Über dekompositionsmethoden der optimierung komplexer chemisch-technologischer systeme

Chemical

Engineering

Science,

1914, Vol. 29, pp. 2355-2362.

Pergamon

Press.

Printed

in Great Britain

OBER DEKOMPOSITIONSMETHODEN DER OPTIMIERUNG KOMPLEXER CHEMISCH-TECHNOLOGISCHER SYSTEME G. M. OSTROWSKI Physikalisch-Chem,

Karpow-Institut,

(Received

12 February

and J. M. WOLIN 107120 Moskau, 1974; accepted

Obucha Str. 10, U.S.S.R. 1 June 1974)

Abstract-Two two-level decomposition methods for complex chemical engineering system optimization have been ,developed. In the first one input and output block variables are fixed. Two variations of this method are proposed: the variation with complete and that with incomplete decomposition. In the second method the block variable interrelations are transfered into the objective function.

In diesem Artikel werden Zweiebenen-Dekompositionsmethoden der Optimierung komplexer chemischt-technologischer Systeme betrachtet, deren Ausarbeitung in letzter Zeit grol3e Aufmerksamkeit gewidmet wird [l-4]. Zwei grundlegende Fragen miissen bei der Ausarbeitung der Zweibenen-Dekompositionsmethode der Optimierung beantwortet werden. 1. Auf welche Weise ist das System in Bliicke (Untersysteme) zu zerlegen; 2. Wie sind die lokalen Optimierungsaufgaben fur die einzelnen Bliicke zu formulieren, die gestatten, die einzelnen Bliicke auf der ersten Ebene zu optimieren. Wir werden uns hier nicht mit der ersten Frage beschaftigen, weil wir annehmen, da13 das System auf diese oder jene Weise schon in Blijcke aufgeteilt ist, die ihrerseits aus einigen wechselseitig miteinander verbundenen Apparaten bestehen kiinnen. Das Problem der Formulierung der lokalen Optimierungsaufgaben ftir die einzelnen Blijcke des Systems ist im Wesentlichen mit der Ausarbeitung eines Verfahrens verbunden, das erlaubt, die Wechselwirkung der einzelnen Bliicke auf der ersten Ebene (zeitweilig) ausser Betracht zu lassen. Wir betrachten hier zwei dieser Methodendie Befestigungsmethode und die Methode der Verlagerung der Verkniipfungsbeziehungen in das Optimierungskriterium. Wir nehmen, an, daR das System aus N Blacken besteht. Die Gleichungen des k-ten Blockes sollen folgende Form haben:

Y

(k) = fyp,

p).

(1)

Vektor der Dann ist y”‘- (y’(“, . . . , yit’)‘-der Ausgangsveranderlichen des k-ten Blockes (hier und im folgenden kennzeichnet T die Transponierung), xCr’- (x1”‘, . . . , x$‘)r-der Vektor der Eingangsveranderlichen des k-ten Blockes, u (k’- (z4tL’, . . . , u ~~‘)-der Vektor der Steuergriigen des k-ten Blockes, f’“’ - (f,“‘, . . . , f%‘)-eine Vektorfunktion. Hierbei nehmen wir nicht an, dag es eine analytische Abhangigkeit der Funktion f’“’ von ihren Argumenten gibt. Wir setzen nur voraus, dag ein Algorithmus existiert, der es ermoglicht, den Wert der Vektorfunktion f’“’ entsprechend den bekannten Argumenten x(“, uok’sowie die Ableitungen dieser Funktion nach ihren Argumenten zu ermitteln. Falls der Block aus einigen Apparaten besteht, kann zur Berechnung der erwlihnten Ableitungen die Methode des konjugierten Prozesses [5] angewandt werden. Als Zwischenvariablen des Systems werden wir die Veranderlichen bezeichnen, die weder Eingangsnoch Ausgangsvariablen des Systems sind. Die Anzahl der Zwischenveranderlichen sei M. Sie sind im System durch Verkntipfungsbeziehungen des folgenden Typs miteinander verbunden: x/“’ = ,;q’.

(2)

Die Beziehung (2) zeigt, da13 die i-te Eingangsgroge des k-ten Blocks der p-ten Ausgangsgroge des q-ten Blockes gleich ist. Es ist 2355

G. M.

2356

OSTROWSKI

klar, dal3 die Beziehungen (2) im wesentlichen die Struktur des Systems vorgeben. Die Anzahl der Verkniipfungsbeziehungen ist gleich M. Anfangs werden wir annehmen, dab alle Eingangs- und AusgangsVeranderlichen des Systems vorgegeben sind. Wir setzen voraus, dal3 die SteuergriiBen in jedem Block Beschrakungen unterworfen sind: l@)@(k)< 0,

i=l,...,p,.

(3)

Es sei gefordert, in allen Blocken des Systems solche SteuergrGBen zu finden, die die Bedingungen (3) befriedigen und bei denen die’Gri5Se

den maximalen Wert annimmt. Wir gehen nun iiber zur Beschreibung der ersten r\_,______:~:_-^-^.L_~^ _I__. n_r__rl_____^ _._ DeiesogungsmeY~~“IIII)“SIII”IISI~~~~~~““~-“~~ thode. Wie aus dem folgenden ersichtlich wird, geht die Befestigungsmethode in einem Spezialfall in die Methode der erlaubtzn ZustHnde ilber (“feaseable method”), die in [2] betrachtet wurde. Die in [2] behandelte Methode stiitzte sich jedoch auf Gleichungen, die die notwendigen Bedingungen der Optimalitat ausdriickten, und im wesentlichen oectnttetp tip allf rlpr ercten Phc=ne rler flntimieD _v__.____ --_ __~ _-. ~.“I”.. Y”I.aw ..I” vyc”“” rungsverfahrens, die Losung dieses Gleichungssystems auf die Liisung einer Reihe von Untergleichungssystemen zu iiberfiihren, die den einzelnen Blocken des Systems entsprechen. Gleichzeitig ist erwiinscht, ein Verfahren zu entwickeln, das nicht mit den notwendigen Bedingungen der Optimalitat verkntipft ist. Dadurch wird eine flexiblere Anwendung bestehender mathematischer Optimierungsmethoden sowohl auf der ersten als such auf der zweiten Ebene des Dekompositionsoptimierungsverfahrens ermiiglicht. Wir betrachten hier zwei Varianten der Befestigungsmethode-die Befestigungsmethode mit vollstlndiger Dekomposition und die Befestigungsmethode mit unvollstandiger Dekomposition. Die Betrachtung beginnen wir bei der Befestigungsmethode mit vollstandiger Dekomposition. Dieses Verfahren sttitzt sich auf das Fixierungsprinzip, das von uns in [6] betrachtet wurde. Entsprechend diesem Prinzip werden jene Steuergriihen, die vom Stundpunkt des einzelnen Blockes optimal sind, such optimal beztiglich des ganzen Systems, wenn die Eingangsund AusgangsgrbSen des einzelnen Systemblockes festgehalten werden. Die auf diesem Prinzip aufebaute Befestigungs-

and J. M. WOLIN methode wurde von uns in [5] erdrtert. Dort ist jedoch auf der zweiten Ebene nicht die Anwendung von Suchverfahren betrachtet worden, die die ersten Ableitungen der Zielfunktion verwenden. Fur eine mathematische Teilaufgabe wurde in der Arbeit [7] eine Methode angewandt, die such in die Befestigungsmethode iiberfiihrt werden kann. Auch in der Arbeit[8] wird im wesentlichen die Befestigungsmethode behandelt, bei der sowohl auf der ersten als such auf der zweiten Ebene Suchverfahren nullter Ordnung angewandt werden, die nicht die Kenntnis der ersten Ableitungen der Zielfunktion erfordern. Hier betrachten wir den allgemeinen Fall, wo sowohl auf der ersten als such auf der zweiten Ebene Suchmethoden nullter Ordnung sowie Suchverfahren, die die Berechnung der ersten Ableitungen der Zielfunktion erfordern, angewandt werden kbnnen. Dadurch ist es miiglich, auf beiden Ebenen soiche effektive Verfahren anzuwenden, wie die Methode Davidon-Fletcher-Powell’s 191, die Methode des konjugierten Gradienten [ lo] u.a. Die Dekompositionsmethode der Befestigung, die auf dem oben formulierten Fixierungsprinzip basiert, ist eine Zweiebenen-Methode. Am Anfang beschreiben wir den Algorithmus der ersten Ebene. Da er wiederholt angewandt wird, werden wir seine ‘3i"ln~li"P Tlnr.rmn,411"" Am. .d,',,"U'L~" . "1 vvr.,uu,lfi UC,

C;nfo,-llh.a;t hn1l.m. Llllllak,ll,l~ll,,a,"C,

nl‘. a,cl

Iteration bezeichnen. Man nimmt an, da13 auf der ersten Ebene die Eingangs- und Ausgangsgrofien aller Systemblocke gewissen Konstanten gleich sind: x!‘) = a (1) i=l,...,m,;

k=l,...,N

ik ,

y:“‘=bjf,

j=l,...,

nk;

k=l,...,

(5) N.

(6)

Der obere Index der Konstanten a$‘, bj: bezeichnet die Nummer der Iteration. Da die Veranderlichen xjk’, yy’ die Gleichungen (2) befriedigen, so werden den entsprechenden Gleichungen such die Konstanten a$, b$’ genilgen: (7) Die Anderung der Konstanten a$;‘, b$’ wird vom Algorithmus der zweiten Ebene vorgenommen, worauf wir unten eingehen. Jetzt werden wir jedoch annehmen, da13 diese Konstanten auf der ersten Ebene bekannt sind. Ferner wird die Optimierung jedes einzelnen Systemblockes ausgefiihrt. Betrachten wir einen beliebigen, zum Beispiel den k-ten Block. Da alle Eineanasund Ausaanesarbben dieses _ Y YY

Faber Dekompositionsmethoden

Blockes festgelegt sind, kiinnen wir das optimale Regime des gegebenen Blockes finden, ohne die Arbeit der iibligen Systemblocke zu beeinflussen (dank der Fixierung der Zwischengrijljen des Systems ist die gegenseitige Beeinflussung der Blocke aufgehoben), wobei die GrijBe F’kl(~(X),u(“), y”‘) [siehe (4)!] als Optimierungskriterium verwendet wird. Den ermittelten Optimalwert von F”’ bezeichnen wir durch Fck’*. Mathematisch wird diese Aufgabe folgendermaBen formuliert-es wird gefordert das Maximum der Funktion F”’ entsprechend den SteuergriiBen uCk’ F (kl* = ny

F”‘(a:“,

id’), b:“)

(8)

wnbei II) ak

-(a:‘;,

. . . , d,;.k)

b:” - (b 12,. . . , b f;,k)

-Vektor, -Vektor,

unter der Bedingung zu finden, da8 die SteuergriXlen u(‘) sowohl die Beschrankungen in Ungleichungsform (3), als such die in Gestalt von Gleichungen: b$’ = fiCk)(uk(‘), u”‘),

j = 1, . . . , nk

(9)

befriedigen. Wir nehmen an, da8 es zur Liisung dieser Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen einen Algorithmus gibt. Dabei ist es fur uns ohne Bedeutung, ob dieser Algorithmus die notwendigen Bedingungen der Optimalitat oder Suchmethoden (9); [lo] verwendt. Es ist klar, da8 die Losung dieser Aufgabe mijglich ist, wenn die Zahl der SteuergrXlen (i=l,... , rr) gr68er oder gleich wird der Anzahl der Ausgangsvariablen des k-ten Blockes, d.h., wenn die Beziehung rk 2 nk

(10)

erftillt wird. Im entgegengesetzten Fall kannkein u$’ gefunden werden, das den Bedingungen (9) gentigt (wenn man die Bedingungen (9) als nichtlineares Gleichgungssystem betrachtet, so wird im Falle der Nichterftillung der Beziehungen (10) die Zahl der Gleichungen in diesem System grbljer als die Zahl der Unbekannten). Sa die Suche des Maximums der Funktion Fck’ bei festgehaltenen Werten der Eingangs- und AusgangsgrGBen des k-ten Blockes durchgefilhrt wird [siehe (5), (6)!], so its nattirlich, da8 die GrijOe F”‘* davon abhgngt, welche Werte die Konstanten

2357

der Optimierung

a{;), b$) hatten,

Funktion

d.h.,

die

der Konstanten F%

Grol3e Fck’* ist eine a!:‘, bk:

= F’k’*[a;;),

b

$/J_

(11)

Da analoge Operationen ftir jeden Block durchgeftihrt werden, erhalt das Optimierungskriterium (4) die Form: F* = 8, F”‘*[a!:‘, bj;‘].

(12)

Wir wollen nun den Algorithmus der zweiten Ebene behandeln, der die Grogen a$:‘, bjf verandert. In der ersten Iteration wahlt man a$, b$’ als beliebige (nattirlich die Gleichungen (7) befriedigende) GriiBen. Zu ihrer Auswahl kiinnen physikalische GesetzmaOigkeiten herangezogen werden. Wenden wir uns dem Mechanismus der VerHnderung der Konstanten a$, b j? in der l-ten Iteration (I = 1,2, . . .) zu. Entsprechend (12) ist F* eine Funktion der Veranderlichen a$, bj?. Hieraus ist ersichtlich, da8 der Korrekturalgorithmus fiir die Gri%en a$, b$’ einfach ein Algorithmus zur Maximierung der Funktion (12) nach diesen Veranderlichen sein mu8 Die Anzahl der Veranderlichen a$‘, b$’ ist gleich 2M, da diese Veranderlichen den M Gleichungen (7) gentigen miissen, sind von ihnen jedoch nur M voneinander unabhangig. Im weiteren werden wir zur Bestimmung annehmen, da8 die a$ die unabhangigen Gr68en sind, und das F* eine Funktion dieser Veranderlichen ist: F* = F*(a?).

(13)

Wenn zur Maximierung der Funktion (13) Methoden nullter Ordnung herangezogen werden, die nicht die Kenntnis der ersten Ableitungen des Kriteriums erfordern, so ist die dargelegte Prozedur zur Anwendung dieser Verfahren viillig ausreichend. Die Verwendung von Methoden nullter Ordnung ist in der Arbeit[8] behandelt. Es ist jedoch bekannt, da8 Suchmethoden vom Typ Davidon-Fletcher-Powell’s [9] des konjugierten Gradienten[lO], die mit den ersten Ableitungen der Zielfunktion arbeiten, effektiver sind. Im Zusammenhang damit betrachten wir die Verfahren zur Bestimmung der partiellen Ableitungen aF*

z etwas eingehender.

Entsprechend

(14)

der Beziehung

G. M. OSTROWSKI and J. M. WOLIN

2358

(2) findet man ftir jede Konstante a$ eine ihr gleiche Veranderliche b f$. Die Ableitung (14) wird demnach gleich

daB die Beschrankungen schon die Gestalt Gleichungen (18) und (19) besitzen. ff = F’@ +

(15) +

Wir miissen folglich verstehen,

c

2 [-6;;) i=,

+ ,,Qo’,

u”‘)lh!”

(-xi’“’ + aI&L!“.

(20)

die Ableitungen

aF”‘* (16)

XZ-

Indem wir die Formeln zur Berechnung der Ableitungen der optimalen Griilje der Kriteriums nach den Parameters[7], [l l] anwenden, erhalten wir:

(17)

aF’k’*= (8)

(21)

Ai

ab 5’

zu bestimmen. Bei der Optimierung des ic-ten Biockes mussen wir nicht nur den optimalen Wert Fck’*, sondern such seine Ableitungen nach den betreffenden Blockeingangs- und Ausgangsvariablen ermitteln. Am Anfang wollen wir annehmen, dal3 es Beschrlnkungen in den Form von Ungleichungen (3) nicht gibt. Die Ableitungen (16), (17) sind Albeitungen des maximalen Wertes des Kriteriums nach Parametern, die in den Beschrsnkungen vom Gleichungstyp enthalten sind. Die Ableitungen (17) nach den Parametern b$& die linear in die Beschrankungen (9) eingehen, kbnnen leicht mit Hilfe bekannter Formeln (siehe z.B. [7], [ll]) berechnet werden. Man darf jedoch diese Formeln zur Bestimmung der Ableitungen (16) nicht unmittelbar anwenden, da die Parameter a$ in die Beschrankungen (9) nichtlinear eingehen. Urn diese Schwierigkeiten zu iiberwinden, wenden wir folgenden Kunstgriff an: wir fiihren formal die Veranderliche xjk’, (i = 1, . . . , mk) und folgende HilfsbeschrTinkungen in Gleichungsform ein. X(k)-u$fl=o, Dann wird die Beziehung erhglt die Gestalt: b

$;I_ fi(k)(X(k), uck)) =

0,

der

i=l,...,mk.

(18)

(9) umgeschrieben

und

i=l,...,nk.

(19)

Es ist leicht einzusehen, dag nk + mk der Beziehungen (18) und (19) dem nk in der Gleichungen (9) Hquivalent ist. Dank der Vergrdgerung der Beschrankungen vom Gleichungstyp, gehen die Parameter a$.’ in sie schon linear ein, und wir konnen die Formeln, iiber die wir oben sprachen, zur Berechnung der Abieitungen benutzen. Dazu notieren wir die Lagrange-Funktion zur Optimierung des k-ten Blockes und beziirksichtigen dabei,

aF

--

(k)*

aa$l

!k!

-

Pi

.

Im optimalen Regime sollen dabei die Beziehungen erfiillt werden:

-+&h’*‘-d*l=O, j=l aw -= aUi’k’

-

2$

A:k’= 0,

,...,rnk

i=l,...,r,.

(23) (24)

Jetzt kiinnen wir uns von den Hilfsgriiben p?’ befreien. Dazu setzen wir in Gl. (22) den Ausdruck fur CL?’aus Gl. (23) ein und bekommen:

(25) Auf diese Art und Weise gestattet die Kenntnis der Lagrangeschen Multiplikatoren die Berechnung der gesuchten Ableitungen (16) (17) mit Hilfe der Formeln (21) und (22). Wenn wir die Aufgabe der Optimierung des k-ten Blockes auf der ersten Ebene mit Hilfe der notwendigen Bedingungen fur die OptimalitHt losten, erhielten wir im Ergebnis such die Werte der Lagrange’schen Multiplikatoren hik’. Jetzt nehmen wir an, dal3 die notwendigen Bedingungen der OptimaliCit bei der Ermittlung des optimalen Regimes des k-ten Blockes nicht ausgenutzt werden. (Wir verwenden beispielsweise entweder ein beliebiges Suchverfahren in Verbindung mit der Strafmethode[l2] oder die Methode der Projektion des GradientenIl31. ___. Wir setzen voraus, da8 wir die optimaien Steuergrogen u!“‘*, (i = 1,. . . , rk) gefunden haben. Es leuchtet ein, dal3 die SteuergriiBen u(“*,

2359

Ober Dekompositionsmethoden der Optimierung

(i = I . . . . . r~) die Beziehungen (24) befriedigen optimalen Steuergr6Ben befriedigen folgende Gleimtissen. Die Gleichungen (24) wollen wir zur chungen: Bestimmung der Gr66en A[~, (i = 1, . . . , n~) ver(k)~= 0. . , u,~j ~bi~(ut ~) .... • U , ~k)~=0, kS . . . , ~iq(u~~k), wenden. Die Gr6Ben ,X~~, (i = 1. . . . . n~) gehen in (26) die Beziehungen (24) linear ein, aber entsprechend dem Ausdruck (10) ist die Anzahl der Gr6Ben A[k~ kleiner als die Anzahl der Gleichungen (24). Indem wir in gegebenen Fall annehmen, dab den Deshalb werden wir die A~~ , (i = 1. . . . . r~) unter SteuergrSBen neben Beschr~inkungen vom Gleichungstyp (9) auch Beschriinkungen in der Gestalt der der Bedingung suche, dab die Gr6Be Gleichungen (26) auferlegt sind, und indem wir die oben angeftihrten Betrachtungen vSllig analog durchftihren, kSnnen wir ftir die Ableitungen die j=l \i=1 ~l Formeln (16) und (17) erhalten (dabei miissen einige den minimalen Wert annimt. Nachdem wir die Bedingungen erftillt werden, die die Entartungsfiille Ableitungen ao-/aA[ k~, (i = 1 . . . . . nk) gleich Null ausschlieBen, auf die wir hier aber nicht niiher gesetzt haben, erhalten wir ein lineares Gleichungs- eingehen kSnnen). Wir wollen noch eine Anmerkung machen. Wenn system zur Bestimmung der Werte A[k~, (i = die Ableitungen (15) (unter Beriicksichtigung von 1 . . . . . nk). Wenn die optimalen Werte u[ k~*, (i = 1 . . . . . r~) richtig gefunden wurden, dann mul3 die (21), (25) gleich Null gesetzt werden und wenn man Gr6Be (r bei diesen X[k~--Werten auf Null gehen. zur Korrektur der G r S f e n a~ ~ auf der zweiten Falls die Zahl nk groB ist, kann diese Prozedur zu Ebene die einfache Iteration anwendet, so erhiilt sehr umfangreichen Rechnungen fiihren. Wir set- man: zen uns deshalb hier auch mit einem anderen a~+,~ ,~ . OF* Verfahren auseinander, das in dem Fall anzuwen= aik + h ~ . den ist, wenn die Aufgabe, ein Extremum unter Nebenbedingungen zu finden, mit Hiife der Strafmethode gel6st wird. Formulieren wir das Kriteri, Dieselbe Formel erhalten wir, wenn wir auf der zweiten Ebene zur Optimierung der Funktion F * um zur Optimierung des k-ten Blockes unter das Gradientenverfahren anwenden. Es its leicht zu Anwendung der Strafmethode[12] erkennen, dab im gegebenen Fall die Befestigungsnk methode zu der in [2] betrachteten Methode der p(k) = F(k)_li_~ 1 ,1_(i) ,eta(t)u(k)))2 = 3"t.Oik--Ji~,t*k , • erlaubten Zustiinde fiihrt. Der Vorzug der g e g e b e nen Verfahrensweise besteht jedoch darin, da6 wir, Die L6sung dieser Aufgabe fiihrt dann zur nachdem zuverliissige Werte fiir die Ableitungen Maximierung der Funktion l~ck) bei sich (15) ermittelt wurden, auf der zweiten Ebene (so, vergr6Bernden Werten der Strafkoeffizienten wie auch auf der ersten Ebene) leistungsf/ihigere 3' [12]. Man kann dabei zeigen[14], dab die Bezie- Suchverfahren [9-10], als das Gradientenverfahren anwenden k6nnen. hung existiert: Jetzt wollen wir die Befestigungsmethode mit unvollstiindiger Dekomposition betrachten. Diese lim y(b~)-h~(a~t), utk)))= A[k). Variante des Verfahrens kann sich in jenen Fiillen als niitzlich erweisen, wenn es bei irgendeinem Hieraus folgt, da6 die Gr66e 3'(b~>- f i ( a ~ ~), u )bei Block des Systems wegen dieser oder jener genfigend gro6em 3' niiherungsweise den Wert des Ursachen entweder unzweckm/igig ist, oder wenn entsprechenden Lagrange'schen Multiplikators er- es nicht gestattet ist, alle Ein- und Ausgangsvariablen zu fixieren (z.B. deswegen, dab die Bedingung geben wird. (10) nicht erfiillt wird). Die Bl6cke des Systems Wir wollen nun kurz den Fall betrachten, wenn es Beschriikungen in Form von Ungleichungen (3) sollen dementsprechend in zwei Gruppen aufgeteilt gibt. Es sollen in diesem Fall schon optimale sein--bei der ersten Gruppe ist die Fixierung aller Ein- und Ausgangsgr6Ben m6glich bei der zweiten Steuergr66en u~ ~k~* gefunden sein. Danach, wenn die Extremalaufgabe gel6st ist, wissen wir schon, Gruppe nicht. Das Aufsuchen der optimalen welche der Beschr/inkungen (3) sich in strenge Steuergr66en wird dabei bei der zweiten Gruppe Gleichungen umwandeln. Es seien dies die auf die zweite Ebene verlagert. Auf der ersten Beschr~inkungen mit den Indices i~. . . . . iq d.h. die Ebene wird die Optimierung der Bl6cke jedoch so "

"

G. M. OSTROWSKIand

2360

durchgefiihrt, wie es oben beschrieben wurde (aber nicht aller, wie es aus dem vorhergehenden Fall hervorging). Auf diese Weise ist die optimale GriiRe Funktion der Blockkriteriums eine des EingangsgriiSen dieses Blockes [siehe (1 l)!], wie such im vorhergehenden Fall fiir Bliicke der ersten Gruppe. Betrachten wir jetzt die zweite Ebene. Das folgende Hilfssystem wollen wir zugrunde legen. Fiir Bhicke der zweiten Gruppe bleibt die mathematische Beschreibung wie frtiher (l), und fiir die Bliicke der ersten Gruppe ftihren wir die folgende mathematische Schreibweise ein

J. M.

WOLIN

Zwecks Vereinfachung der Darstellung beschreiben wir das vorgeschlagene Verfahren am Beispiel einer einfachen Aufeinanderfolge von Blacken (Abb. 1). Der Einfachheit halber nehmen wir an, da8 die AusgangsgriiBen des Systems frei und die EingangsgrbRen fixiert sind xj’) =

(27)

ai.

Die Verkniipfungsgleichungen Systems haben die Form x0+‘)-yyio”=O,

i=l,...,

n;

des

gegebenen

j=l,...,

N-l. (28)

(k)= n(P) Y wobei vCk’der Vektor der Steuergrijgen im k-ten Block ist. ‘Die Struktur des Hilfsschemas wird vor allem durch die Beziehungen (2) vorgegeben. Dann kann man die Aufgabe der zweiten Ebene als Optimierungsaufgabe der Hilfssystems mit dem Kriterium T’ F(Q+“‘,

v”‘)+ C” F’k’(x(k), U’k’,y’k’) k

darstellen,

wobei F’ bedeutet,

tiber die Blijcke

der ersten

da8 die Summierung Gruppe

erfolgt.

8”

kennzeichnet die Summierung iiber die Bliicke ddr zweiten Gruppe. Zur Optimierung dieser Hilfssystems kiinnen effektive Suchverfahren herangezogen werden. Fiir die Bestimmung der Ableitungen der Kriteriums nach den Steuergroaen kann in diesem System die Methode des konjugierten ProzeSes angewandt werden. Es its vollkommen mit da8 die Befestigungsmethode klar, unvollstlndiger Dekomposition im wesentlichen eine Kombination von Dekompositionsmethode und Optimierungsverfahren darstellt, wobei sie sich zum System wie zu einem einheitlichen Ganzen verhalten. Wir wollen jetzt die Methode der Verlagerung der Verkntipfungs beziehungen in das Optimierungskriterium behandeln. Ein verwandtes Verfahren war von uns in [15] zur Ausschaltung des abgeschlossenen Systems beschrieben worden, was auf der Etappe der Berechnung des Systems gestattete, sich von der Iterationsprozedur zu trennen. Dasselbe Verfahren kann zum Aufbau einer Dekompositionsoptimierungsmethode herangezogen werden. Zur Verlagerung der Verkniipfungsbeziehungen in das Kriterium werden wir die Strafenmethode verwenden.

Wir werden sie als Beschrankungen vom Gleichungstyp betrachten, die den unabhangigen Variablen auferlegt sind. Die Idee dieses Verfahrens besteht in folgendem. Die gegenseitige Beeinflussung der Apparate wird durch die Verkniipfungsbeziehungen (28) verwirklicht. Wenn wir die Verkniipfungsgleichungen mit Hilfe der ‘St&en’-Methode in das Optimierungskriterium verlagern, so k&men wir auf der ersten Ebene lokale Optimierungsaufgaben fiir die einzelnen Blijcke formulieren. Wir notieren das Optimierungskriterium unter der Bedingung, da8 die Verkniipfungsgleichungen (28) mit Hilfe der ‘Strafen’ Methode in das Kriterium verlagert werden:

2

F=

F”‘(#‘,

@,

y”‘) +

“%2 j=l

,=I

=

g

(FV)+ -$ ki,(x~+‘)

-

k&f+‘)-

y"')'

{=I

,,jj))‘)+ F’~‘(@-),

y’“Q

I=*

wo kij-‘Strafen’-Koeffizient. Den Ausdruck (29) bringen wir in die Form:

P=z Q"'

(30)

wobei gilt:

=I i=,

FU)+~K,(x~+1)-y!")2,j=1,...,N-1

Qu'

Die

F(N)(~(N’,

U(N),

gewiihnliche

+J___..

y(N)),

j =

N

Anwendung

2+-y.. Abb. 1.

(31) der

+J-

‘Strafen-’

fiber Dekompositionsmethoden

Methode besttinde darin, dal3 wir das Maximum des Kriteriums (30) bei festgehaltenem Kii nach den Variablene u!” xy’ unter der Bedingung suchen mu&en, di ;‘) mit Hilfe van Gleichung (1) bestimmt wird (dabei werden natiirlich die Beziehungen (28) nicht beriicksichtigt). Nachdem das Maximum dieses Kriteriums gefunden ist, mill&en wir alle Koeffizienten Xii vergr6Rern und von neuem die Optimierung durchftihren U.S.W. Bei diesem vorgehen kijnnten wir jedoch nicht die Dekomposition der Aufgabe erreichen, da die gegenseitige Beeinflussung der Blocke durch das Kriterium (29) realisiert wtlrde (durch seine ‘Strafen’-Glieder). Im Zusammenhang damit wird die ‘Strafer-r’-Methode ein wenig modifiziert. Fur die Steuergroaen sei eine Anfangsnaherung utip vorgegeben. Die Berechnung des Systems (Abb. 1) fiihren wir unter der Bedingung durch, dal3 u”) = u” ist. Dabei erhalten wir irgendwelche Werte x(“, (j = 2,. . . , N - 1). Die gefundenen Werte setzen wir in das kriterium (30) ein. p =

5

Q"'

(32)

j=l

2361

der Optimierung

voraussetzen, da13 diese operationen jetzt ausgefilhrt und optimale Werte XLK)‘, u!~)‘, gefunden wurden. In das Kriterium (30) setzen wir anstelle der GrijBen xjK) die ermittelten Werte x?’ ein. Dann wird das Kriterium wie frtiher die Gestalt (32) annehmen, und die GrijRen Q’ werden gleich

p+ i I

&(xi”+~”

Q”‘=

p’

,

;I

- yp’)‘, j = 1,

. . . , iV - 1

N

Von neuem filhren wir die lokale Optimierung jedes Blockes durch, finden wir neue Werte x?+‘)*, setzen wir sie in das Kriterium (30) ein U.S.W. Im Vergleich zur Befestigungsmethode besitzt dieses Verfahren den Vorzug, da5 bei seiner Anwendung nicht die Notwendigkeit zur Erfiillung der Bedingung (10) besteht, wenn das System in einzelne BlGcke zerlegt wird. Es muB bemerkt werden, dal3 im allgemeinen die Divergenz des betrachteten prozesses aufeinanderfolgender NHherungen nicht ausgeschlossen ist. In dem Falle, wenn tatsachlich Divergenz stattfindet, miissen spezielle MaRnahmen zu ihrer Beseitigung ergriffen werden, zum Beispiel mit Hilfe der Verfahren, die in [5] beschrieben wurden.

Die GrGl3en Q”’ werden dabei gleich

Ip+2

REFERENCES kii(xi”+“O

- #‘),

[l] Brosilow

i=1

Q”‘=Q”“=

1

I

I$)(x(N), y(N), n(N))

j=l,...,N-1 j

=

N.

(33)

Nun werden wir solche xCK1,uCK),(K = 1, . . . , N) aufsuchen, bei denen die Funktion (32) den maximalen Wert annimmt; (wie friiher werden die Beziehungen (28) nicht berticksichtigt und die Griiljen y”’ in (33) werden mit Hilfe von Gleichung (1) berechnet). Es ist leicht zu erkennen, da13diese Optimierungsaufgabe in N (entsprechend der Anzahl der Blocke) lokale Unteroptimierungsaufgaben der einzelnen Bliicke zerfallt. Betrachten wir den K-ten Block Es ist klar, dal3 die Gr6l3e Q’“” nur von den zu variierenden Veranderlichen des K-ten Blockes-xCK’, uCK)abh&rgt. Deshalb ftihrt die Suche des Maximums der funktion P bezilglich der Variablen xCK),u’~’ zum Aufsuchen des maximums der Funktion Q’“‘“. Analoge Erorterungen kijnnen fur jeden beliebigen Block des Systems durchgeftihrt werden. Hieraus geht hervor, da13 die Suche des Maximums der Funktion P zum ,_.^Aufsuchen der Maxima einzelner Funktionen Q’“‘“, (K = 1,. . . , N) filhrt. Wir wollen

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G. M. OSTROWSKIand J. M.

WOLIN

Zusammenfassung-In dem Artikel werden zwei Zweibenen-Dekompositionsmethoden der Optimierung komplexer chemisch-technologischer Systeme betrachtet. Die erste Methode ist die Methode der Befestigung von Eingangs- und Ausgangsgriigen der Blocke des Systems. Es werden zwei Varianten dieser Methode betrachtetdie Variante der vollstandigen und die Variante der unvollstandigen Dekomposition des Systems. Die zweite Methode ist die Methode der Verlagerung der Verkniipfungsbeziehungen in das Optimierungskriterium.