Chapitre III Equations D'Evolution Associees Aux Operateurs Monotones

Chapitre III Equations D'Evolution Associees Aux Operateurs Monotones

CHAPITRE I11 Plan - - EQUATIONS D'EVOLUTION ASSOCIEES AUX OPERATEURS MONOTONES I 1. RBsolution de 1'Bquetion 2. RBsolution de 1'6quatlon 2 2 n...
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CHAPITRE I11

Plan -

-

EQUATIONS D'EVOLUTION ASSOCIEES AUX OPERATEURS MONOTONES

I

1. RBsolution de 1'Bquetion

2. RBsolution de 1'6quatlon

2 2

notion de s o l u t i o n f e i b l e . 3. Ces

OB

4 . . C e s oa

A =

ay.

Int O(Al # 0

,

5. Cornportement esymptotlque 6.. S o l u t i o n s pBrlodiquea *

7 . Propri6t6s de convergence. 8 . Oiverses g 6 n 6 r e l i s a t i o n s .

.

+

Au 3 0, u(O1 = uo

+

Au

3

f , u(O1

-

.

uo ;

Equationsd'bvolution associder BUX operateurs monotones

64

S o i t H un espaco de H l l b e r t e t s o i t A un operatcur maximal monotone de H. Come precedemment , on d h i g n e p a r J A = [IthAl-' I vante de A e t p a r AX = $ I - J X l l'appruximation Yoslda de A.

l a rbaol-

RENARQUE 3.1.

Le th6orema 3.1 e s t b i e n connu lorsque A e s t l i n 6 a l r e On s a l t qua l a s o l u t i o n u [ t ) e s t alors de

[thOorPme de H i l l s - Y o s i d a l .

classe

c1 sur

.

[O,-[

I 1 n'en e s t pas de mfime dans l e cas non l i n 6 a i r e

1

Consld6rons p a r exemple sur H -iR l ' o p 6 r a t e u r

Ar =

+I

si

0

si

[O,*q

el

r > O r = 0 r < O

Equations d'bolution associbes wx opdrateurs monotones

A l o r s l a s o l u t i o n correspondante u [ t ) du prublbme (11, (21. e t (31 e s t d b f i n i e par : cuo-tl+

si

uo >, 0

si

uo < 0

u[tl =

REMARQUE 3.2. La p r o p r i 6 t 4 ( 5 1 e s t assez surprenante e t montre que l a de A joue un 1-618 fondamental.

section ' A

(on a une Q q u a t i o n multivoque sa v i t e s s e

I

E

Parmi t o u s l e s c h o i x o f f e r t s

Au). l e systeme "tend" B m i n i m i s e r

1 ' Q q u a t i o n (31 r e g i t des phbnornhnes paresseux I

Pour t o u t t > 0, l ' a p p l i c a t i o n uo

I+

u [ t l e s t une c o n t r a c t i o n

de D [ A l dans DIAI I on dbsigne p a r S [ t I son prolongement ( p a r c o n t i n u i t 6 1

B

c-67. On

v Q r i f i e a i s h e n t que S ( t 1 d b f i n i t un semi groupe c o n t i n u de

contractions

sur D x .c ' e s t 21 d i r e

s[tl+t2i

[el

s[t

=

lirn ~ S [ t l u o - u o

[91

t-m

(10 I

IS[t I uo-s t t 1Oo

On d i t que S [ t l e s t l e semi groupe engendr6 p a r -A.

DEHONSTRATION DU THEOREME 3.1. Conunenqons p a r Q t a b l i r [71,d'oO

l ' o n dQduit a u s s i l ' u n l c i t Q

de la s o l u t i o n . I1 r Q s u l t e de l a monotonie de A que du (=[ti

c'est

1 2

a

+

dO

=(ti

, utti -n(tii

-

6 o

dire

dt

lu(t1

0[t112

Oonc l a f o n c t l o n t

I+

lu(t1

o p,p,

-

G(t1

1'

p.p.

s u r JO,+-[

sur ]o,+-[,

.

e s t dbcrolssante.

EXISTENCE ~111

dt duA

-o

Comme dans la cas l i n Q a i r e , on c o n s i d h e 1 ' Q q u a t i o n approchhe +

A

~

U

~

sur

lo,+-[,

uX(o) = u0,

q u i admet une s o l u t i o n de c l a s s e C' [ c a r AX e s t l i p s c h i t z l e n l . On a d'aprPs

le t h h r h e 1.6

65

Equations d'Bvolutlon associbs aux op&ntarnmonotones

56

Nontrone que ux eat de Cauchy dane C[ [O,T]

I

H I quand

X

+

0,

En e f f e t . on a pour X,p > 0 du du '--l!+AXuX-Au - 0 dt dt lJP e t en r n u l t i p l i e n t p a r uX

--[u I d 2 d t

X

-u 12 l~

-

+

- uU ' il

vient

[AXuX - A u -u 1 P PnUX lJ

0.

= G r i t

uX-uP

[U

A

-3 u l + [ J u -J

Xh

1

IJ

X X PP

[J u -U 1 P l J lJ

+

X

a

appliquant l a rnonotonia de A en J X uX e t J u [AXuA

- AlJuP,uX -

Quand

x

T < (12)

-

u 1 5. [AXuX lJ

PlJ

XAXuX A u lJ P'

AXuX + JXuX

, on

- JPUl J - \I AU

IJ

P

I

obtient

- PAl JuU l

tend v e r s 0, uX converge u n i f o r m h e n t vers u B u r [o,T]

pour t o u t

avec l ' e s t i m a t i o n

+-

- ct

l u X ( t l - u [ t l I \< 1

lA0uDl

J5

Oe m h e JhuX converge unifom6ment vers

IJAuX[tl

-

u X ( t l I 6 )ilAXUX[tl

qua u [ t l E D[Al pour t o u t t

S n i t Xn

+

0

t e l que

.\( XIAouol.

IAXuX[tll 4

On d6duit de l ' e s t i r n a t i o n

dUX

I

>

u aur [O,T]car

lAeuO[ a t de l a p r o p o a i t i o n

0 avec I A o u [ t l [

6

2.5

IAouol.

-

converge faiblernent Vera v dens Lm(O,TiH1 [ e t donc

en p a r t i c u l l e r dane Lz [O,TIHI

1

I

on a a l o r e (cf appendice)

$

v avsc

67

Equation9d'6volution anocikr aux operateurn monotones

Appliquant l a p r o p o s i t i o n 2.5 B l ' o p e r a t e u r A [ p r o l o n g e m e n t de A b cf. exsmples 2.1.3

e t 2.3.3.1,

on o b t i e n t v

+

Au 3 0

l a f o n c t l o n t w u [ t + t o l e s t s o l u t i o n du problame [I], (21

S o i t to E[O,+-[j

IAo~[tolI

e t (31 avec u [ t o l c o m e donnee i n i t i a l e . On a donc I A o u - I t + t o l I 6

pod- t > 0 e t l a f o n c t i o n t que (51

[A'uftl

I est

decroiaaante.

- IEI

I Q t a b l i r l a c o n t i n u i t 6 B d r o i t e de l a f o n c t i o n t

I1 reste J

on p e u t t o u j o u r s se ramener au cas 00 t

S o i t tn -* 0 t e l que A o u ( t n l a E consequent

5

L*[O.TIHII

sur10,TL.

p.p.

J

on a

5

I+

Aou[tl ainsi

0.

E Auo et

6 l A o u o l . Par

= AouO e t Aou[tl--\Aouo quand t + 0. Come de p l u s

) A o u - I t l ] d IAouo/. on a A o u [ t l

Soit E

= C t E

lo.+-[

i

+ Aou0 quand t -* 0. du u e s t d e r i v a b l e en t e t -&tl

E Au(tl)

I

on s a l t

que l e compl6mentaire de E e s t n e g l i g e a b l e . Appliquant (21 en t o [ a u l i e u

d6 0) on a

-

( u [ t o + h l - u I t o l l S h l A % ( t o l I pobr t o u t t > 0 e t t o u t h > 0. Donc s i to E E, de du d ] A o u [ t O l l e t p a r s u i t e --It I + A o u ( t o l 0. I n t e g r a n t c e t t e

on a

Ix[toll

B g a l i t e sur I O , t [

E, on o b t i e n t

-u't1g3(d t

-

+ ?_

I 1 en r B s u l t e que u e s t d e r i v a b l e B d r a i t e en t

t

It A"u[s]ds+= o 0 et que

dt

0.

(01

+

AouO

-

0.

RENARWE 3 . 3 On f a i t l e s hypotheses du theoreme 3.1..

I 1 e s t a i s 6 de v e r i f i e r q b A O u - I t I e s t c o n t i n u en t

e t s o i t t o > 0.

s i o t seulement si

I A o u ( t l ] e s t c o n t i n u en to i dans ce cas u e s t d e r i v a b l e en to. O'autre p a r t s i A e s t univoque.

l a fonction t

* Au(t1

H f a i b l e e t u e s t f a i b l e m e n t d e r i v a b l e sur

e s t c o n t i n u o de LO,+-[

lo,+-[

dans

Lee semi-groupes engendr6s p a r c e r t a i n e s classes d'op6rateurs maximaux monotones o n t un e f f e t r e g u l a r i s a n t sur l a donnee i n i t i a l e 1 . e . S ( t l u o E D[Al pour t o u t uo E D[Al e t t o u t t > 0. Co,mengons p a r examiner l e cas ob A e s t l e sous d i f f b r a n t i e l d'une f o n c t i o n convexe.

Equationsd'bvolution asmoi6es aux Opdratsun monotones

68

Reprenons l'approximatlon Yoelda

-du 1 dt

"181

OD Ax =

+

Ax ux = 0 , uA[O1

u0

[of pmpos1t10n 2.111

~ A X v , ~ - v 1 et donc l a fonctlon Soit v E H fixe I on a \frX[ul-$[vl dBfinle par qxlul = - 'fx[~l [Axv,~-vl A .

-

Yx[ul

.

N

convexe dlfflrentlable Fr6chet , \4x[ul 3 0 qx[Vl 0 et $x[UI %[UI AAV. est

-

VU E

H.

L'Bquatlon (181 s'lcrit alors

ESTIMATION OE L'ENERGIE I on a u

et donc u \fk[ux1 ,<

(2 +

Axvr v-ux1.

P a r conelquent [201

-

~ ~ ~ x [ u x ldd tTI~ u ~ - V ] ~lux[Tl-vlz ~ + I~fAXv,V-~dt

Multipliant l'lquatlon [ I 9 1 par t%[tl

on obtient

%

69

Equations d'kolution awcibes wx ophteun monotones

Par s u i t e

= - / ~ ( A A v ,"& X t l - - l t dv

dt

dt

= -T[AXv, uXIT1-vl

+

JL(AXv. uX-Vl d t

N

Utilisant a l o r s l ' e s t i r n a t i o n [201 e t l e f a i t q u e YX[uX[TI 3 0, il v i e n t [211

o

- $l?ITI-vl'

[tl12dt 6 iluo-vl'

dt

s1T

~

~

+

CON~W p a r a i l l e u r s l a f o n c t i o n t c+

I%h[TlI

6 ISXrtll

pour t a u t

On en d i d u i t que si v

E n f i n uXIT1

*

S[TIu0

E

J

t

T l ~ o - ~v] 2 ~

AI ~

2

<

-T[AXv,uX[7 -v 1

T

~

[ t l e s t d i c r o i s s a n t e , on a

et d o n c

O[Al, alors

e n effet s o i t do f O [ A l e t s o i t OX l a s o l u t i o n

c o r r e s p o n d a n t e d e [ I 8 1 a v e c d o n n e e i n i t i a l e do. On a

I

~ u X [ T 1 - S [ T l u 06 ~ l ~ ~ [ T l - d ~ ( T+ l IOX(TI-SITIPol

21uo-O0l

$

+

IOXIT1

E t a n t donne f > 0 , o n c h o i s i t Oo et puis

Xo >

0

E

-

+

S[T1uol

S(TIGol

O [ A l t e l q u e Iuo-dol < ~ / 3

assez p e t i t p o u r q u a IdXITI-SITIOo] < f/3 si X < ho

*

[ l a d i m o n s t r a t i o n du t h h r h e 3.1 nous a s s u r e q u a OXITl Passant

-

ISITldo

l a lirnite d a n s (211 quand X

* 0.

S [ T l 0, quand

SITluo E O[Al e t

on volt que

o n o b t i e n t [131. I1 nous reste B i t a b l i r (171. S o i t t 3 6 e t s o i t h > 0

I

on a

h

*

01.

Equations d'holution srrocMer RIX op6ratrurs monotones

11 en r l s u l t e en p a r t l c u l i e r que

et

~ [ U Ie s t

.

donc lipschitzlen sur l6,+=[

Par a i l l e u r e , on a

e t come l a fonction t lirn [&t+hl, d'u

h+o

2

I+

uttt:l-u'tll

=

[ t l e s t continue B d r o i t e ( t h 6 o r h e 3.11,

I$

on

B

[tll'.

On an d e d u i t que

Par conshquent l a fonctlon t * p [ u [ t l l

s e t dlcroieeante e t convexe ~pulsqua

d+ x k , ; C u l e s t croissants d'aprbs l e thlorbme 3.11.

REMARQUE 3.4.

On f a i t lee hypothhses du t h 8 a r h e 3.2 e t on dlaigne par E[Au(tll l'esperce e f f i n e ferml engendrl p e r Auttl. Soit EotAu[tll l a projection

-

-

da 0 sur E[Au[tll. On a -%tl dt

Aou[tl

alOr5

Eo[Au[tl) pap. eur]O,+=[

En e f f e t , supposons que lee fonctlons t W u [ t l e t t * \ p [ u [ t l )

d6rivables en to e t soit f

E

soient

Au[tol. O n a a l o r s

- P u t t o l l >/ [ f , v - ~ [ t ~ l l WV E H. Prenant en p a r t i c u l l e r v = u[to? h l . h > 0 , o n obtient aprbs division par h

\?[V;

e t passegs b la limite quand h + 0

-

~d q t u [ t o l l [f.$[toll Autrernent d l t

-

au voisinage de

- -1%

I]'

d t o $[to] eat l a projection de 0 8ur EIAu[tol I .

-

On peut prbcieer l e comportment de u c t l e t de y ( u [ t l l t 0:

Equations d'btolutbn asrocillas wx op6rateure monotones

61

PROPOSITION 3.1. S o i t uo 6

E

E

.lo.+=I:

On a uo

E

D(A),

On f a i t les hypotheses du theorhe 3.2. alors flu) E L'(0.6) e t Iti$(t) E L2(0,6;H) pour t o u t

D(y)

s i e t seulement s i

.

- I,

Dans ce cas u verifie t lX(s)l2ds du *f'cud-Pu(t))

En partfculier s i uo tout t E]0,+01: d'u

I=

(t)l

E

2

E

LL(0,6;H) pour tout 6

pour tout

D(~J), y(u(t))

Jy+J,)-yNt)) et dT

Jf

Jo,+=~

t E.O,+-[

fy(uo)

l u ( t ) -uo I

E

quand t

6 &fluo)

+0

e t on a pour

-.puct)j.

1 Rappelons qua f i [ u l = ~ \ U - J +\p[Jxul. ~ U ~ ~ On d6duit alors de ( 2 0 ) B l'aide du l m e de Fatou que g [ u l E L'(0.61. I1 est i m 6 d i a t grace B (211 que [tl E L"O.61.

fig

Supposons maintenant que uo

E OCf1

et reprenons l'approxi-

mation (111. On a alors \px[uol - ~ x [ u x [ 6 1 1

-g

du I$IZdt

Inversement supposons que

$

L z t 0 , 6 ~ H l . Grace au theoreme 3.2 on a

L e second membre &ant

E

born6 quand

S+

0, on en d6duit que uo I? 0[?1

e t de plus

Comparant [231 et [241 on en d4duit qua

Equations d'bvolution associeer wx opkateurr monotones

62

d'oO il resulte que f J [ u [ t l l

+ yP[uol quand t f

0.

Par a i l l e u r s on a

Lea semi groupes engendres par des operateurs maxlmaux monotones t e l s qua I n t D ( A 1 # 0 ont a u s s i un e f f e t r 6 g u l a r i s a n t sur la donnfie i n i t i a l e .

u

adnret en tout t > o une dehivle a dno&e avec

il existe

1. <

1.

En o f f o t , eoit v E I n t D [ A I I d'aprhs l a proposition 2.9 e t M < +t e l s quo 1.1 4 M, pour t o u t w E A(V+J.ZI avec S o i t [u,f] E A I appliquant l a monotonio do A en u e t en v + f z ,

p>o

on a : [f-w, u-v-

p21 3 o

0 ' 0 5 l ' o n d6dui.t

I

pour t o u t L avec

1.

8

I

EquationsdYvolution auoci6es aux operateurr monotones

(251

flfl

4 [f,u-vl

* MP

Mlu-vl

+

Reprenons l ' a p p r o x i m a t i o n Yosida [ I 8 1 e t r e p o r t o n s dens (251

f =

dUX - dt [tl

I n t h g r a n t sur ]O,T[ Y-NhlT

et

u = J A u A ( t I I on a

< -1U 21

0

T lAAuA[tll d t

-VIz

[On a u t i l l s 6 l e f e i t que t I+

on a d+ S ( t l u J

> 0. il v i e n t

s t supposantp-MA

I A X ~ X I T I6 I tp-MAl

\<

-

M

j0T

luA[tl-vldt

IAXuA[tl

1 d+ I S t t l u O - v p

Apras i n t e g r a t i o n sur S[tluoldt 6 C

+

I

+

+

MpT

est decmissantl.

MISItluo-v( +

PP I

3 8.1 \ on v o i t que

00

C e s t born6 quend s + 0.

COROLLAIRE 3.1. Supposons que din H < +.o e t soit A un operateur maximal monotone de H. Alors l e semi groupe S(t) eagendre par -A sur D(A)verifie les conclusions du theorhe 3.3.

63

Equations d'kdution auoci6m aux op6rataun monotones

04

En e f f e t . on peut t o u j o u r s supposer que 0 l ' e s p a c e engendrQ par O(A1 e t s o i t A.

Snit Ho

O[Al.

E

= AT\(HoxHol. A.

e e t maximal monotone

dans Ho e t l ' i n t b r i e u r de c o n v ~ O I A o Ir e l a t i v e m e n t b Ho n ' e s t pas v i d e . I1

+

O[A I 0. H A sup O I A O l .

que I n t

en r b s u l t e . d ' s p r b s la p r o p o s i t i o n 2.9,

c o i n c i d e avec l e semi groupe engendrh p e r -Ao

E n f i n Sctl

REMARQUE 3.5.

Lorsque A e s t un opbrateur l i n e s i r e maximal monotone,la

COCA1

proprihtb S [ t l t

W t > 0 permet de conclure que la f o n c t i o n

m

c+

pour t o u t uo

S ( t l u o . e s t de c l a s s e C sur 10. +-[

E

D[A). Si

on a de

plus une e s t i m a t i o n de la forme I A S [ t l u o l 6 C luoI

WU0E

otAl , w t > 0

l a f o n c t i o n t + +S [ t l u o peut O t r e prolongbe B un secteur du p l a n c m p l e x e I on d i t a l o r s que S t t l e s t un semi groupe analytique. I1 n'en e s t pas de m h e dans l e cas non l i n h a i r e . A l ' a l d e du th6orBme 3.2. [ou 3.3.1 on peut c o n s t r u i r e a i s h e n t des exemples de semi V t > CI a t t e l s que t + s [ t l u o ne s n i t groupes v i r i f i a n t S [ ~ I 6 l C O [ A I en une f o n c t i o n e n a l y t l q u e

-

pas de c l a s s e C1 sur 10, +-[

2 -

RESOLUTION DE L'EQUATION

3 + AU

u(0)

3 f,

Uo i NOTION DE

SOLUTION FAIBLE

DEFINITION 3.1. 'olent

solution

A un ophrateur de H e t f

f o r t e de 1'Bquation

$

+

E

On a p p e l l e

L'(0,T;HI.

Au 3 f t o u t e f o n c t i o n u

E C[

[O,T]

I

HI,

absolument contlnuasur t o u t compact de J O , T ~ [ e t done d ' a p r b s l e c o r o l l a i r e A.2 d e l'appendice, u e s t d e r i v a b l e p.p.

g[tl

+

Au(t1 3 f [ t l

On d t t que u

E

C[[O,T]j

p.p.

HI

sur]O,T[

.

sur l O , T [ l ,

e s t s o l u t i o n f a i b l e de l ' i q u a t i o n

s'il e x i s t s des s u i t e s fn E L1[O,T,HI

et

un soit une s o l u t i o n f o r t s de 1'Qquation dans L1 [O.TsHI

virifiant u[tl fO[Al

un

3

dt e t un + u uniformement sur [O,T].

E

C[[O,T]

$

+

et

Au 3f

;HI t e l l e s que

+ A U ~ M ~ *fn

+

f

OQgageone d'sbord quelques e s t i m a t i o n s Q l h e n t a i r e s

LEMME 3.1. W e n t A un operateur monotone, f et g E L1(O,T;H), u et v des solutions faibles des Bquations + Au 3 f et dv + Av3 g. On a

8

a

(261

lu(tl-v[tlI

(271

1 1 ~ ~ ~ t l - ~ ~ a l C, z~l u~[ t 1s- xl l -2 ~- l pl~[~l-xl' d

6 ~ u [ s l - v [ s l +~

If[o)-g(o)[da

V O C S ~ ~ G, TV b , y ] c A .

WO

/,(ft

c s6

t d T

Co1-y. ~ ~ [ o l - x l d t ~

Equations d'wolution asmcidn WX opdrnteurs monotona

s t a b l e s par passage B l a l i m i t e dans

Ces e s t i m a t i o n s &ant x L1(O.T,HI,

C[[O,T]IH]

on peut supposer qtie u e t v sont 'des e o l u t l o n s

f o r t e s . On a a l o r s , grace B l a monotonie de A,

2

p a p . sur]O,T[

dt

Puisque l u [ t l - v ( t l

l2

e t c o n t i n u sur[O,T],

(281

tlu(tI-v(t1

e s t absolument c o n t i n u sur t o u t compact de jO,T[ on a, en i n t b g r a n t sur]s,t[

l2 - ~ l u ~ s l - vl2~ ds l1;

O'oD l ' o n d B d u i t (261 grace au l m e A . 5

( f~ ~ l - g ~ a l , u ~ ~ l - v ~ a l l d o de l ' a p p e n d i c e . La seconde

i n O g a l i t i de (271 e s t obtenue en prenant dans [281 g z y e t v

5 X.

La

v e r i f i c a t i o n de l a premiPre i n Q g a l i t Q de (271 e s t i m b d i a t e .

L ' u n i c i t B r i s u l t e directement de (261. OBmontrons l ' e x i s t e n c e . Supposons d'abord que uo

E

O [ A l e t que f e s t une f o n c t i o n en e s c a l i e r

< a1 <

d 6 f i o i e sur l a s u b d i v i s i o n 0 = a. [ai-l.

-

a[i

.

...

a

3

T p a r f o yi

maximal monotone -[A-yil.

OWinissons u[tl p a r u [ O l = uo e t

u[tl

pour t

Si(t-ai-,l

u[ai-,l

E

[ai-,,ail

. I1

e s t c l a i r , d'apras l e

t h 6 o r h e 3.1 que u e s t s o l u t i o n f o r t e de 1 ' Q q u a t i o n Considbrons maintenant l e cas OD u

E

D[AI

+

Au 3 f .

et f

L*[O,TiHI.

E

I1 e x i s t e une suite fn de f o n c t i o n s en e s c a l i e r s u r [O,T]telle dans L1[O,TiH1

e t une suite uon

E

I<

Iuon-uoml

+

que f n + f

-

D(Al t e l l e que uon + uo dans H. S o i t

-

un la s o l u t i o n f o r t e de l ' i q u a t i o n dun t e l l e que + Aun 3 f n dt Grace B [261. on a lun[tl-um(tl

sur

l e swni groupe engendr6 par l ' o p i r a t e u r

O k i g n o n s par S,[tl

/~lfn(ul-fm[u I dl a

Vt

E

Un[Ol

Uon.

[O,T]

Donc, un converge unlform&nent v e r s une f o n c t i o n c o n t i n u e u t e l l e que

u(O1

,u ,

e t q u i e s t solution f a i b l e de 1 ' 6 q u a t i o n

(par d b f i n l t l o n 11.

$ * Au

3 f

Equationsd'kolution arwci6a aux oWmn monotones

88

-

REMARQUE 3.6.

Solt A maximal monotone et eoit uo E O[Al fixe I l'op6rateur q u l B f c L2[0,TlH) fait corraspondre l a eolutlon falble d e 1'6quatIon

-

Au 3f. u[Ol uo, set maximal monotone dans L 2 [ 0 , T i H l , En effet d'aprbs [28) 11 est monotone I de p l u s 11 eet partout d6fini et contlnu grace B [XI. La propri6t6 sulvente est fondamentals dans l'ltude dea

SOhltiOnS feIblE8.

lhM Ce cab dt d*'4 (to)

-

~ f ~ t O + O l - A u ~ t o l l of ~ t o * O l - P r o j A u ~ t o ~ f ~ t o * O ~

On utlllsera dane la d6monstratlon le l&nme suivant '

LEMME 3.2. Soient A un opgrateur maximal monotone, f c L'(0,T;H) e t une solution faible de l'lquation + Au 3 f . Soit t, une suite de [o,TJ t e l l e que t, + to, tn # to, u(tn)-u(to).A o, 1 t t Itn f(s)dsAB et I,"lf(s) Ids tn-to 0 tn-to 0

u

E

$

C([O.T];H)

-

soit borne. Alors u ( t o )

E

D(A)

et

8

-a

E

.

h(t0)

Equation$d'krolution asroci6es NIXI op6rateun monotones

67

OEMONSTRATION DU LEMME 3.2. Snit [x,y]

A

E

d'aprhs le lemne 3.1. u v6rifie l'in6quation WO 6 B c t s T

I

[uctl -u [sl, u (41 -xl
I t Itn tn-to o

[f

[~l-y.u[ol-xId~

u ttnl-u[tol

O'autrs part si t n > to , et si tn < t n ,

[

converge vers

[

u(tol-u(tnl to-tn

tn-to

,U

[to] -xl

1 ,u[tnl-xl -6 to-tn Itn[f[al-y.u[~l-~ldo

Dana tous les cas, on a, B la limits [a,u(t I-XI

< [B-y, u[tol-xl

Oonc

E

u[tol

OcAl

et

B -

Wlx.y] a B

E

A

Au[tol.

DElYONSTRATION DU THEOREME 3.5. L'irnplication [iiil q [ i i l est imm6diate et l'implication E O(Al

[iil = ~ I i lresults du lemne 3.2.. Supposons maintenant que u(tol

appliquant [261 avec g[tl r f ~ t o + O ) - ~ f ~ t o + O l - A u ~ t o let l o v[tl on a to+h If [ol-f [to+O1 + [ f(to+O1 -Au [to] I' Ida lu[tO+hl -u[tol I 6

L

I

u(tO;,

It

0

et donc

I

lim sup ~1 ; ~ u ( t ~ + h l - u ( td~ l~~f[to+O1-Au[tO1lO~ hCO 1 a , a, d'apr8s Pour toute suite hn+O telle que r ; - ~ u ~ t o + h n l - u ~ t o l l ~on le lemme 3.2.. f[to+Ol-a E Au[tol and'oO a = [f~to+Ol-Au[tollo.Par cons6quent u est derivable B droite en to et

d+u (to] = dt

On

[f(to+Ol

-

Au~tollo.

Btablit aisgrnent la proposition suivante

:

PROPOSITION 3.2. Soient A un operateur maximal monotone, f u E C(L0,T);H). Alors les proprietes suivantes sont Bquivalentes. (i) u est solution f o r t e de 1'equation

E

L1(O,T;H)

et

$ + Au 3 f

(ii) u e s t a b s o l m n t continue sur t o u t compact de]O,T[et f a i b l e de 1 'equation + Au 3 f

$

(iii) u e s t absolument continue sur t o u t compact de]O,Tlet

u e s t solution u verifie

Equationsd'kolution associh aux opbrateun monotones

88

Loraque f s e t p l u e r e g u l i h r e on a l a

PROPOSITION 3.3.

Soit A un operateur maximal monotoner f e t u E C([O,T] ;H) une solution f a i b l e de l'equation Les proprietas suivantes sont muivalentes

E

VB /O.T;H) 4 Au 3 f .

w

$

( i ) U W = D(A) (ii) u est lipschitzienne sur[O,T]

Dans ce cas u ( t ) E D(A) pour tout t E[O,TA u e s t derivable t ELO,T[ e t (t) = (f(ttO}-Au(:))' (a) est continue S d r o i t e S i on suppose de plus que f E WIB~(O,T;H), alors

$$

a d r o i t e en t o u t

77

en tout t E[O,T[ ; d 'u est continue en toE]o,T s i e t seulement s i d -u 1 e s t continue en to e t alors u e s t derivable en to. Lorsque A est unlvoque e t f e s t continue, alors u e s t faiblement derivable e s t faiblement continue surjo,T[. sur ]O,T[ e t

lr

$

Supposons d'abord u l i p s c h i t z i e n n e

J

c o m e f a d m e t en t o u t

t cLO,Tlune lirnite a d r o i t e , l e a hypothases du t h 6 O r h E 3.5. s o n t s a t i s f a i t e s . O n en d 6 d u i t en p a r t i c u l l e r que, pour t o u t t c[O,T[, u [ t l E O[Al, d 'u [ t ) = [ f [ t + O l - A u [ t l l o . Enfin u[T1 E O ( A I c a r u a s t d e r i v a b l e en t e t dt d ru [ t l I e s t born6 quand t + T . I n v e r s m e n t s i u[O) E D [ A I , on s a i t g r a c e au th6orPrne 3 . 5 que u a s t d6r'lvadle B d r o i t e en 0. D'aprPs "261. a p p l i q u e avec g [ t ) = f t t + h l

-

et v ( t 1 u ( t * h l , on a / u f t + h l - u ( t l I d lu(hl-u[011

+

Oonc pour h a s s e z p e t i t , on a Si f

E

(291

W1*'[O,TjHI,

l u [ t + h l - u [ t l l 6 Ch

on a d ' a p r h s [261

I

[ t l l 6 \&s1 d+u

d'u

~ ~ f [ o + h l - f [ u l ~ dpour a tout t o]O,T-hI

+

lsl&al t df

Ida

VO 6 s

+

t

T

( u t i l i s e r aussi l a p r o p o s i t i o n A .z d e l ' a p p e n d i c e l . d*u d u' [to]1. S o i t t n + to t e l que $tni l i m s u p ~ r [ t l6 tStD

I

Par s u i t e

on a f ( t n l f(t,)-n

on a t 1 1 VB[O.TiHI

(21

W't

E

J

Au[tn) e t par cons6quent ( p r o p o s i t i o n 2.51

2

design8 l ' e s p a c e d e s f o n c t i o n s b v a r i a t i o n born68 sur :o,TJ

'[O,TJHI

n

A u [ t 1 . Come p a r ailleurs I n l sd'u lr[Lll = I[fttol-A~[tol)ol. d'uo d'u t ) + = dt [to].On en d e d u i t qua & [to] l o r a q u e t C to.

E

n

d*u - dt ttnl

-5

[ C f Appendicel

d 6 s i g n e l ' s s p a c e des f o n c t i o n e absolument continuee sur [O.T J [Cf Appendice).

Equationr d'kolution nsocih MIX Wateun monotones

Un raisonnement analogue montre que la fonction t + (f[tl est continue en to s l et s e u l m e n t si t

H

- Au[tllo

~ ~ f [ t l - A u [ t l l oest ~ continue

en tn, Oans ce cas u est d6riveble en tn pulsque

Enfln e l A est univoque la fonction tr, Au[tl eat continue d e [O,T] dans H [car IAu[tlI est bornel. Si f est continue, la fonction t rc ~d+! [ t l =' f[tl-Au[tl est continue d e [O,T]dans Hw et par cons6quent u est faiblement d6rivable sur Jo,T[,

PROPOSITION 3 .O S o i t A un operateur monotone ; on suppose que D(A) e s t fern6 e t que Ao e s t borne sur l e s compacts de D(A). Soient f E LP(O,T;H) avec

1 :: p s +- e t u E D(A) (=D(A)). Alors il e x i s t e une fonction ,iP u E W1'P(O,T;H) unique t e l l e que $(t)+Au(t)t-f(t) p.p. surjO,T[, u(0)=uo De plus u e s t derivable a d r o i t e en t o u t p o i n t de Lebesgue 8 d r o i t e de f et (to)= (f(to+O)-Au(to))O.

$!!

*

En effet, soit u

-

E

CI[O,T]

,HI la solution faible de 1'6quation

+ Au 3 f avec u[O1 = u0. ' A est born6 sur l e compact u [ [o,TJ) contenu dt dans O[AI O(A1. Appliquant [261 avec g[tl ,D Aou(sl et v"G1 c u(s1, on

obtient pour 0 lu[tl-u[sl Oonc u

E

I

6

$

,:

s 4 t L T. If~~l-A~u[sl

.<

1:lfrul

Ida

+

M(t-sl

WIR~O,T~H1

REMARQUE 3.7 L'hypothhse d e la proposition 3.4 est Qvidemment v6rifi6e si A = a I C o h C est la fonction indlcatrice d'un convexe ferm6 C ainsi qiJe

--

dans l e cas oh O[Al = H (proposition 2.9.1.

PROPOSITION 3.5. S o i t A un operateur maximal monotone avec D(A) fern&. Soient f E C([O,T]; H) e t uo E D(A)(=D(A)). Alors il e x i r t e une fonction u E C([O,T];H) unique t e l l e que en t o u t t E[O,T[,u e s t derivable a d r o i t e ( t ) + A u ( t ) a f ( t ) e t u(0) = uo. De plus u coincide avec l a s o l u t i o n f a i b l e de l ' e q u a t i o n du t Au 3 f, u(0) = U,.

ar

*

(1) W1'P(O,T,H)

dt

d6slgne l'espace des fonctlone absolument continues Bur [O.T] c LPIO,TjHI tCf Appendicel.

tellee W e

70

Equations d'Colutmn auocibsr aux op6rsteunmonotones

du + Au 3 f. u[Ol=uo. Soit u la solution falble de l'equatlon I1 rhsulte du theoreme 3.5. que u est derivable B drolte en tout t c [O,T[ avec [tl + Au(tl 3 f (tl. Pour l'unicit6, il suffit d e remarquer que dt dtlu[tl-v[tl12 $ 0 en tout 8 1 u e t v sont deux solutions, on a 2 dt t E[O,T[ et par suite u = v [lemme A.21

d*u

Le resultat sulvant caracterise l e s solutions faibles b l'aide d'une inequation integrale

PROPOSITION 3.6.

Soient A un operateur maximal rnonotone,u f

L~(o,T;H).

e

c([o,T];H)

et

$ + Au 3f s i e t seulement s i

Alors u est solution faible de l'@quation u verifie

La condition est Bvldement n6cesselre d'apr8s (271. Montrons

-

qu'elle est suffisante ,

O'abord uo SIu[tl-J u

X O

soit et b

l2

u[Ol

l2

\c ~1 l u ~ u- J X O

E

o(Al.

En effet pour tout 1 > 0

* ~to ~ f ~ a l - A X ~ o , ~ ~ o l - J X u o l d a

~ ~ ( U ~ - . J ~ U ~ u .Ido U ~6 ~X ~~1 ~- ~J u X o

o - J X u +o f ~t:j 2 ~ o l , u ~ ~ l - J ~ u ~ l d ~ ~

l a limite lorsque X + 0. [ ~ ~ - P ruo,u o j(01 ~ -~P r o j b ~ l ~ o l d6o 0

-o

Divisant par t > 0 et falsant tendre t Vera 0, on obtient luo-Projo~luo12

Solent maintenant vo c O[Al et g E W'"[O.TIHI I solt v[tl dv + A v s g , v(01 = vo, avec la solution [fortel de 1'Bquatlon v'd E Lm (0,TiHI. Prenant x = vcsl et y = g[sl r t s l dans [301, on a

5 t lu[tl-v[slIZ s q1 \ u [ s l - v t ~ l ) ~~ ~ ~ f t l - g ~ ~ l ~ ~ s l , u t o l - v ~ s l l d s +

et par suite

Equations d'holution arrocik wx op4rateun monotones

71

I1 en results que

1

p lU[tl-V(t)

1'

1 ,< TlU[o)-V(ol

1'

+

c [ f [Sl-$~Sl,U[Sl-V[S ]Ids

Consid6rons matntenant une suite gn E W1"[O,T~H1 telle que gn + f dans L1[O,T;H) e t une suite VOne O ( A 1 telle q u e v o n + u[O1 dans H. Soit vn la solution [fortel de 1'Qquation

3 dt

+

Avn3gn

, vn(ol

I

Van,

On a donc

l2 < ~lu(0l-vOnl2

z1 I u ( t l - ~ ~ ( t l

+

Ji(f ~sl-gn~el.u(sl-vn~~lIds

5

On salt que vn(tl converge uniformhent Vera la solution faible 0 de + AC 39 , 0 ~ 0 1= ~ ( o I . l'bquation 1 A la limite on obtient ~ I u ( t I - 0 " t l l6~ 0. Indiquons enfin le resultat suivant

I

72

Equatiow d'bolution aProci&r aux ophteurs monotones

PROPOSITION 3.7. Soit A un operateur maximal monotone e t soit X un espace de Banach reflexif de nome I I I I tel que D ( A ) c X . On suppose qu'il existe a > 0, tel que Vl;Cl*Y11 * [X2'Y2] E A (y1-y2,x1-x2) % al Ix1-x21 l2

-

Soient f E VB(0,T;H) e t uo E D(A) ; alors l a solution u de l'equation du + Au 3 f , u(0) uo appartient a W1"(O,T;X)

5

En e f f e t on a d i r e c t m e n t

l2

1 ~lu[t+hl-u[tl

+

a\ lu[t+hl-u[tl

I Iz

e t donc

a

Ji-h I

l u [ t + h l - u [ t l I I2 d t 6 $lu(hl-u[Ol $

5 [f[t+hl-f[tl,u[t+hl-u[tll

l2

T-h 10

+

f ( t + h l - f [tl

I

I

]u(t+hl-~[tlI c ~ t

Ch2

puisque u e s t l i p s c h i t z i e n n e e t f E VB(O,TIHI. On c o n c l u t ?I l ' a i d e de l a p r o p o s i t i o n A . 7 .

3

- CAS oil

A =

ay

Oans l e cas p a r t i c u l l e r 00 A e s t l e sous d i f f 6 r e n t i e l d'une f m c t i o n convexe, lee s o l u t i o n s f a i b l e o

1'6quation

f a i t des s o l u t i o n s f o r t e s d&e que f 6 L2(0.T1Hl.

- ap

-

3

+

Au 3 f aont en

On suppoeera dens ce

paragraphe que \ p e s t une f o n c t l o n convexe s . c . i . telle que M l n f = 0 on pose A

e t K = {v

E

+

+

H Ip [ v I

01.

$z d i s t [ u t O I , K l

JZF 1 dist[u[OI ,Kl

Vti E]O,T[

J

73

Equationsd'6volution ataocib aux ophtwn monotona

On u t i l i s e r a dane l a d h n e t r a t i o n l e lemne s u i v a n t

8

LEMME 3.3.

Soit u E W1'*(O,T;H) tel quo u ( t ) E D(A) p.p. sur]O,T[. On suppose qu'il existe g E L'(0,T;H) tel que g ( t ) E A u ( t ) p.p. sur]O,Tf. A1ot.s la fonction t t+ y(u(t) est absolument continue sur [O,T]

.

u(t) t E

E

L

Designons par ~!.l'ensembledes points t E]O,T[ tels que D(A), u e t q(u) soient derivables en t. Alors, on a pour tout

& .i'(u(t))

-

(h'

3t))

Vh

E

Au(t).

DEMONSTRATION DU LWE 3.3. S o l t g X t t l A A u t t l . On a l g a t t l l d IA'uttll d l g t t l l p.p. e u r ]O,T[, par s u i t e g a [ t l * A'uttl dans LZIO.TiHl. e t gX[tl + A'uftl d O'autre p a r t & v a t u l tAAu, $1 p.p. sur ]O,T[ (fle a t d 6 f i n i & la p r o p o s i t i o n 2.111 et donc ~ X f ~ f t 2 1- \1P x t u t t , l l tAXu, X duI d t V t l , t 2 c CO,T]

-

-

It

1

P a s s a n t b la l i m i t e quand X + 0, on o b t i e n t .+I[t,ll -yrurt,11 Jit[A'u, xdul d t Par cone6quent l a f o n c t i o n t * \ P [ u t t ) l e a t absolument continue. Enfin, e o i t to f e t s o i t h E Au[tol. On 8 9tvl

- ~ t u ~ t o %l l th.v-utt,ll

-

Vv

E

H

Prenant v u ( t o f €1, E > 0, on o b t i e n t a p r b s d i v i s i o n par passage & l a limite quand E + 0 ~d ~ [ u t t o l [h.=(tol1. l du

E

tat

Equationsd'6volution associkec aux opkatwn monotonr

74

DEMONSTRATION DU THEOREME 3.6. Supposons d'abord quo u[O]

uo E O[$

9

I

on peut a l o r s

appliquer l a p r o p o s i t i o n 2.17 pour O t a b l i r l ' e x i s t e n c e d'une s o l u t i o n forte.

En

-

EffEt,

0[01

34- L'(O,TIHI

Soit

{ u E W1'2[0.T~HI

11 est i m n a i a t que

I

lamt

Et SOit

@U

I

aVEC

maximal monotone s t que

34

Soit d'autre part.sur

si

1

$

u[O1 = uo).

@ul

E

L1[O,Tl

ailleurs

+OD

On s a i t [ C f p r o p o s i t i o n 2.161 que Oest convexe s.c.1. Come \p convexe s . c . 1 . on a

\p[uol

+

+

I n t e g r a n t c e t t e i n d i g a l i t 6 sur

Gn en d6duit que

[d+aw-'e s t

a +a@ e s t

corollaire 2.3.

1:

ESt

s-t ~ ~ u [ s l l d s

E

Jo,T[

, 11 v i e n t

un operateur born6 d e z , et, grace au

s u r j e c t i f sur

%.

Considdrons maintenant le

cas g h 6 r a l 00 u[O1 = uo E T I . S o i t un l a s o l u t i o n [ f o r t e ) de 1'6qustion du

2 + dt

Aun 3 f

Quand n +

*m

de l ' d q u a t i o n

p.p.

,u

do

un E W1'2[0.T~HI

sur]O,T[,

-

un[Ol

-

uon

converge u n i f o r m h e n t sur [O,T]

*

Au 3 f. u ( 0 )

vers l a s o l u t i o n f a t b l e

u0. O'aprbs ce q u i precede on a

s t 11 r e s u l t s du l m e 3 . 3 . qUE I

Equations d‘dvolution woci4r aux ophtwn monotones

[331

1 s1‘

dt #un1

du

+ d

= ( f a &dun

p.p.

M u l t i p l i a n t (331 p a r t e t i n t b g r a n t sur]O,T[ du

1;

&12t d t

+

Tlp(un(Tl1

-

I;y[un[tlldt

76

sur]O,TL

, on

< IAlfttlI

a

dun I&tlIt

dt

0’03 l’on d 6 d u l t que

O ’ a u t r e p a r t on a :“v1

- y t u n [ t l l a [ f [ t l - dt dun [ t l , v - u n [ t l l

Donc s l v \“U,ttlI

et

E +

p.p.

sur

Jo,T[

K. on o b t l e n t

5

~ I u n t t 1 - v I ’ 6 If[t l l l u n ( t l - v l

,

en p a r t i c u l l e r

Combinant les a s t i m a t i o n s [341 e t [351, 11 v l e n t

Le pessage B l a l i m i t 8 quand n + +OD est Imnedlat e t c o n d u i t B [311 On etablit a i s h e n t que $ul E L’[O,Tl B p a r t l r d e [351. Enfin d ’ a p r h le theorbme d e l a moyenne a p p l i q u e B [351 11 e x i s t e

78

Equations d’kolution clrurci6es wx qkrtwn monotones

Oonc

Passant b l a l i m i t s quand n

.* +OD,

on o b t l e n t (321.

REMARQUE 3.8 Supposons qua f E L’t0,TlHI

$

A L ~ o c ( O , T ~ HIl alors toute

s o l u t i o n f a i b l e de 1’Bquation + ~ [3u f ,I est une s o l u t i o n f o r t e du et t Lloc (0,TiHI. En e f f e t s o i t [a,bJ C]O,T[ I u est une solution f e l b l e de 1’6quatlon

$ + ay(ul3

u est une s o l u t i o n f o r t e Bur p,b]

f sur[a,bl avec

d;t

e t d’aprar le th6orbrne 3.6.,

$Ctl

E L2(s.brH1.

REMARQUE 3.9

$

S o l t f E LZ(O,T~HIe t s o i t u une solution de 1’Bquatlon +

a+ul

3 f . Avec l e e notetions de la remarque 3.4.,

%tl dt

1.9.

&+t’ du

*

Eo[v(u[tll

- fctll

ProjE(ap[”(t)14[tl

on

a p.p. sur JO,T[

* 0 = f(t1

On obtient dee propri6t68 suppl&nentsires loreque f eat r6guli8re.

77

On s a l t dejh [ t h e o r h e 3.6.1 que u est une s o l u t i o n f o r t e .

, On dedult alors de l a propoeltlon 3 . 3 . que u [ t l E g [ A I pour t o u t t E]O,T] d u avec & t ) + [ A u ~ t l - f [ t l l o= 0

u est derivable 81 d r o l t e en t o u t t E]O,TC et

u eet

llpschltzlenne sur [~,TJ

V6 f ]O,T[.

I1 r e a t e donc b B t a b l l r

l ' e s t i m a t l o n (361. Supposons d'abord quo On a ( h m e 3 . 3 . )

ISI?

+

p.p.

zy(Pcu1 d =

uI01

E

0[91.

sur]O.T[

(f,xl du .

m u l t i p l i a n t c e t t e equation par t e t integrant a u r ) ~ . ~ [ ( c e q u i est j u s t i f 1 6 pulsque

(371

jo T (du ztt)12t

E

L2(0,T,HII

on o b t l e n t

d t + Ty(u(TI1 = j i g ( u ( t l 1 d t + / A ( f ( t l , ~ [ t ) - ~ ldt t

= ,fiq[u[tlldt

+

T[f[Tl,u[TI-v)

- I ~ [ u ( t l - v , f [ t )d+f ~ [ t ) ) d.t

Par a l l l e u r s

du yXvl-\P(u(tll 2 [f[tl-&tl, e t donc e l v E K, on a

v-u[tll

pep. eur ]O,T[

Equationsd‘kolution auocik wx opCatwn monotones

78

I 1 en r e s u l t e qua

C’ESt

A dice

On conclut

a

l ’ a i d e de (391.

E n f l n dans l a cas general oh u(01 t e l l e que uon

* uo dans

H.

La s o l u t i o n un de l ‘ e q u a t i o n

dun dt

E

GI, on c o n a i d h e une s u i t e uon E Ohf1

A u n 3 f . un[O1

mant vers u . On a

LS passage b l a l i m i t e e s t imn6dlat.

-

uon

,

converge uniform&-

Equations d'holution arrocibs aux optatours monotones

4

- CAS OU

I n t D(A) # 0 Oans t o u t ce paragraphe A dQsigne un operateur maximel

monotone t e l qua I n t O [ A l # 0. On a dQjh Q t a b l i au f I I I . 1 que le semi-groupe engendrQ par -A

a un e f f e t regularisant sup l a donn6e i n i t i a l e . On se

propose de montrer i c i que les solutions f a i b l e s des Qquatione svec second IWnbrE sont "en g6nQral" des selutions f o r t e s .

THEOREME 3.8.

2

&'t?Ql.k&h

et

So& f E L1[O,TIHI

bo&

u une dotLLfion ddbee de

+ Au 3 f.

A e O u 1") u

at a va&i&i.on

bonnee

On u t i l i s e r a d a n s l a d h o n s t r a t i o n l e l m e g6om6trique suivant :

LEMNE 3.4. S o i t C un convexe ouvert de H e t s o i t x existe

E

6 E C tel que IP.512

- Ix-sI* 4

Vz

12-xl'

E

r. Alors 11

F

Demonstration du Lennne 3.4. On considare l'ensemble convexe forme [non vide]

K * {wEH

I

, z-XI

[w-x

Si K n C Z 0 , Supposons que K

nC

5

n

nF,

KC\

C

repond au problame.

# 0 e t k t e l s que

(n,ul 3 k 3 (n,vl

que

E

= 0 1 on peut a l o r s sQparer K e t C par un hyperplan

ferm6. Oonc il e x i s t s

Coma x E K

Wz E C).

0

tout

on a [n,xl

(n, n+xl < [n,xl

-

flu k

E

, Wv

C

e t par s u i t e 9

+

x E

E

K

K. 0 ' 0 0 i l r 6 s u l t e

e t rl = 0 I on a b o u t i t & une contradiction.

Eqwtlorn d'holution ~

80

Pour tout ply] [y,v-vo)

E A

6

on a

[y,x-vo)

I

x-VI

(Y-AOV,

O

uC x~op(retwn monotona

a 0,

roit

pour t o u t v t e l quo

+ mlx-vol + M

lv-voI ~p

I1 en r h u l t e que

Soient alors fn E L'(O,T,Hl t e l s qua fn + f

e t un une s o l u t i o n f o r t e do

dana L ' ( 0 , l r H I

e t un + u

Appliquant l ' e s t i m a t i o n (401 on a p.p.

dun 7

uniformhment

+

sur

3 fn

Au

[O,Tq

s

sur Jo,T[

I1 en rbaulte, aprPs i n t 6 g r a t i o n st passage A l a l i m i t e

- +1l c t l - V o l * Cette estimation montra que u est

pour tout 0 6 a d t

A

6

T.

v a r i a t i o n born& avec

Etabliesonr m i n t e n a n t l a seconde p a r t i e du theorbme 3 . 8 .

D'aprh 1e l m e 3.4. a p p l i q u l avec C = Int

Iz-EI'

OfAl = I n t DIAl e t l u t t l - q a 4 12'dtI

-

x =

1'

u [ t l , 11 e x i s t e E vz ei?

E Int

O t A ) t o 1 quo

81

E ~ ~ ~ a t i d'6volution ons w o c l k r wx ophteun monotones

En particuller l~[t-hl-E1~ luttl

-

-

E l Z $ lu[t-hl

Appliquant l'estimation (411 avec plu[tl-u[t-hll Sp/:-,(lfC.rl

I+Mlde+

vo

-

- u[tIl2 et

s

-

pour tout 0

C

h < t.

t-h , on a

l;-,lu[Tl-El [If(%) I + M I ~ s + plu[t-hI-u[tl 1

I*

La fonction u &ant continue en t, il existe 6 > 0 tel que pour lhl c 6 on a lu[tl-u[t-hl) 'f). Donc pour tout h ~ [ 0 , 6 [ on a (43)

luftl-u[t-hll 6 2 j:-h[lf(TII*Mldc:

Par hypothase, 11 existe h n W tel que

+

P

~~-hI~(~1-51(lf(211+MldF

I:-hnlf

[ClIdr

solt born6

I

11 @n est de mOme pour

1 lu[tl-u[t-hnl I

et grace au lame 3.2. u[tl

E

D[Al.

hn

COROLLAIRE 3.2. Soit f E w ~ * ~ ( o , T ; Ha)t s o i t u, E D ( A ) . Alors il existe une solution f o r t e de 1'Quation" du Au 3 f , u(0) = uo t e l l e que u ( t )

E

D(A)

pour tout t E]O,TJ

,$ E

a:+

L'(0,T;H).

t $E

En effet, on sait grlce au theoreme 3.8. qua u[tl

E

L"(0,T;H) D(AI

, at d'aprbs la proposition 3.3, u eat lipschitzienne pour tout t E]O,T] sur [&,TI pour tout 6 > 0. C m e u est b variation bornbe sur LOIT] , on a E L'[O.TjH). Enfln on a [cf (2911 pour 0 C s 4 t < T ,

$

at par suite

Equations d'lvolution asociC8 wx op(rrtrunmonoton#

82

COROLLAIRE 3.3. S o i t f E L'(0,T;H) e t s o i t u une solution f a i b l e de 1'Quation + AU 3 f. On suppose que 1'ensemble des t E 3 0,T t e l s que

8

I

-

t

c

Sup If(S)lds +- s o i t au plus dembrable. h9 h>O Alors u e s t absolument continue sur [O,T] ( e t donc u est une solution f o r t e ) .

IIn

h>O sauf s u r u n EnSEmblE eu plus d6nombrable. Come on s a i t d o j & qua u Eat B

v a r i a t i o n born6e, on conclut B 1'aidE du c o r o l l a i r e A.5 que u est absolum s n t continue sur [O,T]

.

REMARQUE 3.10 LE c o r o l l a i r e 3.3. montre e n p s r t i c u l i e r que pour t o u t e

3

f o n c t i o n f E Lm[O.TiHI s t t o u t uo E =I, 1'6quation + Au 3 f , u(01 = u0 admst une s o l u t i o n f o r t e . 11 a e r a i t i n t e r e s e a n t de d 4 t ~ m i n E rsi CE r e s u l t a t s'Btend aux f o n c t i o n s f E L*[O,TiHI. Lorsque dim H < +l a reponme est a f f i r m a t i v e c o m e l e rnontre l e r e s u l t a t suivant I

PROPOSITION 3.8. Soit H un espace de H i l b e r t un operateur maximal monotone dans H. Soit + Au 3 f solution f a i b l e de l'equation [O,T) (donc en p a r t i c u l i e r , toute solution

$

de dimension f i n i e e t s o i t A f E L'(0,T;H) ; alors t w t e e s t absolument continue sur f a i b l e est une solution forte).

On u t i l l s e r a dans l a d t h o n s t r a t i o n l e l m s suivant qui pr6CiSE

1 E 1EINnE

3.4.

LEMHE 3.5. Soit H un espace de H i l b e r t de dimension finfe, C un convexe ouvert non vide de H e t K un compact contenu dans Alors il existe k > 0, t e l qua pour t o u t x E K, 11 existe 5 E C verifiant :

lz-EI'

- IX-5"

6 Iz-xl*

Yz

eT

83

Equations d‘holution eurociCs wx op6rateun monotones

DEMONSTRATION DU LEMME 3.5. Etant donne x E F, on d6signe par wz E s o m e t X , rx IEEH I [z-x , X-€1 4 o

-

rx le

a

cane convexe do

On va montrer que

I1 en resultera, puisque l a fonction x w Sup SEC est S.C.I.,

ce

[.-el

distCS.aC1 >

Inf Sup XEK w n r x

que

dist(S.ac1

Ix-sI

qul Qtablira l e l m e . fix6

S o l t donc x E

pour simplifier on

I

peut toujoure

se ramener au cas 00 x = 0. Solt C1 le cdne convexe de s o m e t x = 0

5

engendre p a r C. Pour tout

,

quand t C D

-

dist[tS’aC1 t

c

O’autre part si

5

dist[tS*ac) = t

dist[S,a

Enfin. solt

On a

X0% 1 to1

E

et

+

t

que

-

U

XM

BcCfl

X C C

C t

E

crott quand

t

+ 0,

E

10,d

on a

Lo C

.

B[S,pl

et solt I

10.11

pour

CI 4 dist[E,aC,)

p< dIst[E,aC,l,

B[~,flcC1

E

6 distrt‘,aC1

dist[S.aCI t

1. dist (6,ac, I

t E J0,1[

En effet. 11 est i m Q d i a t que si 6

et donc

dist (tt*ac]

E C. on a

= {UEH I [u-c[

gr8ce B l a compacit6 dE et donc

srS,pl, il

d i s t [ k E,aCl 3 f 0

En particuller

llrn dist[:E’aC1

3

t +o

1i r n t+O On en deduit quo sup

SEC

p , et

6p).

0

donc

distftcraC1 - dist[F,aC,l t

disttE,acl ,

IS1

sup

SEC

lim dist[tS,aCl tCO tlEl

I

existe

Equations d'bvolution auociks sllx op&ratwn monotoms

84

Oe mhe

On eet a i n e i ramen6 au caw 00 C set un

S o i t SEC

6,

et soit

E,-S

Par s u i t e

E

7

= Proj et

r0

F,

diet~So.aCl Montrons que

IS, I

E n effet,

soit

[s+pz,v)

ao

p'

diet[E,aCl

wv E

E

E

3.

J

aconvexe ouvert de e m e t 0.

on a donc [E0-E,v1

0

Wv E

r0

F + c CC. dist[E.aCI

IE I I

ro , wz E

on a donc

H

J

1.

6

.

S[E,p)CC

I.

Par s u i t e

I1 en r 6 s u l t e que

- (Eo-h,v1

[S,+pz.vl

+

~E+pz,vl 3 0

Donc B K , , , f I c c

et

Par cons6quent

diattSo,aC1 3 diet[E,aC1

di5t(Eo.aC1

k01

ro , wz E

H ;

1.

6

I.

dist(So.aC1 3f

dietKbaC1

>/

wv c

~ a r

et B fortiori

ISol 6 I61

IS1

.

DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION 3.8.

-

-

On peut t o u j o u r s se ramener au cas 00 I n t O(A1 = I n t O ( A 1 Z 0 ( c f c o r o l l a i r e 3.11.

et

K.-

existe

u[~O,T]I,

5,

IZ-Stl* dist[Et,3C)

11

O'aprBs l e lmne 3.4 applique avec C EXiStP

k > 0 t e l que pour t o u t t

E C v6rifiant lu[tl-Et12 d I z - u ( t l l 2

> k\u[t)-Et).

VZ E

, et

E

[o,TJ

f n t O[Al

,

il

Equations d'6volution a m c i h aux oc4ratwrc monotoner

On d6dult du c o r o l l a i r e A.5

que u est absolument continue sur [O,T]

[on

s a l t d 6 j r que u set B v a r i a t i o n born& d ' a p r b l e thlorhme 3.81.

On peut combiner lea techniques prhcedentes avec c e l l e s du 5111.4 I lndlquons 8 t l t r e d'exemple l e r l s u l t a t sulvant :

PROPOSITION 3.9

S o i t A un operateur maximal monotone e t s o i t 9 une fonction convexe s.c.i. propre t e l s que D(y)nI n t D(A) # 0. S o i t B un operateur maximal monotone doming par A + 3y.1 i.e. D(A) n O(V)c D ( B ) e t il exfste k < 1/2 e t w E CQR ;IR) t e l s que V x E D ( A ) r \ D(W) lBoxl 4 k I(A+ay)" XI + w ( l x l ) il existe Alors pour t o u t f E VB(0,T;H) e t t o u t uo E D ( A ) n r y ) , une solution f o r t e unique de l'equation + Au + Bu + a f ( u ) s f , u(0)=uo v e r i f i a n t A & E . L ~ ( o , T ; H ) e t t$+ LI(O,T;H)

$

On s a l t d'eprhs le c o r o l l a l r e 2.7 que A+* monotone avec O t A l n Q c & f l

= O[Alrr

F1,

est maximal

e t g r k e au c o r o l l a l r e 2.6..

t A + v l + B eat maximal monotohe. Sans restrelndre l a g l n 6 r a l l t 6 , on peut supposer que 0 E I n t O [ A l n OCay1 avec 0 E A 0 0 9 t O l q 80 e t MlnyhO Supposons d'abord que uo

E

O [ A l ~ O ~ e ~ t l s, o l t

ux l a

s o l u t i o n de l ' l q u a t l o n

dux dt

+

AuX

* &f[ux1

+

8Ux 3 4

,U~[OI

u0

, e t d'aprbs l a proposlt1,on 11911 L' on s a l t que ux est l l p a c h l t z l e n avec On a donc,

IF[tll dux

l u x [ t l l 4 luol

d 1f[O11

+

+

lBouol

+

lA0uol

+

IC~l"u,I

+

Var(fr[O.T]l

3.3.

Equations d'bvolution associder wx operatwn monotones

a6

d 6 f l n l t l o n de

T

- 1

9 ot

l a rnonotonls de A en 0 a t u,l

on a

a d t IUAI2

Oans l a suite, nous dhignerona par Ci diverses constantes dependant seulement de 11411

L'

, Var[f:[O.T])

et luol.

I1 r h u l t e du l m e 3 . 3 . que

ITdUX 1'

+

d x:*p[ull

= [f-Blul-a,

-x 1 d' dt

pap. sur]O.T[

1

Par cons4quent

Equations d‘kolution asrocidn wx opdratwrs monotones

Poaons

8 = Sup

e t integration

”)

Lo 3 sur $,TL

Bien que ce th6orhme

ess ti-d‘a dt

50it

(tlI

I

a7

on o b t i e n t a p r b s m u l t i p l i c a t i o n p a r t

prouve u l t e r i e u r o m e n t , 11 n’y

a p a s d a cercle v i c i e u x I

-

Equations d'bvolution rrsocibar wx op6rata~nmonotones

88

5

- COMPORTEMENT ASYMPJOTIOUE cqo,+-[

u E

Et

Solent A un opdrateur maximal monotone, f E LiOc[fO,*m[

I H I une s o l u t i o n f d b l e de l ' h u a t i o n

propose d'Btudler

l E

comportement dE

Notons d'abord que existent, a l o r s

pm,fol;lc A. 1";

~ u ( t + l l - u [ t l . u ~ t l - x 4l e t B l a l i m i t e quand y;(f,

t

-P

En

U(tl

81

EffEtr

lorsque t

$

* +m

llm f [ t l = 9,

+ AU 3 f .

.

e t e l llm u ( t l = urn

t*-

t*m

on a d'aprhs (271

~f~sl-y.u~el-xlds

U[x,y]

E

A

,

+-

um-xl % 0

V[x,y]

E A.

En general u [ t l n'edmet pee de l l m l t e quand t ++-

m&ne

Toutefols on peut B t a b l l r l ' e x l s t e n c e d'une l l m l t e p a r t l c u l l P r e a . Nous consld6rerone euccasslvement

-A

-

est

IS

mono,tone

L ' i n t 6 r i e u r de l'ensemble A-'fm

n'eat pas vide.

1R2.

sous certalnes hypotheses

~ E S 3

sous d i f f 6 r e n t i e l d'une f o n c t l o n convexe

-

f s Ll I 11 e u f f l t

par exemple de consldBrer l e cas 00 A e a t une r o t a t i o n de n/2 dana H

- A e s t fortement

jH1

On se

cam sulvants

I

89

Equations d'&olution w o c i h wx opdratwn monotom

lerrpne UJOI

-

L'estimation (461 a'obtiant c o m e dans lo d6monstration du

3.1. en notant que u ,

est solution de l'lquation

3

+

Au,

,u

Pour tout E > 0, il exlete N tel que

3

If(sl-f,l

c

T

p.p. sur

Bf,,

,

IN,*-I

On choiait ensuite to 0 N assez grand pour que

[~u[Ol-u,~

+

I!

eaalftsl-f,lds

EL? , On a alors pour t % to

4

L'estimation (471 s'obtient de la m h e manihre que (291. Pour tout E > 0, +il existe N tel que 1% [~]Idsd ~ / 2J on choisit ensuite to 3 N de sorte qua

IN

e-Oto [~(Au~Ol-f[01l0(+

CAS

ou

A =

ay Soit

!I

7 une

1

easI~[sllds d E/Z

fonction convexe 5.c.i.

c

de sorte que

-

En e f f e t soit g(ul = Mi+=

& +a p r u l s f - f, dt

0, K =

CVEH

prapre

'p [ul - (f,,ul-Min~rp(ul-(f,.ul~,

JF(V]=d

-

H

CVEH ;

yprv)ss=I

et

90

Equation1 d'kalution asrocidas aux op4rateurr monotones

L'exlstence d'une l i m i t s u t t l lorsque t

+ +-

s e t plus

d b l l c a t e 21 B t e b l i r . Nous aurons 21 suppoeer que ( 4 8 1 pour t o u t C Z R l'enrjemble

{XCH

I

w[xl

+

1x1' 6 C

1

e s t compact (fortementl.

Equations d'tolution associder aux Wrateurs monotones

91

Nous cornenpons p a r prouver l e theorbme 3.11 dens le cas 03 f[t]

I

.,f

S o i t donc v une s o l u t i o n [ f o r t e ) de 1'Bquation

soit

6

E K.

Ivrt1-61

On a

+

ay[v)3f,

+

et

IV~OI-EI.

lg[tl! O ( t - ' ]

O'autre p a r t

yc.9

\c

dv

quand t +

+m

d'aprbs le theoreme 3.10.

Or

d v

dt , 6 - v l

- y P [ v I ' Z [f,-

e t par s u i t s

LpE'

qJf(v[tl)c

+

If, - &tl d+v I

16-v(tl

I

A i n s i 4 [ v ( t I l + l v I t I l 2 demeure born6 quand t

+

+m

v[tnl

e s t r e l a t i v e m e n t compact. S o i t a l o r s tn + + m t e l que

$v [ t n l

a/[*rtnll 3 f,

+

d+v (tnl dt

e t que

+

;

+

, v

i

fv[t))t.O come

I1 en ce q u i prouve que lim v [ t ~=

0, on a f,

tat'

pour

,< Iv[t~]-v,l

r 6 s u l t e que Iv[tl-v,l

e t l'ensemble

E

a\pCv,l.

t++a

Revenons au cas g e n e r a l e t montrons que u [ t l e s t de Cauchy quand t

+

tm

1,+ m

Fixons E>O e t s o i t N t e l que

S o i t v [ t l l a s o l u t i o n de 1'6quation

a

On a pour t lu[tl

lu[t) Cornme

tbN

+

E.

v t 0 1 = u[Nl

~[v13f,,

N

- v[t-NI I d

Oonc s i

d

If[tl-f,ldt

et

lu(N1

-

t'dN,

on a

- ~ [ t ' lC l I v [ t - N I

v(0II

+

If,lf[sl

- v[t'-NII

+

- f,lds

6

E

2E

l i m v [ t l e x i s t e , on peut t r o u v e r M t e l que t++m

Iv[tl1

-

vtt211

<

E

pour

tl bM

11 en r e s u l t e que si t a M+N e t Enfin, on a pour t o u t E

urn

>

0.

E

K

puisque

Iu,

et

tp >,M.

t ' 3 M+N, on a

-1im v [ t l I t++ m

6

E

l u [ t ~-

I

u [ t ' ~6 3 ~ .

e t p a r s u i t e dist[u,,Kld~

V,

Equationscl'bvolution auocibaa t u x opbrateun monotones

92

CAS OU

I h t A'%,

+B

THEOREME 3.12 de10,

t&e

+-[

t++

u h k . On duppode que I n t A-lfpo P' 0. So& u une d + =+ Au

dt

3 f

-

So& f une donction ab6olunent cotttirure 6W 20u.t colnpact que fi $[tl E L ' [ O . + I HI de 6 0 t ~ t eque l i m f [ t l = f, o

~ den e'bQuCi.on

4 W J O . +-[

- f,

H

En e f f e t . snit Au =

I

-p I n t A f,

de s o r t e que

d+u

Au af-f,,

ReprenOnS la d h o n s t r a t i o n du th6orPme 3.8. avec vo E J on a alors O E ~ V pour Iv-vol L a s u i t e de la d6monstretion s e t donc valable avec

".

M = 0. En p a r t i c u l l e r , on a d ' a p r i a [421

/il$ldt

= Var[ur[O,T]l

*

4 /:lf[tl-f,ldt

1 ~U[Ol-v0l

+, / ~ l f ( t l - f , l d ~ 2

2p

e t d'aprhs [441 tld+u c [tl

Or

Id

JOldt[8l t & Id8

+

~ ~ I f ~ T l - f , ~ d tV 1 & -;

On v 6 r i f i e ais6ment que s i

quand t

+ +a

.

I,t

+-

( ~ 1 1 8d8

I$[ClIdE.

6 Ed f[ t l

E n f i n si t SltI E L1[O,+mrH1, t +

df

+

t dI dft [ s l l e de

E L1[O,+m~Hl

t alors /olf(el-f,lde

alore I

t ~olf[el-f,lds

d m e u r e born6 quand

+

0

93

Equations d'Bvolution auociber a x operateun monotones

Reprenent l a d h o n s t r a t i o n du th6orime precedent on a + 1 [[u[Ol-vol + ~ ~ l f [ t l - f m ~ d t ] 2

6 ~~lf"Cl-f,\&

Var[u~[O.T]l

-

e t l e aecond membre demeure born6 quand T

<

Var[u~[O,*=fl

et

+a

lim u ( t 1

t++"

[u [ t +Il-u [ t1,. u [ tI -XI 6 ":f

urn

+

em

. Par consequent

existe. E n f i n on a d'apr8s (271

W[X,YJE

[f(01-y,u (01-xldU

A

Paseant B l a l i m i t e quand t + + a , il v i e n t [frn-y,

6

urn-xl 5 0

V[x,yJ

E

A

e t donc

f,

E

Au,

- SOLUTIONS PERIODIQUES Etant donnes A maximel monotone e t f E L'[O,TIHI

*

on cherche

B resoudre l e problame dt

+

Au 3 f

, uIOl

= u[Tl

En e f f e t , s o i t c f t l e prolongment de A b ( c f Exemple 2.3.3.1

O d l = cu

E

2-L'~O,TIHI

-$.

e t s o i t J! I'op6rateur lin6eire de domains

W"2t0,T~HI

I

u[Ol = u ( T l f d e f i n l p a r &

Equations d'holution aosoeibr aux op6rateun monotones

94

On v b r i f i e aisement que S, erst maximal monotone dans Notonr que s l u s s t une a o l u t i o n f o r t e du problbme a l o r s d'aprhs l a p r o p o s i t i o n 3.3. t o u t t ELO,T]

I

Inversement si u E f o r t e du problhme

Au

+

2 lorsque

h

+

s s t born6 PUiSqUE 0641 n par des f o n c t i o n s

+

a u +fiu + w 3f. + w a f , a l m s u e s t une s o l u t i o n

&

u h l a s o l u t i o n de 1'8quation

Snit

et

Au + w 3 f , u [ O l = u [ T l ,

w 3 f, u(0l = u[T1.

on s a i t g r g c g au th60rhme 2.4. born6 dans

st

u E

+

+

u e a t l i p s c h l t a i e n e t u ( t 1 E D [ A l pour

Odln O[\A3 0[t1not& a t i u

donc

M.

3

R d + f l + w I I si

que f E

Lu,

+.$ux

+

wA

-

f

a t seulement si %uX

I

eat

0. I1 s u f f i t de montrer qua d!uh e s t born6 c a r

z

OC-%

C de

B [cf

I E ~

ux B2.51. On prolonga uXet f sur IR

p e r l o d e T. 11 e s t a i s e da v e r i f i e r que pour t o u t

ad3 on a

O'autre p a r t , on a pour t o u t h > 0

p.p.

surIR

O i v i s a n t p a r h e t passant & l a l i m l t e quand h + 0. on a

<

&[t11 d*;

I

a -w't-slI$$h[al

En p a r t i c u l l e r s i

8

= t-T+h

"I

+

pour t o u t

h > 0

.

on o b t i e n t a p r h passage b l a l i m l t e

4 Var[fi[O.T]l

[A-e-wTl@h[tll

Var[fi[s,t+h)l

+

l i m I~(T-EI-~[EII

E.y)

0 0 Comma ux

*u

dans

.d.e,

quand h

* 0, l e

pasaage

a

l a l i m i t e e s t imm8diat.

PROPOSITION 3.10 Soit A maximal monotone ; on pose C([O,T];H) x L'(0,T;H) ; u(0) u(T) e t u e s t solution Paible t Au 3 f 3 de l'equation

3=

([u,f]

E

$

Les propFi6tes suivantes sont Bquivalentes

Equationsd'Bvolution arrocih aux opdrateurs monotoner

iii)i l existe f,

du" f,

+

+

E

e t une solution forte un de l'gquation

W1* '(o,T;H)

b un(0) = un(T) tels que un dans L'(0,T;H)

Auh3fn

f

On a p o u r t o u t Eu,f]

-

E?

+

u dans C([O,T]i

H) e t

et t o u t c v , g l E F

~ ~ il r 6 s u l t e que jO(f-F: T , u - v l d t > / 1~ l u [ T l - v [ T l I ~ ~ ~ u ~ O I - V= [ 0O I ~d'oh

+[iil .

Iil

( i i i l a k i l sst i m n 6 d i a t e . il reste B p r o u v e r q u e

Come l ' i m p l i c a t i o n

(iil *[iiil.

e t s o i t hn

Soit h = f+u

4

Aun

wid'

,

un 3 hn

+

un[Ol

I1 e s t clair q u e l ' o n a p.p. d -1u dt

n

-u

m

[O.TiHI u n e s u i t e t e l l e que hn

*

1

Iu

+

-tl

n m

1

-

un[T1

sur ]O,T[

\< Ih -h 1. O'oP l'on d 6 d u i t q u e n m

.

I 6 i l - ~ ' ~ ~ ~ ~ ~ l h ~ ( t lI d- th , [p ta Ir c o n s e q u e n t un +: ] H I . R e p o r t a n t d a n s [ i i l v = un e t g = hn-un o n o b t i e n t

lun[tl-um(tl C(L0.T)

T I o [ f - h n + u n , u - u n l d t 3 0. /A[-u*z,

h dana

Grace au th4orame 3.14 il e x i s t s une s o l u t i o n f o r t e un d u problhme

L'[O,TIHI. dun dt

E.

u-;ldt

dans

e t d o n c apg-Bs p a s s a g e B l a limite

>c 0.

11 en r e s u l t 9 q u e

t

. I

u, e t d o n c [ i i i ~ est v b r i f i 6 .avec fn = hn-un.

THEOREME 3.15

exhte

xg

E

H

Soi% A un opehateun rntuimal monotone werrcid i . e . que lim

-

(Y,x-xol

Lt

+o

Ix' A&JW

pow^

*

Au 3 f

* dt

hut

f E L'[O,TIHI

, u[Ol = u [ T ) .

u ex.iAte

we doeLLtion daible du prtobehe

Equations d'Bvalution auoci(is5 wx opdriteurr monotones

80

On u t i l i e a r a dans l a d h o n s t r a t i o n le l m e suivant

LEMME 3.6

Soit A un operateur maximal monotone coercif. dun Soit f n E L'(0,T;H) e t soit un une solution faible de l'eqwtion

c+ Au, 3 . f,

On suppose que /ilfn(t)ldt 4< C1 e t lun(0)l-l~,,(T)Id Ces alors la Sufte u, est bornee unifonnhent sur 10sT'l, DEMONSTRATION DU LEMME 3.6. On se ramhe d'abord a i s b e n t au cas OD 16)s un sont des dU

solutions f o r t e s de l'bqustion Soit

+c1

L

s i [x,yl Fixons

+

A

E

Et

C~

Aun S f n

dt

+ n l x 0 l ~t o o m e A eat c o e r c i f il exiate R t e l que

1x1 3 R, alors

n, e t rnontrons q u ' i l

8~ l x - x ~ l

IY.X-X~I

EXi6tE

to E [O,T]

du On a u r a i t a l o r s t f n - p ,

un-xol

d6duit qua

6

~ u , t T 1 - x , ~ - ~ ~ ~ f O 1 - +x ~LT ~

< C1

LT

Par conbbqusnt

1;

L

E [O,T]

sur Jo,T[

p.p.

Llun-xol

I

d'oh l ' o n

Ifnldt

21x01

lu;tO1l-lun[T1l

+

~ u n ( t o l ]
t e l que

Vt

en e f f e t supposone que l u n t t l l 7 R

ce q u i est c o n t r a i r e

I

au choix da L.

Donc il e x i s t s to E l0,T-J soit

LE,~] E A

lun(tl-El

I

pour t

t e l que E

[to,fJon

d (unttol-S( IuntT1I 4

En p a r t i c u l l e r

lun[Oll 6 l u n [ T l l E n f i n pour t

E

+

R"

C, 6 R

+

l u n t t o ~6 l R a

(fn(s3-n(ds. 2lrl

2161

*

C1

2C,

ITllT IrllT-

I

et

on a

[O,T]

lun[t)-E/ d luntO)-Fl

+

1;

}fn[sl-r))de.

-

DEMONSTRATION DU THEOREME 3-15

-

On considhe l ' e p p l i c a t i o n S de O [ A l dans h i - m h e dhfinfe come s u i t

u[Ol = x

I

-

soit x E

on pose Sx

a

par un l a s o l u t i o n f a i b l e du p r o b l h e On a u,[~)

-

o t s o i t u 1~ s o l u t i o n faiblm du problho

u(T1. O'autre part, pour x

3

E OtAI fix6,

Au 3 f E

, u,fO1

s ~ + ' ( ~ Io t c o n @ s oat une contraction 11 v i e n t

2*

Au gf,

on d b i g n e

= SnIxl.

Equations d'bdution a$soci(israux op4rateun monotones

-

lun(Oll

lun(TII

-

ISnIxlI

-

lSn+l(%)l S ISn(x1

-

97

S n + ' ( x l l 6 Ix-S[xlI

On d e d u i t du lame 3 - 6 que Sn[xl demeure born6 quand n

*

+m

.

Le th6orerne 1.3 montre qua S admat au moins un p o i n t f i x e dane

o[Al.

COROLLAIRE 3.4.

Soit 9 une fonction convexe s.c.i. propre sur H ; on suppose que A = a\p est coercif. Alors pour t o u t f E L2(0.T;H) i l existe une solution forte du problbe t Au 3 f , u(0) = u(T) avec E LZ(O,T;H)

8

$

Cela r 6 s u l t e d i r e c t e m a n t du thBor8me pr6cedent combin6 au t h 6 o r h e 3.6.

REMARQUE 3.11

-Y

On t r o u v e r a une d h o n s t r a t i o n d i r e c t 8 du c o r o l l a i r e 3.4.

dens BREZIS

c g](proposition

11.111. O'autra p a r t l o r s q u e A

l'hypothba

d e c o e r c i v i t 6 est Bquivalente & l a p r o p r i 6 t 6 : "A est surjectif e t A-' borni" t c f p r o p o s i t i o n 2.14). Dens l e cas gBn6ral [A #

af

est

I c e t t a propri6t6

n ' e s t p a s s u f f i s a n t e pour B t a b l i r l ' e x i s t e n c e d e s o l u t i o n s p e r i o d i q u e s pour tout f H = rRP

E

[prendre p a r exemple pour A l a r o t a t i o n d e r/2 d e n s

L'(0,TjHI

et

T = 2W1.

COROLLAIRE 3.5.

+

I n t D(A) P. Alors pour tout f

$ t AU 3 f , u(o)

S o i t A un operateur maximal monotone coercif tel que

E

i l existe une solution forte du problW avec du E L~(o.T;H).

L=(O,T;H) U(T)

I1 s u f f i t d ' a p p l i q u e r le t h 6 o r h e 3.8. et 1s c o r o l l a i r e 3 . 3 .

08

Equations d'kolution a r r o c i h wx ophtwrs monotones

7 -PUOPRIETES DE CONVERGEHCE On Btabllt que l'appllcation qui a {A,f,uo) falt correspondre du la solution u d e l'equation + Au 3 f , u(01 = uo est continue en un sens dt ?I preciser.

-

PROPOSITION 3.11

e t uo,x

E

Soient A un operateur maximal monotone, f H tel que uOBx + uo quand h + 0.

E

L'(0,T;H)

Soient ux e t u les solutions respectives des aquations

dux 5 + A x ~ x=

f

~ x ( 0 =)

8

uo,x

8

Alors uXconverge uniformhent vers u sur tout compact de ]O,T] uo E D(A), alors ux converge uniformhent vers u sur uo,x E uo E D(A) et si f E VB(O,T;H), alors $x + pour tout 1 c p <

et

+m

Supposons d'abord quo u Posons a(t1 = f ( t + O l

I dtl~X(tl-u(tl12 d =

-

9

(tl

xx

E

~

P ,uo ~E

O(A1

et que f

E

VB[O,TJHI.

Auctl. On a

-(A u (tl-a(tl, ux(tl-u(tll

-X~AX~X(tl-a(t~,AXuX~tll

1 ~ t ~ a ( t l ~ 2 - ~ A X ~ X ~ t l ~ 2 - ~ A x u x ( t \
Donc

. Si

Equations d'6volution associbes aux op6rsteurr monotones

Appliquant c e t t e e s t i m a t i o n en s u b s t l t u a n t A = AX+,,

[A,,lx

I IAX+,,

-

uXtp

Au ,,

On en d e d u i t que

I IL 2 [ 0 . T ~ H I l A,~,1I2 I IAXuA11L 2 [ 0 , T i H I

I l A p J IL2[O,T,HI

Enfin

car

demeure born6 dans dt r 6 s u l t e de l a m a j o r a t i o n

E

a

A e t en u t i l l s a n t 1 ' 6 g a l l t 6

1f[t+OlI

lf(0+011

+

Soient f E VB[O,TiHI

et

d b c r o f t e t comne

Ax

3

4 %

dans LP[O.TlHl

quand

X

4

drX

I

pour t o u t l
0 , L ' s s t l m a t l o n (501

/Aouo/ f V a r ( f i [O.T]l

Supposons maintenant qua f E L'(O.TiH1 v

X

on c o n c l u t que A ' u t e t don-

Lm(O,TiHI

-*

L210.T~HI

c r o I t lorsque

IlallLZIO,T~Hl

converge dans L2[0,TiH1.

la(tl1

lJ

[cf p r o p o s i t i o n 2.61 on o b t i e n t

Go E O t A I

-

e t uo E O [ A l .

e t soient

vX

e t v les s o l u t i o n s r e s p e c t l v e s

des dquatlons dv dt x- -* dV dt

--*

AXvx

Av

-

-

4

f

3 f

,

vX[O1 = uo

,

v t o 1 = uo

N

e

On a

I L'tO.TiH1

On en d b d u l t que

c e t t e d e r n i b r e expression pouvant rendue a r b i t r a i r e m e n t p e t i t e .

Nous aurona b a r o i n dans l a s u i t e de la d h o n s t r a t i o n dee

l m e s suivants :

Equations d'hdution a r v l c l h aux op6rateurr monotonas

loo

LEMHE 3.7 S Q i t uo t

A u =0

,

E

ux(0)

H e t s o i t ux l a solution de 1'Bquation 5

uo. Alors on a

LEMME 3.8.

Soit uo E

H a t soient uXet u les solutions respectives

equations dUX

+ AAuL

=0

ux(0)

8

uo

Alors JhuA converge unifonnhent vers u sur [O,T] L2(0,T;H) pour tout T c +o Soit +

AV

3 0. ~ [ O I =

6E 5.

OCAl

Et

On a P.R.

e t ux

.*

u dans

s o i t v l a s o l u t i o n de I'Qquation

des

Equationrd'kolutionarrocibr aux optatsun monotones

Or [Aaux [tl, JXuX[tI

-

v[tll & ~ A o v ~ t l , J X u X ~ t l - u ~ t lpar I monotonie d e A

et [AXuX[tI, d J u [ t l l dt A A

-

-

$

-(z(tl, JXuA(tl1 g 0 par monotonle de J x .

Par consequent

O'autre part

I1 en r6sulte que

Le second metnbre de cette ln6galltB pouvant Btre rendu arbltralrement petit (en prenant 5 voisin de Projb[A1uol on obtlent

101

Equationsd'holution asroeides aux ophteurs monotonn

102

FIN DE LA DEMONSTRATION

DE LA PROPOSITION 3.10

S o i t 6 > 0 f i x 6 e t supposons que

Consid6rons

+

+

e

j o l f [ r ~ I d t<

€14 e t posons

Jo,eC

suc @.TL

,

fq

AxVA

v ~ ~ O u0 I

Av 3 f,

E~O,TI

t

D'aprBs l e I E ~ E3.7, vl v[tol E 'n

=I, ttl

l i m sup n++m

v dans L ~ [ O , ~ I H I qUE

v

II

I

11 e x i s t e donc t 0 6

[ t o ]-h

V[tol.

d b d u i t [de la p a r t i e d6j$"&ablie

n : +

+

E x t r a i t s d e in tElS

Une S u i t e l.l

que v

+

v lea s o l u t i o n s r e s p e c t i v e s des Bquations

Et

On a, pour

Et

ux ne converge pas > a e t in CI

Alors il existe E

t e l que

5ur

f[tl

Soient Vx

dVX dt

o < e < 6

I"

f,ltl =

.

sur [s,T]

u n i f o n h e n t vers u

u n i f o r m b e n t sur [to,T]

vttl

111.1 -.I\ 'n

L Ito.TiHI

, CE

e

COltXTS

de l a p r o p o s i t i o n 3.101

q u i irnplique

e/2. On a r r i v e a i n s i B une c o n t r a d i c t i o n

THEOREME 3.16 An e t A deb OpehatewLd -m

SO&iertt f n e t f 0 L'[O,TiHI,

-.

uon E O(Anl e t uo E

doecLtl4ylb tjaibtes kebpectiues

dun dt

du dt

+

A",,

- + A ~ 3 f

3fn

G .SO&&

des &puatbu

,

un[Ol

,

U ~ O 1=

-

uon

uo

.

mOno;eOnes, Un E t U

eeb

Equationsd'holution a u o c i k wx op6rateun monotow

-

Nous comengons par considerer l e cas OD f n

> a fix6

Soit

I

poaons y = [I + AA1-'uo

Soient v, vX, vn e t v dt

% * AXVX dt -

n::

,

Av 3 0

.?

.?

0

Anvn 3 0

, yn

-

f :0.

[I+& Anl-'u0.

~ lee , solutions ~ respective8 des Qquations

v[Ol = y

VX[01 = y

,

vn[O1

y,

On a

I1 nous r e s t e e n f i n a estimer I ~ ~ , ~ t t l - v Q ~ t lyn-yl t l l

+

t

0. et

puisque A t

IA;

V ~ , ~ ( S I - A ~ V ~ ~, S I ~ ~ S

eat l i p s c h l t z i e n de rapport

x1

Equations d'hlution

104

MIocih wx op&rsteunmorotonw

On dedult du lemne de Gronwall-Bellman [lemne A.41 quo

On notera que v A ( t l E

o(a)

.

pour t o u t

grace au th4orPme 1.4.

t E [O,T]

I 1 r 6 s u l t e alors de l'hypothhse (521 que pour A

uniformement sur [o,T]

fixe

Av :X

+

AAvA

11 v i e n t enfin

Cette dernlhre quantit6 pouvent B t r e rendue arbltralrement p e t i t e quand

A

+

0, on en d6dult le r e s u l t a t .

Oans le cas g6n6ral. s o l t S = &H

I

[I+X[A"-~I)-'z + ( I + X I A - ~ l I - l z

S o l t g une fonctlon en escalier

, WX >

0

,

Wz E O [ A l )

B valeurs dans S. Conelderoris

sur IO,T]

les solutions respectlves wn e t w dss Bquations

dwn + Anwn dr:

3g

*d + t Aw3g

,

wn[O1 = uon

,

w(0)

-

uo

Le r B s u l t a t precedent applique successivement sur chaque l n t e r v a l l e de [O,T]

oh g est constant montre que wn

+

w

u n l f o n h n t sur rO,T]

Enfln on a

I bn-4I

LO)[O,T IHI

6

I lg-fnl IL' [O,TIHI

119-fll

L' (0,TI

HI

I Iwn-wI I

0)

L (O.TiH1

Cette dernlhre quantlte peut a t r e rendue arbltralrement p s t l t e d'apr8a

le l e m e A.O puisque f [ t ~ c s p.p.

s eSt

sur Jo,T[

(on v b r i f i e e i s h e n t quo

fElWl6).

REMARQUE 3.12 L'hypothese r52l est hldemnent a a t i a f a l t e lorsque

~I+xA~I-'~

+

[I+AA)-'~

pour t o u t

x

> o e t t o u t z c H.

106

Equatlom d'hrolution d b wx oP6rateun mon0toI"S

8

- DIYERSES GENERALISATIONS Une grande p a r t l e des r 6 s u l t a t s q u i precedent s'Btendent

B des op6rateurs q u l ne sont pas n6cessalrement maxlmaux monotones. Noue envisagerona brlevement deux exemplea

8

1'1 cas d'un op6rateur maximal monotone perturb6 par un operateur l i p s c h i t t i e n

2 O I cas d'un operateur monotone (non maxlmall t e l que R [ I + A A I s o l t nhrmolns "assez" grand.

1') PERTURBATIONS LIPSCHITZIENNES

THEOREME 3.17 Soh& et

uo

A

(UI

monohne, w >

Op~%&erCrr ma%&&

0

,f

E L'[O.TiHI

ED[Al.

$

(531

A c o u U U t e une AoLution &JbLe unLque de L'@quLtion +

Au

- wu 3 f,

u(01 = u0.

S l u e t v sont deux solutions de (531, on a d'aprhs (261

luitl-V[tlI Donc

6

lu[Sl-v[sll

+

W

/:

-

lu"f~-V"ClldT

pour t o u t

0 6 S d t C T-

l u ( t ) - v ( t l 6 ewt~u~O1-v(O1~O, ce q u l 6 t a b l i t l ' u n i c l t 6 . Conslderons l a s u i t e i t e r a t i v e d g f l n l e par : u o [ t l

et u

n+1

dt

I Uo

eat l a s o l u t i o n f a l b l e de l ' l q u a t i o n

+ AU+ ,,

3f

+

wn,

U,+~(OI

-

u0

Grace b (261 on a ~

urti~ - u n [+t i

I~.c< 1:

~ S Ids I

pour

O S t 4 T

,

n b l .

Equations d'dvolution associh aux opirateurs monotonen

106

I1 en results que la e u i t a un converge unlform&ent sup [O.T]

Vera una

f o n c t l o n u q u l e s t s o l u t i o n f a i b l e de 1531, Supposons que f E VB [O,TiHI

u est s o l u t i o n f a i b l e de l ' l q u a t i o n g = f

+

wu

E

VE[O,T;Hl

$

+

I

Au 3 g

e l u est lipschltzlen, alors

avec

ug

e t d'apras l a p r o p o s i t i o n 3 . 3 . .

E OCAl.

I n v e r s m e n t supposons que uo E O [ A I e t reprenons l a s u i t e i t b r a t l v e un. D'aprhs l a p r o p o s i t i o n 3 . 3 . . ui tout t

E

I &U-n[+t ll l

6 I-[011 +

CB

est lipschltzien,ddrivable

b d r o l t e en

et

[O,T[

var[f;lo.TJ)

+

Var(f

+

w ~ t d+un' [ s ~ l~ d s

Wn.[O,tll

+

q u i d6montre l e theoreme par passage

a

\< l [ f [ 0 + 0 1 + ~ ~ - A u ~ ~ ~ ]

1

~

l a llmlte.

REMARQUE 3.14. Soient A un op6rateur maximal monotone e t B un opbrateur l i p s c h l t z l e n d d f l n l sur

*

- D(AI. Le

thboreme 3.17 permet de rdsoudre l ' d q u a t l o n

-

+ Au + Bu 3 f. ulOl uo E O t A l . I1 s u f f i t de remarquer que A+B = A1-wI dt d w est l a constante de l i p s c h l t z de 6 e t A, A+B+wI e s t un op6rateur maximal monotone d'aprbs la p r o p o s i t i o n 2.15.

PROPOSITION 3.12

Soient 9 une fonction convexe s.c.4. propre sur H a t B x dans H , vgrifiant

une application de [O,Tl

(54)

51 existe w a 0

o(y)

tel qua 1B(t.xl)-(B(t,x2)( d wlxl-x21 Vt

(55)

pour tout x

E

E

LOIT]

t

VXltXz E

o(g)

o(g),l'application t * B(t,x) appartqent i L'(0,T;H)

Equations d'bvolution anociCes aux opbrsteurs monotoner

Alors pour tout uo $(t)

E

q, il existe une solution unique u de 1 'equation

+ ay(u(t)) + B(t,u(t))30 4~ $(ti

telle que

107

f

u(0) = uo

L~(o,T;H)

on vdrjfie "ec!:zment que pour tout u E C[[O,T]JH1 on a B[t,u[tll f L'[O,TIHI. ConsldQrans l a suite Iterative un ddflnie par uo[tl et uncl eat' la solution de 1'6quation [tl dt

+

-

~ [ ~ ~ + ~ [ t B[t,un[tll, l13 un+,[O1

-

i

uo dont l'exlstence est

assurea par le theorhe 3.6. On a

Iun+l [tl-un[tl I 4 1018[~.Un(s11-B[s,~n-1 t (91 Ids \< et par suite

W

nl

~~lun[sl-un-, (sl Ids

lun+,[t~-untt~lQ [wtl" ( I ~ l - u o l l

LOD

I1 en results que un converge unIform6rnent sur [O,T]

-

solution fsible de l'lqustion

$

+

vtu~ B f , ~ [ O I uo avec fttl

On conclut B l'aide du th6orhme 3:6. g[tl

E

-

vers u qui est une

~[t,u[t~~.

que u est une solution forte et qua

L'[O,TiHI.

REMARQUE 3.15.

-

On falt les hypothases de le proposition 3.12 avec de plus Minyl. 0 et yP(vol 0. €0 suivant l a rnethode utillsee dans l a dhanstration du th6orhme 3.6. et en introdulsant l e polds e-2wt on montre que

PROPOSITION 3.13 Soit A un operateur maximal monotone tel que Int(D(A) # I et soit B une application de [O,T] x D(A) dans H verifiant (56) il existe o a 0 tel que lB(t1x1)-B(t1x2)I 6 W ~ X ~ - X ~ Vt~ c[O,T]

(57) pour tout x

E

D(A),

,

Vxl,x2

E

D(A)

l'application tt+ B(t,x) appartient 1 Lm(O,T;H)

uo

Equations d'lvolution aasocl&er aux o&ateun monotones

108

Alors pour tout uo de 1 'equation $(t)

+ AU(t)

t

E

D(A), i l existe une solution unique u

B(t,u(t))3 0

E

W'*'(O,T;H)

~ ( 0 a) u0

La d6monstratlon s e t s m b l e b l e

a

c e l l s de l a p r o p o e l t i o n

3.12 male on conclut c e t t e f o i e B , l ' a l d e du c o r o l l a i r e 3 . 3 .

Indlquone e n f l n 18 r 6 e u l t a t euivant de convergence dont l a d h o n a t r a t l o n e s t une v a r l a n t e de c e l l e du th6orbme 3.16.

PROPOSITION 3 . 1 4 f,

et f

E

Soient An $ J des operateurs maximaux monotones, uon E D(An) e t uo E D(A), w 3 0.

L'(O,T;H),

Soient u, et u les solutions respectives des dquations

On suppose que uon

( I + x A ~ ) - ' ~+ (I+AA)-&

+

uo

f,

+

-

f dans L'(0,T;H)

VA >

o

et

vz

Alors u, converge vers u uniformhent sur [ODT] 2') CAS D'UN OPERATEUR MONOTONE NON MAXIMAL

et E

H

109

Equations d'bvolution asmci6es aux op6rateurs monotones

-

Soit S

-

{YEH

1

[I+X[A-yll[C~O[All3C

u

L'op4rateur A

aIK[-e

A +

YX

> 01

e t par hypothese fctl E S

On v 6 r i f i e a i s h e n t qua S e s t ferm6,

-

P * P - SurjO,T[

s e t l ' u n l q u e prolongement maximal monotone de

ayant son dopslne contenu dans O [ A l n C .

A,; z De p l u s (Ax-Y]"

[ E G G Ax-yl'

a

E

VX

AX-y

l'operateur B = A l z

En e f f e t pour y E S,

-

-

E

O[AIAC

O [ A l A C = conv O [ B l , R[I+hBI 3 C 3 On d k d u l t de l a p r o p o s i t i o n 2.19 que o [ A l n C I-

c

B = wa1-D[Ak,C

-

, Wy

E S.

y e s t monotone ferm6 e t v e r l f f e e s t ConVeXe e t e s t l ' u n i q u e prolongement

= A , ~ - Y + ~ =I A+aImc-y ~ ~

maximal monotone de B ayant son domalna contenu dans O ( A I q C . Oe p l u s pour

x

E

061 "

O(A1AC.

on a [Bl'x

= [Xx-yIO = [ c x v A x - y l o E Ax-y.

E n f i n on montre a l s b e n t que

O t A j T C = D [ A I / I C. S o i t u l a s o l u t i o n f a l b l e de 1 ' 6 q u a t l o n

* dt

+

u:

3f

On a u [ t l E

,

u[Ol = uo

-

%I

.

O[AlAC

Lorsque to E[O,T[

pour t o u t t E [O,T].

-

p o i n t de Lebesgue B d r o l t e da f, on a d'une p a r t f [ t o + O l fermk e t d ' a u t r e p a r t u [ t o l E OCXl

E

s l e t seulement s i u a s t

O[AlnC

d 4 r l v a b l e a d r o l t e en to I dans ca cas on a + d u --[to) dt = [f[to+Ol Au!tOIl0 = ( f [ t o + O l ZV A u ( t o 1 ~E f " c o + O l

-

."

s e t un

S car S est

-

- Au[to?

on s a i t que uo E O ( i l = O [ A l n C si e t seulement 6: du u e s t l l p s c h l t z i e n n e . Oonc sous cas hypotheses 1 ' 6 q u a t l o n + Au 3 f, u[Ol=uo

Lorsque f E VB[O,TJH),

admet une s o l u t i o n f o r t e . Oans l e cas g e n e r a l oil f E L'[O,TjHI

et f[tl

E

S p.p.

considare une s u i t e f,, Be fonctlonm en e a c a l i e r sur [O,T]

S t e l l e s qua Cn Soit

Uon

:,".

+

E O(A)nC

f dans L'[O.TIHI t e l We

Uon

sur ]O,T[

B

, on

v a l e u r s danm

[ c f lemne A.01. +

Uo

e t s o i t un l a s o l u t i o n [ f o r t a ) d e

1' h u e t i o n

-

Aun3 fn

un[Ol = uon

A l o r e un converge u n i f o r m h e n t sur [O.T] ~ l u t I o n ( f a 1 b l a l de 1'Qquatlon

2*

Au 3 f

vers u q u l s s t ( p a r d 6 f i n i t i o n l

, u(01

. I

u0.

Equations d'bvoiution associb aux opdrateurr monotonet

110

REMAROUE 3.16 On f a i t 1es h y p o t h h e s du th6orPme 3.16. de 1'6quatlon

Au 3 f avec f

s o i t un p o i n t de Lebesgue ER

to. Alora u [ t o )

a

E O[AI

E

L'[O,TJHI.

S o l t u une s o l u t i o n f a i b l e Supposone que to E]O,T]

Notons que u e s t une s o l u t i o n f a i b l e de l ' b q u a t l o n

-

so+ d

Au b f

lemme 3.2 nous obtenons seulement u ( t o l E Dcx1 = O C A I n C f[to-Ol

- $ % t o )E A u [ t o l ,

gauche

gauohe de f e t que u s o l t d e r i v a b l e d- u e t &to] E f ( t O - O l - A u ( t 1, I

grhce au

et

ce q u l eat l n s u f f i s a n t . Pour conclure l a

d h o n s t r a t l o n nous u t i l i s e r o n s l a methode sulvente Posons, pour

IY[XI~

X-m

X >

Come f [ t o - O l avec xh E

d-u 0, y7CXl = ~1( u ( t o - A l - u [ t o l l+ &to],

de s o r t s que

= 0.

~ i m

-

S, il e x i s t e d'eprhs l'hypothhse (581 [xx.yJE

E

c tel

que

u(to-X)

on a grace B [271

xx

*

X(yX- f[t;-0)1.

A

~ u i s q u e~ X , y 'Xx, ~ ~

Par consequent

[bt d -u ~ t o l . u ~ t o l - x X
[fIto-Ol-yx

,

u(tol-xxl

,

d'oh

E n f i n come A eat ferme on a d u

[ t o ]E dt

f[to-Ol

- Au(tol.

REKARQUE 3-17 La conclusion du t h e o r h e 3.19 demeure InchangBe s l remplace l ' h y p o t h b e "A monotone" par "il exists, monotone".

[Cf

5>

01

0 t e l que A * w I s o l t

Erezis [6J th(5orhes3 e t 4 1

REMARQUE 3.18 Lee conelddratlone p r b d d e n t e e sont a u s s i v a l s b l e s pour

le p r o b l b e pbrlodlque. Indiquone B tltre d'exemple lo r 6 s u l t a t s u i v a n t :

111

Equations d'kolution asrocides aux opdrateurs monotones

So it A un opbratsur ferme t e l que [y1-y2,x1-x2~

3 wIx1-x212

~b,.y~l t A,

w > 0. ~ " ; x ~ ,E yA ~ avec ~ Soient C

un

convexe ferm6 e t f c VB[O.TIHI

-

t e l s que p e p . sur]O,Tr

~ I * X ~ A - f ~ t l l ~ ~ C r l O [ A 1 l > CWX > 0. Alors l ' bquat i on

$

Au 3f

, utO1

u [ T l admet une sol ut i on f o r t 8

lips chi t zi enne e t u [ t l E C pour to u t t E lO,T].

,