Théorie hydrodynamique des cristaux liquides nématiques biaxes

in/ J En,cn~ SC, Vol. 23. No. 8. PP. 797-807. Printed in Great Britain.

1985

0020-7225185 $3.00 + .OO @ 1985 Pqamon Press Ltd.

THGORIE HYDRODYNAMIQUE DES CRISTAUX LIQUIDES NEMATIQUES BIAXES A. CHAURE U.E.R des Sciences Exactes et Natu~IIe~~~~toi~ de M~nique, Moulin de la Housse 51062, Reims Cedex, France (Communicated by G. A. MAUGIN) R&sum&-Nous presentons une theorie hydrodynamique des cristaux liquides nematiques biaxes. Les equations du mouvement sont deduites du principe des puissances virtuelles et des equations constitutives sont propo&es en utilisant la methode de Vetat local dans le cadre de la thermodynamique des processus irreversibles. 11 en decoule qu’en general le tenseur des contraintes dissipatives depend de douze coefficients de viscosite independants. La theotie obtenue est une geniralisation de la theorie bien connue des cristaux liquides uniaxes. Abstract-A hydrodynamic theory of biaxial nematic liquid crystals is presented. The equations of motion are deduced from the principle of virtual power and constitutive equations are proposed by applying the method of local state within the fmmework of the irreversible the~~ynami~. Hence it follows that the dissipative part of the stress tensor contains gene&y twelve inde~ndent viscosity coefficients. The resulting theory is a generalization of the well-known theory of uniaxial nematics. 1. INTRODUCTION RJ?CEMMENT une misophase nematique biaxe fut observee expirimentalement par Yu et Saupe [l] confirmant ainsi les predictions qui avaient pu &re faites sur son existence. Dans cette mesophase les molecules sont schematisees par des ellipsoi’des orient& possedant trois axes de symetrie deux a deux orthogonaux contrairement aux nematiques uniaxes qui n’ont qu’un axe de symitrie bien determine et que l’on represente habituellement par des batonnets ou des disques. 11 n’y a pas d’ordre i longue distance entre les centres de gravite des molecules, mais il existe un ordre i longue distance de l’o~entation des molecules rep&&e par les directions des axes de symetrie. Liu 121, Brand et Pleiner [3], Jacobsen et Swift [4] ont propose une description theorique de ces cristaux liquides en procedant de facon similaire, c’est-a-dire en formulant des lois de conservation pour le comportement dynamique de ces materiaux. Toutefois certains de leurs resultats, en particulier les expressions du tenseur des contraintes dissipatives, me paraissent sujets a discussion. En e&t, une thtorie de cristaux liquides biaxes, dans laquelle nous designons par n et n’ les vecteurs unitaires (directeurs) de deux des axes de symetrie, doit se reduire a une theorie des cristaux liquides uniaxes difinis par le directeur n si l’on impose a toute expression du typef(n, II’) de satisfaire i l’identiti:

An, n’) =f(n, Rn3

(1)

au R est une rotation arbitraire d’axe n. Or dans les r&rences [2, 31, il est affirmi que la partie dissipative du tenseur des contraintes doit dipendre de neuf coefficients de viscositi et l’expression qui en est don&e dans [3] par les formules (2.12) et (3.30) est: 6 = Q&&l,

le directeur n’ a et& note m, Akl est le tenseur des taux de deformations, sont les neuf coefficients de viscosite et

oii

S$= 6, -

&?lj

797

-

F?&mj.

v,, . . . , v9

A. CHAURG

798

11est facile de krifier que ce tenseur o-$ satisfait $ (1) pour tout tenseur A symkique si et seulement si les coefficients vi sont tous nuls i l’exception de v2 de sorte que O$ se rkduit i: o$ = vzninjnkn[Ak.. Ce risultat est en contradiction

avec la thkorie bien connue des nkmatiques uniaxes [5, 61 qui possedent cinq coefficients de viscositi indkpendants et non un seul. Dans [4], Jacobsen et Swift introduisent un tenseur de contraintes dissipatives d&pendant aussi de neuf coefficients de viscositk, mais ils le supposent symktrique. Cette dernke hypothke est certainement inacceptable car elle revient i nkgliger le couplage entre l’kcoulement et la rotation des axes des molkules. Afin de prendre en compte les remarques prkkdentes, nous nous proposons de divelopper une thkorie hydrodynamique de la misophase nimatique biaxe 5 l’aide d’une part du principe des puissances virtuelles [7, 81 qui conduira aux kquations du mouvement et d’autre part de la mkthode de l’itat local [9] qui fournira les iquations constitutives. En particulier nous verrons que la partie irrkversible du tenseur des contraintes doit ktre asymktrique et dkpendre de douze coefficients de viscositk qui se kduisent i cinq lorsqu’on lui impose de virifier la relation (1). 2. EQUATIONS

DU

MOUVEMENT

ET

CONDITIONS

AUX

LIMITES

L’application du principe des puissances virtuelles nkessite d’abord le choix d’un espace vectoriel norm& Y de mouvements virtuels, admettant l’ensemble des mouvements de corps rigide pour sous-espace. Or la description cinkmatique d’un nimatique biaxe est dkfinie par la connaissance de trois champs de vecteurs le champ des vitesses des particules u = g

et les champs de vitesses d’orientation

des molicules w = dn/dt et w’

= dn’/dt oti n et n’ sont les vecteurs directeurs de deux des axes de sym&rie des mokules introduits prkkdemment. Ces vitesses sont soumises aux contraintes: div u = 0, w-n = w’sn’ = w.n’+

(2) w’.n = 0.

(3)

La relation (2) provient de l’hypothise d’incompressibiliti que nous adoptons dans ce travail tandis que les relations (3) dtkoulent du fait que n et n’ sont unitaires et orthogonaux. En vue d’klaborer une thkorie du premier gradient par rapport $ ces champs de vitesses, nous pouvons choisir pour espace Y des mouvements virtuels, l’espace constituk des champs de vitesses 3 et de vitesse d’orientation G et G’ continfiment differentiables par rapport aux variables d’espace et satisfaisant aux conditions: div ii = 0,

6.n

= 3.n’

= *.n’+

3.n

= 0.

(4)

(Tout au long de ce travail les tildes rappellent le caractkre virtue1 des quantitks considirkes.) La norme sur ‘V sera celle de la convergence uniforme pour les vitesses et leurs d&vies partielles spatiales premiires. En conskquence, en rep&rant les positions des particules dans l’espace euclidien E3 de dimension trois i l’aide d’un systeme de coordonnkes curvilignes orthogonales xi (i = 1, 2, 3) dkfinissant les tenseurs mktriques g, et g” nous pouvons noter:

oti un point-virgule suivi de l’indice j dksigne la dkrivation covariante par rapport i la variable xj. L’espace ?I &ant dkfini, nous exprimons maintenant les puissances virtuelles des efforts intkieurs, des efforts extkieurs et des quantitks d’accilkration en adoptant les

799

ThCorie hydrodynamique des cristaux liquides nkmatiques biaxes

hypotheses de travail et resultats de la refirence [8]; ici le systeme S est constitue d’un echantillon de cristal liquide nematique biaxe occupant un domaine V borne dans E3 et limit6 par une surface aV, i plan tangent et courbures continus par morceaux, dont on note (en tout point ou il est defini) N le vecteur unitaire normal exterieur. 2.1 Puissance virtuelle des eforts int&ieurs Cette puissance est une forme lineaire continue sur 3/o,, le sous-espace de ‘V engendre par les elements de Y qui sont objectifs, c’est-a-dire invariants par superposition dun mouvement de solide. On montre facilement que cet espace est difini par: y,,

= {d,, ci, p;, &j, j$j;

= 0, p”ini = fin; = fiin; + phi = oj

(6)

Oii dij

= i(12i;j +

cl = It;

=

Gi -

ii?j;i),

&.nj, e. Q’knk,j,

G,lj -

fiij = t(iicj

-

p”;

=

+;

fig&d,

R*[i J

=

gi,

-

;J

_

Ziii),

fiik,,r,

(7)

k,J-

Si bien que pour tout sous-domaine D de V la puissance ‘F,,)(O) des efforts intirieurs s’exercant sur D s’exprime sous la forme:

-s,

@“co(D) = $,du

(8)

oti g(i) est la forme liniaire definie sur ?/obj par

Par dualite les forces generalisees aU, hi, h’i, ~0, ~“j sont des grandeurs objectives que l’on supposera suffisamment regulieres dans la suite. D’apres la terminologie habituelle: (rUsont les composantes d’un tenseur symetrique du second ordre appele tenseur des contraintes intrinseques; hi, h” sont les composantes de vecteurs representant une densite volumique d’efforts intrinseques d’orientation; *ii, T’Osont les composantes de tenseurs du second ordre representant les contraintes intrinseques d’orientation. A l’aide du theoreme de la divergence on transforme (8) pour obtenir: @&))

=

JD(ati +

s

+ h[injl

+ h’[in!il

Jh” + x!$)G,:dv -

*[‘kn$ -

_

(Jj +

?r

h[inj]

‘tikn!$);jGidU+ D (hi + r$)GidV s +

h![i,tj]

_

s dD -

?r

Iik

j] n;k-

s

r’jNi$ids -

8D

?r ‘fikn

s C3D

!$ )Njci&

T”Nj6;d.S

( 10)

ou l’on a utilise les notations: &+]

=

t(hi,.,j

_

hjni)

,+ik,$

=

f(,+k,,_ik

_

,$kS)

2.2 Puissance virtuelle des eforts extbieurs Comme il est habitue1 de le faire, nous supposons que ces efforts sont constitues d’efforts volumiques a distance exercb sur toute par-tie D de V par des systemes exterieurs

A. CHAURB

800

$ S et d’efforts surfaciques ou liniiques ou ponctuels de contact exerces sur D par les parties de S exterieures i D. La puissance virtuelle des efforts a distance s’ecrit alors:

p(d)(D) = S, (f’u”i + F”Cij + G iGi + G’i+i + GijGkj + G’ij+;,j)du.

(11)

Ceci signifie que les efforts a distance sont d&finis par: un champ de forces de densite volumique f’, un champ de doubles forces de densiti Fti, deux champs de couples d’orientation de densite volumique G’ et G’i, deux champs de doubles couples d’orientation de densid volumique GU et G’“. A nouveau le theoreme de la divergence permet de transformer (11) en: @c&D) = J

(f’ - Fs)zlidu + Jo (G’ - G$)$idu + S, (G’i - G?)$idU D

F”NjGids +

+ s aD

s aD

G’Nj$id.~ +

s aD

G”‘N,Gi;:dS. ( 12)

Les densitis ponctuelles et lineiques d’efforts de contact doivent etre nulles et la densite surfacique ne peut faire intervenir de gradients de vitesses, car en anticipant sur l’application du principe des puissances virtuelles on s’apercoit que de tels termes ne sauraient &re Cquilibris par aucun terme du m6me type dans les autres puissances virtuelles. Ainsi nous &irons settlement: back

= S, (tiCi + s’$i + s”$\)ds

(13)

06 t i designe une densite surfacique de vecteur contrainte et si, Yi des densites surfaciques de couples de contraintes d’orientation. 2.3 Puissance virtuelle des quantitbs d’acct%%ation Cette puissance est definie par: ij,,,(D)

=

s,(

Dui-

pxUi+UtWi+U

Dwi-

’

!?$$;)du

(14)

oii p designe la densite volumique du milieu, u et u’ des densitb volumiques associees i I’inertie d’orientation moleculaire et D/Dt la d&iv&e mat&ielle. Le principe des puissances virtuelles se traduit par l’egalite: _

_

*

p&D) + P,‘+,(D) + p(c)(D) = p(=)(D)

(15)

qui doit avoir lieu pour toute partie D de V et tout champ de vitesses virtuelles element de 9’. Compte-tenu des relations (10) i (15) on en deduit de facon standard les equations locales: pg

= (Jj

jl + hUnA + /#in!'1_ r [ik n;k-

?F

Ok,+

Dw’ ux = (TV - Gu);j + I$ + G’ + ani + bnfi, D& u’= (7rfii _ ~‘0);~+ h’i + Gf’ + bni + &, Dt

_ ~0 _ pgti},j

+ f i,

dans V

(16)

Thtorie hydrodynamique des cristaux liquides kmatiques ti = (& + )&A Sl = tru

+ h$fA

_ x(ikn{i _ +I$$

- GO)Nj + dni + en’i,

biaxes

801

_ Fij _ pgO)~j,

sur dV

s!i = (@ _ G”‘)Nj + en’ + fn”,

(17)

ou p, a, b, c, d, e, f sont des scalaires arbitraires provenant des contraintes (4). Comme dans le cas des milieux continus isotropes la thiorie du premier gradient diveloppie de facon systematique, introduit ici la notion de doubles forces et doubles couples sans pouvoir en donner une interpretation physique. Dans la suite nous abandonnerons done ces quantites en supposant: F” = Gi, = G’ij = (, (18) Alors en definissant le tenseur de contraintes rij et les efforts intirieurs d’orientation g’ et g” par: + = _pgO + a0 + j++$l + h4intil _ pn:; gi = hi + ,,i

- ?r Wn VJ,

+ b#,

g’i = h/i + bni + &,

les equations du mouvement biaxe s’tkrivent:

et conditions

Dw' = $$

5i-

(1%

aux limites d’un cristal liquide nimatique

+ gi + Gi,

dans V

Dw’j Q’ = +tj + g’i + Gfi, Di

(20)

S’ = r”Nj + dn’ + en”, $i

= *‘tiNj

+

sur av

eni + j,,li.

(21)

3. EQUATIONS CONSTITUTIVES Nous allons d&-ire le comportement de la phase nematique biaxe ?I l’aide de la formulation g&&ale proposee par Germain [9] dans laquelle le comportement du milieu est r&i par deux fonctions convexes: un potentiel thermodynamique et un quasi-potentiel des dissipations, de sorte que les gradients de ces deux fonctions determinent les lois d’etat et lois complementaires du milieu. Sous forme globale, le premier et le second principe de la thermodynamique s’ecrivent: i

EC(D)+

$ Ei(D) = P(d)(D)+ p(c)(D)+ xdQ (4,

$S(D)sj--.+dv-~~~dS

(22) (23)

ob pour toute partie D du systeme, l’energie cinetique, l’energie interne, le taux de chaleur recue et l’entropie sont difinies par: E,(D)

= i S, (PU’Ui +

CW’Wi

+

g’W’iW:)dU,

802

A. CHAURB

e, r, q, s, T sont la densite massique d’energie interne, la densite volumique de taux de chaleur fourni a D, le vecteur flux de chaleur i travers aD, la densite massique d’entropie et la temperature absolue. Mais le thioreme des puissances virtuelles kit avec le champ des vitesses reelles conduit $:

(24) En reportant (24) dans (22) il vient pour toute partie D du systeme:

z

E(l)(D) = -p(i)(D)

+ $f CD)

(25)

d’ou l’on deduit l’equation locale: de p z = r(i) + r - div q = #Dij

- hipi - hfip: + &Rij

+ &R;

+

r

-

qf,e

(26)

En combinant (26) avec la forme locale de (23) et en introduisant l’energie libre massique F = e - Ts nous obtenons l’inegaliti de Clausius-Duhem:

3.1 Lois d’&at Nous supposons la densite d’energie libre F fonction des variables d&at T, ni, n”, nfj, n$. A cause du principe d’objectivite makielle, F doit etre une fonction isotrope de ces variables qui sont toutes objectives. Sachant que F d&nit un potentiel thermodyna-

mique l’axiome de l’itat local implique que cette mime fonction d&it l’etat thermodynamique de toute particule et on a:

i chaque instant

(28) dF

Tenant compte des relations (7) et des identitis suivantes:

ThCorie hydrodynamique des cristaux liquides ntmatiques biaxes

803

(28) s’ecrit encore:

-

g’

dF

-

dn f,

aF

n$ + nf an$

dF

-

7

n$ -

-

dF

dF

n’& -

-

an$

%k

nJ -

dd

dF

-

n’J Q2,.

ad

(29)

I

Mais a cause de l’isotropie de F, l’expression facteur de 0, dans (29) est symetrique par rapport aux indices i et j si bien que (29) se reduit a: dF dT P dt = -ps -& - pg’

Dij-~,RiJ-~~R~j-~p.-aFp: dd

.J

’

Lid

1

06 par definition: Cr”= -p/2

-

[(

n$

g” -$$ n$ + $, .I

.I

dF

AIJ =

Pit’-$-J,

)

nfj+-nl’;

(

- rrj = 7r

aF

pgil

=

,

dn;f

,I

anr’_

,

.I

,I

i;i

11

dF

$

+ ,$I

jjli

-pgilS!$,

=

_

pgil

$,

,

(31)

sont les parties reversibles des differentes contraintes intrinseques. Notons que 5” est defini comme un tenseur symetrique puisque sa partie antisymetrique n’intervient pas dans (30). 3.2 Lois compk’mentaires Les parties irreversibles (ou dissipatives) de ces contraintes sont difinies par: $j = &j _ g”

2” = Jj _ ati 3 hi

=

hi

_

hi,

Ali

=

- tij 7r

> hfi

_

=

n-rij _ pj 7

Ati.

(32)

En substituant ces relations dans (27) et en tenant compte de (30) il vient: ;ijD, + ;;!‘R, + ;‘tiR; - jripi _ jrtip; _ f qiT;, > 0.

Le premier membre de (33) definit la dissipation dissipation thermique volumique &:

intrinseque

volumique

(33) Cp, et la

@, = &tiD, + 7;rjRij+ ;“tiRt - j& - A$,;, @z = - +qiT;i. Les lois complementaires dissipations:

se traduisent

alors pars l’existence d’un quasipotentiel

P(T, n’, di, dj, nri,; D,, RG, R$, pi, pi, q’) E (P(T, n, n’, Vn, Vn’; D, R, R’, p, p’, 9)

des

A. CHAURI?

804

dont le gradient relativement aux deuxieme groupe de variables determine les grandeurs

En vue d’obtenir une thiorie simplifiee qui gt%ralise la theorie des nematiques uniaxes et qui soit comparable aux resultats existants, nous adoptons les hypotheses suivantes: (i) Le quasipotentiel est independant des variables d’itat Vn, Vn’ ainsi que des variables R et R (ii) Les dissipations intrinseques et thermiques sont decouplees, ce qui signifie qu’il existe deux quasipotentiels VI et p2 tels que: V( T, n, n’; D, p, p’, q) = (P,(T, n, n’; D, P, P’) + WT,

n, n’; q),

(iii) ‘PI est quadratique en D, p, p’ et VP2est quadratique en q. A cause du principe d’objectivite materielle, Cpet done aussi ‘PI et ‘PI doivent etre des fonctions isotropes de chacun de leurs arguments. En consequence, d’apres les resultats de Wang [lo] sur les fonctions scalaires isotropes, et sans tenir compte pour l’instant de l’hypothese (iii), ‘PI doit etre une fonction des 34 variables suivantes: T, n2, n”, p2, p”, tr D, tr D2, tr D’, n +n’, n - p, n - p’, n’ * p, n’ - p’, p - p’,

nDn, nD2n, n’Dn’, n’D2n’,pDp, pD2p, p’Dp’, p’D2p’,nDn’, nD2n’, nDp, nD2p, nDp’, nD2p’, n’Dp, n’D2p, n’Dp’, n’D’p’, pDp’, pD2p’. Maisona:n2=n’2= l,trD=O,n-n’=n*p=n’-p’=n*p’+n’-p=Oetpourtout tenseur symetrique D de trace nulle et tous vecteurs n, n’ unitaires et orthogonaux: nD2n + n’D2n’+ (nDn)(n’Dn’) - (nDn’)’ = &tr D2. Pour vk-ifier cette derniere relation, il suffit de l’itablir dans le rep&e orthonorme (n, n’, n X n’) puisqu’elle est invariante par changement de base orthonormee. De plus dans un nematique biaxe, les &tats (n, n’) et (en, c’n’) oii t et t’ valent independamment l’un de l’autre kl sont physiquement indistinguables. Ceci impose que ‘P, soit invariante lorsqu’on change separement n en -n et n’ en -n’. Par suite en tenant compte maintenant de iii) il vient: (P,(T’,n, n’; p, p’, D) = v1 tr D2 + v2(nDn)2 + q3(n’Dn’)2 + v4nD2n + q5n’D2n’+ v6(nDn’)2+ v7nDp + Vg’Dp + w(n’. p)nDn’ + mdn’-~)*

+ mIp2 + 71~2~‘~ (34)

ou les coefficients vi ne dependent que de T. On en deduit:

&y=E&

27~~ D” + 2q2(nDn)nid + 2q3(n’Dn’)nrid

U +

~4[DiPnpnj+ DjPnpni]+ q,[DiPn>n” + Djpn(pdi]

+ qa(nDn’)(ninv + n”nj) + 5 cni# + njpi) + T (f’pti + nVpri) +

T (n’. p)(n’n’j +

n”nJ),

Thkorie ~ydr~ynamique

..,@ ap1

0,

=-----2.z

7t

805

des cristaux liquides nbmatiques biaxes

aR;

86 ~i=_____~

-2v, ,pi - 2~&n’. p)n” - rlg(nDn’)di - v7Dipnp,

b

(35) Ces rkultats joints ri (31) permettent alors d’exprimer les tenseurs des contraintes @, contraintes &orientation 78 et 7r”j et efforts inttkieurs d’orientation g’ et g”. En accord avec (19) et (32) nous pouvons hire:

avec

De (31) et (35) on dcduit

Tij = -pg”

aF

( 2,

n$ +

.I

aF ,k

1

n$ ,

dn,j

(37)

+ti = vID, + vz(nDn)ninj + v&fDn’)dinQ + v&Dn’)n’n’j -i- v5(nDn’)n”nj + v6Dipnpnj + v,DJpn& + vgDiPn~n~+ vgDjPn~nri+ ZJ&I p)n’d + v1,(n’. p)n”d l

+ v,gz’~ + v,gzjp’ + v&Pp!’ + v,g2)ip’i, (38) (39)

(40)

‘lc f = -Pg -&$

p,p’ + p2D@np + ps(n’. p)n” f &nDn’)n” + uni + bn”,

il

$i

= hri +

hti +

bni

= -Pg

il aF -anIl +

+

cnli

,s3pfi

+

pdDiPn; - ,u&’ * p)n’ - ~~(nDn’)n~+ bn’ + cn’i,

oi les coefficients vI, . . . , v15 et pl, . . . , g6 sont relit% aux 7jlipar:

VI =

h,,

V6

=

q4

=

99 +

VI0

2

p2 =

-

(41)

2112,

II! 2,

v7=774+5

tfio,

VII

V3 =

7/7

T9 =--110,

2

h3,

c7 =

PI2

v4 =

?,a +

175 -

m -

=

+

f

2

’

v5 = Q - I!!? 2’

2’

,

1111,

v9 =

VI3

775 +

=

Jc!

2’

v7 -

2

-

1111,

(42)

A. CHAURB

806 VI4

ccl =

=

-2111,

f

+

P2

=

cl5 =

7112,

VI5

-v7,

=

113 =

q8 -

2

-

712,

-2n2,

P4

=

-m,

p+?,

-910,

et ont la dimension dune viscosite. En considerant maintenant la dissipation thermique, nous obtenons la loi de conduction dans un nematique biaxe. Les hypotheses faites sur ‘P2conduisent a: ‘P2(T, n, n’; q) = alq2 + u2(n - q)2 + a3(n’=q)2 ou les coefficients al, a2, a3 ne dependent que de T. I1 en decoule: --

;,i=e&

a41

Ulqi

+

2a2(n.q)nj + 2a,(n’.q)ni,

Soit - grad T = 2alTq + 2azT(nsq)n + 2a3T(n’.q)n’, ou Q = -xl

grad T - x2(n - grad T)n - x3(n’ - grad T)n’,

(43)

avec

-!-

x,6’-) = 2a,T'

x2(T)

=

-a2

2al(al + a2)T’

x3(T)

=

-a3

2a,(a, + a,)T *

Les relations (36) a (43) constituent un ensemble de lois constitutives pour le comportement de la mesophase nematique biaxe, et jointes aux equations (20) elles permettent den etudier les mouvements. Dans une telle etude les inconnues scalaires sont au nombre de dix: trois pour le champ des vitesses, trois pour les deux directeurs n et n’ unitaires et orthogonaux et quatre pour la pression p et les couples d’orientation a, 6, c, tandis que les equations sont en nombre &gal: les neuf equations (20) plus la condition d’incompressibilite. Toutefois la complexite de ces equations ne conduira a des solutions exactes que pour des configurations d’ecoulement extr&mement simples. 4. CONCLUSION

En vertu des hypotheses que nous avons adopt&es dans la formulation des lois complimentaires (quasi-potentiel des dissipations quadratique) notre thiorie entre dans le cadre de la thermodynamique des processus n-reversibles et introduit un tenseur de contraintes dissipatives asymetrique dependant de douze coefficients de viscosite Q 12). I1 est facile de voir que ce tenseur satisfait a l’identite (1) si et seulement (i= l,..., si les coefficients ni sont nuls pour i = 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12 et dans ce cas il se reduit au tenseur des contraintes dissipatives dun nematique uniaxe. La thiorie p&sent&e ici apparait done comme une generalisation de la theorie de Leslie et de Gennes des nematiques uniaxes et doit permettre d’etudier les diverses prop&t& hydrodynamiques des cristaux liquides biaxes d’autant plus que la confrontation avec l’itude exptkimentale est maintenant possible.

Theorie hydrodynamique des cristaux liquides nimatiques biaxes

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