Communication FSK a voies diversite non identiques — comparaison avec un codage correcteur d'erreur

Signal Processing :2 (1980) 151-172 © North-Holland Publishing C o m p a n y

COMMUNICATION FSK A VOLES DIVERSITE NON COMPARAISON AVEC UN CODAGE CORRECTEUR

IDENTIQUES-D'ERREUR

G. J O U R D A I N Institut National Polytechnique de Grenoble, C E P H A G - F N S I E G , Domaine Universitaire B.P. 46. F-38402 St-Martin-d'H&es, France Received 22 January 1979 Revised 5 June 1979 and 1 October 1979

Abstract. A n FSK communication system using 2nd or 3rd order diversity schemes is investigated in presence of Rayleigh fading. Special attention is devoted to the case of non equal signal and noise powers in the diversity paths and the effects of the single path fading is discussed. Some numerical and graphical comparisons are given. The second part of this paper compares the performance of such a diversity system to error correcting code schemes in terms of mean error probability and channel capacity. Several figures illustrate the results. Zusammenfassung. Ein M e h r w e g e - ( ) b e r t r a g u n g s s y s t e m mit FSK unter d e m Einflu§ yon Rayleigh-Fading wird untersucht. Besondere Beachtung wird d e m U b e r t r a g u n g s w e g e n ungleich sind zweiten Teil der Arbeit werden Fehlerwahrscheinlichkeit und der

Fall gewidmet, in d e m die Leistungen von Signal und St6rung auf den verschiedenen oder Fading nur auf einem Wege auftritt. Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird diskutiert. Im die Eigenschaften eines solchen Diversity-!~lbertragungssystems a n h a n d der mittleren Kanal-Kapazit~it mit Verfahren, die fehlerkorrigirende Codierung verwenden, verglichen.

R~sume. O n s'int~resse aux performances d ' u n syst6me de communication utilisant un signal binaire cod~ en fr~quence (FSKt et une ~mission-r~ception en diversit6 d'ordre 2 ou 3. On suppose que le milieu de transmission cr6e un fading de type Rayleigh. L'obiet sp6cifique iciest de s'int~resser au cas o/l les puissances signal et bruit ne sont pas identiques sur les voies de la diversitd. On 6tudie par exemple l'influence d ' u n affaiblissement de puissance sur l'une des voies diversitY. On donne des comparaisons chiffr~es concernant la probabilit6 d'erreur sur un digit modul6 FSK, dans les diff6rents cas. Dans une, 2~me pattie on compare avec les m ~ m e s hypotheses les performances de ce type de syst6me fl diversit6 avec un syst~me correcteur d'erreur (n'utilisant pas la diversitY). Les comparaisons iltustr~es par diff~rentes courbes concernent la probabilit~ m o y e n n e d'erreur sur un mot transmis et la capacit6 en bit/seconde.

Keywords. U n e q u a l diversity frequency shift keying (FSK), Rayleigh fading, capacity of an error correcting code.

1. Introduction II existe de nombreux travaux sur les performances de syst6mes de communication qui utilisent le codage binaire fr~quentiel (FSK) d'une part et qui, d'autre part, supposent un syst6me d'6mission-r~;~ception en diversit~ (temporelle, fr6quentielle ou spatiale [2, 7, 9, 10, 17, 19]. Dans toutes ces ~tudes, on suppose l'identit~ des puissances sur les voles de la diversitY, au moins en ce qui concerne les bruits. Nous nous sommes int6ress6s dans une premi6re partie fi 6tudier sp6cialement les performances du syst~me FSK avec diversit6 d'ordre 2 ou 3 lorsque les puissances signal et bruit sont diff6rentes d'une voie fi l'autre. Nous supposons que la perturbation due au milieu de transmission et affectant les signaux 6mis, est de type R A Y L E I G H sur chaque voie, et ind6pendante d'une vole ~ l'autre. Le r6cepteur utilis6 est le r6cepteur optimal (r.o.) correspondant aux hypotheses de la transmission, mais avec puissances signal et bruit identiques d'une vole fl l'autre. On compare ~galement les performances 151

G. Jourdain / Communication FSK

152

obtenues avec un syst~me pond6r6 (dans le cas de la diversit6 d'ordre 2) et un r6cepteur h d6cision majoritaire (pour la diversit6 d'ordre 3). La performance est ici d6finie par la probabilit6 d'erreur sur un digit binaire modul6 FSK, et des comparaisons num6riques et graphiques sont donn6es dans les diff6rents cas.

Dans une 2~me partie on s'int6resse aux performances d'un syst~me de communication de type FSK qui utiliserait diff6rents proc6d6s de redondance: l'un est la diversit6 d'ordre 2 ou 3 ci-dessus 6tudi6e (la redondance est introduite au niveau du digit transmis); l'autre est un codage correcteur d'erreur (la redondance est introduite au niveau du mot transmis). Ces proc6d6s de redondance encombrent diff6remment l'axe temps (ou fr6quence) et sont de complexit6 diff6rente. On les compare en ce qui concerne la probabilit6 moyenne d'erreur sur un mot, et le d6bit maximal d'information obtenu (capacit6). L~ encore les comparaisons sont donn6es sous forme num6rique et graphique.

2. Probabilit~ d'erreur d'un syst~me de transmission FSK en diversit~ sur voies ~ attenuations diH~rentes

2.1. Rappel des rdsultats connus 2. I. 1. Le systOme F S K Les signaux d'6mission en codage binaire fr6quentiel sont: Ho:

So(t)=x/2a(t) cos[2rrfot+fb(t)],

O<~t<- T,

Hi:

sl(t)=x/-2a(t)cos[2rrf'ot+Cb(t)],

O<-t<~T.

(1) On suppose que le signal est du type bande 6troite, c'est-~-dire que que la phase 4>(t) et l'enveloppe a (t) sont lentement variables vis-h-vis des fr6quences porteuses fo et f~. Celles-ci sont suffisamment espac6es pour que So et Sl soiefft orthogonaux. Soit Et l'6nergie de a(t). C'est encore l'6nergie de So(t) ou s~(t). Le mod61e de transmission choisi est un fading de Rayleigh qui affecte en amplitude et phase le signal transmis, de sorte qu'~ la r6ception les signaux sont toujours orthogonaux et: H0:

r(t)=x/2va(t) cos(2~rfot+Ck(t)+O)+o~(t),

O<~t<~T,

Hi:

r(t) = x/-2va (t) cos(2"rrf~t + ~b(t) + 0) + oJ (t),

0~ t~ T

ofa oJ(t) est un bruit blanc stationnaire, centr6, gaussien, de densit6 spectrale de puissance moyenne (d.s.p.m.) No~2, ind6pendant de v et 0. La grandeur v e s t une variable al6atoire (v.a.) de Rayleigh, (E{v 2} = 2o'2). La variable al6atoire 0 est 6quipartie sur (0, 2"rr). Le r6cepteur optimal (r.o.) est construit suivant le sch6ma classique rappel6 ci-dessous (voir Fig. 1). La r6gle de d6cision est la suivante: on choisit H0 si U > Z , Hi dans le cas contraire. Soit E = 2o'2E, l'6nergie moyenne transmise. Avec les hypotheses faites on sait que Z et U sont 2 v.a. de lois respectives conditionnellement ~ l'hypoth~se H0:

p(z

]H0) =

exp

-

,

z>0;

p(u I n o ) - - - e x p

1

E+No

E

'

u>0.

(1)

La probabilit6 d'erreur de transmission sur un digit de dur6e (0, T) est, en supposant les 2 hypothbses Ho et H1 6quiprobables: p = 1/(2 Signal Processing

+E/No).

(2)

153

G. Jourdain / Communication FSK ¢r[a(t)c~as [2~fot + ~ ( t ) ]

n (2~fot~+~(t))

U°

~-

_

r(t)

s(2~f°t+~(t))

Co

v

(

Fig. 1. R6cepteur optimal pour une transmission FSK.

2.1.2. Transmission F S K avec diversitd fi M voies et rapports S / B identiques On suppose que l'on 6met des signaux du type (So, sl) sur M voies de diversit6, soit diversit6 temporelle, (i.e. avec M r~p6titions du signal 6mis), soit diversit6 fr6quentielle (correspondant ~ M fr~quenees porteuses (/1 ou [~ ) . . . (fM OU f~t)). On suppose que toutes les voies diversit6 sont affect6es d'un fading de type Rayleigh, que toutes les v.a. v et 0 de fading sont ind6pendantes dans leur ensemple, et que les rapports signal ~ bruit E / N o sont les m~mes sur chaque voie. La procedure optimale de r6ception [15, 20, 21] consiste alors ~t faire la somme l des diff~rentes quantit6s Vi d6finies sur la Fig. 1, et ~ comparer l a 0: M

M

1= K Vi = Z ( U i - Z i ) . i=l

(3)

i=1

On obtient la probabilit6 d'erreur correspondant a M voies de diversit6 [11, 12, 15, 20, 21].

1 ~-1 (m + M - 1 ) ! ( I + E / N o ) m P(e) = (2+E/No) M Z o mT.--.-.~---l~ \ 2 + E / N o ] "

(4)

2.1.3. Autres hypothkses de calcul connues Sans vouloir mentionner toutes les ~tudes concernant l'6mission FSK avec diversit6 (voir par ex. la bibliographie de [9] et [21]), citons les autres hypoth6ses de travail qui se rapprochent te plus du cas 6tudi6 ici: (a) Fading de Rayleigh non inddpendant sur les voies diversitd. La r6f6rence [15] donne la probabilit6 d'erreur P(e ) dans le cas de la diversit6 2, lorsque les amplitudes des signaux requs sont li6es statistiquement par une loi conjointe de Rayleigh. Cette m~me r6f6rence donne encore un r6sultat lorsque les amplitudes sont ind~pendantes, mais lorsque les bruits sont corr616s. Dans le m~me ordre d'id6e, citons aussi une 6tude plus g6n6rale sur la diversit6 d'ordre M, tenant compte de corr61ation entre voies prises 2/~ 2 [16]. (b) Rdception cohgrente. Si l'on suppose que l'amplitude et la phase sont connues ~ chaque r6ception, le r.o. est 6videmment un r6cepteur coherent. La r6f6rence [10] donne la probabilit6 d'erreur dans le cas FSK avec diversit6 d'ordre M. D'autre part, Lindsay [ 11, 12, 13] 6tudie les cas coh6rent et incoh6rent pour des signaux soit binaires, soit N-aires. Citons aussi une 6tude off le r6cepteur est partiellement coh6rent [14]. (c) Signaux binaires non orthogonaux. D'autres syst6mes que le FSK sont 6tudi6s par E11] et [12]. Vol. 2, No. 2, April 1980

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G. Jourdain / Communication FSK

(d) Des mod61es de transmission plus complexes que le fading de Rayleigh seul ont 6t6 6tudi6s. D'une part, darts toutes les r6f6rences de Lindsay, le module de transmission peut comporter en plus de la composante al6atoire, type Rayleigh, une composante sp6culaire (mod61e de Rice) ]-11-14]. D'autre part Bello et Nelin [2] 6tudient un mod61e de transmission dans lequel le signal subit une modulation v(t) pendant la dur6e de la transmission ("fast-fading"). (e) Citons enfin des 6tudes concernant le concept g6n6ral de diversit6: Price [17] introduit la notion de "multi-voie" - Kennedy [9] 6tudie la diversit6 implicite (au niveau signal), et explicite (au niveau du canal). Darts toutes ces r6f6rences, les rapports E / N o ont 6t6 supposes identiques sur chaque voie vole de diversit6 (dans certains cas les auteurs ont suppos6 les puissances signal diff6rentes, mais les puissances bruit sont toujours suppos6es identiques d'une voie h l'autre), ce qui a permis de calculer facilement la densit6 de probabilit6 sous forme de convolution fi M dimensions d'une m~me quantit6. 2.2. Transmission F S K avec diversitd d' ordre 2 pour des puissances signal et bruit diffdrentes sur chaque voie En reprenant les hypothSses du Paragraphe 2.1.1, on envisage une diversit6 d'ordre 2, en supposant que les puissances des signaux, aussi bien que des bruits, sont diff6rentes sur chacune des 2 voies. On suppose toujours que les fading sont de type Rayleigh sur chaque voie, qu'ils sont ind6pendants entre eux et ind6pendants des bruits. Par contre, sur une voie, on suppose que les puissances sont identiques autour defo

etf~. Soient Nm et N02 les dspm des bruits, et Ea et E2 les 6nergies moyennes des signaux regus sur les 2 voies. On pose 1 1 1 1

0q ----Nol,

0e2 No2'

fll

/32 = E2 +No2"

E,+Nm

(6)

2.2.1. R&epteur identique 5 celui vu ci-dessus Supposons d'abord qu'on ne tienne pas compte dans le r6cepteur du fait que les puissances signal et bruit sont diff6rentes sur chaque voie de la diversit6. Voyons quelle perte de performance vis-fi-vis du cas ci-dessus entraine cette dissym6trie. Supposons toujours Ho et H , 6quiprobables. Le r6cepteur effectue la somme des v.a. V1 et V2: W = VI+ V2 P(e ) = P ( W > 0[Ho) = P(Z1

--

01

"[- Z 2 - U 2 >

OlSo).

(7)

Pour ne pas alourdir la pr6sentation, la quantit6 P(e) est calcul6e en Annexe 1. On obtient P(e) =

1 + 1 oLi/~ 10{2/~2 ( 1 -~ ((~1 "+-j~ 1)(OL2 "+-/~2) O/10¢2 ~1 (~1-~/~2) ~2(~2 q- ~1))

(8)

Cette probabilit6 d'erreur d6pend non seulement des rapports signal d bruit moyen de chaque voie de la diversitd pi = EJNoi, mais aussi du rapport des dspm des bruits par exemple r = Nol/Noz, et peut encore s' exprimer par: 1

P(e)=(pl+2)(p2+2 )

02+1 ~!

1+ r - -

pz+l+r

r

o1+1

l

pl+l+l/rJ"

(9)

(a) Supposons par exemple m~me dspm de bruit sur les 2 voies de diversit6: a l -- a2 = a, mais 6nergie moyenne transmise diff6rente. En fonction des rapports signal ~ bruit sur chaque voie p~ = E J N o , i = 1, 2, ou en fonction des probabilit6s d'erreur sur chaque voie Pi = 1/(2 +p~), on obtient: P(e)

SignalProcessing

-

8+5p1+5pz+3pxp2 (2+pl)e(2+pz)2 = p l P 2 ( 3 - p l - p z ) .

(10)

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15 5

Les 6volutions de P(E) en fonction des pi sont donn6es en traits pleins sur la Fig. 2 et compar6es avec le cas off pl = p~. On a 6galement port6 le cas FSK simple pour comparaison. (b) Si, en plus, les puissances transmises sont identiques/3 ~ = ~32 on se retrouve dans le cas du Paragraphe 2.1.2.; l'expression (8) d o n n e alors

P(e ) = (4 + 3E/ No)/(2 + E / No) 3 = p ~ ( 3 - 2 p )

(11)

ce que l'on retrouve en posant M = 2 dans l'6quation (4). D a n s le 3 6me terme de (11), p est la probabilit6 d'erreur en diversit6 1, d o n n 6 e par 1 / ( 2 +E/No).

'

E21N o

I i

=0,1

10 - I

v

to 10 -2

.el

!C-3

Eli'S: ~ : p !3 - ~

~ (v.ole

7

15

13

'.7

20

p ~

:f

Probabilite d'erreur sur un digit dans le cas de la diversit~ d'ordre 2, avec rapports signal 5 bruit diff6rents sur les 2 voles. FSK simple P(E) --. - m ~ m e rapport signal ~ bruit sur les 2 voles P(~ ) ~ (amplitude) sans pond6ration P'(e) . . . . Y (amplitude) avec pond~ration Fig. 2.

P(e ) ..........

Vol 2, No. 2, April 1980

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2.2.2. Autres schdmas de r&eption Lorsque le rapport signal h bruit est faible sur l'une des voies il parait 6vident que les quantit6s V1 et V2 ne doivent pas ~tre prises en compte de fagon identique. (a) La mdthode de "Swith diversity" [15] consiste h ne retenir que la voie diversit6 pour laquelle le rapport signal ~t bruit est le plus fort. La Fig. 2 donne le r6seau de courbes P(e) en fonction de pl lorsque le rapport signal h bruit de la 2 ~me voie varie de - 10 dB ~ + 2 0 dB. On voit que, d6s que 1192est sup6rieur 0 dB, la diversit6 2 est malgr6 tout int6ressante. (b) La ponddration ci-dessus est draconienne. La m6thode optimale consiste h pond6rer la sortie des 2 voies en tenant compte des valeurs diff6rentes des rapports signal ~ bruit sur chaque voie. Certaines 6tudes [3, 8] ont donn6 des pond6rations dans des cas particuliers. On d6veloppe en Annexe 2 une proc6dure optimale de pond6ration sur une voie, conduisant h une nouvelle valeur de la probabilit6 d'erreur donn6e par

0/10/2 f 1 (0/1--~1~1)/0/1 0/2(0/1--f11)'+-f11(0/2--f12) "(0/2-fl2)/0/2 ] P ' ( e ) - ( 0 / l +131)(0/2+[32)[0/laz+0/l(0/2_B=)+[32(0/l_[31) ~ .

(12)

Supposons les puissances de bruit identiques: r = 1. En fonction de pl et p2, l'6quation (12) devient:

P'(e)-(2+pl

{

1

1

~ 01 l+p2' "

1 +-02 191 1 +02

1 +Ol

/92 1--'~plJ

2+02) 1+

1

~_P__21+01 +

1

1

(13)

I1 est int6ressant de comparer l'6quation (13) avec l'expression (10) pour r = 1. La Fig. 2 donne aussi le r6seau de courbes P'(e) en fonction de 01, pour diff6rentes valeurs de/92. On constate que les valeurs de P'(e) sont 16g6rement inf6rieures ~ celles de P(e) lorsque px est diff6rent de/92.

2.3. Transmission F S K avec diversitd d'ordre 3. Puissances signal et bruit diffdrentes sur chaque voie 2.3.1. Formule gdndrale On 6tend ~ 3 voies de diversit6 les hypoth6ses du paragraphe ci-dessus. Le r.o. 61abore la somme des v.a. V1, V2 et V3. Le calcul de la probabilit6 d'erreur P(e) = P( VI + V2 + V3 > 0 I Ho) est fait en Annexe A2. On obtient avec des notations g6n6ralisant celles donn6es par (6) et que l'on rappelle ici: ai = 1/No~, ~i = 1~(El +Nol), i = 1, 2, 3. p(e)

=

0/10/20/3e1e2e3

/(1+1~(

1

1

1

)

(0/1 +~81)(0/2+/~2)(0/3+f13)/k0/3

~3]\0/10/2 "} 0/2(~81-~-0/2) + 0/1(0/i-'{-~2)"

+1[ 1 0/3[- (0/3 "["01)(0/2 -+-Ol)

1

1

]

(0/1 "+"~2)(0/3 + J[~2)q- (0/3 "+"~2)(0/3 q" ~1)

1 1 1 + (0/1 q~2)(0/1 q" ~3)' (0/2 q-~3~0/1 "{'-~3) {"(0/2-~"~1)(0/2 q" ~3)

]}"

(14)

La sym6trie de cette formule vis-a-vis des indices 1, 2, 3 a ~t~ v6rifi6e num6riquement. De la m~me fagon que ci-dessus on peut maintenant envisager des pond6rations sur 2 voies.

2.3.2. Cas oft les bruits sont identiques sur les 3 voies de diversitd avec puissances signal diffdrentes La formule (14) peut alors s'exprimer uniquement en fonction des rapports signal h bruit pi sur chaque

SignalProcessing

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voie.

1 { ~ a+pi 3(3(a+pi)(l+pj)~l P(e)-(2+pl)(2+pz)(2+p3) 1+i=12+p,+,~1= i~ (-~p~~pj)/j

(15)

ce qui p e u t e n c o r e s ' e x p r i m e r e n f o n c t i o n de la p r o b a b i l i t 6 pi d ' e r r e u r q u e l ' o n aurait sur c h a q u e voie:

pi =Ei/No,

p, = 1/(2 +p~),

P(e) =plp2p3(p 2 +p~ +p23 + p l p 2 + P l p 3 + P 2 P 3 - 5 p 1 - 5 p 3 + 10)

(16)

(a) Comme cas particuier, si les 6nergies signal s o n t e l l e s - m ~ m e s i d e n t i q u e s , les 6 q u a t i o n s 115) et (16) deviennent: 1

P(e):=(2+p)5(lOp2+25p+16), --=p3(10-15p+6p2),

p =E/No,

p = 1/(2+p)

(17)

ce qui c o r r e s p o n d h la f o r m u l e (4) avec M = 3. (b) Baisse de puissance sur 1 ou 2 voies. L ' e x p l o i t a t i o n de la f o r m u l e (16) a 6t~ faite d ' u n e part e n e n v i s a g e a n t u n fading i m p o r t a n t sur u n e voie (p -- 0, 1 o u p = 1) alors que les 2 autres voies o n t m ~ m e r a p p o r t signal ~ b r u i t p = E/No; et d ' a u t r e part e n e n v i s a g e a n t u n fading sur 2 voies d a n s le cas d i v e r s i t 6 3 (Not6 Div. 3, cas (a)). Les r6sultats sont consign6s d a n s la p r e m i 6 r e partie d u T a b l e a u 1 o~) o n a report~ les r6sultats o b t e n u s p o u r pl = p2 = p3 (sans fading) p o u r c o m p a r a i s o n . Tableau 1 Etude de la probabilit6 d'erreur sur un digit. Comparaison des syst6mes ~ diversit6 d'ordre 3 avec ou sans fading

E/No Prob.

sans d'erreur fading 1 voie FSK

5 10 20 50 100 150

0.14 0.08 0.045 0.02 0.01 0.007

Probabilit6 d'erreur Div. 3 (cas (a))

sans fading

Probabilit6 d'erreur Div. 3 (cas (b))

Fadingsur 1 voie

Fadingsur 2 voies

Fadingsur 1 voie

Fading sur 2 voies

E'/No

E/No

E'No

E'/No

E'/No

E/No

E'/No

E'/No

=0.1

=1

=0.1

=1

=0.1

=1

=0.1

=1

0.05 0.02 0.005 0.001 0.0003 0.0001

0.17 0.10 0.06 0.025 0.013 0.009

0.10 0.06 0.03 0.015 0.008 0.005

0.14 0.079 0.043 0.018 0.0095 0.006

0.10 0.06 0.03 0.01 0.007 0.004

0.3 0.27 0.25 0.24 0.23 0.23

0.17 0.15 0.13 0.12 0.11 0.11

0.023 0.06 0.005 0.02 8.8 x 1 0 4 0 . 0 0 7 7 x 10-5 0.001 10_5 0.0004 2.8x10 -60.0002

0.053 0.018 0.0059 0.0012 3 x 104 1.5x104

On constate que dans le cas de baisse de puissance sur une seule voie, la diversit~ d'ordre 3 est toujours meilleure que la diversit~ d'ordre 1 ou 2. Par contre dans le cas de "fading" sur 2 voies, la diversitd d'ordre 3 n'est meilleure que si les 2 voies "affaiblies" sont d rapport signal d bruit sup~rieur d 0 dB. 2.3.3. Comparaison avec un rgcepteur d d~cision majoritaire D a n s le cas de diversit6 3, u n syst6me s o u s - o p t i m a l consiste h p r e n d r e u n e d6cision Ho o u H1 sur c h a q u e voie, et e n s u i t e u n e d6cision de m a j o r i t 6 e n t r e les 3 r6sultats. Vol. 2, No. 2, April 1980

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158

La probabilit6 d'erreur correspondant fi ce sch6ma sous-optimal est, en supposant toujours Ho et H1 6quiprobables:

P(e) =plpz+pzp3+pap3-2plp2p3,

Pi = 1/(2 +p~)

(18)

(a) Dans tousles cas, P(e) donn6e par l'6quation (18) est plus forte que celle donn6e par les 6quations (14) ou (15). Ceci appara?t nettement si les probabilit6s d'erreur sur chaque voie (done les rapports E ] No) sont identiques: Dans le cas de la diversit6 3 avec somme des amplitudes (cas a), la probabilit6 d'erreur donn6e par l'~quation (1 7) est proportionnelle ?t p 3. Dans le cas de la d6cision majoritaire (not6e Div. 3, cas (b)), cette probabilit6 d'erreur donn6e par l'6quation (18) est proportionnelle d p2. (b) Les 6tudes avec baisse de puissance sur 1 ou 2 voies sont consign6es dans la 2 6me partie du Tableau 1 pour faciliter les comparaisons. On constate en particulier que la ddcision majoritaire est gt peine meilleure que le systOme F S K simple quand le rapport signal fi bruit sur une voie est trOsfaible (de l'ordre de O, 1) La eomparaison entre Div. 3, cas (a) et Div. 3 (cas (b) montre que pour la gamme des rapports signal fi bruit intYressants, le cas (a) est bien meilleur que le cas (b) et ceci de fagon proportionnelle au rapport signal fi bruit

ElUo. 3. A p p l i c a t i o n / l un cas de c o m m u n i c a t i o n

3.1. Introduction Les calculs th~oriques pr~sent~s ci-dessus ont trouv6 leur application dans l'6tude d'un probl6me de communication en acoustique sous-marine [7, 5]. Les probl6mes de fading 6tant importants dans le milieu de propagation, l'utilisation de la diversit6 semblait int6ressante pour diminuer la probabilit6 d'erreur ~ la r6ception. D'autre part comme il s'agissait d'un probl6me de transmission de messages cod6s ?~l'aide du codage binaire FSK ("0" pour f0, et " 1 " pour/~)) nous avons 6tudi6 le gain de performance apport6 par un codage correcteur simple. On peut, dans une certaine mesure, comparer les performances de ces 2 types de redondance. Nous nous int6ressons done au probl6me suivant: Soit ~ transmettre N messages (ou mots) cod6s ~ l'aide de n digits binaires. N = 2". Chaque 616ment binaire est soit 0 (hypoth6se Ho, ou fr6quence/o), soit 1 (hypoth~se H1 ou fr6quence f~). Le canal de transmission est suppos~ affecter chaque ~16ment de faqon ind6pendante, et lui faire subir un fading de type Rayleigh ainsi qu'il a 6t6 d6erit ci-dessus. Remarquons d~s h pr6sent qu'il s'agit ici de transmission N - a i r e de signaux (N = 16). Les 16 signaux ne sontpas orthogonaux ~ l'entr6e du canal de transmission et ils ne sont pas corr616s de fagon identique 2 h 2. I1 est donc 6vident que ce syst6me est sous-optimal vis-a-vis de ceux 6tudi6s par Kennedy par exemple [9] off les signaux N-aires transmis sont orthogonaux. Pour diminuer la probabilit6 d'erreur fi la r6ception, on se propose soit d'utiliser un syst6me de diversit6 d'ordre M (par exemple, temporeUe, i.e. de r6p6ter M fois chaque mot 6mis), soit d'utiliser un codage-bloc d6tecteur et correcteur d'erreur (de type Hamming). La comparaison sera d'autant plus int6ressante que les d6bits d'information seront du m~me ordre de grandeur (nombre approximativement 6gal de digits redondants). Aussi nous avons choisi les ordres de grandeurs suivants: N --- 16, n = 4. Le codage d6tecteur et correcteur d'une erreur est le codage C(7,4) [18]. Des comparaisons pr6cises sont faites entre les r6cepteurs ~ diversit~ d'ordre 2 et 3 6tudi~s ci-dessus (avec puissances signal et bruit 6ventuellement diff6rentes sur les voies diversit6), et le r6cepteur ~t code Signal Processing

G. Jourdain / Communication FSK

159

correcteur d'erreur. On 6tudie pour chacun des syst6mes la probabilit4 moyenne d'erreur de transmission d'une part, et le d6bit moyen d'autre part. 3.2. La transmission F S K simple (1 voie) de 16 messages 3.2.1. La source IX] comporte 16 messages {x~} suppos6s 6quiprobables de probabilit6 1 / 1 6 chacun. Chaque x~ est compos6 de 4 digits 1 ou 0 suivant la fr6quence centrale 6mise (f0 ou f;). On suppose la source simple. La transmission de chaque digit de chaque message x~ - 6 t a n t donn4 les hypoth6ses de fading de type R a y l e i g h - se fait avec une probabilit6 d'erreur p = 1/(2 + E / N o ) (2). Le canal est suppos6 sans m6moire (erreurs ind6pendantes sur les digits successifs). A la r6ception, 16 messages (yi) peuvent ~tre re~us quelque soit le message 6mis, suivant que le nombre de digits faux est 0, 1, 2, 3 ou 4. L'alphabet de [ Y] est le m~me que celui de [X]. 3.2.2. Ire schdma de transmission T

[X] --, [Y] est d6crit par un canal de transmission bruit6 T, [1], dont la matrice de transition est une matrice carr6e [H]16×16, de terme g6n6ral rrj/i = p(yj I xi), 1 ,z i, ] ~ 16. Etant donn6 les hypoth6ses faites, la loi de probabilit6 des erreurs sur un message est la loi binominale de param6tres (n, P) ol) n vaut 4 et P est la probabilit6 d'erreur sur un digit. En prenant le m~me ordre pour les messages/l l'entr6e et h la sortie, les alphabets d'entr6e et de sortie 6tant les m~mes, la matrice de transition est sym6trique par rapport ~ ses 2 diagonales. C'est par exemple:

~0

[HI:

~1

~1

~2

~1

~2

~2

77"3

77"1

7/"2

~2

~3

~2

~3

~3

~0

~2

~1

~2

~1

~3

77"2

77"2

"/T1

~3

~2

~3

~4

~4

~0

~1

~2

~3

~1

77"2

77"2

"/7"3

~1

~2

~3

~4

T0

~3

~2

~2

77"1

77"3

71"2

~2

~1

~4

~0

~1

~1

77"2

37"2

77"3

~3

~4

~0

~2

77"1

77"3

77"2

~4

~0

77"1

77"3

31"4

77"0

7r4

,/7.4 / /

77"0 \ \

/ / / / /

k

~4

(19)

\ k

\ \

Dans le tableau (19) 7rk correspond h une configuration de k digits faux dans le mot. Avec les hypoth6ses ci-dessus la probabilit6 de chaque configuration ~ k digits faux est la m~me soit: 7r0 = ( 1 - p ) 4

= qo,

7r2=p2(1-p)2 = ~1q 2 ,

¢rl = P(1 _ p ) 3 = l q l ' 17"3=p3(1-P)

= ~1q 3 ,

77"4 = p 4

= q4.

(20) Vol. 2, No. 2. Aprd 19811

160 3.2.3.

G. Yourdain / Communication FSK C a p a c i t d d' un tel c a n a l de t r a n s m i s s i o n

Le canal est doublement sym6trique. Sa capacit6 est donc [1]: 16

C =log2 16+ Y. rr(xjli) log i=1

7"r(xjli)

= 4 + q0 log qo + ql log ,~ql + qz log ~q2 + q3 log lq3 + q4 log q4. En utilisant les expressions donn6es en (20) on obtient: C = 4(1 + P log P + (1 - P ) log(1 - P ) ) = 4Co bits

(21)

o fa Co = 1 - H ( P , 1 - P); H ( P , 1 - P ) est l'entropie de la loi (P, 1 - P). Co est la capacit6 d'un canal binaire sym6trique de probabilit6 d'erreur P. En effet, ~tant donn6 les hypoth6ses faites, le canal T est 6quivalent la r6union [1] de 4 canaux identiques, de capacit6 individuelle Co, et donc la capacit6 de T e s t la somme des capacit6s des 4 canaux. C a p a c i t ~ e n bits/sec. Pour chiffrer les performances en bit/sec de ce canal, il faut par exemple fixer T h i sec.

Le maximum d'information par seconde qui traverse le canal est alors: C' = ¼C = Co bit/sec.

(22)

On conserve habituellement pour C' comme pour C le terme de "capacit6" mais C' est exprim6e en bit/sec. 3 . 2 . 4 . Probabilit~ m o y e n n e d ' e r r e u r de t r a n s m i s s i o n

La r6gle de d6cision ~ la r6ception est ici la plus simple possible car les alphabets d'entr6e et de sortie du canal sont identiques. La r6gle de d6cision est donc: "6tant donn6 xj requ, on d6cide que x i a ~t6 6mis". La probabilit6 moyenne d'erreur de transmission de ce r6cepteur est alors:

i=1

]~i

j=l

Les xi sont 6quiprobables, et le canal T sym6trique; donc 16

Er = ~. 7rill = 1 - "rfi[i ]=1

Er = 1-(1

:

1 - qo,

_p)4.

(24)

On donne, au sein des Figs. 3, 4 et 5, les variations de Er en fonction du rapport signal ~ bruit E / N o , pour ce syst~me d6nomm6 " F S K simple". 3.3. L a t r a n s m i s s i o n type F S K a v e c diversit~

Le sch6ma de transmission [X]-~ [Y] ~ l'aide du canal de transmission T et de la matrice ~-, sont applicables ~ t o u s l e s syst6mes utilisant la diversit& Les r6sultats qui s'en d~duisent: capacit~ en bits (formule (21)) et probabilit6 moyenne d'erreur (formule (24)), sont toujours valables en se rappelant que P repr6sente la probabilit6 d'erreur sur un digit. SignalProcessing

G. Jourdain / Communication FSK

161

Er 1

\

i0 -I

10-2

i

\"

\ \ \

\

I

'\

\

\

\

10-3

\ \

\ \\ "\ I I

10 -4 C

3

1

2

~

II,

I \

L i

J

1

7

1C

13

l"

%

1C

2C

SC,

\

2" _

\

~s

2 0 dE?, 1(1¢s

Fig. 3. Probabilit~ moyenne d'erreur sur un mot pour les diff6rents syst~mes. - Code correcteur d'une erreur ..... X (amplitude) Diversit6 d'ordre 3 ........ Diversit6 d'ordre 2, et Div. 3 Ddc. maj. • FSK simple

D a n s le cas de la diversit6 2, P doit d o n c ~tre calcul6 par l'expression (8) (dans le cas g6n6ral ofa les puissances ne sont pas identiques sur les v o i e s diversit6). D a n s le cas de la diversit6 3 (cas (a), P sera calcul6 par l'expression (14). D a n s le cas diversit6 3 (cas (b)), P sera calcul6 par l'expression (18). Explicitons ceci: 3.1.1. Diversit~ d' ordre 2 S u p p o s o n s par e x e m p l e les puissances de bruit identiques, mais les rapports signal ~ bruit diff6rents s u r les 2 voies. Vol. 2 No. 2, April 1 9 8 0

162

G. Jourdain / Communication FSK

~o.. ''~ "" ---

~

.~,'~.

%

\ ~ ' ,"',

~~

~\

',,\ "-,~, "K

10-3

I0 - 4

j

E/No

1

5

13

2C

50

0

7

10

13

17

130 2C (dB)

Fig. 4. Probsbili[6 m o y e n n e d'erreur sur un m o t en diversit6 d'ordre 2 avec puissances diff6rentes sur Ics voles.

Code correcteur d'une erreur - - - - - - Div. 2 E'/No = 10, 20, 50, 100

........

Div.2 E/No = E / N o

La probabilit4 m o y e n n e d'erreur sur un mot est donn6e par: E,=I-(1-P)

4,

avecPdonn6par(10),

P=P1P2(3-P1-P2),

Pi = 1 / ( 2 + ( E / N o ) i ) .

(25)

La capacit6 du canal en bit/sec vaut alors: C ' = ½[1 + P log P + (1 - P ) log(1 - P ) ] bit/sec.

off P

est donn6 ci-dessus par (25).

Signal Processing

(26)

G. Jourdain / Communication FSK

163

Er

r

i

I

-

i

\\\~,

10~

1

~>.

,

\\\

<,,%

\

+

,X\\

x \ ) \ ~'\\\

i

i

I

i

"

\I ,

i :

o

i

i ]

!

1 0 -4

!

i

3

7

]C,

22

~C

109

LO

~2

17

~£ (d3}

E/~; c

Fig. 5. Probabilit6 moyenne d'erreur sur un mot. Comparaison des diff6rents syst6mes avec affaiblissement de puissance. .... Div. 3 Z (ampli) m~me E/No sur les 3 voles Div. 3 5" (ampli) E'/No = 1, 5, 10 ......... Div. 3 D6c. maj. = Div. 2 (E/No = E'/No) -~ Code correcteur d'une erreur FSK simple

3.3.2. Diversitd d' ordre 3. S o m m e s des amplitudes carrdes (a) Si l ' o n s ' i n t 6 r e s s e d ' a b o r d on

a u c a s off l e s r a p p o r t s

s i g n a l fi b r u i t s o n t t o u s i d e n t i q u e s

sur les 3 voles,

a"

Er = :l-

1

10p~+25p + 16] 4 (2+0) 5 J '

E P =N,--~

(27) Vol. 2, No. 2, April 1980

G. Jourdain / Communication FSK

164

et la capacit6 en bit/sec vaut maintenant: C' = 1{1 + P l o g P + ( 1 - P ) log(1 - P ) }

a v e c P = p 3 ( 6 p 2 - 15p + 10).

(28)

(b) Supposons par exemple qu'il y ait un affaiblissement sur l'une des voies de la diversit6 (E'/No # E/No sur les 2 autres voies). La probabilit6 d'erreur sur un digit s'obtient ~ partir de (16) en posant pl = Pz = p et P3

=P': /~r = 1 --(1 _ p ) 4

avec P = p 2 p ' ( 3 p E + p i 2 + 2 p p ' - 10p - 5 p ' + 10),

C' = ½{1 + P log P + (1 - P) log(1 - P)} bit/sec.

(29)

3.3.4. Diversit~ d'ordre 3 avec ddcision maforitaire - (m~mes puissances signal et bruit sur les 3 voies). On a /~,=1-(1-p)4

avecP=p2(3_2p),

(30) C' = ½(1 + P log P + (1 - P) log(1 - P) bit/sec. Diff6rentes courbes sont donn6es concernant d'une part la probabilit6 moyenne d'erreur ~'r (Figs. 3, 4, 5) et la capacit6 C' (Figs. 6 et 7). C'bit/s, 0,6

0,5

Diversit~

2

Diversit~

3

0,4

0,3

~(ampli)

Diversit~ "3 D6cision majoritaire

0,2

0,1

2 S

1~0

~0 Fig. 6. Capacit6 en bit/sec des diff6rents syst&mes.

SignalProcessing

--)--E/N°

G. Jourdain / Communication FSK C'

165

bit/sec

0,5 Code

N

0,5

col~Pect eur'

0 20

DJ vet's it6

2

O,q

iiiy?:ll /,,.,f ',

'~'

M

o,+ lit+# II;1/; /

I

"'

I

'~; 37

: 7

; 10

I 13

Code

eoPt-ccteur,

+i,,

3

E(ampli)

m4me

K/N °

. . . .

Di,,.

3

Z(ampli)

E,/Nr:

t],

- N- . . . .

Di v .

3

h:cisiort

"-~----

Div.

~ - - - -

PJv,

m6rn~ 2

E'/N °

1 17

d'utlc

~:!t'r~!ut"

7,

10

dB

17,

20

dl[

m,~]or'itaivc

E/N ° 7,

"ti],

13,

i 2!i

i .' +P'I() II.(d~ ~ )

Fig. 7. Comparaison des capacit6s en bit/sec des diff6rents syst~mes avec puissances non identiques sur les voies diversit& On 6tudie les diff6rents cas cit6s ci-dessus, et en plus diff6rents cas de fading. La Fig. 3 compare tous les syst6mes avec et sans diversit6 (dans le cas diversit6, les puissances signal et bruit sont suppos6s identiques partout). La Fig. 4 6tudie plus sp6cialement la diversit6 2 avec rapports signal ~ bruit non identiques sur les 2 voies - et la Fig. 5 plus sp6cialement le cas diversit6 3. 3.4. Transmission avec codage correcteur d'erreur 3.4.1. ProbabilitF moyenne d' erreur D a n s ce cas, les message 4mis xi comportent 3 digits de correction en plus des 4 digits informationnels. On sait qu'alors ~ la r6ception les messages comportant une erreur sur un digit sont detect6s et corrig6s. La probabilit6 d'erreur sur un mot correspond donc au cas off il y a au moins 2 digits erron6s parmi les 7. La probabilit6 de b o n n e transmission est d o n c maintenant:

+riLi = +r; = (1 - p ) 7 + 7p(1 _ p ) 6 = (1 - p ) 6 ( 1 + 6 p ) .

(31)

La probabilit6 m o y e n n e d'erreur sur un mot, en supposant toujours les messages x~ 6quiprobables est: /~r cod,, = 1 -- (1 --p)6(1 + 6p).

(32) Vol. 2, No, 2, April 1980

166

G. Jourdain / Communication FSK

On suppose ici que quelle que soit la m6thode d'utilisation du code correcteur (7 digits successifs en utilisation temporelle, ou 7 paires de fr4quences FSK en utilisation fr6quentielle), les rapports signal h bruit sont tous identiques; cela correspond au fait que les 7 paires de fr6quences, en utilisation fr4quentielle par exemple, seront toutes en g6n6ral assez voisines, et donc on n'envisage pas de changement de rapport signal bruit de l'une ~ l'autre. Ceci se traduit par P = p = 1 / ( 2 + E / N o ) . 3.4.2. Matrice de transmission et capacit~ Les mots 6mis comportant maintenant 7 digits, le nombre de messages possibles ~ la r4ception est au total 27-- 128 messages yj. Cependant ~ la r4ception on utilise le sch6ma de correction d'une erreur, et on d6cidera toujours que c'est l'un des 16 mots 6mis que l'on re~oit. En faith partir du moment off il y a plus d'une erreur par mot le sch4ma correcteur d'une erreur conduit ~ un message autre que l'un des 16 6mis. Finalement le message choisi le sera de fagon assez arbitraire. Nous proposons donc, pour comparer simplement ce sch6ma ~ ceux pr6c6demment 6tudi6s, de repr6senter la matrice de transition X ~ Y ~ 16 entr6es et 16 sorties identiques en affectant arbitrairement ~ chaque mauvaise transmission xi ~ xi, j ¢ i, une probabilit6 identique. Cette probabilit6 sera bien entendu

(1 - zr~)/15 =/~r/15.

(33)

La matrice de transition du canal a donc maintenant sur sa diagonale principale zr; et partout ailleurs Er/15. La capacit6 de ce canal de transmission est: Cco,ie = log2 16 + zr~ log 7r~ + (1 - zr/~) log((1 - zr;)/15)

(34)

et en bits/sec Cclode = 1Ccode b i t / s e c .

(35)

Les courbes donnant les variations de C'co0e et/~rcoa¢ ont 6t6 systbmatiquement port6es sur les Figs. 3 h 7 pour faciliter la comparaison avec les cas pr6c6dents. 3.5. Comparaison des diffdrents systkmes (a) Capacitds en bit/sec (Figs. 6 et 7). A faible rapport signal ~ bruit, le syst6me utilisant la diversit6 d'ordre 2 est un peu meilleur que le code correcteur. D6s que le rapport signal h bruit est sup6rieur ou 6gal 10, le code devient le plus compact. Les valeurs limites (E/No ~ oo) sont celles correspondant ~ la capacit6 limite 1 bit par digit, donc les valeurs limites de C' sont les inverses des temps 6quivalents que chaque syst6me utilise (Fig. 6). La Fig. 7 montre que pour des rapport signal h bruit diff6rents sur 2 voies de la diversit6, la capacit6 en bit/sec peut ~tre bien plus importante avec une diversit6 d'ordre 2 (et m~me parfois 3) que dans le cas du code. I1 faut bien stir ~tre conscient qu'h ce moment-lh, le 2 6me rapport signal h bruit envisag6 pour la diversit6 est bien plus grand que celui suppos6 pour tousles digits sur code. (b) Probabilitgs moyennes d'erreur ft., (Figs. 3, 4, 5). Lorsque les rapports signal h bruit sur les voies diversit6 sont identiques, le code a des performances moins bonnes que les syst6mes h diversit6. Le syst6me le plus int6ressant est 6videmment la diversit6 3 avec somme des amplitudes (Fig. 3). Les performances du code sont tr6s proches de la diversit6 2 (avec m~me rapport signal ~ bruit), ou encore de la diversit6 3 avec d6cision majoritaire, ou encore de la diversit6 3 avec fading important sur 1 voie. Par contre, s'il y a un fading important sur une voie de la diversit6 2, le code donne de meilleurs r6sultats (Fig. 4). SignalProcessing

G. Jourdain / Communication FSK

167

(c) Application. Supposons que l'on s'impose par exemple une probabilit6 d ' e r r e u r m o y e n n e sur un mot /~r de l'ordre de 1 0 -3. R e m a r q u o n s d ' a b o r d qu'une transmission FSK simple sans diversit6 ne permet pas d'atteindre une aussi faible probabilit6 d ' e r r e u r sur un mot avec des ordres de grandeur raisonnables de rapport signal a bruit. • Le syst6me ~ diversit6 3 et d6cision majoritaire a l e s moins bonnes performances, car une erreur m o y e n n e sur un mot de 10 3 exigera un rapport signal a bruit de 21 dB. La probabilit6 d ' e r r e u r sur un digit sera de l'ordre de 9 . 1 0 -3 et la capacit6 de l'ordre de 0,33 bit/sec. • Avec le syst6me optimal en diversit6 3 (cas (a)), le rapport signal a bruit exig6 ne sera que de 15 dB. La probabilit6 d ' e r r e u r sur un digit sera de 2 • 1 0 -4. La capacit6 reste toujours de l'ordre de 0,33 bit/sec. • Avec le syst6me ~ diversit6 2, le rapport signal "hbruit doit ~tre le m~me que dans le cas de la d6cision majoritaire: 21 dB. La probabilit6 d ' e r r e u r sur un digit reste de l'ordre de 2 • 10 4 et la capacitt~ augmente 16g6rement: 0,49 bit/sec. • Avec le code correcteur, le rapport signal h bruit exig6 est le plus fort: 22 dB. La probabilit6 d'erreur sur un digit est interm6diaire: 6,8 • 1 0 -3. La capacit6 en bit/sec est cependant plus forte: 0,57 bit/sec.

Conclusion Nous nous sommes int6ress6s ~ l'6tude des syst6me de r6ception correspondant a une 6mission de type FSK transmis dans un canal dispersif de type Rayleigh et nous avons dans un premier temps 6tudi6 le r6cepteur utilisant une diversit6 d'ordre 2 ou 3. Nous avons suppos6 que sur les diff6rentes voles de la diversit6, les puissances moyennes signal et bruit ne sont pas forc6ment les m~mes, ce qui g6n6ralise les 6tudes pr6c6dentes faites dans le m~me cadre. Les principales conclusions sont que dans le cas de baisse de puissance sur 1 vole ou 2 voles, le syst6me optimal h diversit6 3 est toujours le meilleur pourvu que les rapports signal h bruit sur les voles affaiblies soient sup6rieurs ~ 0 dB. Cette situation de puissances signal et bruit diff6rentes est particuli6rement r6aliste lorsque la diversit6 est par exemple de type fr6quentiel, et que les diff6rentes fr6quences porteuses sont assez 61oign6es les unes des autres. On peut consid6rer qu'il en est ainsi dans le probl6me pratique qui nous int6resse particuli6rement en acoustique sous-marine. Nous d6veloppons en effet dans le cadre du laboratoire un certain n o m b r e d'exp6rimentations [7, 5] soit pour caract6riser le milieu de propagation lui-m~me, soit pour tester un syst6me de' communication analogue ~ celui d6crit ici. Nous avons pu ainsi, poss6dant les donn6es exp6rimentales ~ l'6mission et h la r6ception, estimer les performances exp6rimentales dans les divers cas de diversit6, et 6galement avec le sch6ma de correction d ' e r r e u r sur 1 mot ainsi qu'il a 6t6 d6crit ci-dessus. Les estimations des probabilit6s d ' e r r e u r par digit et des probabilit6s moyennes d'erreur par mot, sont en bonne concordance avec les r6sultats th6oriques, ceci ~ l'6chelle de pr6cision des donn6es exp6riementales [5]. Rappelons que l'estimation de probabilit6s faibles est toujours d61icate. Nous avons effectivement, dans ce cas pr6cis, des puissances signal et bruit diff6rentes sur les 3 voles de la diversit6 fr6quentielle utilis6e. R e m a r q u o n s d'autre part que nous sommes content6s ici du mod61e le plus simple de transmission en milieu dispersif (Rayleigh); ce qui suppose que le milieu ne perturbe le signal ni du point de vue temporel, ni du point de vue fr6quentiel. Dans un certain n o m b r e de cas de propagation fluctuante, le mod61e de Rayleigh sera :insuffisant [9]. Tout d6pend bien stir de l'~chelle de temps et de fr6quence que l'on est amen6 consid~rer pour le milieu. Des mod61es plus complexes de propagation [6, 9] devront ~tre alors utilis6s et 6tudiEs dans le cadre d'une 6mission FSK et diversit6. La r6f6rence [4] 6tudie le cas de la modulation temporelle sans m6moire du signal. V o ] _~, No. 2, April 19811

168

G. Jourdain / Communication F S K

Dans l'6tude de la comparaison entre un r6cepteur h diversit6 2 par exemple, et un codage correcteur d'erreur, rappelons que les signaux utilis6s ne sont pas orthogonaux, et donc les performances sont moins bonnes que dans le cas des situations th6oriques [9]. Le syst~me sous optimal prbsent6 iciest volontairement simple et utilis6 couramment. Les r6sultats globaux sont que pour une probabilit6 d'erreur moyenne sur un mot donn6e, le code conduit ~ une capacit6 plus grande que le syst~me ~ diversit6 (mais la probabilit6 d'erreur correspondante sur un digit est plus forte).

Remerciements Je tiens ~t remercier Melle B A L I K O qui a mis au propre un certain nombre de calculs concernant ce travail.

Annexe 1. Diversit6 d'ordre 2

-

Puissances signal et bruit dit~erentes sur chaque voie de la diversit6

Le sch6ma de r6ception est celui de la Fig. 1 pour chacune des 2 voies. Puis on effectue la somme W = V1 + II2 et on d6cide/-/1 si W > 0. La densit6 de probabilit6 (d.p.) de W s'obtient h partir des d.p. des v.a. Z1, U~, Z2, U2 dont les d.p. conditionnelles h Ho sont donn6es par l'6quation (1) du texte. Etant donn6 la sym6tries des 2 hypotheses on ne s'int6resse par exemple qu'aux lois sous Ho. La v.a. 111 = Z~ - U1, sous Ho, a pour d.p.: (On note 8-1(x) = 1 si x > 0 , 6-1(x) = 0 s i x < 0 . )

p(Vl) = 0/1/31 , %v1 a-l(Vl)+e0,Vx a-1(_/21) 0/1+--£te

(Ao)

De m~me pour I12 (en changeant les indices 1 en 2). Les quantit6s 0/1, /31, 0/2 /32 sont donn6es par (6). Or W = V1 + V2. On en d6duit la d.p. de W sous Ho not6e qw(w): D.p. de W sous Ho: (a) 0/1 # 0/2 et/31 #/32.

0/1/310/2/32 a_l(O) ) [ e -"''- ~ 2 - -e--~'a°"+ e - " = ° ' + e-"'' ] qw(0)) = (0/1 +/31)(0/2 +/31) 0/I 0/2+/31 0/1+/32 j

eB2W_ ebb,.,] 0/,+/3: E - - E }.

(A1)

qw ='(---~)2{ ~-l(o))[e-~(to + ff----~)] + 8 1(--o9)[e¢~°(~+ -- o9)] }.

(AO

r .,&o, eO:W +'-1(--0))[0/7+/31 + + (b) 0/1=0/2=O/ et/31 =/32=/3.

(C) 0/1=0/2=0/ et/31~/32. 2 -c~to e-~(° ] 0/ /31/32 f ~-1, ,[ e_.,o + e qw(w) = ( 0 / + B - ~ a + / 3 2 i / o tw)[w 0/+/3------7-~-a 4-f12J + o--lz__ x[ e~'° O

SignalProcessing

t 0~)[0/ +/31 +

e &°' + e'"~ - e'l~'] 1

0/+/32

JJ

(A1)

169

G. Jourdain / Communication F S K

(d) Or'l# ~' 2 et 3 1 = 3 2 =

3.

{8_l(oa)[e ~ ' ~ - e ~°' e ~2,o e ~I°A] + 3 ) ( a 2 +/3) -~2 - a l +- O~2--~3 + Oji q- 3 j O~1C~23 2

qw(a') = (a,

o-~,

+o

,[

e ~°~

t-Wtla2+34L

e~O,

a~+3

]~ -wet3'°JJ"

O n voit que qw (w) p r e n d diff6rentes f o r m e s analytiques suivant les valeurs relatives de a l, 0'2, 3 1 , 32" En fait p o u r le calcul de la probabilit6 d ' e r r e u r , seules les valeurs positives de W interviennent: oo

P(e)=P(W>OtHo)=Io

qw(w)dos.

A v e c les expressions (A1) donn6es ci-dessus p o u r qw(w), oJ > 0, on obtient l'expression de P(e) d o n n 6 e par l'6quation (8) du texte, et ceci quelles que soient m a i n t e n a n t les valeurs relatives des ai e t / %

A n n e x e 2. D i v e r s i t ~ d'ordre 2 - - P o n d e r a t i o n d'une v o i e de diversit~

Sachant que les puissances signal et bruit sont diff~rentes sur les 2 voies de diversit~ on p r o p o s e de p o n d 6 r e r une voie par r a p p o r t ~ l'autre et on calcule la p o n d 6 r a t i o n optimale ~ utiliser:

t-~ '/1

voie i

voie 2

22 /7h ~ ~ "r'+ 72

Y Fig. A1. Pond~ration d'une voie dans le cas diversit6 2.

Soit par exemple x la p o n d & a t i o n appliqu6e/i la voie 2 de diversit6, en sortie, fi la fois sur U:: et Zz (Ceci est e n c o r e 6quivalent/t p o n d 6 r e r les entr6es de la vole 2 par x/x). Les nouvelles v.a. U~ = xUz et Z ~ = xZ2 o n t des d.p. sous H0 et H1 similaires ~ celles de U2 et Zz si l'on r e m p l a c e 32 par fl2/x, et a2 par oez/x. La probabilit6 d ' e r r e u r dans ce cas 1/a s'obtient gapartir de l'6quation. (8) en faisant le c h a n g e m e n t ci-dessus:

P'(~)

=

a la23132

[

1

-~

1

(~1+31)(~2+31) ~1~2 ~1(x~1+3j

La p o n d g r a t i o n x qui minimise

x1=(az-32)/(a1-3,)

~

x

-

~:(~:+31x)

]

.

(A2)

P'(e) est telle que OP'(e)/Oe = 0 soit et

Xz=-(a2+32)/(a1+31).

La solution qui nous intgresse iciest la premi6re 0:2--32 x = - - - = 0!1-31

E2 N o l . . . . E1 No2

EI+Nol

(A3)

Ez+N02" Vol. 2, No. 2, April1980

G. Jourdain / Communication FSK

170

On retrouve le fait que le r.o. sans pond&ation est optimal si les puissances sont identiques sur les 2 voies. En reportant la valeur de x donn6e par (A3) dans (A2), on obtient l'expression (21) de P'(e).

A n n e x e 3. Diversit~ d'ordre 3 - Puissances signal et bruit diflerentes sur les 3 voies - - Recepteur ~ " s o m m e d'amplitudes carries" Pour 6valuer la probabilit6 d'erreur dans ce cas on s'int4resse encore uniquement ~ la loi sous Ho de v.a. H = VI + W2+ V3. H = W + V3 ( W v.a. dont la d.p. est donn4e ci-dessus en A1). La probabilit6 d'erreur est

la

P(~ ) = P( W > - W31no) = I f qw(o), v3) dv3 do) D D = D 1 U D 2 U D 3 (cf. Fig. A2). Les v.a. W et V3 4tant suppos6es ind4pendantes:

qw(ro, v3) = q(o) )q(v3). v3

11_ w

/i -

Fig.

V3

A 2 . D o m a i n e d'int6gration p o u r le calcul de la probabilit6 d ' e r r e u r sur un digit diversit&

3.

La d.p. de W est donnde ci-dessus en (A1) et celle de V3 est donn6e en (A0) (en changeant l'indice 1 en 3). On effectue s6pardment les intdgrations sur D , , D2, et 93. • Sur D1 (w > 0, v3 > 0), on obtient

ff 11 =

K[1/0/x-1/0/2______ 4- 1/0/2 + 1/0/1 ] q(o~)q(v)dvdoJ=-~3 0/2__0/1 fll +0/2 /~2 q- 0/I J

D1

off K = 0/10/20~3/(0/1 +~1)(0/2 +~2)(0/3 +j~3),

• Sur D2(o) < 0, v3 > 0 variant de -o9 gt + oo)

I2= f f

q(oJ)q(v3)dv3d¢o

D2

÷

1

+

1

1

.1

(& + 0/3)(0/2 + 131) (0/, + t h ) ( & + 0/3) (~1 - ~2)(~2 + 0/3) (~1 + 0/3)(~1 - ~2)J" Signal Processing

G. Jourdain ,/ Communication FSK

171

• S u r D 3 (0)
D3

_KI1/°~l-1/°~2+ 1/o~2 + ~3[

Z--O~I

-1 /-a l

/32 q-Og 1

1

+

• Finalement

/31+0:2

1

(O~1q-/33)(Of2 -- 0¢ 1)

1

1

}

(Of2"l-/31)(0d2 q-/33)

(Odl q-/32)(0L1 +/33)

P ( s ) = 11 + 12 + 13 s ' 6 c r i t :

0~10~2

+£[(

/31 q- OL2 /32 q- Of1] \ O[3 1

(/31 + Od3)(Od2 q-/31)

+~-~3[(c~1 -1

/33 ,]

+

1

+

1

(0! 1 q-/32)(/32 q-0~3)(/31--/32)(/32+0(3) 1

1

(0!2--0'1)(rY2-}-/33)

(0!2-}-/31)(0(2-}-/33)

+

1

)]

(/31 q- 0'3)(/31 --/32 1

]]

(O~lff-/32)(O(lq-/33)J/"

O n r e g r o u p e les 2 d e r n i e r s t e r m e s f a c t e u r s d e l / o r 3 e t les 2 p r e m i e r s f a c t e u r s d e 1//33 e t o n o b t i e n t la formule (19)

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