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Influence de la non uniformite du gauchissement sur les contraintes de torsion et de flexion dans les poutres composites
MECHANICS RESEARCH COMMUNICATIONS Voi. 20(6), 519-526, 1993. 0093-6413/93 $6.00 + .00 Copyright (c) 1993
Printed in the U.S.A. Pergamon Press Ltd.
INFLUENCE DE LA NON UNIFORMITE DU GAU~HISSEMENT SUR LES CONTRAINTF~ DE TORSION ET DE FLEXION DAN'S LES POUTRES COMPOSITES J.M. SEGURA- J. GAMBELIN- R. CLAMENS Laboratoire de G6nie M~canique, Universitd Paul Sabatier, 50 chemin des Mamichers, 31077 TOULOUSE
(Received 21 January 1993; acceptedfor print 19 February 1993) INTRODUCTION La prise en compte de la variation de gauchissement se traduit par rapparition de ¢ontraintes suppldmentaires " auto-Ckluilibrantes" non m~gligeables au voisinage des sections encastr¢~. Le ph(:nom~ne a dtd surtout ~audi~ en statique pour les profiles minces homog~:nes travaillant en torsion (cf. TIMOSHENKO [4]) et en dynamique pour les sections quelconques par D.GAY [5]. Une m~thode d'dvaluation approch6e de ces contraintes a dtd dlabor~ plus r~cemment pour les probl~mes de flexion et torsion des poutres composites de sections quelconques (J.M. SEGURA [2] et [3] ): la contrainte nonnale Gxx -la plus importante due fi la variation de gauchissement- dtait prise sous ia forme ¢Y~x= f(x)s(y,z) avec f ( x ) = Y-~.i~,,kfk (x) Ofi ies fonctions fk(x) ~taient "donnc~es" et ot~ ies valeurs optimales des Xk dtaient obtenues ~ I'aide d'un dtt~or~me d'Energie Potentielle. Un calcul variadonnel bas~ sur ce m~me thUd:me permet ici une ddtermination "optimale" de la fonction f(x) sans utiliser de "d~eloppement". Deux exemples font trailds pour une poutre homogdne et une poutre composite bicouche. 1- DONNEES ET HYPOTHESES 1.1- G~m~trie Les poutres sont cylindriques, de gdndratrioes ~ra|l~l~ ~t i de longueur L, de sections initiales et terminales T.0 et Z i, de surface lat~rale ~. La secdon courante Z, composde de n couches isotropes ~, est de forme quelconque en torsion mais a (M;.~) comme axe de sym~trie g6om~trique et m6canique en flexion.
xo
I
~
x,
.:"- ...... k-:) .......... x ~" L
1.2- Efforts et contraintes locales
Les forces volumiques sont nulles, les forces agissant sur ~ sont normales/I i e t ies contraintes (Oyy, Oyz, O'zz) sont ndglig6es devant (Oxx, O~y, Oxz). C
1.3- D~placements a)- Torsion: M 6"tam le centre ~lnstique de Z et P point courant tel que M ~ -- y~ + z i , on pose: t](P)= ttxi+ ~y~+ tlzi
~(P)= eX^O-~+~,+~
(l)
• (y,z) eat la fonction de gauchissemcnt ddfini¢ par D.GAY[I]: elle est harmonique dartschaque ~ et sa d~riv~e normale v~rifie certaines conditions de "saut" aux interfaces. 0(x) est la rotation moyenne telle que: _
I
0(x)-~-~!
(
y~z-Zlty)dS; (GI)---~Gi(y'+z')dS
ft.(
(2)
(~(x) est la mesure de gauchissement telle que O(x) = , I , [
E i ~ x d S . ( E l ¢ ) = j Ei(D2dS
(3)
Le vecteur "reste" TI esl colnpos~ du "surgauchissement" llx(X,y,z), (fonction impaire en yet en z en torsion), et des ~...arts de rotation [~y, rlz] n6glig~s devant ~x 519
520
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
b)- Flexion (sans traction) Ona: [to(x) avec
l
l ~(P)= ~/xX+ //YY+ ~/z~ [~(P) = -yo~(x)i + v(x).~ + ~
(4)
(5)
(6)
fEiy~dS
~ (Elz)~ / ( E i z ) = !Eiy2dS
et
v(x)= I - - - ~ [ G i * g . d S ' ( G S ) = f G i d S (GS)~ ~' ' "r
Le vecteur "reste" ~ est compos6 du "gauchissenlent" -0x(x,y,z), (fonction paire en z en flexion), et des d6formations darts le plan de E, Dly, rlzl, n6glig6es devant rl× 2- TtlEOR1EME DE L'ENERGIE POTENTIELLE
Ce th6or~me est 6tabli pour des champs statiquement admissibles "localement" e! "globalement" (c'esth-dire &luilibrant respectivement le moment de flexion ou de torsion (cf. J.M. SEGURA [2] et [31 ). On suppose 6galement que les sectious extr6mes sont soit "libres", soit "simplement appuy6es" (au sens de la flexion ou de la torsion ) soit parfaitement encastr6es (cf. J.M. SEGURA [21 et I31 ).
[...]
Panni les champs admissibles (~xx;°'x~ ; G
le champ r6el [~xx; Gxy; Gx~] c'est-`5-dire celui qui v6rifie les
lois de comportement de l'61asticit6 lin6aire &:rites `5 partir des champs de d6placements pr&:6dents est l'unique champ qui rend maximun la fonctionnelle "Energie Potentielle" not6e l~psuivante:
!I I
Ep--- dx
xx + x ' y x~ Ei Gi
II dS
(7)
La d~monstration de ce th6or6me fait appel `5 un "th6or+me des travaux virtuels" 6tabli pour les clmmps de contraintes admissibles et les champs de d6placements pr&:6dents satisfaisant `5 l'hypoth~se formul6e sur le "reste" ~ consistant :~ n4gliger [rly, ~zl devant qx 3- CHAMPS ADMISSIBLES: MISE EN EVIDENCE DE LA FONCTION g(x) CARACTERISANT L'INFLUENCE DE LA NON UNIFORMITE DU GAUCHISSEMENT
[...]
On d&:ompose tout champ admissible Gxx;Ox,j,ox~
en la somme d'un champ admissible
particulier [op ] e t d'un champ "auto-~quilibranff [6"] d6pendant lin6airement d'une fonction g(x) et de sa d6riv&: g'(x), fonction qui sera d6termin6e ~ l'aide du th6or~me de l'Energie Potentielle. Ix: champ "auto-&luilibrant [6"] s'&:rit de mani+re identique en torsion et en flexion: 6"~ =g(x)s(y,z); Gxy = g'(X)ty(y,z); 6"~ = g ' ( X ) t z ( y , z )
(8)
off la fonction s(y,z) v~rifie:
(9)
J's(y,z)dS = J'ys(y,z)dS=J'zs(y,z)dS = 0 E E E
I1 a 6t6 6tabli (cf. J.M. SEGURA [21 et 131 ) que routes les fonctions s(y,z) sont obtenues `5partir des fonctions f(y,z) contizmes par morceaux dans 52par l'application lin6aire l(f) dont l'expression lift) darts chaque c°ucheEiestlasuivante:
l,(f)=f_
E, JfdS- Ely JvfdS- E,z fzfdS (ES) E (EIz) E" (Ely) E
(10)
La construction de ly(y,z) et tz(y,z) effectu6e `5 panir de sLv.z) est expos6e dans les r6f~rences [21 et [3I. On exprime l'6quilibre, en projection sur x. de prismes de Iongueur 616mentaire "dx" el de faces parall~les ,5 you ~'l z, ces faces ayant par ailleurs des dimensions "finies" ou "61&ncntaircs" Les champs lop ] 6quilibran! les efforts exl6rieurs ont la forme suiwmte:
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES
521
*en ,or ion' ona:
(11)
av~
~,-- r ~ ( x ) ~ ; ~, - - - m ( x ) ~
(12)
off 171(x)d6signe ie couple de torsion (variable avec x) et o6 la fonction ~ ( y , z) est nulle sur le bord de E et v~rifie: 2j" Wds = 1 (13) E * ~.n flexion: T(x) et M(x) d6signent respectivement l'effort tranchant et le moment fl6chissant et ~(y,z) une fonction nulle sur le bord de Y on a: [~p] = [Sx :,~y;,~z] (14) S× = - {E-~z} M(x)y avec
tXy = T(X)Sy (Y) +T(×) ~-~ ~
(15)
x z = T(x)s z (y, z) - T ( x ) ~ La constnlction de Sy(y)et Sz(y,z) est faite ~ partir de techniques analogues h celles utilis6es pour ty et tz.. 4- CHAMPS OPTIMAUX- DETERMINATION DE g(x) Un calcul variationnel s'appuyant sur le th6or~me de i'Energie Potentielle permet d'6tablir que g(x) est une solution d'une &luation diff6rentielle qui a role forme analogue en torsion et en flexion, on trouve ailtsi: 41- En torsion: * 6~luation de champ:
d~gdx 2 -°t2g(x) ='1~ d~dx pourx ~ ]0, L[
(16)
* conditions aux limites: si i'extr~mit6 est libre ou simplement appuy6e au sens de la torsion on a: g(0)= 0 (ou gO.,)= 0) g'(0)=-llt--~m(0)
si elle est parfaitement encastr6e on a: * e ,ress ons des co ta ,e
[oubien g ' ( L ) = - ~ t ~ r ~ ( L ) ]
(17)
(18)
Iltll:
l
~,2_ UsU~ -I'~
aw (19)
2_
s2(Y,z)
~
-'
Gi 13= ~-i ty--~--
(20)
[itu2=f ty~+tz ' tie
(21)
d~
4.2- En flexion:
* &luation de champ:
d2----~g -¢x2g(X)dx 2 = -[(s, t) + y]-~x T. pour x~ ]0, L[
(22)
* conditions aux limites: si Pextr~mit~ est libre ou simplement appuy~e on a: g(0)= 0 [(s,t) +y] dT si elle est parfaitement eucastr~e on a: g'(0) = itS2 dx
(on g(L)= 0)
(23) (24)
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
522
t
rSyly
+Szlz
* expressions des constaates T et (s,0
(25)
~[ = !-~ii [ty ? -
tz ~-~-] d~
5- A P P L I C A T I O N S Elles ont dt~ faites pour uric section carr6e homog~ne sollicit6e en torsion et pour une section rectnngulaire bicouche sollicit6e successivement en torsion et en flexion. En ce qui conceme la poutre bicouche sollicit6e en flexion les rdsultats obtenus ne sont pas pr6sent6s car ils montrent que la prise en compte de la variation de gauchissement eat d'une influence n6gligeable sur les valeurs des contraintes, I'~ca_rt 6tant inf6rieur fi 5% en dehors d'un "voisinage" de l'encastrement correspondant 5% de la longueur de la poutre. 5.1- P o u t r e h o m o g ~ n e cart%e sollicit6e en torsion
l..e.,s calculs analytiques ont ~t~ men~s
"~, la
main" et
les rdsultals
onl fair I'objet d'une v~rification A
I'aide du Iogiciel de calcul par d6ments finis "ALGOR/CADSAP". Iogiciel adapt6 aux probl~mes d'61asticit~ tridimensionnelle.
La poutre, de section carr6e de c~t6 2b, encastr~e sur E~ est soumise h tin couple de torsion ~ i stir Zo. I.~
choix
s ( y , z ) = y z [ y X - z ~] e t ~ = a - - ~ a [ b ~ - y = ] [ b a - z =
] conduisent aux contraintes admissibles
ff*x =g(x)yz[Y xz2]
10;, : 8='(x)~[b'-yq[b"y'--2=q-9~[b~- ,q
suivantes:
(26,
l< = La raise en oeuvre de la mdthode expos~e donne pour g(x) la forme optimale de ~ ( x ) : sh 3x ./'~-
(27,
b~E La v~rification pr6sent~e ci-dessous correspond ~ L = 20b. Seules les variations de °xx sont repr6sent6es-au voisinage de rencastrement pour x= 0.95 L, x = 0.97 L e t x = 0.98 L ainsi que son 6volution pour x> = 0.95 L. H 6q5. e62 A !;4| .aTil 8 [email protected]
contraintes normales Oxx pour x= 0.95L
1011.:
/
',
contrainles normales O ~ pour x = 0.97L
C 231.EG7 0 77. L:~kSe -o -77°2q5 -C -~Si . ~
?
-g41.07
L -695.66
__-%
\
O "'
O
O\
~I
0
H. 6 ~ S 4 . 5 8 A 4flG4.~2
'
-
e 5474.66 c 2~04 .'Tq o 694. ~51 o -e94,95
- c -~84.7 - B -~474.e
I -A -4964.G I L, - 6 2 5 4 .
t
i
j'
/
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES contraintes normales oxx pour x=0.98 L
523
contraintes normales Oxx 6volution pour x >= 0.95 L H, 58iSqfl. E
-A• c o - 0
Iz
."
~qoGq. I ~tl~/. q 127°~.7 426~5.5q -42~5.5
- C : L~Tq~.
- o -21527.
- A -2qOGq. .I._ -505':19___~.
I" x
v A 8 c o - 0 -
."
1.76+~ 1.2e÷~ 744~.G 24017.5 -24017.
c -744K~.
-8 -L.e-B5 - A -t .o+B~ L. - 2 . e 4 ~ 5
5.2- Poutre rectangulaire sollicit~e en torsion Les calculs ont pour la plupan ~t~ d~velopp~s en utilisant t
un logiciel de calcul formel (of. "MA'ITIEMATICA'[6]). Les dimensions sont i n d i q u ~ sur ia figurcli-contre:
...~1
..........
v=d
] X
~ ..........
Z
>
.>
I
•
c
L i-¢
On a d'apr~s D. GAY [1]:
a=
,
+h ]2
2
-a 2e
J (28)
Eth I +E2h 2
On choisit pour s(y,z) ies expressions: sl(y,z)= Etyz clans la plmse • et s2(y,z)= F_.zyzdarts la phase@. ~ , (y, z) = 2 kG! [y +a][y - x][ z 2- ¢2] La fonetion "~(y,z) a pour expressions:,
|
(29)
V'2 (Y,Z) =-~kG2 [Y-d][y-lt][z 2- e2]
Les valeurs de %et ~ sont obtenues en 6crivant ~ I'interface y~ c, d'une part la continuitd de relation:
~_.1 G2 = i3~2 ~y ,-,]
, d'autre part la (30)
La valeur de k s'obtient A l'aide de [ 2 ~ d Z = 1 Z En introduisant les variables adimensionnelles (X, Y, Z) et les constan[es adimensionnelles (K,0,S,~,¥), x=LX;y=HY; z=eZ suivanles: a = K H . d = 0 H : c=SH -la=~-H: x=¥H
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J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
On a pour les champs admisibles les expressions suivantes: o ' : = EIHeYZ -plmse(!)
~ * = l E l H2eZ[K~-y2]dg(X)+ITIRGIH2e[Y+K][Y-~]Z t x'y 4 L ~ dX . . . .
(31)
~x~ = E2HeYZ
o~y=~_E 1 H2c 2 __L__Z[02_ y , ] dg(X) +~ZkG2H,e[V_0][y_~]Z
- plmse
(32)
dX
/°":
1
,~e
.
dg(X) +i'tlkG2 Hie Y -
[I_Z=]
Valeur optim~le de g(X') On suppose -E- =] - - =Gp] E2 G2
+,x>=
On trouve alors ia forme optimale:
(33)
[L J]
H
ol~ e = - -L est r~lancement. Les expressions analytiques des constantes (A, B) sont tr~s complexes et tiennent sur plusieurs iignes clmcune.
Apolicationl; nom6riques
1].
1-Etude de g(X)
a)- cn fonetion de l'dancement e
;5/
~(X)
Le graphc donne les variations de EIH5 ~(X) pour EI/F~= G]/G2= 0.5; hi=0.7 H et E] = 2,6 G]
b)- cn fonction de p= EI/F_~=GI/G2 et q=
hl/H
Les graphes sont trac6s avec une 6chelle logarithmique en ordonn6es. tOO0
p= 2
I
o
~o~6.~'e~j "h"~c'°"~f
oox
--6 1.
:tO
I.
1o
,) + ~ "
/ J
p= 10
:to o. oo: ....
-"
--9
I
•
:to -:t2 -15
x.
I
xo
-19
0
0.2
0.4
0.6
O.e
I
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES
525
2- Etude des contramtes au voisinage de I'encastrement: X = O.95
Les donnc~esinvariables sont les suivantes: El/E2= Gt/G2= 10; hi= 0.7 H; X= x/L= 0.95 et El= 8.6G I. Z varic sur [-1; +llet Y war [-0.755; -0.0551 clans la phase 0) et [-0.055; +0.2451 darts la phase 12), rintervalle ayant mae amplitude de 1. a)- Etude de o'xr On a repr~,ent~ clans clmque phase la variation de
20aOo Y
--10
- ° "~
/
/
~xx Etg(X)
1
--20
--0.~
0
--1
b)- Etude du cisaillement. Seule ~
-1
= ty +Ty est repr~sent~e, off ty est la part due au gauchissement. On a
tmc~ darts la phase (D I'f~'volutionde ty,• Tyet ~ y et pour la phase q) on a settlement trac~ le graphe de a*.. s,7
ly
~xy
(*
-1 xy
526
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
c)- Interpr6tation. Les graphes prec6dents montrent: 1°: ]es valenrs importantes, all voiginage de l'encastremenl, des contraintes normales compar6es aux contrainles de cisaillement: dans la phase O la valeur de cr×xcst pr6s de 5 fois sup6rieure/t la valeur maximale de crx~.. 2°: l'influence mod6r6e du gauchissement sur les valeurs de
~xy : de l'ordre de 20%. Notons que lc
gauchissement tend toutefois i~ diminuer Cr×y
CONCLUSION. La variation du gaucltissement, pratiquement sans effet dans les probl6mes de flexion, dolt 6tre prise en compte dans les probl6mes de torsion et phts particuli6rement dans les poutres composites off peuvent apparaitre au voisinage de l'encastrement des contraintes normales plus importantes que celles de cisaillemem, le gauchissement tendant d'ailleurs/t dimilmer ces derni6res.
REFERENCES. [1] D. GAY, Mat6riaux composites. Herm6s 1991 (3 ° edition) [2] J.M. SEGURA, "Effects of warping variation on the evahiation of axial and shear stress ill straights beams subject to flexure, lilt. J. Engng Sci. Vol 29- n°26 p 769-781 (1991) [3] J.M. SEGURA, "Evaluation des contraintes dans le probl~me de torsion non uniforme de poutres composites", actes du Congr6s Franqais de M6canique, Paris, Septembre 1991 (tome 1, page 173-176). [4] S. TIMOSHENKO, R6sistance des Mat6riaux, Tome 2: Dunod [5] D. GAY, Th~se de Doctorat d'Etat, UP.S_ Toulouse (1979) [6] MATHEMATICA, "A system for doing mathematics by computer", Wolfram Research lnc, 100 Trade Center Drive Champaign, IL 61820-7237, U.S.A.
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INFLUENCE DE LA NON UNIFORMITE DU GAU~HISSEMENT SUR LES CONTRAINTF~ DE TORSION ET DE FLEXION DAN'S LES POUTRES COMPOSITES J.M. SEGURA- J. GAMBELIN- R. CLAMENS Laboratoire de G6nie M~canique, Universitd Paul Sabatier, 50 chemin des Mamichers, 31077 TOULOUSE
(Received 21 January 1993; acceptedfor print 19 February 1993) INTRODUCTION La prise en compte de la variation de gauchissement se traduit par rapparition de ¢ontraintes suppldmentaires " auto-Ckluilibrantes" non m~gligeables au voisinage des sections encastr¢~. Le ph(:nom~ne a dtd surtout ~audi~ en statique pour les profiles minces homog~:nes travaillant en torsion (cf. TIMOSHENKO [4]) et en dynamique pour les sections quelconques par D.GAY [5]. Une m~thode d'dvaluation approch6e de ces contraintes a dtd dlabor~ plus r~cemment pour les probl~mes de flexion et torsion des poutres composites de sections quelconques (J.M. SEGURA [2] et [3] ): la contrainte nonnale Gxx -la plus importante due fi la variation de gauchissement- dtait prise sous ia forme ¢Y~x= f(x)s(y,z) avec f ( x ) = Y-~.i~,,kfk (x) Ofi ies fonctions fk(x) ~taient "donnc~es" et ot~ ies valeurs optimales des Xk dtaient obtenues ~ I'aide d'un dtt~or~me d'Energie Potentielle. Un calcul variadonnel bas~ sur ce m~me thUd:me permet ici une ddtermination "optimale" de la fonction f(x) sans utiliser de "d~eloppement". Deux exemples font trailds pour une poutre homogdne et une poutre composite bicouche. 1- DONNEES ET HYPOTHESES 1.1- G~m~trie Les poutres sont cylindriques, de gdndratrioes ~ra|l~l~ ~t i de longueur L, de sections initiales et terminales T.0 et Z i, de surface lat~rale ~. La secdon courante Z, composde de n couches isotropes ~, est de forme quelconque en torsion mais a (M;.~) comme axe de sym~trie g6om~trique et m6canique en flexion.
xo
I
~
x,
.:"- ...... k-:) .......... x ~" L
1.2- Efforts et contraintes locales
Les forces volumiques sont nulles, les forces agissant sur ~ sont normales/I i e t ies contraintes (Oyy, Oyz, O'zz) sont ndglig6es devant (Oxx, O~y, Oxz). C
1.3- D~placements a)- Torsion: M 6"tam le centre ~lnstique de Z et P point courant tel que M ~ -- y~ + z i , on pose: t](P)= ttxi+ ~y~+ tlzi
~(P)= eX^O-~+~,+~
(l)
• (y,z) eat la fonction de gauchissemcnt ddfini¢ par D.GAY[I]: elle est harmonique dartschaque ~ et sa d~riv~e normale v~rifie certaines conditions de "saut" aux interfaces. 0(x) est la rotation moyenne telle que: _
I
0(x)-~-~!
(
y~z-Zlty)dS; (GI)---~Gi(y'+z')dS
ft.(
(2)
(~(x) est la mesure de gauchissement telle que O(x) = , I , [
E i ~ x d S . ( E l ¢ ) = j Ei(D2dS
(3)
Le vecteur "reste" TI esl colnpos~ du "surgauchissement" llx(X,y,z), (fonction impaire en yet en z en torsion), et des ~...arts de rotation [~y, rlz] n6glig~s devant ~x 519
520
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
b)- Flexion (sans traction) Ona: [to(x) avec
l
l ~(P)= ~/xX+ //YY+ ~/z~ [~(P) = -yo~(x)i + v(x).~ + ~
(4)
(5)
(6)
fEiy~dS
~ (Elz)~ / ( E i z ) = !Eiy2dS
et
v(x)= I - - - ~ [ G i * g . d S ' ( G S ) = f G i d S (GS)~ ~' ' "r
Le vecteur "reste" ~ est compos6 du "gauchissenlent" -0x(x,y,z), (fonction paire en z en flexion), et des d6formations darts le plan de E, Dly, rlzl, n6glig6es devant rl× 2- TtlEOR1EME DE L'ENERGIE POTENTIELLE
Ce th6or~me est 6tabli pour des champs statiquement admissibles "localement" e! "globalement" (c'esth-dire &luilibrant respectivement le moment de flexion ou de torsion (cf. J.M. SEGURA [2] et [31 ). On suppose 6galement que les sectious extr6mes sont soit "libres", soit "simplement appuy6es" (au sens de la flexion ou de la torsion ) soit parfaitement encastr6es (cf. J.M. SEGURA [21 et I31 ).
[...]
Panni les champs admissibles (~xx;°'x~ ; G
le champ r6el [~xx; Gxy; Gx~] c'est-`5-dire celui qui v6rifie les
lois de comportement de l'61asticit6 lin6aire &:rites `5 partir des champs de d6placements pr&:6dents est l'unique champ qui rend maximun la fonctionnelle "Energie Potentielle" not6e l~psuivante:
!I I
Ep--- dx
xx + x ' y x~ Ei Gi
II dS
(7)
La d~monstration de ce th6or6me fait appel `5 un "th6or+me des travaux virtuels" 6tabli pour les clmmps de contraintes admissibles et les champs de d6placements pr&:6dents satisfaisant `5 l'hypoth~se formul6e sur le "reste" ~ consistant :~ n4gliger [rly, ~zl devant qx 3- CHAMPS ADMISSIBLES: MISE EN EVIDENCE DE LA FONCTION g(x) CARACTERISANT L'INFLUENCE DE LA NON UNIFORMITE DU GAUCHISSEMENT
[...]
On d&:ompose tout champ admissible Gxx;Ox,j,ox~
en la somme d'un champ admissible
particulier [op ] e t d'un champ "auto-~quilibranff [6"] d6pendant lin6airement d'une fonction g(x) et de sa d6riv&: g'(x), fonction qui sera d6termin6e ~ l'aide du th6or~me de l'Energie Potentielle. Ix: champ "auto-&luilibrant [6"] s'&:rit de mani+re identique en torsion et en flexion: 6"~ =g(x)s(y,z); Gxy = g'(X)ty(y,z); 6"~ = g ' ( X ) t z ( y , z )
(8)
off la fonction s(y,z) v~rifie:
(9)
J's(y,z)dS = J'ys(y,z)dS=J'zs(y,z)dS = 0 E E E
I1 a 6t6 6tabli (cf. J.M. SEGURA [21 et 131 ) que routes les fonctions s(y,z) sont obtenues `5partir des fonctions f(y,z) contizmes par morceaux dans 52par l'application lin6aire l(f) dont l'expression lift) darts chaque c°ucheEiestlasuivante:
l,(f)=f_
E, JfdS- Ely JvfdS- E,z fzfdS (ES) E (EIz) E" (Ely) E
(10)
La construction de ly(y,z) et tz(y,z) effectu6e `5 panir de sLv.z) est expos6e dans les r6f~rences [21 et [3I. On exprime l'6quilibre, en projection sur x. de prismes de Iongueur 616mentaire "dx" el de faces parall~les ,5 you ~'l z, ces faces ayant par ailleurs des dimensions "finies" ou "61&ncntaircs" Les champs lop ] 6quilibran! les efforts exl6rieurs ont la forme suiwmte:
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES
521
*en ,or ion' ona:
(11)
av~
~,-- r ~ ( x ) ~ ; ~, - - - m ( x ) ~
(12)
off 171(x)d6signe ie couple de torsion (variable avec x) et o6 la fonction ~ ( y , z) est nulle sur le bord de E et v~rifie: 2j" Wds = 1 (13) E * ~.n flexion: T(x) et M(x) d6signent respectivement l'effort tranchant et le moment fl6chissant et ~(y,z) une fonction nulle sur le bord de Y on a: [~p] = [Sx :,~y;,~z] (14) S× = - {E-~z} M(x)y avec
tXy = T(X)Sy (Y) +T(×) ~-~ ~
(15)
x z = T(x)s z (y, z) - T ( x ) ~ La constnlction de Sy(y)et Sz(y,z) est faite ~ partir de techniques analogues h celles utilis6es pour ty et tz.. 4- CHAMPS OPTIMAUX- DETERMINATION DE g(x) Un calcul variationnel s'appuyant sur le th6or~me de i'Energie Potentielle permet d'6tablir que g(x) est une solution d'une &luation diff6rentielle qui a role forme analogue en torsion et en flexion, on trouve ailtsi: 41- En torsion: * 6~luation de champ:
d~gdx 2 -°t2g(x) ='1~ d~dx pourx ~ ]0, L[
(16)
* conditions aux limites: si i'extr~mit6 est libre ou simplement appuy6e au sens de la torsion on a: g(0)= 0 (ou gO.,)= 0) g'(0)=-llt--~m(0)
si elle est parfaitement encastr6e on a: * e ,ress ons des co ta ,e
[oubien g ' ( L ) = - ~ t ~ r ~ ( L ) ]
(17)
(18)
Iltll:
l
~,2_ UsU~ -I'~
aw (19)
2_
s2(Y,z)
~
-'
Gi 13= ~-i ty--~--
(20)
[itu2=f ty~+tz ' tie
(21)
d~
4.2- En flexion:
* &luation de champ:
d2----~g -¢x2g(X)dx 2 = -[(s, t) + y]-~x T. pour x~ ]0, L[
(22)
* conditions aux limites: si Pextr~mit~ est libre ou simplement appuy~e on a: g(0)= 0 [(s,t) +y] dT si elle est parfaitement eucastr~e on a: g'(0) = itS2 dx
(on g(L)= 0)
(23) (24)
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
522
t
rSyly
+Szlz
* expressions des constaates T et (s,0
(25)
~[ = !-~ii [ty ? -
tz ~-~-] d~
5- A P P L I C A T I O N S Elles ont dt~ faites pour uric section carr6e homog~ne sollicit6e en torsion et pour une section rectnngulaire bicouche sollicit6e successivement en torsion et en flexion. En ce qui conceme la poutre bicouche sollicit6e en flexion les rdsultats obtenus ne sont pas pr6sent6s car ils montrent que la prise en compte de la variation de gauchissement eat d'une influence n6gligeable sur les valeurs des contraintes, I'~ca_rt 6tant inf6rieur fi 5% en dehors d'un "voisinage" de l'encastrement correspondant 5% de la longueur de la poutre. 5.1- P o u t r e h o m o g ~ n e cart%e sollicit6e en torsion
l..e.,s calculs analytiques ont ~t~ men~s
"~, la
main" et
les rdsultals
onl fair I'objet d'une v~rification A
I'aide du Iogiciel de calcul par d6ments finis "ALGOR/CADSAP". Iogiciel adapt6 aux probl~mes d'61asticit~ tridimensionnelle.
La poutre, de section carr6e de c~t6 2b, encastr~e sur E~ est soumise h tin couple de torsion ~ i stir Zo. I.~
choix
s ( y , z ) = y z [ y X - z ~] e t ~ = a - - ~ a [ b ~ - y = ] [ b a - z =
] conduisent aux contraintes admissibles
ff*x =g(x)yz[Y xz2]
10;, : 8='(x)~[b'-yq[b"y'--2=q-9~[b~- ,q
suivantes:
(26,
l< = La raise en oeuvre de la mdthode expos~e donne pour g(x) la forme optimale de ~ ( x ) : sh 3x ./'~-
(27,
b~E La v~rification pr6sent~e ci-dessous correspond ~ L = 20b. Seules les variations de °xx sont repr6sent6es-au voisinage de rencastrement pour x= 0.95 L, x = 0.97 L e t x = 0.98 L ainsi que son 6volution pour x> = 0.95 L. H 6q5. e62 A !;4| .aTil 8 [email protected]
contraintes normales Oxx pour x= 0.95L
1011.:
/
',
contrainles normales O ~ pour x = 0.97L
C 231.EG7 0 77. L:~kSe -o -77°2q5 -C -~Si . ~
?
-g41.07
L -695.66
__-%
\
O "'
O
O\
~I
0
H. 6 ~ S 4 . 5 8 A 4flG4.~2
'
-
e 5474.66 c 2~04 .'Tq o 694. ~51 o -e94,95
- c -~84.7 - B -~474.e
I -A -4964.G I L, - 6 2 5 4 .
t
i
j'
/
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES contraintes normales oxx pour x=0.98 L
523
contraintes normales Oxx 6volution pour x >= 0.95 L H, 58iSqfl. E
-A• c o - 0
Iz
."
~qoGq. I ~tl~/. q 127°~.7 426~5.5q -42~5.5
- C : L~Tq~.
- o -21527.
- A -2qOGq. .I._ -505':19___~.
I" x
v A 8 c o - 0 -
."
1.76+~ 1.2e÷~ 744~.G 24017.5 -24017.
c -744K~.
-8 -L.e-B5 - A -t .o+B~ L. - 2 . e 4 ~ 5
5.2- Poutre rectangulaire sollicit~e en torsion Les calculs ont pour la plupan ~t~ d~velopp~s en utilisant t
un logiciel de calcul formel (of. "MA'ITIEMATICA'[6]). Les dimensions sont i n d i q u ~ sur ia figurcli-contre:
...~1
..........
v=d
] X
~ ..........
Z
>
.>
I
•
c
L i-¢
On a d'apr~s D. GAY [1]:
a=
,
+h ]2
2
-a 2e
J (28)
Eth I +E2h 2
On choisit pour s(y,z) ies expressions: sl(y,z)= Etyz clans la plmse • et s2(y,z)= F_.zyzdarts la phase@. ~ , (y, z) = 2 kG! [y +a][y - x][ z 2- ¢2] La fonetion "~(y,z) a pour expressions:,
|
(29)
V'2 (Y,Z) =-~kG2 [Y-d][y-lt][z 2- e2]
Les valeurs de %et ~ sont obtenues en 6crivant ~ I'interface y~ c, d'une part la continuitd de relation:
~_.1 G2 = i3~2 ~y ,-,]
, d'autre part la (30)
La valeur de k s'obtient A l'aide de [ 2 ~ d Z = 1 Z En introduisant les variables adimensionnelles (X, Y, Z) et les constan[es adimensionnelles (K,0,S,~,¥), x=LX;y=HY; z=eZ suivanles: a = K H . d = 0 H : c=SH -la=~-H: x=¥H
524
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
On a pour les champs admisibles les expressions suivantes: o ' : = EIHeYZ -plmse(!)
~ * = l E l H2eZ[K~-y2]dg(X)+ITIRGIH2e[Y+K][Y-~]Z t x'y 4 L ~ dX . . . .
(31)
~x~ = E2HeYZ
o~y=~_E 1 H2c 2 __L__Z[02_ y , ] dg(X) +~ZkG2H,e[V_0][y_~]Z
- plmse
(32)
dX
/°":
1
,~e
.
dg(X) +i'tlkG2 Hie Y -
[I_Z=]
Valeur optim~le de g(X') On suppose -E- =] - - =Gp] E2 G2
+,x>=
On trouve alors ia forme optimale:
(33)
[L J]
H
ol~ e = - -L est r~lancement. Les expressions analytiques des constantes (A, B) sont tr~s complexes et tiennent sur plusieurs iignes clmcune.
Apolicationl; nom6riques
1].
1-Etude de g(X)
a)- cn fonetion de l'dancement e
;5/
~(X)
Le graphc donne les variations de EIH5 ~(X) pour EI/F~= G]/G2= 0.5; hi=0.7 H et E] = 2,6 G]
b)- cn fonction de p= EI/F_~=GI/G2 et q=
hl/H
Les graphes sont trac6s avec une 6chelle logarithmique en ordonn6es. tOO0
p= 2
I
o
~o~6.~'e~j "h"~c'°"~f
oox
--6 1.
:tO
I.
1o
,) + ~ "
/ J
p= 10
:to o. oo: ....
-"
--9
I
•
:to -:t2 -15
x.
I
xo
-19
0
0.2
0.4
0.6
O.e
I
TORSION ET FLEXION DES PUTRES COMPOSITES
525
2- Etude des contramtes au voisinage de I'encastrement: X = O.95
Les donnc~esinvariables sont les suivantes: El/E2= Gt/G2= 10; hi= 0.7 H; X= x/L= 0.95 et El= 8.6G I. Z varic sur [-1; +llet Y war [-0.755; -0.0551 clans la phase 0) et [-0.055; +0.2451 darts la phase 12), rintervalle ayant mae amplitude de 1. a)- Etude de o'xr On a repr~,ent~ clans clmque phase la variation de
20aOo Y
--10
- ° "~
/
/
~xx Etg(X)
1
--20
--0.~
0
--1
b)- Etude du cisaillement. Seule ~
-1
= ty +Ty est repr~sent~e, off ty est la part due au gauchissement. On a
tmc~ darts la phase (D I'f~'volutionde ty,• Tyet ~ y et pour la phase q) on a settlement trac~ le graphe de a*.. s,7
ly
~xy
(*
-1 xy
526
J.M. SEGURA, J. GAMBELIN and R. CLAMENS
c)- Interpr6tation. Les graphes prec6dents montrent: 1°: ]es valenrs importantes, all voiginage de l'encastremenl, des contraintes normales compar6es aux contrainles de cisaillement: dans la phase O la valeur de cr×xcst pr6s de 5 fois sup6rieure/t la valeur maximale de crx~.. 2°: l'influence mod6r6e du gauchissement sur les valeurs de
~xy : de l'ordre de 20%. Notons que lc
gauchissement tend toutefois i~ diminuer Cr×y
CONCLUSION. La variation du gaucltissement, pratiquement sans effet dans les probl6mes de flexion, dolt 6tre prise en compte dans les probl6mes de torsion et phts particuli6rement dans les poutres composites off peuvent apparaitre au voisinage de l'encastrement des contraintes normales plus importantes que celles de cisaillemem, le gauchissement tendant d'ailleurs/t dimilmer ces derni6res.
REFERENCES. [1] D. GAY, Mat6riaux composites. Herm6s 1991 (3 ° edition) [2] J.M. SEGURA, "Effects of warping variation on the evahiation of axial and shear stress ill straights beams subject to flexure, lilt. J. Engng Sci. Vol 29- n°26 p 769-781 (1991) [3] J.M. SEGURA, "Evaluation des contraintes dans le probl~me de torsion non uniforme de poutres composites", actes du Congr6s Franqais de M6canique, Paris, Septembre 1991 (tome 1, page 173-176). [4] S. TIMOSHENKO, R6sistance des Mat6riaux, Tome 2: Dunod [5] D. GAY, Th~se de Doctorat d'Etat, UP.S_ Toulouse (1979) [6] MATHEMATICA, "A system for doing mathematics by computer", Wolfram Research lnc, 100 Trade Center Drive Champaign, IL 61820-7237, U.S.A.