Application du concept d'echelles multiples a l'ecoulement dans une turbomachine axiale

Znt.1. Engng Ski.,

1974,Vol.

12,pp. 31 I-330. Pergamon

Press.

Printed

in Great

Britain

APPLICATION DU CONCEPT D’ECHELLES MULTIPLES A L’ECOULEMENT DANS UNE TURBOMACHINE AXIALE JEAN-PIERRE Direction de I’Aerodynamique,

GUIRAUD

et RADYADOUR

KH. ZEYTOUNIAN

Office National d’Etudes et de Recherches sous-Bagneux, France

Atrospatiales,

92-Chatillon-

R&urn&- On presente une thtorie asymptotique destinee a mettre en evidence un processus de decouplage entre l’ecoulement moyen meridien et l’ecoulement autour des grilles d’aubes. Le petit parametre E est I’inverse du nombre (suppose grand) des aubes par roues ou du nombre d’etages. II apparait que I’ccoulement autour des aubes doit Etre trait6 comme une petite perturbation de I’ecoulement moyen et calcule, iocalement, comme un Ccoulement bidimensionnel instationnaire autour d’un reseau de couples de grilles d’aubes. altemativement fixes et mobiles. Le reseau est obtenu en developpant sur un plan la section du compresseur par un cylindre circulaire, et en prolongeant, par periodicite, le couple de grilles ainsi obtenu en chaque position le long de la machine. Le couplage entre I’ecoulement moyen et l’ecoulement de grilles fait partie de I’analyse. 11apparait par le biais des equations de l’ecoulement moyen qui resultent dun processus de moyenne effectuee sur un domaine de periodicit du reseau de grilles. En meme temps, I’ecoulement moyen apparait comme un ecoulement non perturbe pour le probleme linearise qui d&nit l’ecoulement de grilles. La nature tridimensionnelle de I’ecoulement complet fait pat-tie integrante du mecanisme de couplage lui-meme, comme en temoignent l’existence de termes de sources dans chacun des deux systemes d’equations qui decrivent l’ecoulement moyen et l’ecoulement de grilles. Le principal objectif de ce memoire est de donner un premier element de reponse a la question de savoir comment mattre sur pied, d’une maniere aussi rationnelle que possible, un procede qui incorpore le schema familier d’ecoulement de grilles dans un calcul d’ecoulement moyen. Le principal resultat de cette etude consiste en ce que le concept d’ecoulement de grilles devrait etre revu et remplace par celui d’ecoulement instationnaire sur un reseau de grilles. I. INTRODUCTION CE M~MOIRE

est destine a presenter une methode d’etude de l’ecoulement tridimensionnel dans une turbomachine axiale et, specialement, dans un compresseur. Le fluide est suppose etre non visqueux et incompressible. La premiere restriction est essentielle et la principale raison qui incite 2 negliger les effets de viscosite est que l’on ne voit pas trbs bien comment on pourrait fabriquer un modele theorique qui en tienne compte des le depart. L’incompressibilitt n’est sans doute pas essentielle et elle est adoptee, ici, dans le but de simplifier I’analyse. L’hypothese simplificatrice sur laquelle repose tout ce modble est que le nombre N d’aubes par Ctage ainsi que le nombre des Ctages sont tous deux grands. Dans un memoire prCcedent[l], les consequences de I’existence d’un grand nombre d’aubes sur une roue ont CtC examinees, sous une forme qui implique que le rapport pas sur corde tend vers zero lorsque le nombre d’aubes augmente indefiniment. Cela conduit a un schema coherent mais relativement peu realiste. En fait, pour une dimension globale de la turbomachine donnee, si le nombre d’aubes augmente indefiniment, l’epaisseur du canal interaubes tend vers zero et si le rapport pas sur corde doit rester de I’ordre de l’unite, cela impose que l’epaisseur dune roue tend vers zero et que, par voie de consequence, le nombre d’etages augmente indtfiniment. Selon le schema consider& le probleme comporte deux Cchelles de longueurs qui sont dans le rapport E 4 1. L’echelle longue est like a la dimension globale de la turbomachine alors que l’echelle courte est definie par la corde d’une aube. Si 311

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l’ecoulement est examine a l’echelle courte, les aubes d’une roue paraissent arrangees en configuration de grille d’aubes. Mais comme, a l’echelle courte, la distance entre rous est d’ordre unite, les grilles d’aubes voisines doivent interagir les unes sur les autres. On est ainsi conduit a considerer l’ecoulement prenant place, non pas autour d’une grille d’aubes unique mais autour d’un systbme de telles grilles en alternance grille fixe grille mobile. Si, maintenant, l’ecoulement est examine a l’echelle longue, l’effet de grilles d’aubes doit etre consider-6 comme lisse par un processus de moyenne a definir et il ne reste plus que l’ecoulement moyen. A l’echelle courte, l’ecoulement apparait comme un Ccoulement plan bidimensionnel non stationnaire autour d’un systeme de grilles d’aubes. La tridimensionnalite de l’ecoulement intervient par des termes de sources qui expriment le couplage entre elements voisins. L’artifice consider-6 ici consiste B construire, en chaque point de la turbomachine, un tel Ccoulement plan bidimensionnel non stationnaire, localement tangent a l’ecoulement reel. Cet Ccoulement tangent n’est autre que l’ecoulement dans une turbomachine fictive que l’on peut appeler la turbomachine plane tangente en un point de la turbomachine reelle et qui est obtenue en coupant la turbomachine par un cylindre, en developpant sur un plan la section d’un &age par ce cylindre et en prolongeant cette section, qui definit une grille d’aubes fixes et une grille d’aubes mobiles, par periodicit de man&e 2 former un reseau de grilles. L’tcoulement tangent est alors l’ecoulement plan non stationnaire autour de ce reseau, compte tenu des termes de sources qui traduisent l’interaction entre les Ccoulements tangents voisins. Chaque parallele, caracterise en coordonnees cylindriques, r, 8, z par r = const. et z = const., donne ainsi naissance a un Ccoulement tangent. On se trouve done en presence d’une correspondance entre les points de la turbomachine et une famille d’ecoulements tangents qui presente la symetrie de revolution.? L’ecoulement reel et l’ecoulement tangent coincident sur le parallele de contact mais ils different en dehors de celui-ci; toutefois, cela est sans inconvenient car l’ecoulement tangent n’a pas de signification physique directe autre que celle de s’identifier avec l’ecoulement reel le long du parallele de contact. L’identification de chaque Ccoulement tangent avec l’ecoulement reel le long de son parallble de contact est le mecanisme qui relie contintiment les uns aux autres ces Ccoulements tangents. L’ecoulement reel n’est Cvidemment pas connu et il faut un autre mecanisme pour donner a l’ensemble des Ccoulements tangents une structure qui permette, precisement, de reproduire l’tcoulement reel. On y parvient en remarquant que toute la variation a l’echelle courte est reproduite par l’ecoulement tangent et que la variation d’un Ccoulement tangent a un autre ne s’effectue qu’a l’echelle 1ongue.S En effectuant une moyenne sur un domaine fondamental de periodicit associe 2 la turbomachine plane tangente, on efface les variations a l’echelle courte et ce pro&de permet d’associer a chaque Ccoulement tangent un vecteur vitesse moyen et une pression moyenne qui ne varient qu’a l’echelle longue. Le processus de moyenne engendre done un Ccoulement moyen qui a necessairement la symetrie de revolution, au m&me titre que la famille des Ccoulements tangents, et cet ecoulement moyen est structure par

tC’est la famille, et non chaque Ccoulement separement, qui presente cette symttrie de revolution. SConformCment a cette remarque, en premiere approximation, I’identification mention&e plus haut est effectuee sur un tore entourant le parallele de contact avec une section dont le diametre est de I’ordre de la dimension de I’echelle courte.

Application

du concept

313

d’Cchellesmultiples

des equations qui prksentent une grande analogie avec les Cquations usuelles de l’tkoulement moyen. Le procCdC imaginC dans ce mkmoire cons&e g reconstituer l’koulement tridimensionnel non stationnaire en rksolvant deux problkmes bidimensionnels couplCs. L’un d’eux est un probkme stationnaire dans le plan mCridien; il prCsente une forme classique et il a dkja CtCconsidCrC par de nombreux auteurs et notamment par Veuillot [2]. Le second problkme est non stationnaire plan mais prksente une forme qui n’a jamais &6 considCrCe jusqu’ici, semble-t-il. Les deux probkmes sont couplCs par un mkanisme qui apparaitra au tours de I’exposC. 2. ANALYSE DIMENSIONNELLE La turbomachine axiale, dans laquelle l’kcoulement de fluide parfait incompressible est considCr6, est schCmatisCe sur la Fig. 1 oti l’on a dCgagC un certain nombre de longueurs caractkristiques. Les diffkrents rapports d’kchelles de longueurs que l’on est ainsi amen6 B former contrblent, en fait, la structure de l’koulement et cela en fonction de ce que ces rapports sont petits ou grands en comparaison de l’unitk, l’intervention de ces petits ou grands “paramktres” permettant d’klaborer diff&entes thCories asymptotiques. Soit done: Lo la longueur totale de la turbomachine dans la direction axiale; D le diametre moyen; I l’kpaisseur moyenne d’une roue; 6 l’kpaisseur moyenne de 1’Ccart entre deux roues conskutives et enfin, e = &IN-’ l’kpaisseur moyenne de l’espace compris entre deux squelettes d’aubes conskcutives mesurke dans la direction azimutale. L’hypothkse fondamentale est relative au nombre d’aubes rkparties dans l’ailetage de chaque roue; en convenantt que ce nombre N est le mCme dans les roues fixes (stators) et dans les roues mobiles (rotors) on supposera que son inverse, E = N-’ est petit, E 4 1.

(1)

Tout en gardant E comme petit paramktre fondamental, il est clair que nous pouvons envisager diff6rentes situations en fonction des rapports d’khelles de longueurs intro-

r

/’

Fig.

1.ReprCsentation

schkmatique

de la turbomachine

axiale.

+En fait, comme on le verra par la suite, c’est I’ttage qui intervient et cela uniquement au niveau de l’koulement instationnaire tangent, aussi il suffit, formellement, de supposer que le nombre d’aubes dans chaque &age est grand; cependant, pour des raisons de simplicitt et surtout par ne pas compliquer inutilement le formalisme mis en oeuvre nous nous contenterons, dans tout ce qui suit, de cette hypothhse.

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duites plus haut. Par exemple, lorsque elm’ = O(1) alors que: e6-’ e 1

(2)

nous sommes dans une situation qui correspond a la theorie de “l’actuator disk” et aussi a celle des grilles d’aubes planes; cette dualite n’est pas fortuite, elle montre que l’on peut construire une theorie asymptotique coherente dans le cadre des developpements asymptotiques raccordCs[3] qui Ctablisse le lien entre le schema de l’actuator disk (developpement exterieur) et celui des grilles d’aubes planes (developpement interieur). Une autre situation, correspondant a I’hypothese que elK’e 1,

(3)

tandis que es-’ 20(l), a CtC systematiquement exploitee par Guiraud et Zeytounian dans les memoires [l] et [41, dont les conclusions sont en conformite avec celles de Legendre[5] et Sirotkin[6]. L’analyse asymptotique effectuee en[l] montre, en particulier, par quel mecanisme la variation azimutale peut &tre Climinee; ce mecanisme, qui n’est autre qu’un processus de moyenne, dtfini de manibre adequate, fait apparaitre une densite de forces artificiellement repartie dans Ie fluide, nulle en dehors des roues, qui schematise l’action motrice des aubes. On obtient ainsi, en premiere approximation, le schema classique de l’ecoulement moyen quasi de rCvolution[7] auquel on doit toutefois, en toute rigueur, superposer une structure fine fluctuante. Le defaut majeur de la theorie developpee en [I] et [4] consiste en ce que la condition (3) n’est pas realiste &ant donne que dans les turbomachines actuelles les aubages ne sent pas tri?s longs en comparaison de l’epaisseur du canal interaubes. Aussi, dans le present memoire nous considererons la situation correspondant 8: elm’ =0(l)

et

eS_’ = O(1)

et dans ce cas E = N-’ 4 1 est le seul petit parametre qui intervienne. En principe, il devrait Ctre possible de developper une analyse asymptotique correspondant a cette situation; cependant il semble Ctre assez difficile de la realiser de manike pratique sans hypothbse complementaire. Heureusement dans les turbomachines actuelles a haute performance et plus specialement dans les compresseurs, le nombre d’ailetages ou, plutot, le nombre d’etages (stator-rotor) peut etre pris 9 1. En se reportant aux Cchelles introduites plus haut, cela veut dire que nous avons a notre disposition un second petit parametre qui est: IL,’ 6 1.

(4)

Dans ce qui suit, nous voulons justement tirer profit de cette situation et developper une theorie asymptotique qui nous permette de faire apparaitre, sous les hypotheses (1) et (4) simultanement et au m&me niveau dans la hierarchic des approximations, I’tcoulement moyen et l’ecoulement localement bidimensionnel autour des aubes. 3. EQUATIONS

DE BASE

Nous faisons usage des coordonnees cylindriques, par rapport a un rep&e de reference fixe, r, 8, z et nous notons par u, ZI et w les composantes associees de la vitesse. L’ecoulement &ant, a priori, instationnaire il y a lieu d’introduire une variable temporelle t. Toutes les grandeurs variables sont rendues adimensionnelles par la voie habituelle: on choisit To, C??!, w,. W,, respectivement comme temps, rayon, vitesse an-

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Application du concept d’tchelles multiples

gulaire et vitesse axiale de reference et on prend TO comme unite de temps, P%comme unite de longueur, W@I comme unite pour la composante azimutale de la vitesse et finalement W, comme unite pour les composantes radiales et axiales de la vitesse. Deux parametres sans dimensions s’introduisent alors naturellement dans les equations, ce sont: w&z 52 A=-.-- 7 CL=(5) w,

Avant d’ecrire les equations,

*s-~’

on d&nit encore un coefficient

de pression

p = (pwf)-‘(P - p_>

(6) Si l’on introduit les

p avec des notations tvidentes.

relit? a la pression dimensionnee matrices suivantes:

on peut aisement mettre les equations regissant les Ccoulements de fluide parfait incompressible sous la forme matricielle: aT

az 1 as

aR

~+~+jy+-+++=o

H

(8)

oti il est clair que T est une matrice fonction lineaire de % et R, Z, S et H des matrices fonctions non lineaires de la mCme variable 52. L’une des conditions aux limites a associer a (8) sera relative au glissement du fluide parfait sur la surface definissant une variete materielle de notre Ccoulement. Soit 0 = F(t, r, z) une telle variete materielle

et soit aussi V = u& + Au& + wfz!:

(9)

le vecteur vitesse de notre Ccoulement, on Ccrira alors la condition de glissement sous la forme: Au

-

CL& ruLF_rwLF, at

4. STRUCTURE

ar

EN DOUBLE

a2

0

.

(10)

ECHELLE

L’idte de base est que l’ecoulement a une structure en double Cchelle. A l’echelle longue l’bcoulement est stationnaire et n’est pas influence de man&e detaillee par la forme precise des aubes. Cela conduit au concept d’ecoulement moyen. La forme precise des aubes est a prendre en compte, en revanche, pour predire les variations

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dans le temps et dans I’espace qui sont dues a l’ecoulement autour des aubes et au defilement des rotors devant les stators. NatureYement les variations en question interviennent a une Cchelle qui est 0( l/N) en comparaison de l’echelle qui decrit l’ecoulement moyen; il s’agit done d’une Cchelle courte. La structure en double Cchelle, si elk existe, est Cvidemment imposee par la geometric et il convient de l’introduire au niveau de la definition des aubes. A cet effet, nous supposons que les aubes sont dtfinies par un squelette au voisinage duquel elles sont construites, sous la forme: 8= O(r, 2) +27R{k +xe,z(t; 2, r, 2, E)} I t = (e/J)-‘t, 2 = E-I&

(11)

l’indice e(resp. i) caracterise l’extrados (resp. intrados) d’une aube la distinction &ant, au niveau actuel, purement conventionnelle. Le nombre k est destine a reperer le rang d’une aube dans chaque ailetage et il varie de 1 a N, avec 27reN = 2n. 11est clair que le temps n’intervient qu’a l’echelle fine et ce par l’intermediaire du mouvement relatif des aubes des rotors par rapport aux aubes des stators et il n’est pas necessaire d’insister sur l’intervention de K En revanche, il convient de commenter l’intervention simultanee de Z et 2. On suppose qu’une origine a CtCfixee pour la coordonnee z en convenant que z = 0 a l’entree de la machine, plus precisement a l’entree du systeme de roues, pour une valeur de r determinee. Dans ces conditions, z et 5 sont lies par la relation z = EZ et il peut paraitre superflu de les introduire simultanement. En fait, l’attitude adoptee est la suivante, en liaison avec la Fig. 2. Dans un voisinage O(E) de z = z0 la geometric de la turbomachine a une structure quasi periodique determinCe par la configuration d’un &age, repetee par periodicite. On imagine alors que, pour chaque z on construit une turbomachine rigoureusement ptriodique dans sa geombtrie qui est d&rite par l’intermediaire de la variable 2, z &ant fix6 et la relation z = EZ &ant, provisoirement abandonnee.: L’objectif poursuivi est de construire un Ccoulement dans cette turbomachine fictive dans l’espoir, fond6 comme on le verra, que cette construction est plus simple que celle de l’ecoulement dans la turbomachine reelle. On est done en presence d’une famille de turbomachines fictives, dependant du parametre z avec une famille correspondante d’ecoulements. Le resultat recherche s’obtient en retablissant la relation 2 = ET. La formule (11) montre que, dans une roue determinee, le canal interaubes de rang k est deflni par:

si l’on convient que 0 s X~< x, s 1, de telle sorte que les fonctions X~et x, sont relatives a deux aubes consecutives. Nous faisons explicitement ici l’hypothese que ces fonctions dependent de E, d’une manibre qui sera precisee ulterieurement. Le fait que la geometric de la turbomachine a une structure en double Cchelle conduit a rechercher un Ccoulement ayant, lui aussi, une structure en double echelle. On y parvient en effectuant le changement de variables: 13=O(r,z)+2m(k+~)

(12)

‘La geometric de la turbomachine presentant deux longueurs caracteristiques axiales, I’une like a L,, et l’autre a 21 + 6, (vcir Fig. l), la methode des Cchelles multiples consiste a faire correspondre a chacune de ces longueurs une variable bien determinee (ou quelquefois plusieurs) qui sent supposees alors independantes I’une par rapport a I’autre.

Application du concept

et en recherchant

317

d’tchellesmultiples

Ou sous la forme: % =%,(f,X,Z;r,z;E)

oti il faut considkrer

(13)

que: %(x + 1) = %+1(X), (14)

%+?V(x) = %(x).

11 va de soi que, dans les rksultats, il faut faire z = EZ, mais il est entendu que, provisoirement, z et z sont traitkes comme deux variables indkpendantes. En reportant (13) dans l’kquation (8) oti il faut se souvenir que z et Z sont re1iCes par z = EZ pour la solution recherchke, il vient, en convenant d’omettre dksormais I’indice k,

avec

La forme mtme de l’kquation (15) suggkre d’essayer un dkveloppement que de la forme:

asymptoti-

%! = ouO+&,+o(E2) et il vient, aprks substitution,

le systbme d’kquations rkurrentes

(17) suivant:

(18) ... .. . ... . .. . ... .. . ... . .. .. .. .. . ... . .. ... .. . ... . .. .. .. .. .. .. .. . ... .. .. .. .. . .. .. . ... .. . ... ..

Il est bon de noter un trait caractkristique de la hikrarchie d’kquations (18), qui consiste en une indktermination apparaissant B chaque &ape de la rksolution et qui doit &tre levCe lors de la rksolution de V&ape suivante. Ainsi, la premikre Cquation (18) est manifestement insuffisante pour dkterminer complktement 021,car sa dCpendance relativement g r et z reste arbitraire. Pour achever de dkterminer %, il faut examiner la seconde Cquation (18). Comme Qu, doit rester borne si la solution est physiquement interprktable et que cela doit avoir lieu pour 2 = E-‘z, f = (EW)-‘~ et x = (25~)-‘(0 - 0) - k oh z, t et 8 - 0 sont de l’ordre de I’unitC alors que E 4 1, on voit qu’il convient de rechercher une solution de la seconde Cquation (18) pour laquelle QI reste born6 quand f, Z et x augmentent indkfiniment. Nous verrons au paragraphe 6 comment on peut tirer avantage de cette condition pour complkter la determination de Ou,. Mais, avant d’en arriver 18, il convient d’examiner de plus prks la structure du systkme (18). 5. ETUDE DE LA STRUCTURE FINE Les equations (18), pas plus que (1.5), ne s’interprktent pas directement mais il est aisk de leur donner une forme plus classique. II suffit, 2 cet effet, de multiplier 5 gauche I’Cquation matricielle (15) par la matrice carrte 4 x 4

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(

et RADYADOUR

I

-

Q=

avec

hr(aOlar) /ia-’

0

0

0 rF’(a@/dr)

0

KH.

ZEYTOUNIAN

0 0

I 0

0 0 0 1

J

(19)

(20) et d’introduire

les nouvelles variables finest x =z-%I,

ay = E-‘r{O - O(r, 20))- 27n-k)

(21)

definissant le plan du cylindre developpe r = const, zn = E% permettant de localiser la roue de la turbomachine reelle au voisinage de laquelle l’etude fine est effect&e, comme cela est explique sur la Fig. 2. Finalement, si l’on introduit les nouvelles composantes de la vitesse U, V, W definies par U=

W,

SV=Au-r$u,

SW=u+Ar$L

(22)

on peut Ccrire le systeme, resume par l’equation matricielle (15), sous la forme: (23)

(24)

Les expressions .s$ 3, %, 9 qu’il est inutile d’expliciter ici font intervenir U, V, W, p et leurs derivtes partielles premieres par rapport a r et z mais aucune derivee partielle par rapport a f, X, y.f Cette remarque montre que, formellement, le systeme (23) (24) se decouple en un systeme d’equations pour U, V et p et une equation de transport pour W. On reconnait sur (24) les equations des Ccoulements plans, non stationnaires, d un fluide incompressible avec des sources de masse et de quantite de mouvement. Ce sont ces equations qui permettent de rendre compte du processus detaille de contournement des aubes et de l’effet instationnaire dQ au defilement des rotors en presence des stators. tEn

fait I’on a 6y = (r/c)(O - O,,) OITIO,,= O(r, z,) + 2&r,,

est une valeur

de rCf&ence

de 0.

319

Application du concept d’kchelles multiples

Fig. 2. SchCmatisation de la structure en double Cchelle dans la direction axiale.

La condition de glissement du fluide sur les aubes s’kcrit aidment, (10) (11) (21) et (22), sous la forme suivante:

en tenant compte de

qui est & Ccrire pour x = X~ ou x = xi. Cette condition de glissement met en Cvidence une triple pkriodicitt. 11y a d’abord une pCriodicitC en f de pdriode PT et ensuite une double p&iodicitC dans le plan x, y comme cela est indiquk sur la Figure 3, qui met en Cvidence les deux vecteurs pkriodes. Le premier d’entre eux z est lit5 5 la pCriodicitC de chaque grille, alors que le second AC est dCterminC par le dkalage, dans le sens des x, d’une aube avec son homologue sur la grille suivante, s’agissant toujours de grilles fixes uniquement. 11convient ici de s’arrCter un instant pour commenter le passage de (8) au systbme (23) (24). Le problkme initial comporte trois variables d’espace r, 8, z et, B ce titre, il est extrsmement complexe, si l’on tient compte de plus qu’il est instationnaire ce qui introduit une quatrieme variable, le temps t. G&e 5 l’introduction d’une structure en double tchelle une rCduction d’une dimension d’espace a pu Ctre effect&e et l’on a B traiter un probkme bidimensionnel. Le caractkre tridimensionnel du problkme initial kapparaft par l’intermkdiaire des seconds membres; par ailleurs, il a fallu introduire, A titre de param&tre, une variable suppkmentaire qui correspond au dkdoublement de z en z et ,T &ant entendu que, au niveau des rbsultats, il faut faire .z = ET. I-e lien entre I’Ccoulement dCfini par (24) (25) et l’kcoulement initial est le suivant. 11faut imaginer que la turbomachine est coupCe par r = Const. et que cette section est developpke sur un plan non sans avoir, au prtalable, modifi6 la turbomachine pour en faire une turbomachine rigoureusement pkriodique aprbs dkveloppement. Cette opkration doit ktre

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320

flxe

A

mob1

le

_

Fig. 3. Coupe r = const et dkveloppement.

rtp&Ce pour chaque valuer de Y et z. En definitive, il faut rksoudre une famille 5 deux paramktres d’koulements plans, chacun de ces probkmes comprenant autant d’ktages que le problkme tridimensionnel initial. Le couplage entre les Ccoulements ainsi mis en Cvidence s’effectue par le biais de la condition mentionke B la fin du paragraphe 4 dont nous allons voir, maintenant, comment on peut tirer parti. 6. EQUATIONS ConsidCrons

I’Cquation

g&&ale x+27Tr

ax

MOYENNES

(15) que nous ( LaT+L at

\p

tcrivons

9 +27Trtx=o a.21

sous la forme:

(26)

avec (27)

Soit, dans le plan (2, x) un parallClogramme de ptriodes 9’(f), dkpendant du temps de telle man&e que ce paralklogramme contienne toujours un stator et un rotor uniquement; cela n’est naturellement possible que si certaines contraintes gComCtriques sont satisfaites; nous supposons ici que c’est effectivement le cas. Soit, encore, X(f) le domaine inttrieur 5 9(f) mais extkrieur ti la section des deux aubes contenues dans 9(f) et (X), le domaine d’espace engendrt par C(r) quand f parcourt une pkriode. Sur la Figure 4 nous avons reprtsentC (a), la section de 2 ti f = const. et celle (b), 5 2 = const. Par la suite, C,(f) (respectivement C,(f)) dksigne le contour d’une aube fixe (respectivement mobile) dans le plan (5, x); le sens positif &ant de Z vers x. Enfin C, (respectivement C,) est la surface cylindrique engendrke par C,(f) (respectkement par C,(t)) quand t parcourt une pkriode, tandis que 9 est engendre par p(t).

Application

du concept

d’kchelles

b;

321

multiples

b;

(b/

fal Fig. 4. Section

du domaine

(2) respectivement

2 t = cte (a) et g z = cte

(b).

II est utile de noter que C, est dCfini par x~.~qxhs!(T) et C, par xe.i = xbli’(f 2). Pour obtenir des Cquations moyennes 5 partir de (26) il suffit d’intkgrer cette Cquation matricielle sur tout le domaine d’espace C; on obtient ainsi: {aT + 27w(pZ + rT)} ds + 27~~

ff

az

f-11 (X)

Zddtdzdx

(28)

oti ax = a?? U C, U C, et (Y,p, y sont des coefficients qui dkpendent de la gComCtrie de Z et qui prennent des valeurs diffkrentes sur a!??, C, et C,. Introduisons la notation usuelle: VI = fix=*+- flx=c

(29)

pour indiquer la discontinuite de f entre les deux faces d’une aube avec la convention? quex+>x-; nous pouvons expliciter (28) en skparant les contributions qui proviennent de a!iP, C, et CS, soit:

(30)

+ 2m•

111

.T df dz dx,+

(2)

+ If {al-

2mQZ

+ yT)} ds = 0.

,w

Avant de poursuivre, arr&ons-nous sur le dernier terme de (30). 11 ne faut pas oublier que l’on d&ire mettre en oeuvre le dkveloppement (17); mais alors le terme en question est dheloppable selon les puissances de E et le coefficient de E” dans son dkveloppement n’est autre que:

II

{a r,, + a~r(pz,,

+ rTh )I ds.

il”p

tConform6ment

IJES-Vol.

12. No. 4-D

B (1 l), on a x’ = k + 1 + ,y., alors

que X- = k +x..

(31)

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et RADYADOUR

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ZEYTOUNIAN

Considerons maintenant l’ensemble des domaines 9 qui composent le domaine couvert par la turbomachine sur un intervalle de temps qui est O(l), a l’echelle longue. Soit II le domaine en question et aIT son bord, il est clair que:

Elf {ar,

Btll

+2w(~Z,

+ y~‘~)lds =

II

iar,

+ 27rr(PZ, + YTn)l ds

(32)

car les contributions des faces des &P se detruisent deux a deux sauf pour celles qui constituent precisement alI. Le nombre de P qui composent II est de l’ordre de N3 de sorte que l’aire de alI est de I’ordre de N’. En vertu de la condition posee en fin du paragraphe 4, r,, Z, et T, sont born& de telle sorte que le second membre de (32) est de l’ordre de N’. Maintenant, r,,, Z, et T, sont periodiques en ? et en x de telle sorte que l’on peut repartir les 9’ E II en classes, tous ceux d’une meme classe &ant congrus modulo le vecteur periode AC. On peut alors Ccrire la somme du premier membre de (32) sous la forme: (33) Les termes

C sont identiques par la condition de periodicite en f et en x de telle PEclasae sorte que, comme le nombre de classes est O(N’) il vient:

x If {d,

BEclasse a9

+ 2wr(PZ,

+ yT,)l ds = O(l).

(34)

Si l’ecoulement admettait, tout comme la geometric, le vecteur periode AC il resulterait de (34) et du fait que le nombre de 89 par classe est O(N) * 1, que:?

II

(a

r, + 2nr(PZ,,

+ YT” 11ds = 0.

(35)

11va de soi que l’ecoulement ne possbde pas, en toute rigueur, la periodicit z, de sorte que l’on ne peut exclure que (34) soit realisee par une compensation des termes entre eux, mais on peut remarquer que la periodicit geometrique impose une certaine tendance a la periodicit de l’ecoulement ce qui rend peu vraisemblable la compensation en question. Nous proposons d’utiliser la conjecture que: la condition pose’e &la fin du paragraphe 4 impose comme conskquence la relation (35), c’est-d-dire, en dkfinitive, I ‘annulation du dernier terme de (30).$ Revenons alors a cette relation pour en expliciter l’avant dernier terme en tenant compte du fait que (Z) depend de r et z pour effectuer la

permutation

de alar et a/a2 avec _fJ_f; il vient ainsi, d’aprbs (27):

111

zdidzdx

(L)

=$

111

R dTdZdx+-$

(2)

111

Z dt dz dx

(X)

+I1 faut bien voir que la construction des Du. rksulte de I’application rtpCtCe du passage B la limite E -0 qui Cquivaut B N + 00. $11 est clair que la relation (35) est une hypothtse beaucoup plus faible que celle d’admettre la pCriodicitC de I’Ccoulement et surtout qui semble plus rkaliste du point de vue physique.

Application

du concept d’khelles

323

multiples

(36)

ce qui permet d’expliciter dkfinitions suivantes:

la relation (30). A cet effet, il est commode d’introduire

ICY”IAf* =

moyennant

1j-j f df de? dx

les

(37)

quoi, il vient:

=

hf C+"C+ rf 5

-&+;+T+e$R+

On peut simplifier considkrablement

z+~ ( ax

“1

1

Z dfd2.

(38)

(38) en notant la relation:

(39) avec

et en remarquant que C#Js’annule sur les aubes en vertu de la condition de glissement exprimke par (10) oti F dCsigne le second membre de la premikre relation (11); il vient ainsi: r 1

(41)

324

JEAN-PIERRE

GUIRAUD

et RADYADOUR

KH.

ZEYTOUNIAN

L’equation matricielle (41) est equivalente a un systeme de quatre equations scalaires; ce sont les equations moyennes de la presente theorie; elles jouent un role analogue aux equations du meme nom obtenues dans la reference [ l] et Cgalement par Legendre [5] et Sirotkin [6]. Des differences interviennent dans la forme mais aussi, ce qui est plus important, dans l’interpretation. Pour la forme, il faut comparer (41) avec (42) de la reference [ I] en tenant compte de (44) et (46) de cette m&me reference. 11 faut remarquer que I’ecoulement moyen est suppose ici etre stationnaire ce qui n’etait pas le cas dans la reference [ I]. Moyennant cette remarque, on constate que le dernier terme du second membre de (41) n’a pas son analogue dans la theorie precedente. La raison en est tres simple. Comme ce terme fait intervenir ax/&? il est essentiellement lie a la structure fine de la geometric des aubes, structure fine qui Ctait absente dans la precedente theorie. La combinaison ((3AR */&-) + (a AZ*/&) + (A/r)H* se retrouve identique dans les deux theories, la difference portant sur la signification de f* qui est donnee ici par (37) et par (34) de la reference[l] pour la precedente theorie. En ce qui concerne les deux autres termes, le seule difference Porte sur le fait que tout terme [g] de la precedente theorie est a remplacer, ici, par

[g]

df dz.

En se referant a la precedente theorie, on voit que les deux termes du second membre de (41) peuvent s’interpreter comme donnant des densites volumiques de force, la premiere suivant la direction du vecteur a(0 - 0) tout comme avant et la seconde suivant la direction du vecteur &. Au niveau de I’interpretation les differences avec la theorie de la reference [ l] sont si profondes qu’il est vain de chercher a faire un rapprochement et nous allons nous borner a donner l’interprttation actuelle. 11 faut d’abord remarquer qu’il convient de considerer simultanement (23) (24) d’une part et (41) d’autre part. Une premiere remarque s’impose: cet ensemble d’equations re’alise d’une man&e rationnelle le processus iteratif imagine par Wu [9] pour n’avoir a traiter que des problemes bidimensionnels. En effet, (23) et (24) definissent un schema d’ecoulement dans le plan du cylindre Y= const., developpe (Ccoulement tangent), alors que (41) definit un schema d’ecoulement ayant la symetrie de revolution (Ccoulement meridien moyen). Toutefois, on se rend vite compte que l’analogie n’est que formelle car le couplage entre les deux Ccoulements est tres different ici de celui qui apparait dans la theorie de Wu. La seconde remarque est que le schema d’ecoulement correspondant a (23) (24) est relatif a une turbomachine fictive obtenue en prolongeant par periodicite un &age determine de la turbomachine reelle et, bien entendu, en coupant par r = const. En particulier, toute la difficulte liee aux effets cumules des sillages se retrouve au niveau de ce probleme. On peut remarquer a ce propos que l’hypothese faite au debut de ce memoire, selon laquelle les roues fixes et les roues mobiles ont le meme nombre d’aubes ne joue plus aucun role dans l’interpretation du resultat et peut etre levee.: Comme nous l’avons dit plusieurs fois, le schema d’ecoulement correspondant a (23) (24) doit etre considere, en fait, comme conduisant a une famille a deux parametres de tels Ccoulements. En chaque point de la turbomachine, il convient de construire un +I1 faut alors

changer

le formalisme

et reformuler

la conjecture

qui conduit

?+(35).

Application

du concept

d’kchelles

325

multiples

Ccoulement de ce type que I’on peut qualifier, en quelque sorte, d’kcoulement tangent en ce point. Les Ccoulements tangents sont plans instationnaires et ils forment une famille ayant la symktrie de rkvolution ce qui fait que la famille en question ne dCpend que des deux parambtres r et z. L’Ctat d’koulement en un point de la turbomachine rCelle s’identifiet avec l’ttat d’koulement pour la turbomachine fictive plane tangente sur ce que l’on peut appeler le paralkle de contact; en dehors de ce parallble de contact, l’koulement fictif doit Ctre considCrC comme un intermkdiaire de calcul. La famille des Ccoulement tangents n’acquiert une structure, concernant la man&e dont elle depend des paramittres r et z, que si l’on examine son couplage avec l’kcoulement stationnaire mkidien moyen. Pour chaque valeur de Y et z l’bcoulement tangent supposC calculk permet de determiner par l’intermkdiaire de la dkfinition (37), les grandeurs moyennes R*, Z*, H* et les forces fictives que interviennent dans les tquations (41). Comme I’opCration moyenne a fait disparaitre toute dkpendance en t; x et y, il est clair que les equations (41) peuvent Ctre considkrkes comme un systkme d’kquations donnant g la famille des kcoulements tangents la structure en r et z qui rktablit la tridimensionnalitk. Au niveau de celle-ci la gComCtrie dCtaillCe des aubes n’intervient plus et les grandeurs moyennes posskdent la symktrie de rkvolution. 11n’est Cvidemment pas question d’appliquer la condition de glissement et celle-ci doit etre remplacke par une condition qui ne peut pas, du moins dans le cas gCnCra1, Ctre formulke, a priori, et qui exprime le couplage avec les Ccoulements tangents. Ce couplage est Cvidemment trks complexe puisque d’une part les grandeurs moyennes qui interviennent dans (41) dkpendent en fait de toute l’information contenue dans l’kcoulement tangent et que, d’autre part, celui-ci dCpend g son tour des valeurs moyennes. Toutefois, comme on va le voir aux paragraphes 7 et 8 qui suivent, lorsque l’on met en oeuvre le mkcanisme de dkveloppement en E un grand degrC de dkcouplage apparait. 7. PREMIERE

APPROXIMATION

Nous nommons ainsi I’approximation I’kcoulement tangent nous avons

%‘“” = a0

par reference

?I (17). Au niveau de

(42)

I

$+!$o, awe+U,awo at

ax

I

”

awco ay

(43)

’

avec. sur les aubes (44) -1 En rkalitk,

il faut tenir compte

de W alors que I’6coulement

fictif ne fait intervenir

que U, V et p

326

JEAN-PIERRE

11 faut, naturellement,

GUIRAUD

et RADYADOUR

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ZEYTOUNIAN

supposer que xc et xi sont developpables xe.i = ,ye,i,o+

EXe.i.1 +

* * .

sous la forme: (45)

et c’est x~.~,~ qui intervient dans (44). 11est raisonnable de supposer, lorsque le nombre d’aubes N est tres grand, que la deviation causee par chaque aube est petite, de l’ordre de N-‘. Cela conduit a un ecoulement tangent uniforme, caracterise par des valeurs constantes de U,,, V,, p. et W,. Cela est conforme a (42), (43) et (44) pourvu que: (46) 11 est clair que, pour les aubes fixes Q,.~,~/x~O et il en resulte que, pour elles a~,,~.Jax = 0 Cgalement. Pour les aubes mobiles ~x~,~.,/x est constant et il en est de m&me de ~,,~,,,/ax d’apres (46). Cette dernike relation n’exprime pas autre chose que le triangle des vitesses de la theorie Clementaire. 11faut noter que, a ce niveau, le fait, pour l’ecoulement tangent, d’etre dtfini en dehors du parallele de contact est sans incidence pratique puisque cet Ccoulement tangent est uniforme et stationnaire bien entendu. On remarque que ,Y..~= xi.o (mod 1) et que l’on a A0= 1 et @,, = a,,. Au niveau de la premiere approximation, l’ecoulement tangent n’est autre que l’ecoulement moyen prolonge en dehors du parallele de contact. Tout le probleme revient a determiner comment cet Ccoulement moyen depend de r et z. A cet effet, il faut utiliser (41) apres avoir divise par E et effect& le passage a la limite E +O. Le premier membre de (41) donne des termes qui ne font intervenir que %, alors que le second membre fait intervenir la pression en seconde approximation. En revenant aux composantes u,,, ,&, w0 de la vitesse et en Ccrivant:

vo=uoz,+ AV”$

+ w&

(47)

on voit aisement que (41) conduit a (48) et (44) compte tenu de (46) et (22) donned’:

vo~a(e-o>=o. tLa condition (49) exprime au niveau de la premiirre tangents dont il a &k question & la fin du paragraphe respectivement par II, et F, les expressions: I &lF cy:

I

approximation le couplage avec les tcoulements 6. Nous avons dksignk dans les Cquations (48)

[pldtdf 2nlCFle

(49)

-II,;

Application

du concept

d’khelles

multiples

327

On peut exprimer II, et F, 2 l’aide de la repartition de pression en seconde approximation a condition de prendre en compte les contributions concentrees aux bords d’attaque mais cela n’est pas necessaire a ce niveau. En formant la combinaison qui conduit a l’equation de l’tnergie, on obtient l’equation:

qui montre que F, est la composante de la densite de force moyenne, s’exercant sur le fluide au niveau de l’ecoulement moyen, qui fournit un travail au guide. La premiere composante de la force II,a(e - O), elle, ne fournit aucun travail. On peut voir que F, provient d’une part du mouvement relatif rotor-stator, d’autre part des forces de bord d’attaque. Deux attitudes peuvent Ctre adoptees ici. Selon un premier point de vue, on peut considerer II, et F, comme des don&es, ce qui revient a se donner la repartition des charges dans la turbomachine, s’agissant en fait de la repartition entre &ages. Dans ces conditions (48) forme un systbme ferme avec les conditions sur le moyeu, le carter et a l’infini amont et aval. L’equation (49) fournit alors la fonction 0, c’est-a-dire la forme du squelette de la turbomachine (c’est ce que l’on peut appeler le probleme inverse). L’habillage de ce squelette est un probleme qui appartient a la seconde approximation. Selon un second point de vue, on peut se donner la fonction 0, c’est-a-dire le squelette de la turbomachine et F,, c’est-a-dire la repartition, entre les &ages, du travail fourni, comme le montre (50). Dans ces conditions, (48) et (50) moyennant les conditions sur le moyeu, le carter et a l’infini amont et aval, forment un systeme ferme qui determine a la fois 3, et KI, (probleme direct). 8. SECONDE

APPROXIMATION

Nous nommons ainsi l’approximation Ou”’= 3, + E%, par reference a (17) et nous appelons approximation de rang un le systeme defini par a,. L’ecoulement tangent, au niveau de l’approximation de rang un verifie

(51)

(52) ou les seconds membres, qui sont independants de f, x, y, sont des fonctions connues de r et z des que la premiere approximation a CtC determinCe comme il a CtC exp1iquC.t WI W, doit rester born&, il est nkessaire, ainsi comme consequence de (48).

comme

le montre

(52), que 5Bdo = 0. On vkrifie qu’il en est bien

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JEAN-PIERRE

GUIRAUD

et RADYADOUR

KH.

ZEYTOUNIAN

Naturellement, il y a lieu d’imposer des conditions de glissement SW le rCseau de grilles d’aubes fixes et mobiles qui schkmatise la turbomachine tangente. Ces conditions peuvent, si on le desire, &tre formulCes explicitement 2 partir de (25). Enfin il y a lieu d’imposer des conditions B l’infini amont et aval ainsi qu’une condition de pkriodicitk en ?. Naturellement (51) et (52) ne determinent 3, qu’g une fonction arbitraire de r et z prks; il n’y a pas lieu de s’en Ctonner car cette fonction arbitraire dkfinit l’koulement moyen au niveau de l’approximation de rang un. Si l’on ne s’intkresse pas B cet aspect de la question, les Cquations (51) et (52) avec les conditions aux limites sont en nombre suffisant pour permettre de dkterminer la structure fine de l’kkoulement. 11est clair que cette determination pose un probkme numkrique trk difficile dont la solution qui en sera donnCe conditionne Cvidemment le succk pratique de la pksente thkorie. 9. CONCLUSION

L’Ctude entreprise dans ce mkmoire montre qu’il est possible de reconstituer le caractke tridimensionnel de l’koulement dans un compresseur en rksolvant successivement deux problemes bidimensionnels dont l’un s’interprgte classiquement en termes d’kcoulement moyen alors que l’autre constitue une extension du concept d’koulement autour de grilles d’aubes planes. Ainsi, en rkponse 2 la question: comment placer un schema de grilles d’aubes dans le contexte des Ccoulements tridimensionnels? on peut dire qu’il faut substituer au concept de grille d’aubes celui du rCseau de grilles en alternance grille fixe grille mobile, moyennant quoi, le prksent memoire indique comment il faut proceder pour que des calculs d’koulement autour de tels rCseaux permettent de reconstituer l’koulement tridimensionnel. 11 reste B trouver un pro&d6 numkrique ou approximatif efficace pour traiter le problkme du rCseau de grilles. L’extension de la prCsente thkorie au cas des Ccoulements d’un fluide compressible ne semble pas soulever de difficult6 essentielle. Remerciements-Les auteurs tiennent, en terminant. g remercier M. R. Legendre, Haut Conseiller Scientifique 5 I’0.N.E.R.A. qui a t&s sensiblement contribuC, au tours de nombreuses discussions, 5 clarifier diffkrentes questions apparues au tours de ce travail. C’est ainsi que les auteurs s’ktaient initialement engages sur une voie apparamment sans issue en cherchant ?I tirer avantage d’une pkriodicitk au moins approximative pour I’Ccoulement tangent. C’est j la suite de critiques constructives formukes par MM. R. Legendre et J. Fabri que le schema prCsentC dans ce m&moire a Ctt tlabork. BIBLIOGRAPHIE J. P. GUIRAUD et R. Kh. ZEYTOUNIAN, Recherche Ae’rospatiale 2, 65 (1971). J. P. VEUILLOT, Recherche ALrospatiale 6, 313 (1971). M. VAN DYKE, Perturbation Methods in Fluid Mechanics. Academic Press (1964). J. P. GUIRAUD et R. Kh. ZEYTOUNIAN, Recherche ACrospatiale 5, 237 (1971). R. LEGENDRE, Recherche ALrospatiale 1, I (1971). YA. A. SIROTKIN, FZuid Dynamics (translation of Izv. A. N. SSSR, Mekhanikn Zhidkosti 64 (1967). [7] W. R. HAWTHORNE et R. A. NOVAK, Ann. Rev. Fluid Mech. 1, 341 (1969). [8] J. D. COLE, Perturbation Method in Applied Mathematics, chapitre 3. Blarsdell (1968). [9] WU, CH-HUA, Trans. ASME 74, 1363 (19.52). [l] [2] [3] [4] [5] [6]

(Received

6 February

i Gaza) 2,

1973)

Abstract-An asymptotic theory to the flow in an axial compressor is presented with the aim of devising a coupling process between the so-called meridian through flow and the flow around cascades. The small parameter E is the inverse of the (supposed B 1) number of blades per row and/or number of stages. As a matter of fact, the cascade flow is treated as a small perturbation of the through flow and has to be computed,

Application

du concept

d’echelles

multiples

329

locally, as the two dimensional unsteady flow around an array of couples of cascades alternately fixed and in motion. The array is constructed by developing on a plane the section of the compressor by a circular cylinder, and continuing by periodicity, the couple of cascades, so obtained, at each location. The coupling between through flow and cascade flow is part of the analysis. It occurs by the way that the equations of through flow are obtained through an averaging process, completed on a domain of periodicity of the array of cascades, while the through flow appears, locally, as an unperturbed flow for the linearized problem defining the cascade flow. The tridimensional nature of the complete flow is built in by the coupling itself, as is visualized by the occurence of source terms in each of the two sets of equations describing through how and cascade flow. This paper is aimed at giving a preliminary answer to the question of how to devise an, as rational as possible, way of inscribing the familiar scheme of cascade flow within the computation of a mean through flow. The main output is that the concept of cascade flow should be revisited and reassessed as one of unsteady flow around an array of cascades.

asymptotische Theorie zum Strom in einem axialen Turhoverdichter wird mit der Absicht vorgelegt, ein Kupplungsverfahren zwischen dem sogenannten Meridian durch den Strom und dem Strom urn Kaskaden auszuarbeiten. Der kleine Parameter l ist der Kehrwert der (angenommen B I) Zahl der Schaufeln pro Reihe undioder der Stufenzahl. Tatsachlich wird der Kaskadenstrom alj kleine StiirtIng de\ Durch-Strome\ behandel! und muss lokal ais der zweidimensionale unstetige Strom urn eine Gruppierung von Kaskadenpaaren herechnet werden, die abwechselnd feststehen und in Bewegung sind. Die Gruppierung wird konstruiert, indem auf einer Ebene der Schnitt des Verdichters mit einem kreisformigen Zylinder entwickelt wird und durch Periodizitiit das so erhaltene Kaskadenpaar an jedem Ort fortgesetrt wird. Die Kupplung zwi\chen Durch-Strom und Kaskadenstrom is1 ein Teil der Analyse. Es kommt vor, dass die Gleichungen de\ Durch-Stromes durch ein Mittelwertverfahren erhalten werden, vervollstandigt an einem Domiin der Periodizitiit der Gruppierung der Kaskaden, wahrend der Durch-Strom lokal als ungestorter Strom fur da\ linearisierte Problem erscheint, das den Kaskadenstrom definiert. Die dreidimensionale Natur des vollstiindigen Stromes wird durch die Kupplung selbst eingebaut, wie durch da\ Vorkommen von Quellen-ausdrucken in beiden Gleichungssltzen sichtbar gemacht wird, die Durch-Strom und Kaskadenstrom beschreiben. Diese Arbeit strebt, eine vorlaufige Antwort auf die Frage zu geben, wie, so rationell wie miiglich, das familiare Schema des Kaskadenstromes in die Berechnung eines durchschnittlichen DurchStromes einrurchreihen. Der Hauptertrag ist. da\;\ der Begriff des Knskadenstromes neu aufgenommen und als unstetiger Strom urn eine Gruppierung van Kaskaden neu bewertet werden ~11. Zusammenfassung-Eine

presenta una teoria asintotica del HUSW in un compressore assiale allo scope di arrivare ad un procedimento di accoppiamento tra il fluosso passante meridiano ed il flusso attorno ai deflettori. II piccolo parametro E c I’inverso del numero (suppoqto b I) di palette per fila e/o del numero di stadi. In realm il Russo attorno ai deflettori viene trnttato come una piccola perturbazione del Russo passante e dev’essere calcolato localmente come il flusso instabile bidimensionale attorno ad unn disposizione ordinata di coppie di deflettori alternativamente fissi ed in movimento. La disposiozione ordinata viene costruita sviluppando in un piano la sezione del compressore ottenuta con un cilindro circolare e continuando per periodicita la coppia di deflettori cosi ottenuti in ciascuna locazione. L’accoppiamento tra il tlus~ passante ed il flusso attorno ai deflettori fa parte dell’analisi. Accade the le equazioni del Russo pnssante vengono ottenute con un procediment~I di media e completate in un dominio di periodicita della disposirione ordinata di deflettori. mentre il tlu\so pascante appare localmente come un flusso non disturbato per il problema linearirzato the definisce il Russo attorno ai deflettori. La natura tridimensionale del flusso complete e insita nell’accoppiaInento stexao. come si ptIiI visualizzare dalla presenza di terinini d’origine in Ciascuno dei due gruppi di equazioni the descrivono il Russo passante ed il Russo attorno ai deflettori. In questo articolo si cerca di offrire una risposta preliminare al problema di come trovare un modo, il piti razionale possibile, per inscrivere lo schema familiare del flusso attorno ai deftettori entro il calcolo di un Russo medio passante. II risultato principale e the il concetto del flusso nei deflettori dovrebbe venir ristudiato e rivalutato come un flusso instabile attorno ad una disposizione ordinata di deflettori. Sommario-Viene

A6cTpaw DpeACTaBneHa aCAMnTOTHYeCKaR TeOpHn IIOTOKa B OCeBOM KOMIIpeCCOpe C UeJIbIO IIOJIyYHTb CBII3b MemAy TaK-Ha3bIBaeMbIM MepHAHOHaJIbhbIM IIpOXOAHbIM IIOTOKOM II 06TeKaHHeM KaCKaAOB. ManbIfi napaMerp 8 RBnfleTCx o6paraoC BeJniWHOfi o6mero KOnWIeCTBa (npHHnTOrO@ 1) AOnaTOK Ha PSA H/HA&I KOJIH’IeCTBa KaCKaAOB. Ha CaMOM AeJIe paCCMOTpeH KaCKaAHblfi nOTOK KaK MaJIOe B03MymeHMe IIpOXOAHOrO IIOTOKB, YTO HYXHO Bbl’IHCJIBTb JIOKaJIbHO B @OpMe AByMepHOrO HeCTauHOHapHOrO 06TeKaHHB CHCTeMbI nap KaCKaAOB nOOHepeAH0 nOABI0KHbIX ‘I HeIIOABWKHbIX. 3Ta CHCTeMa IIOCTpOeHa IIpH pa3BHTHH CeBeHHII KOMnpeCCOpa Ha IIJIOCKOCTU nOCpeACTBOM LWIMHApa II IICPAOAHWXKUM IIpOAOA~eHHeM nOIIyBeHHOi napbl KaCKaAOB B KaxAOM IIOIIOW(eHHH. CBa3b MexAy npOXOAHbIM H KaCKaAHbIM nOTOKaMH COCTaBJIlieT ‘IaCTb aHana3a. ffpu 3TOM ypaBHeHHB IIpOXOAHOrO nOTOKa nOlIy’IaIOTCII yCpeAHeHHeM n0 o6nacru nepHOAHBHOCTH

330

JEAN-PIERRE

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