montre que Pt est symetrique par rapport a I/, d’oh :
On fait tendre t vers +w
pour conclure.
RCfkrences bibliographiques [I] Das Gupta S., Eaton M.L., Olkin I., Perlman M., Savage L.J., Sobel M., Inequalities and the probability content of convex regions for elleptically contoumed distributions, Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Probab. 2 (1972) 241-264. [2] Sugita H., Various topologies in the Wiener space and Levy stochastic area, Probab. Th. Rel. Fields Y I (3/4) 1992 283-296. [3] Pitt L.D., A gaussian correlation inequality for symetric comex sets, Ann Probab. 5 (3) (1977) 4701174. ]4] Schechtman G., Schlumprecht T.. Zinn J., On the Gaussian measure of the intersection of symmetric convex sets, Ann. Probab (a paraitre). [5] Prekopa A., On logarithmic concave measure and functions, Acta Sci. Math. 34 (1973) 335343. 161 Feyel D., de la Pradelle A., Op&ateurs lineaires gaussiens, Potent. Anal. 3 (1994) 89-105. [7] Bakry D., Michel D., Sur les inegalites F.K.G., Stminaire de Probab. XXVI, Lect. Notes in Math. 1526, Springer-Verlag. pp. 170-188. [8] Hu Y.. It&Wiener chaos expansion with exact residual and correlation, variance inequalities. J. Th. Probab. IO (4) (1997) 835-848.
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328,
1998
Une in&alit& de d6corr6lation pour la mesure gaussienne Gilles
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R&urn&
1998,
accept6
apA
r6vision
d’Evry,
boulward
lc 28 mai
des Coquihus.
91025
Evry
crdex,
France
1998)
Le but de cette Note estde dkmontrerun casparticulierd’uneinCgalitCdedCcorr6lation portant surla mesuregaussienne del’intersectiondedeux convexessymhriquesde R” II s’agit du casoti I’un des deux convexesest un ellipsoi’desymdtrique,le deuxikme convexe &ant simplementsymktrique.Le problhmegCnCra1 resteouvert. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris A correlation
Abstract.
llnivrrsiti
The purpose the Gaussian precisely, we and the other
inequality
for the Gaussian measure
oj” this Note is to prove u particular cuse of an inequal@ concerning mea.sure of the intersection qf two symmetric convex sets of W”. More prove the inequality when one of the two convex is a symmetric ellipsoid one is simply symmetric. The general case is still open. 0 Acadkmiedes
ScienceslElsevier,Paris
1. Introduction L’objet de ce travail est la conjecture suivante : si A et I3 sont deux convexes symktriques de R” et si ~1 est la mesure gaussienne centree reduite sur IF!‘“, a-t-on ,/,(A n l.3) > p(A)p(B)
?
Cette question est apparue pour la premibre fois dans [l] oh le rksultat est dCmontr6 si B est une
bande, c’est-h-dire du type : I3 = { :I: = (2:1. . . I XTI). 1x11 5 a} (ceci a et6 redemontre par Sugita dans 121). Dans [3], Pitt a montre ensuite l’inegalite (1) en dimension 2. Enfin, dans 141, Schechtman, Schlumprecht et Zinn ont demontre (1) lorsque A et I3 sent des ellipso’ides. Dans cette Note, nous allons montrer (1) dans le cas ou A est convexe et symetrique, et I3 est un ellipso’ide (B = {:rz E W ; (CCC.:I;) _< l}. oti CTest une matrice symetrique positive, (‘, .> designant le produit scalaire canonique sur W”). En particulier, ceci redemontre le cas de la bande. Note pr&entCe par Marc YOK. 0764.4442/98/03261325
0 Acadbmie des ScienceslElsevier, Paris
1325
Nous allons utiliser les deux resultats suivants : THBORI~ME 1. I (Prekopa [5]). - Soit f : R” x IV -+ W, (2, y) H f(z, y) log-concave sur Wn+p ;
alors l’application : 2 H
J
f(2, y)dy est log-concave sur R”.
1.2. Soit C une matrice symetrique definie positive. On note PC la mesure sur W’” dont la densite par rapport a la mesure de Lebesgue est : Ic +$ J&ij-yjj
e-+gy’. PT
On note Lc(f) = i(Af - (Cx,VC7f)), oti f est une application de W’” dans Iw telle que cette expression ait un sens. Si on pose EbL(.(f) = J‘ fdp C, on a alms ~f3,,,.(fLc(.9)) = -$E,,,.((Vf, Vg)). Soit Ptc(f) la solution de :
On a la formule de Mehler
[6] :
f’Ff(x)
= / f(e-$c
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(plus exactement, pFf(z) = [I’(e-~C)][f(C-f.)](C~x), oti r est don& dans [6]). Pour C = I, on obtient le semi-groupe d’omstein-Uhlenbeck. On voit immediatement avec le theoreme 1.1 que PC conserve la log-concavite. 2. Demonstration
du rCsultat
THI~ORBME 2.1. - Soient g : IF!” -+ R log-concave paire et f : Iw+ + W+ de’rivable telle que f’ L: 0 sur W+. Soit C une matrice syme’triqued&nie positive. Alors on a :
.I
f((C-lx,
z))g(z)dp(z)
Dkmonstration. - On pose y = C-4,.
/ f(llyl12).~(~3Y)d~c(yI)
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.I
f((C-‘xc,
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x))dfi(x)
.I
g(x)d/L(x).
devient :
2 / f(llvl12kkh)
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Soit g(y) = g(C+ y) ; j est log-concave paire. On pose v(t) = E,,.(f(ll~ll~)p~(.~)(~)). On a : $sL
cp(t) = ~,~,.(f(ll~ll~))~,~~.(~)
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= -Wf(ll:~ll~k).
11 suffit done de demontrer que cp est decroissante. L’application y H P,c(g)(:y) est log-concave paire et strictement positive si ~1est non nulle. Elle est done de la forme ewe;, oti G est convexe paire. De plus, G est C”. 1326
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pour la mesure gaussienne
Apres un calcul, on obtient v’(t) = E,,. [f’( Ilvll’)(y, VG(y))~~(y)l. Grace a la park? et a la convexite de G, on voit facilement que (VG(y), y) 2. 0, ce qui permet de conclure. COROLLAIRE 2.2. - Soient C une matrice syme’triquepositive et A un convexe symktrique de W”. Alors :
Remarques. - 1. Le resultat precedent est bien sQr valable pour PLg B la place de ~1 oh D est
sym&ique dkfinie positive. 11est aussi valable d’une mani&e plus g&&ale lorsque ~1est une mesure gaussienne centree. Ce dernier cas se dkmontre en considkrant le sous-espace de R” portant CL. 2. Des inegalites du type de celle du theoreme 2.1 et concernant d’autres fonctions que les fonctions log-concaves ont &t dkmontrkes dans [7] et [8]. Les dkmonstrations sont elles aussi basCes sur l’utilisation de semi-groupes particuliers. 3. Comparaison
de semi-groupes
La methode du theoreme 2.1 permet d’obtenir un resultat legbrement plus fort qui consiste a comparer deux semi-groupes particuliers. Soit G : R” + R differentiable et soit C une matrice symetrique positive. On travaille sur un espace probabilise filtre (a, F, (.Ft), P) et on consider-e Bt un mouvement brownien issu de 0 a valeurs dans UP Soit X la solution de l’equation differentielle stochastique suivante : dX,” = cIBt - ;CX;dt
- ;VG(X;)dt>
x; = 2. On associe a XF le semi-groupe
:
Pt(f(x)) = w(x:)). THBORI~ME 3.1. - Si f est log-concave paire et si G(z) = U( I~z[I*), avec u de’rivable croissante et lipschitzienne, alors, pour tout re’el positif t, on a :
Sche’made la demonstration. - On approche X par X”,
dX,” = tIB* - ;CX;“dt x;
solution de :
- +G,(X;)dt,
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oti VG, est borne et VG,,(z) = X,(:c)s avec X,, E R+. On applique le theoreme de Girsanov pour faire disparaitre la-partie du <
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= Pyf(x).
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G. Harg6
D’autre part, on peut Ccrire :
Une application de la formule d’lto donne :
On en deduit P(‘f(x) COROLLAIRE
> Pyf(x).
3.2. - On en d&it
une nouvelle dkmonstrution du thPor>me 2.1.
Schkmu de la dkmonstrution. - On reprend les notations du thboreme 2. I. On peut supposerque f(]/;t~ll’) = c!-~‘(I~~JI’)avec 71,’2 0 et ~1.’bomee. On pose G(:y) = ~~(lly[l~). D’ou, d’apres le theoreme 3.1 :
P,(,q(cq)(2:) > P,c’(g(C’.))(:1$ On considere la mesure : C--Q(C.~,~r)-G(~) dv(x)
=
,f ,:-~(‘.r,x)-G(r)
On montre que Pt est symetrique par rapport a I/, d’oh :
On fait tendre t vers +w
pour conclure.
RCfkrences bibliographiques [I] Das Gupta S., Eaton M.L., Olkin I., Perlman M., Savage L.J., Sobel M., Inequalities and the probability content of convex regions for elleptically contoumed distributions, Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Probab. 2 (1972) 241-264. [2] Sugita H., Various topologies in the Wiener space and Levy stochastic area, Probab. Th. Rel. Fields Y I (3/4) 1992 283-296. [3] Pitt L.D., A gaussian correlation inequality for symetric comex sets, Ann Probab. 5 (3) (1977) 4701174. ]4] Schechtman G., Schlumprecht T.. Zinn J., On the Gaussian measure of the intersection of symmetric convex sets, Ann. Probab (a paraitre). [5] Prekopa A., On logarithmic concave measure and functions, Acta Sci. Math. 34 (1973) 335343. 161 Feyel D., de la Pradelle A., Op&ateurs lineaires gaussiens, Potent. Anal. 3 (1994) 89-105. [7] Bakry D., Michel D., Sur les inegalites F.K.G., Stminaire de Probab. XXVI, Lect. Notes in Math. 1526, Springer-Verlag. pp. 170-188. [8] Hu Y.. It&Wiener chaos expansion with exact residual and correlation, variance inequalities. J. Th. Probab. IO (4) (1997) 835-848.
1328