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Sur la diffraction d'une onde plane par un reseau infiniment conducteur
Volume 4, n u m b e r 1
OPTICS COMMUNICATIONS
SUR
LA
DIFFRACTION
UN
RESEAU
D'UNE
INFINIMENT
ONDE
September 1971
PLANE
PAR
CONDUCTEUR
D. M A Y S T R E et R. P E T I T Laboratoire d Optique Electromagn~tique, Universit~ de Provence, Centre de Saint-J~rOme, 13 Marseille 13~, France
Rec, u le 3 mai 1971
We suppose here that the incident wave-vector k is not perpendicular to the grating grooves. The method we propose leads to two integral equations ver3., s i m i l a r to those encountered in the c l a s s i c a l case where /( is p e r p e n d i c u l a r to the grooves. Some computation has already been achieved on the UNIVAC 1108 computer, they are in good a g r e e m e n t with the conservation of energ3,. L e s d i f f ~ r e n t s a u t e u r s [1_4] q u i ont t r a i t ~ n u m ~ r i q u e m e n t c e p r o b l ~ m e s e s o n t l i m i t , s au c a s ot~ le v e c t e u r d ' o n d e i n c i d e n t e s t o r t h o g o n a l a u x g ~ n ~ r a t r i c e s du r ~ s e a u . N o u s r ~ s u m o n s i c i l a m ~ t h o d e q u e n o u s a v o n s m i s e au p o i n t p o u r le c a s g ~ n ~ r a l de l ' i n c i d e n c e q u e l c o n q u e . L e s n o t a t i o n s s o n t r ~ s u m ~ e s s u r l a fig. 1: le r ~ s e a u de p a s d = 2 v / K e s t l a s u r f a c e c y l i n d r i q u e d ' ~ q u a t i o n y = f ( x ) d o n t l e s g ~ n ~ r a t r i c e s s o n t p a r a l l ~ l e s ~ O z . I1 e s t ~ c l a i r ~ p a r l ' o n d e p l a n e t l l ( x , y , z ) de n o m b r e d ' o n d e s k: H i : A exp [ik ( a x - BY + v z ) ] = ~ i ( . y ) e x p [ i k ( u x +
aA x-BAy+vA
z = 0 ,
yz)] ,
a2 +B2 +~2 = 1 .
(1) (2)
On a p p e l l e c h a m p d i f f r a c t ~ l a d i f f e r e n c e e n t r e le c h a m p t o t a l et le c h a m p i n c i d e n t d e s o r t e q u e , d a n s le m ~ t a l , n o t r e " c h a m p d i f f r a c t S " e s t l ' o p p o s ~ du c h a m p i n c i d e n t . E n a d m e t t a n t l ' u n i c i t ~ de l a s o l u t i o n , on p e u t m o n t r e r q u e l e s c h a m p s d i f f r a c t ~ s / / d et ~ d s o n t , c o m m e le c h a m p i n c i d e n t , de l a f o r m e : /-/d(x, y, z) : ~ ( x , y) exp [ i k (ax + ~ z )] ,
(3)
,Y
F
r.
/////////': S Fig. 1. 97
Volume4. number 1 Ed(x. y,z)
-(
OPTICS COMMUNICATIONS
September 1971
+ ~z)] ,
(x,y) exp[ik(ax
(4)
off ~ e t ( s o n t d e s f o n c t i o n s p 6 r i o d i q u e s e n x . de p 4 r i o d e d . S i p e s t le v e e t e u r de c o m p o s a n t e s (a, O, ~), l e s 6 q u a t i o n s de M a x w e l l m o n t r e n t q u e clans le c o m p l 6 m e n t a i r e de :~: 17/~ ~ +
ikp
ITA d
+ikp
/~ ~
- -ioo6 0 ~
A ~ =ico#0~
I7.9~+i/ep.9~=0
(5)
.
(6)
,
,
s o i t , en t r a i t a n t ~ et ¢' e o m m e d e s d i s t r i b u t i o n s ? : 17A~ + ikpA~ 17A(
- - i w ¢0 ( + hAOg~ 89~
iw~0~+~Aa~.
+ikpA{
17 . ~ + ile p . ~ -
69e .
(5') (6')
(7 ')
h.ag~6c ~
off ogt et a ¢ r e p r O s e n t e n t l e s s a u t s de ~g et ( l o r s du f r a n e h i s s e m e n t du r 0 s e a u d a n s le s e n s du v e e t e u r u n i t a i r e h de s a n o r m a l e . E e r i v a n t le e o u r a n t s u p e r f i e i e l j s o u s la f o r m e j -J exp[ik(ax+yz)], les e l a s s i q u e s r e l a t i o n s de p a s s a g e d o n n e n t :
.~,o~ = J,
,~-o~ =0 .
et f i n a l e m e n t ,
au s e n s d e s d i s t r i b u t i o n s :
I7,,~+
ikpAg~
- - iW6 0 ( +aoc~
[7,,, ~
+ ikp',(
17 • ~ +
i#p" ~-
,~A% = o ,
(5")
- icObLO~ , 0
(8)
(6") (7")
.
U n e ~ t i m i n a t i o n f a s t i d i e u s e de I l'equation aux dOrivOes partielles: Ag{+k2(1-a2-72)~+
2ika ~9~x
e n t r e (5") et (6"). c o m p t e t e n u de (7"), m o n t r e q u e ~ s a t i s f a i t
: - [ 7 A J 6~e - ikp,,,aSqe
(9)
que nous notons symb61iquement: .Z?~j
Sj ,
j _ 1,2.3
.
(9')
Si G ( x , y ) e s t la s o l u t i o n de: 12G = 6 ,
(1 O)
qui s a t i s f a i t a u n e c o n d i t i o n d ' o n d e s s o r t a n t e s p o u r iy i -~ + o~,, on en d ~ d u i t que:
~.) = G • s ) .
(11)
On ~ t a b l i t sans p e i n e que: d n=-~o ~ l
exp[ixniY"+ i. Kx]
X2 = k 2 ( 1 - T 2) - ( n K + k o ) 2 J~ Voir note ~ la fin de | ' a r t i e l e . 98
(Xn OUXn ' i p o s i t i f )
(12)
Volume 4, number 1
OPTICS COMMUNICATIONS
September 1971
Soient ez et ~ l e s v e c t e u r s u n i t a i r e s de Oz et de la t a n g e n t e ~i la c o u r b e y =f(x) (iA~l = ez)" I1 est c o m m o d e de p o s e r :
J : m(-"r') i + +
n(x) { l + [ f ' ( x ) ] 2 } 1/2 ez "
(13)
En u t i l i s a n t l e s p r o p r i ~ t ~ s c l a s s i q u e s du p r o d u i t de c o n v o l u t i o n , on m o n t r e a l o r s que: d (14)
~.x = ~1 of (kTf,(x,)Pl(X,y,x,) (o(x') - p2(x,y,x')rl(x'))dx'
~ y =~1
d fo ( - k ~ P l ( x ' y ' x ' ) q~(x') + P3(x'y'x')~?(x'))dx'
(15)
d ~z:
(16)
~ff! i (P2(x'y'x') - P3(x'y'x'))(P(x')dx' 4-03
Pl (x,y ,x') = n:-03 ~, Xn exp[iXn '+y - f ( x ' ) [ + inK(x-x')]
(17)
,
4-03
p2(x,y,x') = ~
sgn[y -f(x')] exp[i×nly-f(x') I + inK(x-x')]
,
(18)
n=-¢O
+oo
P3(x,y,x') = ~
nK + ka e x p [ l. X n ,l Y - f ( x ' ) i + inK(x-x')]
n= -03
.
(19)
Xn
L e s t r o i s e x p r e s s i o n s (14), (1 5) et (1 6) d ~ t e r m i n e n t le c h a m p d i f f r a c t d / - / d en tout point M(x,y,z) c o n n a i s s a n t 77 et (p. C o m m e darts le c a s c l a s s i q u e (7 = 0), on v ~ r i f i e que p o u r y > m a x [ f (x)], une c o m p o s a n t e ~ de H d est donn~e p a r un d ~ v e l o p p e m e n t en o n d e s p l a n e s ( d ~ v e l o p p e m e n t de R a y l e i g h ) : +03
H d (x,y,z) = ~ Bin e x p [ i { ( n g + ka)x+XnY + kyz}] , J n=-03
(20)
d
B1 n = B x n = 2ffl 0f exp [-iXn f(x) - inKx](kY Xn
~o(x) - )7(x)) dx ,
(21)
- XnnkYqo(x)) d x ,
(22)
d
B2n : By n : ~1 0f exp[-iXn f ( x ) - inKx](Trl(x)An d
B3n = Bzn = ~ 1 0f e x p [ - i X n f C V ) - inKx] ( 1 - ~ n f ' b ¢ ) )
~o(x)dx .
(23)
I1 r e s t e a d ~ t e r m i n e r (pet 7/. P o u r c e l a , on 8 c r i t que le c h a m p m a g n S t i q u e total e s t nul pour y < f(x) et, en r e m a r q u a n t que
,
(24)
off M e s t le point c o u r a n t , situ& a u - d e s s u s du r ~ s e a u , d ' u n e c o u r b e F q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r un point P du r&seau. En p a r t i c u l i e r , si F est la p a r a l l ~ l e F 0 ~ Ox, on r e m a r q u e s u r (14), (15), (16), et c o m p t e t e n u de (I),
99
V o l u m e 4 . n u m b e r I_
OPTICS COMMUNICATIONS
q u e ~ ( M ) + ~ i ( M ) e s t l a s o m m e d ' u n e s ~ r i e de F o u r i e r au point Pet nulle ~ droite: ½ (0 + l i m 5 ~ (~7~(M) + ~ i ( M ) ) M~P et p a r s u i t e , (24) d e v i e n t : j(P) = 2~A(~(P)
= hA(~7~(P) * ~ i ( p ) )
de la v a r i a b l e x ,
.
September 1971 cette s~rie ~tant discontinue
(25)
+ (9(i(P)) .
(26)
L e s r e l a t i o n s (1). (14), (15) et (16) p e r m e t t e n t d ' e x p l i c i t e r l e s d i f f ~ r e n t s t e r m e s de (26), et e n p r o j e t a n t l a r e l a t i o n v e c t o r i e l l e a i n s i o b t e n u e s u r t" et ~z on o b t i e n t l e s d e u x ~ q u a t i o n s i n t ~ g r a l e s (27) et (28): d ~o(x) = c00(x) + 1 f N 2 ( x , x , ) co(x')dx' (27) .
~0 d d 1 f Nl~,X.,)(~(x,)dx, + 1 f N3(x,x,)~(x,)dx, ~(~) = ~ ° ( ~ ) + J o ~/ 0
,
Co(X) - 2 A z exp [ - i k f l f(x)] ,
(29)
~/0(x) = - 2[A X + f ' ( x ) A y ] exp [ - i k f i f ( x ) ]
N~ (x,x ') = [ / ' ( x ) - f ' ( x ' ) ] Pl (x,/(x), x') N 2 ( x , x') - p 2 ( x , f ( x ) , x ' )
(28)
(30)
.
(3~)
.
- f'Oc') P 3 ( x , f ( x ) , x ' ) ,
N 3 ( x , x') = P2(X, f ( x ) , x') - f ' ( x ) P3(x, f ( x ) , x ' )
(32)
.
On n o t e r a q u e l e s n o y a u x q u i f i g u r e n t d a n s (27) et (28) ont Ot~ u t i l i s O s p o u r t r a i t e r le e a s c i a s s i q u e od le v e c t e u r d ' o n d e i n c i d e n t e s t p e r p e n d i c u l a i r e ~ Oz: N 3 et N 2 s e r e c o n t r e n t d a n s l e s ~ q u a t i o n s de F r e d h o l m de s e c o n d e e s p O c e [4], N 1 e s t t r ~ s v o i s i n du n o y a u de l ' ~ q u a t i o n de p r e m i O r e e s p ~ e e [1]. L ' 6 t u d e d e l e u r s s i n g u l a r i t + s et de l e u r i n t ~ g r a b i l i t ~ n ' e s t done p a s n O c e s s a i r e , e l l e a dOj~ Ot~ f a i t e . I1 e s t e s s e n t i e l de r e m a r q u e r q u e (27) et (28) s o n t p r a t i q u e m e n t d ~ c o u p l 6 e s : la r ~ s o l u t i o n de (27) f o u r n i t d et (28) a p p a r a i t a l o r s c o m m e u n e ~ q u a t i o n de s e c o n d e e s p ~ e e p o u r l a f o n c t i o n 77. E n c o n c l u s i o n , l e c a s g ~ n ~ r a l de l ' i n c i d e n c e q u e l c o n q u e ne p o s e p a s d e p r o b l O m e s n u m ~ r i q u e s n o u v e a u x . N o u s a v o n s r ~ a l i s O un p r o g r a m m e p o u r l ' o r d i n a t e u r UNIVAC 1108. L e s r ~ s u l t a t s dOj~ o b t e n u s d a n s le c a s d e s r O s e a u x O c h e l e t t e s p o u r d i v e r s e s v a l e u r s de l ' i n c i d e n c e , de l a p o l a r i s a t i o n , de l a l o n g u e u r d ' o n d e et d e s p a r a m ~ t r e s r e l a t i f s au r ~ s e a u s o n t t r O s s a t i s f a i s a n t s : l e s t e m p s de c a l c u l s o n t de l ' o r d r e de 20 s e e p a r p o i n t , la c o n s e r v a t i o n de l ' ~ n e r g i e ~ t a n t a s s u r ~ e au e e n t i ~ m e p r ~ s . U n e ~ t u d e n u m ~ r i q u e e s t e n t o u r s p o u r p r ~ c i s e r , d a n s le c a d r e de l a t h ~ o r i e ~ l e c t r o m a g n ~ t i q u e , l ' e f f i e a c i t ~ d e s r~seaux ainsi utilisOs. Elle se propose d'expliquer certaines propri6t~s observ~es exp~rimentalement d a n s l ' i n f r a r o u g e l o i n t a i n p a r H a d n i [5], et i n t O r e s s e r a s a n s d o u t e t o u s l e s u t i l i s a t e u r s de c e m o n t a g e q u i s e m b l e Otre a u j o u r d ' h u i e m p l o y S , p o u r d e s r a i s o n s d ' e n c o m b r e m e n t , dans des spectromOtres e m b a r q u S s [6]. N.B. L e s d i s t r i b u t i o n s c o n s i d ~ r S e s i c i s o n t d e s f o n c t i o n n e l l e s l i n 4 a i r e s s u r l e s f o n c t i o n s ~p(x, y) i n d 4 f i n i m e n t d ~ r i v a b l e s , p ~ r i o d i q u e s e n x et /~ s u p p o r t b o r n ~ e n y. N o u s l e s a p p e l o n s " d i s t r i b u t i o n s s u r u n cylindre'. Une f o n c t i o n u ( x , y ) l o c a l e m e n t s o m m a b l e e s t u n e d i s t r i b u t i o n : +oo d
(u,(P} = f _o~
f u(x,y) ¢(x,y)dydx
Les distributions 100
.
0
5 et 6¢R s o n t r e s p e c t i v e m e n t
d~finies par:
Volume 4, n u m b e r 1
OPTICS COMMUNICATIONS
September 1971
d
o> =
0)
w>=
,
f
ds
.
0 L e s f o r m u l e s c l a s s i q u e s ~ t a b l i e s p o u r l e s ~ l ~ m e n t s de (~)' [7] s o n t v r a i e s p o u r l e s d i s t r i b u t i o n s s u r le c y l i n d r e . E n p a r t i c u l i e r , s i u et v r e p r ~ s e n t e n t d e u x f o n c t i o n s s c a l a i r e et v e c t o r i e l l e r ~ g u l i ~ r e s d a n s le c o m p l & m e n t a i r e d e c~ e t s i ¢ru et a v r e p r ~ s e n t e n t l e s s a u t s de c e s f o n c t i o n s l o t s du f r a n c h i s s e m e n t de c-~ d a n s le s e n s de n : 17u = { 1 7 u } + n ~ , ~ e 17. v =
,
{17 . v } + n . a v , 5 ~
17,, v = {17,, v }
+ ~ A avS~e
, ,
oO u n e n o t a t i o n t e l l e q u e { 17 u } d&signe l a d i s t r i b u t i o n d&finie d a n s le c o m p l & m e n t a i r e de ~ p a r le g r a d i e n t au s e n s u s u e l . De p l u s , on m o n t r e q u e " l e s d i s t r i b u t i o n s s u r le c y l i n d r e " s o n t d & v e l o p p a b l e s en s & r i e de F o u r i e r : T = ~
n=-~O
avec,
t n ( y ) exp [ i n g x ]
s i (p e ~
,
:
(tn(Y), (p (y)} : (T, (p(y) exp [inKx] ) .
REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
R. Petit, Rev. Opt.45 (1966) 249,353. A.Wirgin, thbse no. CNRS A.O. 1429. J. L. Uretsky, Ann. Phys. 33 (1965) 400. J. Pavageau, Opt. Acta 17 {1970)469. A. Hadni, E s s e n t i a l s of m o d e r n physics applied to the study of the infrared (Pergamon M. Viton et M. Duban, communication personnelle. L. Schwartz, Th~orie des distributions (Hermann, P a r i s , 1 9 6 6 ) .
London, 1967) p. 79.
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LA
DIFFRACTION
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September 1971
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PAR
CONDUCTEUR
D. M A Y S T R E et R. P E T I T Laboratoire d Optique Electromagn~tique, Universit~ de Provence, Centre de Saint-J~rOme, 13 Marseille 13~, France
Rec, u le 3 mai 1971
We suppose here that the incident wave-vector k is not perpendicular to the grating grooves. The method we propose leads to two integral equations ver3., s i m i l a r to those encountered in the c l a s s i c a l case where /( is p e r p e n d i c u l a r to the grooves. Some computation has already been achieved on the UNIVAC 1108 computer, they are in good a g r e e m e n t with the conservation of energ3,. L e s d i f f ~ r e n t s a u t e u r s [1_4] q u i ont t r a i t ~ n u m ~ r i q u e m e n t c e p r o b l ~ m e s e s o n t l i m i t , s au c a s ot~ le v e c t e u r d ' o n d e i n c i d e n t e s t o r t h o g o n a l a u x g ~ n ~ r a t r i c e s du r ~ s e a u . N o u s r ~ s u m o n s i c i l a m ~ t h o d e q u e n o u s a v o n s m i s e au p o i n t p o u r le c a s g ~ n ~ r a l de l ' i n c i d e n c e q u e l c o n q u e . L e s n o t a t i o n s s o n t r ~ s u m ~ e s s u r l a fig. 1: le r ~ s e a u de p a s d = 2 v / K e s t l a s u r f a c e c y l i n d r i q u e d ' ~ q u a t i o n y = f ( x ) d o n t l e s g ~ n ~ r a t r i c e s s o n t p a r a l l ~ l e s ~ O z . I1 e s t ~ c l a i r ~ p a r l ' o n d e p l a n e t l l ( x , y , z ) de n o m b r e d ' o n d e s k: H i : A exp [ik ( a x - BY + v z ) ] = ~ i ( . y ) e x p [ i k ( u x +
aA x-BAy+vA
z = 0 ,
yz)] ,
a2 +B2 +~2 = 1 .
(1) (2)
On a p p e l l e c h a m p d i f f r a c t ~ l a d i f f e r e n c e e n t r e le c h a m p t o t a l et le c h a m p i n c i d e n t d e s o r t e q u e , d a n s le m ~ t a l , n o t r e " c h a m p d i f f r a c t S " e s t l ' o p p o s ~ du c h a m p i n c i d e n t . E n a d m e t t a n t l ' u n i c i t ~ de l a s o l u t i o n , on p e u t m o n t r e r q u e l e s c h a m p s d i f f r a c t ~ s / / d et ~ d s o n t , c o m m e le c h a m p i n c i d e n t , de l a f o r m e : /-/d(x, y, z) : ~ ( x , y) exp [ i k (ax + ~ z )] ,
(3)
,Y
F
r.
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Volume4. number 1 Ed(x. y,z)
-(
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September 1971
+ ~z)] ,
(x,y) exp[ik(ax
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off ~ e t ( s o n t d e s f o n c t i o n s p 6 r i o d i q u e s e n x . de p 4 r i o d e d . S i p e s t le v e e t e u r de c o m p o s a n t e s (a, O, ~), l e s 6 q u a t i o n s de M a x w e l l m o n t r e n t q u e clans le c o m p l 6 m e n t a i r e de :~: 17/~ ~ +
ikp
ITA d
+ikp
/~ ~
- -ioo6 0 ~
A ~ =ico#0~
I7.9~+i/ep.9~=0
(5)
.
(6)
,
,
s o i t , en t r a i t a n t ~ et ¢' e o m m e d e s d i s t r i b u t i o n s ? : 17A~ + ikpA~ 17A(
- - i w ¢0 ( + hAOg~ 89~
iw~0~+~Aa~.
+ikpA{
17 . ~ + ile p . ~ -
69e .
(5') (6')
(7 ')
h.ag~6c ~
off ogt et a ¢ r e p r O s e n t e n t l e s s a u t s de ~g et ( l o r s du f r a n e h i s s e m e n t du r 0 s e a u d a n s le s e n s du v e e t e u r u n i t a i r e h de s a n o r m a l e . E e r i v a n t le e o u r a n t s u p e r f i e i e l j s o u s la f o r m e j -J exp[ik(ax+yz)], les e l a s s i q u e s r e l a t i o n s de p a s s a g e d o n n e n t :
.~,o~ = J,
,~-o~ =0 .
et f i n a l e m e n t ,
au s e n s d e s d i s t r i b u t i o n s :
I7,,~+
ikpAg~
- - iW6 0 ( +aoc~
[7,,, ~
+ ikp',(
17 • ~ +
i#p" ~-
,~A% = o ,
(5")
- icObLO~ , 0
(8)
(6") (7")
.
U n e ~ t i m i n a t i o n f a s t i d i e u s e de I l'equation aux dOrivOes partielles: Ag{+k2(1-a2-72)~+
2ika ~9~x
e n t r e (5") et (6"). c o m p t e t e n u de (7"), m o n t r e q u e ~ s a t i s f a i t
: - [ 7 A J 6~e - ikp,,,aSqe
(9)
que nous notons symb61iquement: .Z?~j
Sj ,
j _ 1,2.3
.
(9')
Si G ( x , y ) e s t la s o l u t i o n de: 12G = 6 ,
(1 O)
qui s a t i s f a i t a u n e c o n d i t i o n d ' o n d e s s o r t a n t e s p o u r iy i -~ + o~,, on en d ~ d u i t que:
~.) = G • s ) .
(11)
On ~ t a b l i t sans p e i n e que: d n=-~o ~ l
exp[ixniY"+ i. Kx]
X2 = k 2 ( 1 - T 2) - ( n K + k o ) 2 J~ Voir note ~ la fin de | ' a r t i e l e . 98
(Xn OUXn ' i p o s i t i f )
(12)
Volume 4, number 1
OPTICS COMMUNICATIONS
September 1971
Soient ez et ~ l e s v e c t e u r s u n i t a i r e s de Oz et de la t a n g e n t e ~i la c o u r b e y =f(x) (iA~l = ez)" I1 est c o m m o d e de p o s e r :
J : m(-"r') i + +
n(x) { l + [ f ' ( x ) ] 2 } 1/2 ez "
(13)
En u t i l i s a n t l e s p r o p r i ~ t ~ s c l a s s i q u e s du p r o d u i t de c o n v o l u t i o n , on m o n t r e a l o r s que: d (14)
~.x = ~1 of (kTf,(x,)Pl(X,y,x,) (o(x') - p2(x,y,x')rl(x'))dx'
~ y =~1
d fo ( - k ~ P l ( x ' y ' x ' ) q~(x') + P3(x'y'x')~?(x'))dx'
(15)
d ~z:
(16)
~ff! i (P2(x'y'x') - P3(x'y'x'))(P(x')dx' 4-03
Pl (x,y ,x') = n:-03 ~, Xn exp[iXn '+y - f ( x ' ) [ + inK(x-x')]
(17)
,
4-03
p2(x,y,x') = ~
sgn[y -f(x')] exp[i×nly-f(x') I + inK(x-x')]
,
(18)
n=-¢O
+oo
P3(x,y,x') = ~
nK + ka e x p [ l. X n ,l Y - f ( x ' ) i + inK(x-x')]
n= -03
.
(19)
Xn
L e s t r o i s e x p r e s s i o n s (14), (1 5) et (1 6) d ~ t e r m i n e n t le c h a m p d i f f r a c t d / - / d en tout point M(x,y,z) c o n n a i s s a n t 77 et (p. C o m m e darts le c a s c l a s s i q u e (7 = 0), on v ~ r i f i e que p o u r y > m a x [ f (x)], une c o m p o s a n t e ~ de H d est donn~e p a r un d ~ v e l o p p e m e n t en o n d e s p l a n e s ( d ~ v e l o p p e m e n t de R a y l e i g h ) : +03
H d (x,y,z) = ~ Bin e x p [ i { ( n g + ka)x+XnY + kyz}] , J n=-03
(20)
d
B1 n = B x n = 2ffl 0f exp [-iXn f(x) - inKx](kY Xn
~o(x) - )7(x)) dx ,
(21)
- XnnkYqo(x)) d x ,
(22)
d
B2n : By n : ~1 0f exp[-iXn f ( x ) - inKx](Trl(x)An d
B3n = Bzn = ~ 1 0f e x p [ - i X n f C V ) - inKx] ( 1 - ~ n f ' b ¢ ) )
~o(x)dx .
(23)
I1 r e s t e a d ~ t e r m i n e r (pet 7/. P o u r c e l a , on 8 c r i t que le c h a m p m a g n S t i q u e total e s t nul pour y < f(x) et, en r e m a r q u a n t que
,
(24)
off M e s t le point c o u r a n t , situ& a u - d e s s u s du r ~ s e a u , d ' u n e c o u r b e F q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r un point P du r&seau. En p a r t i c u l i e r , si F est la p a r a l l ~ l e F 0 ~ Ox, on r e m a r q u e s u r (14), (15), (16), et c o m p t e t e n u de (I),
99
V o l u m e 4 . n u m b e r I_
OPTICS COMMUNICATIONS
q u e ~ ( M ) + ~ i ( M ) e s t l a s o m m e d ' u n e s ~ r i e de F o u r i e r au point Pet nulle ~ droite: ½ (0 + l i m 5 ~ (~7~(M) + ~ i ( M ) ) M~P et p a r s u i t e , (24) d e v i e n t : j(P) = 2~A(~(P)
= hA(~7~(P) * ~ i ( p ) )
de la v a r i a b l e x ,
.
September 1971 cette s~rie ~tant discontinue
(25)
+ (9(i(P)) .
(26)
L e s r e l a t i o n s (1). (14), (15) et (16) p e r m e t t e n t d ' e x p l i c i t e r l e s d i f f ~ r e n t s t e r m e s de (26), et e n p r o j e t a n t l a r e l a t i o n v e c t o r i e l l e a i n s i o b t e n u e s u r t" et ~z on o b t i e n t l e s d e u x ~ q u a t i o n s i n t ~ g r a l e s (27) et (28): d ~o(x) = c00(x) + 1 f N 2 ( x , x , ) co(x')dx' (27) .
~0 d d 1 f Nl~,X.,)(~(x,)dx, + 1 f N3(x,x,)~(x,)dx, ~(~) = ~ ° ( ~ ) + J o ~/ 0
,
Co(X) - 2 A z exp [ - i k f l f(x)] ,
(29)
~/0(x) = - 2[A X + f ' ( x ) A y ] exp [ - i k f i f ( x ) ]
N~ (x,x ') = [ / ' ( x ) - f ' ( x ' ) ] Pl (x,/(x), x') N 2 ( x , x') - p 2 ( x , f ( x ) , x ' )
(28)
(30)
.
(3~)
.
- f'Oc') P 3 ( x , f ( x ) , x ' ) ,
N 3 ( x , x') = P2(X, f ( x ) , x') - f ' ( x ) P3(x, f ( x ) , x ' )
(32)
.
On n o t e r a q u e l e s n o y a u x q u i f i g u r e n t d a n s (27) et (28) ont Ot~ u t i l i s O s p o u r t r a i t e r le e a s c i a s s i q u e od le v e c t e u r d ' o n d e i n c i d e n t e s t p e r p e n d i c u l a i r e ~ Oz: N 3 et N 2 s e r e c o n t r e n t d a n s l e s ~ q u a t i o n s de F r e d h o l m de s e c o n d e e s p O c e [4], N 1 e s t t r ~ s v o i s i n du n o y a u de l ' ~ q u a t i o n de p r e m i O r e e s p ~ e e [1]. L ' 6 t u d e d e l e u r s s i n g u l a r i t + s et de l e u r i n t ~ g r a b i l i t ~ n ' e s t done p a s n O c e s s a i r e , e l l e a dOj~ Ot~ f a i t e . I1 e s t e s s e n t i e l de r e m a r q u e r q u e (27) et (28) s o n t p r a t i q u e m e n t d ~ c o u p l 6 e s : la r ~ s o l u t i o n de (27) f o u r n i t d et (28) a p p a r a i t a l o r s c o m m e u n e ~ q u a t i o n de s e c o n d e e s p ~ e e p o u r l a f o n c t i o n 77. E n c o n c l u s i o n , l e c a s g ~ n ~ r a l de l ' i n c i d e n c e q u e l c o n q u e ne p o s e p a s d e p r o b l O m e s n u m ~ r i q u e s n o u v e a u x . N o u s a v o n s r ~ a l i s O un p r o g r a m m e p o u r l ' o r d i n a t e u r UNIVAC 1108. L e s r ~ s u l t a t s dOj~ o b t e n u s d a n s le c a s d e s r O s e a u x O c h e l e t t e s p o u r d i v e r s e s v a l e u r s de l ' i n c i d e n c e , de l a p o l a r i s a t i o n , de l a l o n g u e u r d ' o n d e et d e s p a r a m ~ t r e s r e l a t i f s au r ~ s e a u s o n t t r O s s a t i s f a i s a n t s : l e s t e m p s de c a l c u l s o n t de l ' o r d r e de 20 s e e p a r p o i n t , la c o n s e r v a t i o n de l ' ~ n e r g i e ~ t a n t a s s u r ~ e au e e n t i ~ m e p r ~ s . U n e ~ t u d e n u m ~ r i q u e e s t e n t o u r s p o u r p r ~ c i s e r , d a n s le c a d r e de l a t h ~ o r i e ~ l e c t r o m a g n ~ t i q u e , l ' e f f i e a c i t ~ d e s r~seaux ainsi utilisOs. Elle se propose d'expliquer certaines propri6t~s observ~es exp~rimentalement d a n s l ' i n f r a r o u g e l o i n t a i n p a r H a d n i [5], et i n t O r e s s e r a s a n s d o u t e t o u s l e s u t i l i s a t e u r s de c e m o n t a g e q u i s e m b l e Otre a u j o u r d ' h u i e m p l o y S , p o u r d e s r a i s o n s d ' e n c o m b r e m e n t , dans des spectromOtres e m b a r q u S s [6]. N.B. L e s d i s t r i b u t i o n s c o n s i d ~ r S e s i c i s o n t d e s f o n c t i o n n e l l e s l i n 4 a i r e s s u r l e s f o n c t i o n s ~p(x, y) i n d 4 f i n i m e n t d ~ r i v a b l e s , p ~ r i o d i q u e s e n x et /~ s u p p o r t b o r n ~ e n y. N o u s l e s a p p e l o n s " d i s t r i b u t i o n s s u r u n cylindre'. Une f o n c t i o n u ( x , y ) l o c a l e m e n t s o m m a b l e e s t u n e d i s t r i b u t i o n : +oo d
(u,(P} = f _o~
f u(x,y) ¢(x,y)dydx
Les distributions 100
.
0
5 et 6¢R s o n t r e s p e c t i v e m e n t
d~finies par:
Volume 4, n u m b e r 1
OPTICS COMMUNICATIONS
September 1971
d
o> =
0)
w>=
,
f
ds
.
0 L e s f o r m u l e s c l a s s i q u e s ~ t a b l i e s p o u r l e s ~ l ~ m e n t s de (~)' [7] s o n t v r a i e s p o u r l e s d i s t r i b u t i o n s s u r le c y l i n d r e . E n p a r t i c u l i e r , s i u et v r e p r ~ s e n t e n t d e u x f o n c t i o n s s c a l a i r e et v e c t o r i e l l e r ~ g u l i ~ r e s d a n s le c o m p l & m e n t a i r e d e c~ e t s i ¢ru et a v r e p r ~ s e n t e n t l e s s a u t s de c e s f o n c t i o n s l o t s du f r a n c h i s s e m e n t de c-~ d a n s le s e n s de n : 17u = { 1 7 u } + n ~ , ~ e 17. v =
,
{17 . v } + n . a v , 5 ~
17,, v = {17,, v }
+ ~ A avS~e
, ,
oO u n e n o t a t i o n t e l l e q u e { 17 u } d&signe l a d i s t r i b u t i o n d&finie d a n s le c o m p l & m e n t a i r e de ~ p a r le g r a d i e n t au s e n s u s u e l . De p l u s , on m o n t r e q u e " l e s d i s t r i b u t i o n s s u r le c y l i n d r e " s o n t d & v e l o p p a b l e s en s & r i e de F o u r i e r : T = ~
n=-~O
avec,
t n ( y ) exp [ i n g x ]
s i (p e ~
,
:
(tn(Y), (p (y)} : (T, (p(y) exp [inKx] ) .
REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
R. Petit, Rev. Opt.45 (1966) 249,353. A.Wirgin, thbse no. CNRS A.O. 1429. J. L. Uretsky, Ann. Phys. 33 (1965) 400. J. Pavageau, Opt. Acta 17 {1970)469. A. Hadni, E s s e n t i a l s of m o d e r n physics applied to the study of the infrared (Pergamon M. Viton et M. Duban, communication personnelle. L. Schwartz, Th~orie des distributions (Hermann, P a r i s , 1 9 6 6 ) .
London, 1967) p. 79.
101