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Description des systèmes homogènes classiques en termes de particules habillées
Phys(ca 61 (1972) 539-565
DESCRIPTION
0
i?o&-Hatland
Publishing Co.
DES SYSTBMES HOMOGBNES
EN TERMES DE PARTICULES II. APPLICATION P. CLAVIN*
AU PLASMA
CLASSIQUES
HABILLBES DE DEBYE
et J. WALLENBORN
Fault6 des Sciences, Uniuersite'Libre de Bruxelles, Bruxelles, Belgiquex
Recu le 13 Novembre
1971
Synopsis We describe an electron gas m the equilibrium Debye approximation in terms of dressed particles as introduced by the Brussels school. We use the Mandel-Turner definition of the dressmg operator and show the validity of the so-called equilibrium condition for our model. We show graphically the dependence of the dressed-particle energy on velocity. Finally, as expected from our preceding paper, we recover the correct value of all thermodynamic quantities by using only the dressed one-particle distribution function.
1. Introduction. Dans un precedent (cf. 1) nous present6 certains nouveaux que la theorie la transformation par Prigogine collaborateurs 2*3,4) Btait appliquee systemes classiques et homogenes, dans le des distributions Un des resultats obtenus que les habillies, introduites cette description statistiquement independantes, que leurs de distribution se factorisent, lors l’etat systtme est caracterist par fonction de f(p) a particule habillee, a l’equilibre, les grandeurs sont exprimables des fonctionnelles A nous montrt’), entre que la d’entropie s dans cette la mQme fonctionnelle que du gaz
* Attache France. Association
Recherche
au
Euratom
Etat belge.
Laboratoire
539
Energetique
IGPoitiers,
540
P. CLAVIN
ET J. WALLENBORN
Le nouvel hamiltonien des particules habilltes est dtfini par un ensemble de distributions (au sens mathematique du terme) I?,. .n en les impulsions (pl ... pa) de telle man&e que la densite d’energie (H) soit don&e par la formule:
(1.2) Quant a l’energie “E(p) de ces particules, elle est definie par la dtrivee fonctionnelle de (H) par rapport af’). A l’tquilibre nous avons obtenu pour f la mdme forme que pour le gaz parfait :
_RP> = exp{ -B E(P) - PI>~
(1.3)
ou le potentiel chimique p est donnt par:
exp[-@I = c-l Jdp exp
[-/?a(p)].
(1.4)
c &ant la densite. Une partie de ces resultats [essentiellement les formules (1.1) et (1.3)] est bade sur une prop&& concernant l’action de l’operateur d’habillage x-l sur les maxwelliennes (c$ 3.1 et ref. 1). Recemment, MandeF) et TurneF) ont propose, a partir de considerations differentes, une formule globale et generale de definition pour l’optrateur d’habillage x-l. On n’a pas pu, jusqu’a present, ttablir en toute generalit si l’operateur x - l, ainsi dtfini, possedait ou ne possedait pas la propriete mentionnte plus haut ; des lors, dans le cas oti cette propriete ne s’avbrerait pas ttre une consequence directe de la definition gemkale de x- l, la description en particule habillee telle que nous l’avons presentee ne serait rigoureuse que pour la classe des systtmes physiques qui sont decrits par des approximations dans lesquelles la propritte (3.1) serait verifite; c’est, comme nous allons le montrer dans cet article, le cas du plasma classique trait6 dans l’approximation de Debye. L’intCr&t de ce modble physique reside dans le fait qu’il ntcessite une resommation (de termes d’ordre arbitraire en la constante de couplage) qu’il est possible d’effectuer explicitement. Des lors toutes les grandeurs intervenant dans la description en particules habillees sont calculables; comme d’autre part la thermodynamique des plasmas de Debye est bien connue, ce modble permet d’effectuer un test positif et sur la compatibilitt de la definition de x7 ’ avec la propriete (3.1) et sur la description en particules habillees telle que nous l’avons prtsentee dans la ref. 1. Dans le paragraphe 2, nous donnons, pour ce modele, la forme explicite de l’optrateur d’habillage x-l tel qu’il est defini par la formule de Mande15) et Turner6s3) et nous calculons les grandeurs 5,. ,, correspondantes’). Au paragraphe 3 nous prouvons que cet operateur engendre a l’tquilibre une fonction de distribution f qui satisfait la relation (1.3); ceci revient a verifier que,
SYSTkMES HOMOGl?iNFlS CLASSIQUES
II
541
dans l’approximation des anneaux, l’operateur x-l utilise verihe la propriete d’tquilibre (3.1) mentionnee plus haut. Dans le paragraphe suivant, 4, nous effectuons le calcul numerique de Z(p) et tracons sa courbe en fonction du module de l’impulsion p. Lorsqu’on aura aborde, dans cette description en particules habillees, le probleme de la reponse lintaire, cette courbe devrait peimettre dans un travail futur de mieux comprendre l’interpretation physique a donner aux particules habillees introduites dans cette theorie. Enfin dans le dernier paragraphe, 5, en utilisant les resultats precedents ainsi que les formules Ctablies dans la ref. 1, nous calculons a partir des expressions precedentes obtenues pour f et P toutes les grandeurs thermodynamiques et nous retrouvons ainsi toutes les valeurs bien connues de la thermodynamique du plasma de Debye; ce qui constitue un dernier test de consistance de la theorie utilide. Les rtsultats des travaux present& dans cet article ont BtC resumes precddemment dans une note publiee aux Comptes Rendus de 1’Academie des Sciences7) (Paris). Dans des travaux consecutifs a celui-ci, Nicolis et Allen*) ont etudie dans cette m&me optique les gaz peu denses tandis que Mande19*lo) a trait6 le plasma de Debye dans le cas quantique. 2. Mod2le et approximations. Le modele que nous allons decrire en termes de particules habilltes est celui du gaz d’electrons classique rendu macroscopiquement neutre par un fond continu de charges positives. L’hamiltonien de ce systbme est:
avec : Ho = ; $& i=l
(2.2)
oti e est la charge de l’electron, c = iV/Q est la densite Clectronique. Nous utiliserons toujours par la suite, comme variables, la vitesse u de la particule nue: v = (l/m)p. Nous traiterons ce modele dans l’approximation de Debye, ce qui consiste a ne retenir dans le developpement en puissance de p de toute grandeur d’bquihbre que les termes jusqu’au premier ordre”) avec comme definition du parametre
542
P. CLAVIN
ET J. WALLENBORN
sans dimension p : p = /3e2K,
(2.3)
oti ,l? = (kT)-’
et oti K = (4xe2c@’ est l’inverse de la longueur de Debye. Balescull) a montre que cette approximation correspondait dans la thtorie des diagrammes11*12) developpee par Prigogine et lui-m&me a resommer les graphes ayant la topologie des anneaux:
Fig. 1
Dans cette approximation la fonction de distribution d’equilibre a une particule habillee @s’tcrit dans les notations de la ref. 1: (2.4) 0i.i lim, symbolise la limite thermodynamique: N + co, Q + co, N/Q = c; ou v(z+) est la fonction de distribution des vitesses reduite a une particule nue en equilibre : 313 &4
=
2
(
ev
L--B
tmdl,
(2.5)
>
et oh l’indice a de ‘x~,~~(z) signifie que dans la solution de Equation de Mandel et Turner3*5*6), qui dr%it l’op&ateur x-l, nous ne retenons que les termes associes aux graphes ayant la topologie des anneaux, c’est-a-dire ceux qui dans (2.4)donnent des contributions lineaires enp. 11est facile de vkifier que [.x;,:(z) - l] est donne par la somme de tous les optrateurs associes aux diagrammes de la topologie des anneaux et qui contribuent A la d&Se par rapport a z de yN,o(z) [I$ formule (2.6) de la ref. 11, chacun d’eux multiplie par le facteur q/(q + r) oti r (resp. q) est le nombre d’interactions sit&es a gauche (respectivement a droite) du propagateur Cleve au car& L’operateur d’habillage ainsi deflni correspond, dans les notations plus condensees utilisees par le groupe de Bruxelles, a l’approximation des anneaux de l’opkrateur:
52:’ et WF4)sont respectivement les optrateurs de destruction (d’ordre r en la constante de couplage) et de creation (d’ordre q) de correlations binaires represen-
oh
SYSl-fZMES HOMOGfNES
CLASSIQUES II
543
tees, en transformee de Fourrier, par le vecteur d’onde k. En utilisant les resultats de l’appendice II de la ref. 1 ainsi que la forme explicite de .xN,i(z) que nous venons de definir, la formule (2.4) apres le passage a la limite thermodynamique s’ecrit :
oti les operateurs jal..Jz) associes a *x-r N,R(~) sont don&s explicitement dans l’appendice II * . Dans la ref. 1 nous avons associe a l’operateur general xi,;(z) les grandeurs &r...,(z) qui caracterisent a la limite thermodynamique l’hamiltonien des particules habillees. Nous donnons dans l’appendice IV les expressions $...,(z) de ces grandeurs correspondant A l’approximation des anneaux c’est-a-dire a l’opkateur UxXN,&(~) precedemment introduit. 3. Demonstration, dans l’approximation des anneaux, de la propriM d’&uilibre. Dans le cas general (sans specification explicite du potentiel et sans approximations) nous avons montre (cJ ref. 1) que les distributions rdduites associees Zi@ se factorisent; avec comme definition formelle de 4: P = exp
(3.1’)
[-+W1&I/~~exp [-hi-l~~lI~
ou T symbolise l’integration sur toutes les vitesses. De ce resultat nous avons con&t que dans le cas oh l’opkateur verifie, au sens des distributions rtduites, la condition suivante: x-l exp
[-BKJT {exp[-BfblI = 6,
d’habillage
(3.1)
la fonction de distribution reduite c@ ii une particule habillee en Cquilibre prend la forme simple: @((uJ = A-’ exp [ -/?z’ (a,)],
(3.2)
ou A est un facteur de normalisation et 2 est la dCrivCe fonctionnelle de la densite d’tnergie (H) par rapport a CC@ et nous avons les deux relations g6nCrales: GO = c j do1 +m& (al) + $
E(u,)
=
*mu,Z
.. .
lim g
s=2
z-++io
+
5 s=l
s!
@(al) ... firs),
(3.2’)
ss
lim -5 z++io
do, . . . d&...,(z)
-.. dv,&,..., (z) $(ul) ..a @(Us). (3.2”)
s!
* ‘X$&Z) est par definition tcl que A@ (u,, z) soit proportloMe1 au param&re p = @e2K.
544
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
C’est a partir de ces resultats que nous avons developpt, dans le cas general, la description des systemes infinis homogenes en termes de particules habillees. La propriete d’equilibre (3.1) n’a pas, jusqu’g present, pu dtre v&i&e pour la definition de l’operateur d’habillage proposte par Mandel et Turner. Comme nous avons utilist cette definition pour introduire, dans notre approximation, l’operateur a~;,~~(z ) nous now sommes attaches, dans un premier stade, a verifier directement la validitt de la relation (3.2) pour notre modtle; ceci est possible car dans l’approximation des anneaux les formules (2.6) et (3.2”) sont resommables; dans cette approximation la formule (3.2”) s’tcrit
oti b AE (v,) est le terme proportionnel AhB(v,) =,tl
liliO 3
a.. .s
au parametre p et est don& par:
dv, . . . dv, %, . s c.3 dVl> *** P,(%l*
(3.2”‘)
s
Des lors au premier ordre dans le parametre p la formule (3.2) donne:
P(G)= $44 Cl - p AE(v,)
-k C),
oti C est une constante de normalisation
(3.3) donnee par
C = +B J dv, AJ?@a)dvJ.
(3.3’)
11 nous suffit de comparer le resultat des resommations des membres de droite des formules (3.2”‘) et (2.6) et de montrer que A@ = lim a@(~,, z) E &J z++iO
[-pAE(u,)
+ C].
Dans le paragraphe 3.1 nous effectuons la resommation graphe 3.2 celle de (3.2”‘).
(3.4) de (2.6) et dans le para-
3.1. Pour resommer la strie (2.6) nous utilisons la methode des equations integrales utilisee par Balescu dans son livre sur les plasmas”). Une premiere resommation triviale permet de mettre la serie (2.6) ‘sous la forme (cJ appendice II): @(v,) = .&Q - (2nzm)- l y di, J dk 5 0
$ k - a,, $ 0
(3.5)
SYST&fES
HOMOG&WS
CLASSIQUES II
545
oh, en utilisant la notation x, = k - v,/k et celles des appendices I et II la grandeur L2 (x, , k) satisfait 1’6quation intCgrale :
avec par ddfinition:
(3.8) &I (x,, k), c2 (x,, k) sont respectivement la partie rCelle et imaginaire de la constante diklectrique d’kquilibre E+ (xn , k) :
el(x&,k)=l+
9
dx, s
XlT x3 -
w,
Xl
-co
q, =
cl
(0, k)
=
1 + Kz/k2.
(3.9)
Comme p est une fonction suffisamment r&uli&re on utilise pour rksoudre 1’Cquation (3.6) les distributions introduites par Van Kampen pour I’Cquation de Vlasof’ ‘) : %&I>
=
~2 (~1, k) L x
+
B
~&(X1) = Xl
-
x,
B x,-x,
x
+
&l@a,k)~h
Ei(xay k,t_? (x1 ~2 @a,
xx),
-
4,
(3.10)
k)
qui vkrifient les relations:
-1 x
s
dx, X+(x) XJx’)
-co
” (x1 ’ k, = 6 (x - x’). I&+ (x1, WI2
(3.11)
546
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
Dans ces notations l’bquation integrale (3.6) se met sous la forme:
_s, dxl&
hJL2
h,W
=
(3.12)
&J.
En utilisant les relations (3.11) l’equation integrale (3.12) se r&out pour donner: SW
L,(x,,k)
s
L E2(xa,k) dx,q (xl> ~&A
=
x I&+@a, k)12
(3.13)
-02
finalement en utilisant (3.7) et (3.10) on obtient:
L,(xa,k) =
’
1~(~a,k>12 X
s
I’m%)
dx, x
(x,, 4
-81
a
1
-co
+CO
+a0
+&2(x,,
k)l
dxl x
s
B x, -
dxz Xl
s
@ Xl
-
Hx1)
8x2
x2
. >
--oo
-m
(3.14) En utilisant la formule de Bertrand-Poincare13) (cf. appendice III): L2 CL
k> =
En introduisant
ce r<at
se met sous la forme
2
+xX,)
1
_
2 (K2/k2) x,
I&+(2
Ml2 > -
(3.15)
ce dernier resultat dans la formule (3.9, @(v,) prend la forme: d
f+A%> = PW + -
1
2x2m
ss di2
dk$+
0
(3.16) x [2l?:;,k
((c+ (k$k,k)12
- $)I’
3.2. Dans ce paragraphe nous allons resommer le membre de droite de la formule (3.2”‘) en utilisant une methode basee sur un theoreme de factorisation dO a Rtsibois14*11). P ar cette methode nous obtenons, en utilisant les notations de l’appendice I, l’expression resommee de Ai? (vJ sous la forme: (c$ appen-
SYStiMES
HOMOGl%ES
547
CLASSIQUES II
dice IV). AB (a,) = 4 ;;1 J dk V, +smdx6, (x, - x) 11 - E+ (x, 0
-co
Ml I&+(4 k)l-2
e=
+ 2x4c j- di2J+dk V,k-ID,
x J ~,~(x,)
+Smdx8, (x, - x)E;’ -co
(x,k)cZ’(x,k)
p+ (xi - x) [l - E+ (x, k)] + d- (xi - x)
x [l - E_ (x, k)]} + 27c4cjdA Jdk V,k-‘D, 0 +m x
-
JdXd+(Xa -co
X)
I&+
(X,
k)l-2
JdX,F
(Xi)
S-
+ complexe conjugut;
(Xi
-
Xl
(3.17)
oil: E+
(x, k) =
cl
(x, k) - i&2(x, k),
(3.18)
E_ (x, k) = El (x, k) + is2 (x,k), el et e2 sont definis a l’equilibre par les formules (3.9) ou (IV.6). Avant de poursuivre il faut remarquer que pour obtenir l’equation (3.17) nous n’avons pas utilise explicitement le fait que y Ctait la fonction de distribution d’tquilibre a une vitesse, en consequence cette formule reste valable pour calculer la derivee fonctionnelle de I’energie en dehors de l’equilibre. En utilisant la forme explicite de E+ (x, k) et a_ (x, k) A l’tquilibre on demontre les relations: _rd*@
(Xi) (6, (xi - X) [l - e+ (x,
Ml
+ 6_ (xi - x) [l - E- (x, k)]} = -2 (K2/k2) p(x), 1 k2 1 P(x) = ---K2-~2(x,k).
(3.19) (3.20)
X
On obtient en injectant ces deux relations dans (3.17): AB(v,) = Re [AB(u,)J =
3 [I - &I(x,, k)] le+ (x,, k)l-” 0
+52
1 -2x
B
dxs -co
x, - x
4x3ic D 1 +k ax
+CO dx s --m
Im &T1(x, k)
B -& -x
1 Im E-2 + (x, k) x
548
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
-
F
Da
L ef(x,,
k) I&+ (x,, k)l-4
4x
--- 4n3ic k2 D 1 k K2 ‘x
dx
s
B 1 --Im~~l(x,k) x X, -x
(3.21)
La constante diClectrique E+ (x, k) est une fonction plusll), c’est-&dire que sa continuation analytique E+ (z, k) est r&uli&re pour Im z > 0. Comme la distribution d’gquilibre est stablell), E+ (z, k) n’a pas de zeros pour Im z > 0; on en conclut que les trois grandeurs:
b+ (x, k> - 11,
- l]
[e;'(x,k)
et
1~;’ (x, k) -
11
sont des fonctions plus qui s’annulent g l’infini; elles verifient done les relations de Kramers-Kronig gtnCralistes : 9
Re F+(x) = r dxi Im F+(xJ , x s Xl - x --m
(3.22)
oh F+(x) est une fonction plus qui s’annule $i l’infini; si en plus Im F+(x) z xh (h > 1) pour x petit, nous obtenons:
Re P+(O) = !-
dxi -!- Im F+(xj).
x s -co
(3.23)
Xi
En utilisant la decomposition :
-xx x,x x,- x1 TX
--=- 1
1
1
A+-,
1
[
ainsi que les relations (3.22), (3.23), (limX,O Ed (x, k) z x), Nquation la forme: A&V,) = j&dk
V, 3 I&+(x,, k)l-2 - 4
+ 4x3ic
-
(3.21) prend
k
kZ K2 D,x,’
[la, (x,, k)l-2 - E;‘] .
(3.24)
SYST&MES HOMOGfiNES
Ce qui donne:
549
CLASSIQUES II
I?2 1
di2 dk k-2 (et2 - 1) --Bg, (G) AE (0,) = -89 (G) 4x2 s f 0
I?2
+-
1
dl
2&n
s
dkk-‘k-a,_
&
0
[I&+ (x,,k)l-2
a
s
-
G’l (3.25)
En comparant la formule (3.25) a (3.16) nous constatons que la relation (3.4) est verifiee avec pour valeur de la constante C: .z
CAL 4x2
ss dil
dkk-2
(&02 -
1).
(3.26)
0
Le calcul explicite du membre de droite de (3.26) donne (I$ appendice V): C = -$!le'K
= -_3p.
(3.27)
Nous avons ainsi demontre que, pour le modtle etudie dans ce texte la relation (3.2) est v&Site. Ceci revient a dire que dans l’approximation des anneaux, l’operateur d’habillage x-l donne par la formule de Mandel-Turner v&ifie la condition d’bquilibre (3.1). 4. Forme de I’&ergie de la particule habillie h I’6quilibre. Dans la ref. 1, nous avons Bte conduit a interpreter a(~,) (derivee fonctionnelle de l’energie) comme l’energie de la particule habillee d’impulsion pa = mu,. Dans ce paragraphe nous allons tracer la forme de cette Bnergie dans le cas du plasma de Debye a l’tquilibre. Pour des raisons de commodite nous Ctudierons le comportement de la grandeur e(v,) definie par :
e(v,) = AE(vJ
- p-‘C,
(4.1)
le lien entre a(~,) et e(va) est donne par: Z(v,> = *mu,2 + e(v,) + B-‘C,
(4.2)
et nous avons d’apres (3.3): &J,) = pl(vor)11 - Be (~31,
(4.3)
oti Be (v,) est proportionnel au petit paramttre sans dimension p qui caracterise I’approximation de Debye; il est clair que nous n’obtiendrons des resultats
550
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
significatifs que dans le domaine des vitesses oti Be (u,) reste petit devant l’unitb; en dehors de cette region l’approximation des anneaux perd son sens. En introduisant dans la formule (3.24) le resultat (3.26) nous obtenons:
tZ(V,) = $[dI
V,-’ TdX
0
-v.
([,e+ (X, k),-2 - ,e&k),-‘1
0
(I&+w, k)l-2 - I~o(k)l-2N~
wx LX-’
-
rdk
(4.4)
oh nous avons utilise les changements de variables
et oti g( V,) est l’expression de e(v,) dans la nouvelle variable sans dimension V, : .?(V,)
3
e(u,).
=
TC-*
En posant a(X)
dX’
f
-CO
9
X’ e-x’=,
X-X’
y(X) = x3Xe-x2
(4.6)
nous obtenons : e1
(X, k) = 1 - (K2/k2) &!C),
~2
W,
4
=
-W21k2)
y(X),
(4.7)
co(k) = 1 + K2/k2. Comme le montrent les expressions (4.7), le seul paramttre qui intervient dans la formule (4.4) est a2 = (K2/k2) (Kz = 45&2/l). En utilisant le changement de variable a = K/k; l’integrale sur k, J,” dk, devient K j,” da/a2 et dbs lors l’integrale sur il donne: f&K=
3e2K
(K2 = 4xe2c/?).
Ainsi il vient: E(V,) = e2Kq (V,)
(4.8)
SYST&MES HOMOGfiNES
CLASSIQUES II
551
oti q(VJ est une fonction sans dimension dont l’expression est:
dXW)
-
+
WJ a
d’on e
-v2~2q (V)
$
= -
a,
ewv2i
1 ,
dX Z(x)
,
(4.9)
(4.9')
1
avec par definition: m Z(X) =
$
- a2a (X)]” + u4y2 (X)} - l - (1 + a”)-‘] )
w
(4.10’)
s
0
ce qui donne apres integration: Z(X) =
$+
5
w
{I
[e(X) - e31-3
- k?w - &wl~
Oh
&X) = c%‘(X) +
(4.10)
y’(X).
D’apres (4.3) la fonction de distribution @(v~)se met sous la forme: @(%) = @a) [l - P7
(4.11)
WJI 3
ou p = e’@ est le <(petit 1) parametre quant a l’energie a(~,) nous obtenons: a(~,) = &rnvi + eZK [r](V,) - $1
definissant l’approximation
de Debye;
(4.12)
Remarquons que (4.9’) assure que (4.13) A partir de (4.10) et des developpements de a(X) et y(X) don&s par Fried et Conte15) nous avons Btudie sur ordinateur le comportement de r(V). Le resultat est donne par la fig. 2 et montre: 1) pour les vitesses inferieures a la vitesse thermique, un comportement parabolique qui correspond 21une renormalisation de la masse (ce comportement a et6 verifie par un dtveloppement a l’origine) ; 2) pour les vitesses intermediaires un comportement lineaire qui &tend sur une bande de longueur d’a peu p&s une fois et demi la vitesse thermique;
552
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
N”eVZ/Vs)
3) pour
la region : pq (V) < 1. Comme la valeur numQique de 7 au point V = 0 est negative ~(0) w - 0,2173 on constate dune part que l’energie des particules habillees au repos est strictement negative et d’autre part [cJ (4.1 l)] que le peuplement des particules habillees aux faibles vitesses est favorise par rapport a la distribution de Maxwell des particules nues.
Fig. 2
5. Thermodynamique en termes de particules hubill&es. Le but de ce chapitre est de verifier sur le modele du plasma de Debye les expressions des grandeurs thermodynamiques que nous avons ttablies, dans le cas general, en utilisant la description en particules habilGes (c$ ref. 1). Le premier test de consistance rl effectuer est de verifier que l’approximation des anneaux de la formule (3.2’): (H)
= c
f
du, 3m&
@I) El - ~7
V’dl (5.1)
SYSThiES
HOMOGfNES
CLASSIQUES II
553
redonne bien l’energie des plasmas dans l’approximation de Debye; pour des raisons de place nous ne presentons pas, dans cet expose, la resommation de la formule (5.1), elle a Ctt effectuee et donne comme resultat: (H)
= c [$kT - +eZK] ,
qui est bien la densite d’energie dans l’approximation
(5.2)
de Debye.
5.1. Chaleur specifique C,. Dans la ref. 1 nous avons montre chaleur sptcifique (a volume constant) Ctait don&e par : C, =
du, ‘$2)d1) $ @(t.Q.
que la
(5.3)
s
Dans l’approximation
des anneaux la formule (5.3) se reduit a:
Ce qui donne en utilisant la dCf%nition(4.1) :
(5.5) Le troisieme terme de (5.5) est nul; la valeur du quatrieme et celle du second se deduisent du resultat obtenu dans l’appendice VI; ce qui donne: C, = Qk + $
-
du, e(v,) F(Q) & log s
(5.6)
Le troisieme terme de (5.6) est nul en raison de la condition de normalisation [cJ (4.13)] et dts lors on obtient bien la chaleur specifique a volume constant du plasma de Debyell). 5.2. En tr opie. Nous avons vu dans la ref. 1 que l’entropie par particule du systeme prenait la mCme forme fonctionnelle que celle du gaz parfait : S = -k
J-da, @(v,) {log [c@(v,)] - l} .
Dans I’approximation
(5.7)
des anneaux, la formule (5.7) s’ecrit :
S = SO+ kBJ dvadu,) &A log kg, WI + 43 _fdu, &?A e(v,), oti SO est l’entropie du gaz parfait.
(5-g)
554
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
En vertu de la condition de normalisation obtient :
(4.13) le dernier terme est nul et l’on
S = So - kb2 j dv, pl(v,) e(v,) *mu:.
(5.7’)
Le resultat de l’appendice VI donne:
s = s,
- e2K/6T
(5.8’)
qui est bien l’entropie du plasma dans l’approximation de Debyell). Remarquons pour terminer que l’expression (3.3’) de la constante @-‘C est, d’aprbs les remarques de la ref. 1, la correction Ap au potentiel chimique (par rapport au gaz parfait) exprimee en grandeurs renormalisees; d’apres le calcul de l’appendice V on trouve: A,u = -$e’K,
(5.9)
ce qui est la valeur de la correction pour le plasma de Debye et dts lors l’expression (4.3) de gvor) est exactement le developpement jusqu’au premier ordre en p de l’expression generale obtenue dans la ref. 1: (5.10)
En conclusion, le modele que nous avons trait6 a permis de verifier dune part la consistance de la theorie de la description en particules habillees developpee dans la ref. 1 et d’autre part la compatibilite, dans l’approximation des anneaux, de la definition de l’operateur d’habillage proposte par Mandel et Turner avec cette meme thtorie. Remerciements. Nous tenons a remercier le Professeur I.Prigogine pour l’interct constant qu’il a port6 a ce travail. Nous remercions aussi le Professeur R.Balescu pour ses conseils et remarques qu’il nous a donnes a l’occasion de fructueuses discussions que nous avons eues avec lui sur ce sujet, ainsi que le Professeur Kestemont pour l’aide appreciable qu’il nous a apportee dans les calculs numeriques.
APPENDICE
Notations.
I
Nous avons utilis6 les notations suivantes:
1 = e2: card de la charge de I’tlectron; V, = (2x2k2)-l : transformee de Fourier du potentiel; K2 = 4xl.c~: car& de la longueur de Debye; CO,’= 4xiicm-l : carre de la frequence plasma; Dl = Am-’ V, (ik - i%,); D12 = Dl - D2 ; dl = - 8x3cDl ;
SYSl%MES
HOMOGl%ES
CLASSIQUES
555
II
d12 = d, - d,; d-(12) = l/i (k . v12 - z); x8_ (k . v12) = lim,,,,, 6- (12) ou VIZ = VI - v2. ~I(& - x1) est la notation de la distribution partie principale de l/(x, - x1). APPENDICE
En utilisant les notations nous avons* : =
II
de l’appendice I et les definitions du paragraphe
3 j
2,
dk D, [6- (cx~)]’ da,.
= 3 JdkD& [6- (al)12 d,6- (~x2)da2 + 4 JdkD,
[a- (al)]’ (--da) 6- (21) d,,
+ 3 j dkD,d- (al) dl [6- (a2)12 d,z + 3 j-dkD,G- (al) (-da> [6-(21)]’ d,,.
= 8 JdkDa [6- (Cal)]’ (-d&B- (21) (-d2) d-(31) dsl + d,6- (~2) (-da) d-(32) d,, - d,6- (21) d,6- (23) d23 + d,6- (a2) d,6- (0~3)da,} + $ JdkD,B-
(~1) {-da [6-(21)]2 (-d2) d-(31) dsl
+ dl [6- (a2)12 (-da) a-(32) ds2 - d, [&-(21)12 d16- (23) dz3 + di [6- (cx~)]’ d,6- (013)da,} + t @kD,b-
(orl) {-da@
(21) (-dz)
[S-(31)]’ ds1
+ d,&- (~2) (-da) t&(32)]’ ds2 - d,6- (21) dl [6-(23)]2 d2J + d,6- (~-x2)dz [6- (013)l’ da,). ~a1234(4
=
etc.
(11.1)
* Les graphes utilists sont ceux des rkfs. 1, 11, 12; la ligne ondulke verticale spkcrfie le propagateur 61ev6 au carr&
556
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
Remarquons que dans la limite z + +iO nous avons:
[utiliser (2.5) et les notations de app. I.]. En utilisant (II. 1) et (11.2), (2.6) s’krit : dkkp2k.
a,,
(11.3)
A lim Fk(v,) , [ z++io I
avec : F&J
=
K2
_ 2. K” + 3 K” 3 k4 4 k6
2 k2
1 K2 _-_-3 k2
+
X
2 K4 4 k4
+ . ..
(4
ha)
Q)@I)
+ ... >
JJJ
dv, do2dv,{6-(al)6-(21)6-(31)~(y,)dz~,(v,)a7(v,)d,pl(v,)
- 6- w)
d-(21) d-(23) d,~ w
- 6- (al) d- (n2) d-(32) d,cp (Q) +
dv,d>S
d-
(4
a-
WI
d-
~(0~) ~(2)~)d&p,(03 &2)
(0~3)hp, (~1) d,p
P)(h)
(~2)
da
P(Q)
@a)
(11.4)
&a)l.
En utilisant la formule dsv (0,) = i (K2/k2) (k - o,J tp(tr& et le fait que K2 et d, sont IinCaires en A la formule 01.4) donne: (11.5) avec (K2/k2) E;’ = (K2/k2) - 2 (K2/k2)2
-’ = [l + K2/k2]-2, co
+ 3 (K2/k2j3
- 4 (K’/k”)”
+ .+.,
(11.6)
SYST&lES
557
HOMOGf?NES CLASSIQUES II
et Hk (k . v,) =
du,6- (0~1)Q)(u~) s + ig
du,6- (al) k - v,p, (zQ J duzcY- (~2) ~(4 s
- i $-
k - u,
du16- (oil) y(ul) s
c
J
x
du&
duzd- (21) Q)(Q) s
(31) Q)(~J)+ k . ~19 (0
s x
J
dud-
(21) Q)(Q)
dud-
(~2)Q)W
s
du+-
(23) 9)(h) + k
* Ulg, h4
s P x
s
du&
(32)&)
} + (igrJdu$
(ocl)k.u,g,(u,)
J x
du,6- (0~2)k - ~29 (24 s
du$
@3) &US).
(11.7)
s
De la formule (11.7) on vkrifie que Hk (k - u,) satisfait I’Cquation intCgrale suivante : Hk (k - UJ = J du,6- (oil) y(ul) + i 5
{H, (k * u,) j du,6- (al) k - u,pl (u,)
- k * u, J du,6- (oil) &uJ H: (k - q)}.
(11.8)
oti Hz (k - ul) signifie le complexe conjug& de Hk (k - uJ. Introduisons : L (x,, k) = lim QY(xJkH, (k - u,), z-++io
Oil x,
et
=
k - ualk
(11.9)
P. CLAVIN
558
ET J. WALLENBOFtN
(11.8) donne: +oO L(x,,
k) = x
4-00
dx,6_ (x, - x1) F(xJ F(xA + ix +J s --oo
dx,6_ (x, - xl> s -m
x Lx@Cd L (x, , k> - xa~(4 L* (x1 Ml,
(IJ.10)
3
Oti
.L
f3- hx - Xi) = 6 (x, - x1) -
x
9 9
x,-x,
oti 6(x) est la distribution 6 de Dirac. Les formules (11.3), (11.5) et (11.9) s’kcrivent :
dR 0
x {c&J
s
dk K’ eo2k-‘k k4
. au,
(!f+, k)].
[q e)]-‘L
(II.1 1)
De la formule (11.7) il apparait que la partie rtelle de lims-r+io Hk (k - 0,) est paire en k. D&s lors, il en est de mQme pour L (x,, k) et seule la partie imaginaire Lp (x, , k) de L (xa, k) donne une contribution non nulle A@(vJ. La formule (II. 11) donne alors (3.5) oti L2 (x,, k) satisfait l’Cq. (3.6) obtenue en prenant la partie imaginaire de (11.10).
APPENDICE
La formule de Bertrand-PoincarC13)
_;k j)x, x, B -
s’tcrit :
B
Xl
Xl
-
III
GXxdP(xz)
x2
mais 1
1
TX - x1
x1 - x2
=
1
1
x, - x2
x1 - x2
+
1
1
x, - x1
x, - x2
.
559
SYST~MES HOMOGI-?NES CLASSIQUES II
Nous obtenons alors:
+- jmdx2 ;@dxl -m
--a,
g -
4
x2
-
B
x1
-
P(x1)
$xX2)
x2
par un changement de variable d’intkgration nous obtenons immkdiatement: - B - B @(xii p-(x2) xa - x1 x1 - x2
2 +Smdxl j-,, -CO --m
(III. 1)
des formules (3.9) on d6duit:
1
K2 -@(x,)=
+
-1
-x,
[ k2
~2
(x,,
(IIT.2)
4,
(111.3) avec co = 1 + K2fk2, d’oik
_+fdx, -+tW =[g ~a]-’ 1 [to
-
~1 (~a,W,
(111.4)
XL%
d’oti l’on d&duit de la formule (3.14):
1 -1
~52 (xa,k)
=
b+
(x,>W-~
xx
$
II
x C--&I(~a, k) PO-
t
r&o
-
61
(x,,
~1
WI
)i
ce qui donne la formule (3. IS) en utilisant : I&+ @a, 41’ = E: @a> 4 + 8; (xx, 4.
kx
W,)
> W
-I-
EZ (x,
> 4
[f&2
(x,,
WI
(111.5)
560
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN APPENDICE
IV
Calculons, dans les notations des appendices I et II, les fonctions associeesl) a l’operateur axN,lQ(z)defini dans le chapitre 2:
%I .,(z)
2
“L(z)
=
CD (hd
3
+
tmvZ>
1
= -8x3 j%t JdkVkD,z 0
%23(z)
=
+
3
x (*mu:
1
+ w,
i(k . v12 - z)
1
toutes les permutations
de (1,2, 3)
+ *mui: + *mu3
ce qui peut se mettre sous la forme: ‘%123(z) = -(8x3)2 ;%A J dkV,‘D,z 0
r
xD3
-
1
i (k . vJz - 2)
’ i (k . olz - z) +
1 i(k.v,3
-z)
+ w
+ les deux termes obtenus par les permutations de 2 t) 3 et 1 c, 3, -I- toutes les permutations
de (1,2, 3,4) I
X
<*mu: + *mu’: + _tmvZ + *mu:)
ce qui peut s’ecrire: “/5,,,,(z) = -(~Tc~)~ I’dL j-dkVkD,z 0
1 i(k.v12 -z)
03
1
i&-v13
04
-z)
03
-
D4
i (k * v32 - z)
04
1 i (k * v42 - z)
( i (k * v14 - z)
i (k . v43 - z) >
1
1
+
1
1
1
x
03
i (k * v42 - z) 1 + W) i (k . v43 - z) 1
+ les termes obtenus par les permutations
de (1,3,4) et (2,3,4), (IV.
etc.
oti O(z) est le symbole utilise pour les termes proportionnels
a z.
1)
561
SYST.tlMES HOMOG&TES CLASSIQUES II
En apphquant le theoreme de factorisation de (IV. 1) prennent la forme (voir ref. 11) :
1
X
w,
+
i(-&*a,-z+z’)
da a RCsibois14) les expressions
“l;,,,(z) = -(8x3)2 jdAJdkV.$JdnO12 0
i(k.ll
_z,)
C’
1
X
i(-k-a,-z+z’) X
-D3
1 i (k . u3 - z’)
03
i(-k.0,
- z + z’)
+ les termes obtenus par les permutations
1
X
Da
+
D3
1
i (k * u3 - z’) 1
i(-k-r3-z+z’)
* us - z + z’)
i (k . u4 - z’) 1
D4
i(-k-u,-z+z’)
+ les termes obtenus par les permutations etc.
04
i (k . tr, - z’)
1 04
1 i (-k
de 2 t, 3 et 1 t, 3,
1
i(-k.u2-z+z’) -
1+%4
1 +
1+w
de (1,3,4) et (2,3,4). (IV. 2)
oti le contour C’ est une droite parallele a l’axe reel, telle que sur cette droite on ait 0 < Im z’ < Im z. On verifie facilement que si l’on complete ce contour par un demi-cercle A l’infini dans le demi-plan inferieur ou superieur, l’evaluation de I’inttgrale sur z’ dans (IV.2) par la methode des residus redonne (IV.l). En
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
562
introduisant (IV.2) dans (3.2”‘) on obtient aprbs quelques manipulations triviales:
U
AB(u,) = -+ lim
r-++io s
dkV,
s
0
2x
r
+
1
--
X
dz’ i(k.
:
z _
z,) ni
%$(z' -
a
z)]" f [Gk(z')lm ?I!=1
1 $ [Gk(z’)l’mjl[Gk (z’ - z)]” i (k . v, - z’) n=o
dz’
&
v
s C'
s
C'
+
4x2c
dz’ s
f
C'
i
x D,
+
i
(k
(a
.
Y(Q) i (k . v1 + z - z’)
dv,
.
v : z _
z,)
’ ‘)
~~
[Gk
V -
,’_
z,)
’ 1)'C,(z~)I~~~o [Gk(Z’ -
~~
OL
- 4x2c s
i (k . v (
+
i (k
. :
i (k . v, -
f
C'
a
_
d
:
z,)
z)]~)
pl(%)
dvl
dz’
x D,
z)~~~l[Gk(r')I"
a
z _
~~
z')
z,) "~~
+
1)
'
') ‘Gk
(”
-
‘)~~~o[‘k(‘~)]”
‘Gk(“)In~~~[‘k (Z’ - z)]~)}.
(“‘3)
Oil
G/‘(Z) = -87c3c J dvlv (vl) D1
= 8x3c j dv,
1 i(k.vl
-z)
’ i(k.q
-z)
DIP, (~1).
(IV.4)
La sommation des shies en Gk(z’) et Gk (z’ - z) est immCdiate. Cette sommation faite, nous faisons tendre le contour C’ vers l’axe rBe1 puis z vers +iO au-dessus de C’. Remarquons que Gk(z’) est dtfini pour Im z’ > 0 tandis que Gk (z’ - z) est dCfini pour Im (z’ - z) < 0. Comme Gk(z) prhente une coupure sur l’axe reel, Gk(z’) et Gk (z’ - z) ne tendront pas vers la meme limite.
SYSl%MES HOMOGl%ES
563
CLASSIQUES II
En passant aux variables xi [c$ (II.9)] on obtient : AE (u,) = ;da f dk V, 0 J dXd+
(X,
-
X)
(1
-
E+
(X,
k))
b+
x
(t
+
2x4ck- lD, J dx6, (x, - x) j dx@(x,)
(X,
k)
x 6, (xi - x) (1 - E+ (x, k)) [c+ (x, k) ~5 (x,
+ 2x4ck- ‘0, J dxd+ x
6_
(Xi
-
x)
[E+
(x,
(X6
-
X)
J dX@
k) E? (x, k)]-l
&-
(X2
w-’
Ml- ’
(XJ
+ c.c.}
(IV.5)
06 C.C.est mis pour les termes conjuguts des precedents et oti 1 - E+(x,k)
=
lim Gk(kw) w-+x+10
= 8x4cm-liV, 1 - E_ (x, k) =
(x1 - x) a,$ (x1),
lim Gk (ko) Olu-r.T10 -8x4cm-5Vk
=
Jdx,6_
Jdx,6+
(x1 - x) a,,p (x1).
(IV.6)
Une reorganisation des termes dans (IV.5) conduit directement a la formule (3.17).
APPENDICE
V
Calcul de C. La grandeur sans dimensions C est donnee par (3.26): C=-$[ti~dkk-‘{(l+~)-2-lj,
(v-1)
0
oti nous avons utilise la definition (4.7) de co. Remarquons que l’integrand de (V.1) ne depend que du module de k. En faisant le changement de variables a = K/k on obtient finalement: e= C =
If_
co
$
((1 + a2)-’ - I}
s
0
0
=
$
dAK
x s
e2K,!l da {-(1 s
+ a2)-’ - (1 + a”)“}
0
07.2)
564
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN APPENDICE
VI
Soit a calculer I’expression (VI. 1)
J = /3 j dv+mu2e (u) q(v). En faisant le changement de variables (4.5) nous obtenons J = xe312 j d YV26 (V) emVZ= 4xwfe2K yd VV”q (V) eevz,
(VI.2)
0
oh nous avons integre sur les angles de Y et oti nous avons utilise (4.8). A l’aide de (4.9’) nous obtenons (VI.3)
J = -~~-3i2e2K~dVV2~v[e-vz 0
Apres integration par parties, (VI.3) conduit a J = - $r-3/2e2K ;dV (dyemY’) ;dXZ (X) 0
0
=
$c-
3'2e2K
“d ~el’e-vzZ (V) .
(VI.4)
d
D’apres (4.10’) et (4.7) nous pouvons 6crire J = $rr-3~2e20~dVe-vz@ Apres commutation
{le, (V, k)lm2 - s; 2(k)} *
(VI.5)
des deux integrales, nous obtenons:
J = $r-3/2e2 fdk {pVeTvl
[E+ (V, k)le2 - 3Jrt G’(k)}.
(VI.6)
Remarquons que 2x- *fdvesvz
Is+ (V, k)jm2 = irndxq (x) l.s+(~)l-~, -m
(~1.7)
oti q(x) est defini par (3.8). Balescu a montre (ref. 11, p. 244) que Td@(x)
-co
ls+(x)l’ = k2 (k2 + K2)-‘.
Des lors, (VI.6) devient : J = $rw1e2 ydk (k2 (k2 + K2)-l - (1 + K2/k2)-2}, 0
0’1.8)
SYSTEMES
HOMOGENES
CLASSIQUES
II
565
oti nous avons utilisk la d&iinition (3.9) de e,,(k). En faisant le changement de variable a = k/K, on obtient finalement: J = $cm1e2K~da 0
1 I 1 + a2
1 (1 + a2)2 .
Soit
(VW
J = e2K/6.
REFERENCES
1) Clavin, P. et Wallenbom, J., Physica 61 (1972) 23. 2) Prigogine, I., Henin, F. et George, Cl., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 59 (1968) 7. 3) Prigogine, I., George, Cl., Henin, F., Mandel, P. et Turner, J.W., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 66 (1970) 709. 4) Prigogine, I., George, Cl. et Henin, F., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 65 (1970) 789. 5) Mandel, P., Physica 48 (1970) 397, Physica 50 (1970) 77. 6) Turner, J. W., Physica 51 (1971) 351. 7) Clavin, P. et Wallenbom, J., CR Acad. Sci. 270 (1970) 717. 8) Allen, P.M. et Nicolis, G., Physica 50 (1970) 206. 9) Mandel, P., Bull. Acad. Roy. Belgique Cl. Sci. 56 (1970) 1140. 10) Mandel, P., Physica 54 (1971) 241. 11) Balescu, R., Statistical Mechanics of Charged Particles, Interscience Publ. (New York, 1963). 12) Prigogine, I., Non Equilibrium Statistical Mechanics, Interscience Pub]. (New York, 1962). 13) Muskhelishvili, Smgular Integral Equation, Groningen, Holland (1946). 14) Resibois, P., Phys. Fluids 6 (nb 6) (1963) 817. 15) Fried et Conte, The Plasma Dispersion Function, Acad. Press (New York, 1961).
DESCRIPTION
0
i?o&-Hatland
Publishing Co.
DES SYSTBMES HOMOGBNES
EN TERMES DE PARTICULES II. APPLICATION P. CLAVIN*
AU PLASMA
CLASSIQUES
HABILLBES DE DEBYE
et J. WALLENBORN
Fault6 des Sciences, Uniuersite'Libre de Bruxelles, Bruxelles, Belgiquex
Recu le 13 Novembre
1971
Synopsis We describe an electron gas m the equilibrium Debye approximation in terms of dressed particles as introduced by the Brussels school. We use the Mandel-Turner definition of the dressmg operator and show the validity of the so-called equilibrium condition for our model. We show graphically the dependence of the dressed-particle energy on velocity. Finally, as expected from our preceding paper, we recover the correct value of all thermodynamic quantities by using only the dressed one-particle distribution function.
1. Introduction. Dans un precedent (cf. 1) nous present6 certains nouveaux que la theorie la transformation par Prigogine collaborateurs 2*3,4) Btait appliquee systemes classiques et homogenes, dans le des distributions Un des resultats obtenus que les habillies, introduites cette description statistiquement independantes, que leurs de distribution se factorisent, lors l’etat systtme est caracterist par fonction de f(p) a particule habillee, a l’equilibre, les grandeurs sont exprimables des fonctionnelles A nous montrt’), entre que la d’entropie s dans cette la mQme fonctionnelle que du gaz
* Attache France. Association
Recherche
au
Euratom
Etat belge.
Laboratoire
539
Energetique
IGPoitiers,
540
P. CLAVIN
ET J. WALLENBORN
Le nouvel hamiltonien des particules habilltes est dtfini par un ensemble de distributions (au sens mathematique du terme) I?,. .n en les impulsions (pl ... pa) de telle man&e que la densite d’energie (H) soit don&e par la formule:
(1.2) Quant a l’energie “E(p) de ces particules, elle est definie par la dtrivee fonctionnelle de (H) par rapport af’). A l’tquilibre nous avons obtenu pour f la mdme forme que pour le gaz parfait :
_RP> = exp{ -B E(P) - PI>~
(1.3)
ou le potentiel chimique p est donnt par:
exp[-@I = c-l Jdp exp
[-/?a(p)].
(1.4)
c &ant la densite. Une partie de ces resultats [essentiellement les formules (1.1) et (1.3)] est bade sur une prop&& concernant l’action de l’operateur d’habillage x-l sur les maxwelliennes (c$ 3.1 et ref. 1). Recemment, MandeF) et TurneF) ont propose, a partir de considerations differentes, une formule globale et generale de definition pour l’optrateur d’habillage x-l. On n’a pas pu, jusqu’a present, ttablir en toute generalit si l’operateur x - l, ainsi dtfini, possedait ou ne possedait pas la propriete mentionnte plus haut ; des lors, dans le cas oti cette propriete ne s’avbrerait pas ttre une consequence directe de la definition gemkale de x- l, la description en particule habillee telle que nous l’avons presentee ne serait rigoureuse que pour la classe des systtmes physiques qui sont decrits par des approximations dans lesquelles la propritte (3.1) serait verifite; c’est, comme nous allons le montrer dans cet article, le cas du plasma classique trait6 dans l’approximation de Debye. L’intCr&t de ce modble physique reside dans le fait qu’il ntcessite une resommation (de termes d’ordre arbitraire en la constante de couplage) qu’il est possible d’effectuer explicitement. Des lors toutes les grandeurs intervenant dans la description en particules habillees sont calculables; comme d’autre part la thermodynamique des plasmas de Debye est bien connue, ce modble permet d’effectuer un test positif et sur la compatibilitt de la definition de x7 ’ avec la propriete (3.1) et sur la description en particules habillees telle que nous l’avons prtsentee dans la ref. 1. Dans le paragraphe 2, nous donnons, pour ce modele, la forme explicite de l’optrateur d’habillage x-l tel qu’il est defini par la formule de Mande15) et Turner6s3) et nous calculons les grandeurs 5,. ,, correspondantes’). Au paragraphe 3 nous prouvons que cet operateur engendre a l’tquilibre une fonction de distribution f qui satisfait la relation (1.3); ceci revient a verifier que,
SYSTkMES HOMOGl?iNFlS CLASSIQUES
II
541
dans l’approximation des anneaux, l’operateur x-l utilise verihe la propriete d’tquilibre (3.1) mentionnee plus haut. Dans le paragraphe suivant, 4, nous effectuons le calcul numerique de Z(p) et tracons sa courbe en fonction du module de l’impulsion p. Lorsqu’on aura aborde, dans cette description en particules habillees, le probleme de la reponse lintaire, cette courbe devrait peimettre dans un travail futur de mieux comprendre l’interpretation physique a donner aux particules habillees introduites dans cette theorie. Enfin dans le dernier paragraphe, 5, en utilisant les resultats precedents ainsi que les formules Ctablies dans la ref. 1, nous calculons a partir des expressions precedentes obtenues pour f et P toutes les grandeurs thermodynamiques et nous retrouvons ainsi toutes les valeurs bien connues de la thermodynamique du plasma de Debye; ce qui constitue un dernier test de consistance de la theorie utilide. Les rtsultats des travaux present& dans cet article ont BtC resumes precddemment dans une note publiee aux Comptes Rendus de 1’Academie des Sciences7) (Paris). Dans des travaux consecutifs a celui-ci, Nicolis et Allen*) ont etudie dans cette m&me optique les gaz peu denses tandis que Mande19*lo) a trait6 le plasma de Debye dans le cas quantique. 2. Mod2le et approximations. Le modele que nous allons decrire en termes de particules habilltes est celui du gaz d’electrons classique rendu macroscopiquement neutre par un fond continu de charges positives. L’hamiltonien de ce systbme est:
avec : Ho = ; $& i=l
(2.2)
oti e est la charge de l’electron, c = iV/Q est la densite Clectronique. Nous utiliserons toujours par la suite, comme variables, la vitesse u de la particule nue: v = (l/m)p. Nous traiterons ce modele dans l’approximation de Debye, ce qui consiste a ne retenir dans le developpement en puissance de p de toute grandeur d’bquihbre que les termes jusqu’au premier ordre”) avec comme definition du parametre
542
P. CLAVIN
ET J. WALLENBORN
sans dimension p : p = /3e2K,
(2.3)
oti ,l? = (kT)-’
et oti K = (4xe2c@’ est l’inverse de la longueur de Debye. Balescull) a montre que cette approximation correspondait dans la thtorie des diagrammes11*12) developpee par Prigogine et lui-m&me a resommer les graphes ayant la topologie des anneaux:
Fig. 1
Dans cette approximation la fonction de distribution d’equilibre a une particule habillee @s’tcrit dans les notations de la ref. 1: (2.4) 0i.i lim, symbolise la limite thermodynamique: N + co, Q + co, N/Q = c; ou v(z+) est la fonction de distribution des vitesses reduite a une particule nue en equilibre : 313 &4
=
2
(
ev
L--B
tmdl,
(2.5)
>
et oh l’indice a de ‘x~,~~(z) signifie que dans la solution de Equation de Mandel et Turner3*5*6), qui dr%it l’op&ateur x-l, nous ne retenons que les termes associes aux graphes ayant la topologie des anneaux, c’est-a-dire ceux qui dans (2.4)donnent des contributions lineaires enp. 11est facile de vkifier que [.x;,:(z) - l] est donne par la somme de tous les optrateurs associes aux diagrammes de la topologie des anneaux et qui contribuent A la d&Se par rapport a z de yN,o(z) [I$ formule (2.6) de la ref. 11, chacun d’eux multiplie par le facteur q/(q + r) oti r (resp. q) est le nombre d’interactions sit&es a gauche (respectivement a droite) du propagateur Cleve au car& L’operateur d’habillage ainsi deflni correspond, dans les notations plus condensees utilisees par le groupe de Bruxelles, a l’approximation des anneaux de l’opkrateur:
52:’ et WF4)sont respectivement les optrateurs de destruction (d’ordre r en la constante de couplage) et de creation (d’ordre q) de correlations binaires represen-
oh
SYSl-fZMES HOMOGfNES
CLASSIQUES II
543
tees, en transformee de Fourrier, par le vecteur d’onde k. En utilisant les resultats de l’appendice II de la ref. 1 ainsi que la forme explicite de .xN,i(z) que nous venons de definir, la formule (2.4) apres le passage a la limite thermodynamique s’ecrit :
oti les operateurs jal..Jz) associes a *x-r N,R(~) sont don&s explicitement dans l’appendice II * . Dans la ref. 1 nous avons associe a l’operateur general xi,;(z) les grandeurs &r...,(z) qui caracterisent a la limite thermodynamique l’hamiltonien des particules habillees. Nous donnons dans l’appendice IV les expressions $...,(z) de ces grandeurs correspondant A l’approximation des anneaux c’est-a-dire a l’opkateur UxXN,&(~) precedemment introduit. 3. Demonstration, dans l’approximation des anneaux, de la propriM d’&uilibre. Dans le cas general (sans specification explicite du potentiel et sans approximations) nous avons montre (cJ ref. 1) que les distributions rdduites associees Zi@ se factorisent; avec comme definition formelle de 4: P = exp
(3.1’)
[-+W1&I/~~exp [-hi-l~~lI~
ou T symbolise l’integration sur toutes les vitesses. De ce resultat nous avons con&t que dans le cas oh l’opkateur verifie, au sens des distributions rtduites, la condition suivante: x-l exp
[-BKJT {exp[-BfblI = 6,
d’habillage
(3.1)
la fonction de distribution reduite c@ ii une particule habillee en Cquilibre prend la forme simple: @((uJ = A-’ exp [ -/?z’ (a,)],
(3.2)
ou A est un facteur de normalisation et 2 est la dCrivCe fonctionnelle de la densite d’tnergie (H) par rapport a CC@ et nous avons les deux relations g6nCrales: GO = c j do1 +m& (al) + $
E(u,)
=
*mu,Z
.. .
lim g
s=2
z-++io
+
5 s=l
s!
@(al) ... firs),
(3.2’)
ss
lim -5 z++io
do, . . . d&...,(z)
-.. dv,&,..., (z) $(ul) ..a @(Us). (3.2”)
s!
* ‘X$&Z) est par definition tcl que A@ (u,, z) soit proportloMe1 au param&re p = @e2K.
544
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
C’est a partir de ces resultats que nous avons developpt, dans le cas general, la description des systemes infinis homogenes en termes de particules habillees. La propriete d’equilibre (3.1) n’a pas, jusqu’g present, pu dtre v&i&e pour la definition de l’operateur d’habillage proposte par Mandel et Turner. Comme nous avons utilist cette definition pour introduire, dans notre approximation, l’operateur a~;,~~(z ) nous now sommes attaches, dans un premier stade, a verifier directement la validitt de la relation (3.2) pour notre modtle; ceci est possible car dans l’approximation des anneaux les formules (2.6) et (3.2”) sont resommables; dans cette approximation la formule (3.2”) s’tcrit
oti b AE (v,) est le terme proportionnel AhB(v,) =,tl
liliO 3
a.. .s
au parametre p et est don& par:
dv, . . . dv, %, . s c.3 dVl> *** P,(%l*
(3.2”‘)
s
Des lors au premier ordre dans le parametre p la formule (3.2) donne:
P(G)= $44 Cl - p AE(v,)
-k C),
oti C est une constante de normalisation
(3.3) donnee par
C = +B J dv, AJ?@a)dvJ.
(3.3’)
11 nous suffit de comparer le resultat des resommations des membres de droite des formules (3.2”‘) et (2.6) et de montrer que A@ = lim a@(~,, z) E &J z++iO
[-pAE(u,)
+ C].
Dans le paragraphe 3.1 nous effectuons la resommation graphe 3.2 celle de (3.2”‘).
(3.4) de (2.6) et dans le para-
3.1. Pour resommer la strie (2.6) nous utilisons la methode des equations integrales utilisee par Balescu dans son livre sur les plasmas”). Une premiere resommation triviale permet de mettre la serie (2.6) ‘sous la forme (cJ appendice II): @(v,) = .&Q - (2nzm)- l y di, J dk 5 0
$ k - a,, $ 0
(3.5)
SYST&fES
HOMOG&WS
CLASSIQUES II
545
oh, en utilisant la notation x, = k - v,/k et celles des appendices I et II la grandeur L2 (x, , k) satisfait 1’6quation intCgrale :
avec par ddfinition:
(3.8) &I (x,, k), c2 (x,, k) sont respectivement la partie rCelle et imaginaire de la constante diklectrique d’kquilibre E+ (xn , k) :
el(x&,k)=l+
9
dx, s
XlT x3 -
w,
Xl
-co
q, =
cl
(0, k)
=
1 + Kz/k2.
(3.9)
Comme p est une fonction suffisamment r&uli&re on utilise pour rksoudre 1’Cquation (3.6) les distributions introduites par Van Kampen pour I’Cquation de Vlasof’ ‘) : %&I>
=
~2 (~1, k) L x
+
B
~&(X1) = Xl
-
x,
B x,-x,
x
+
&l@a,k)~h
Ei(xay k,t_? (x1 ~2 @a,
xx),
-
4,
(3.10)
k)
qui vkrifient les relations:
-1 x
s
dx, X+(x) XJx’)
-co
” (x1 ’ k, = 6 (x - x’). I&+ (x1, WI2
(3.11)
546
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
Dans ces notations l’bquation integrale (3.6) se met sous la forme:
_s, dxl&
hJL2
h,W
=
(3.12)
&J.
En utilisant les relations (3.11) l’equation integrale (3.12) se r&out pour donner: SW
L,(x,,k)
s
L E2(xa,k) dx,q (xl> ~&A
=
x I&+@a, k)12
(3.13)
-02
finalement en utilisant (3.7) et (3.10) on obtient:
L,(xa,k) =
’
1~(~a,k>12 X
s
I’m%)
dx, x
(x,, 4
-81
a
1
-co
+CO
+a0
+&2(x,,
k)l
dxl x
s
B x, -
dxz Xl
s
@ Xl
-
Hx1)
8x2
x2
. >
--oo
-m
(3.14) En utilisant la formule de Bertrand-Poincare13) (cf. appendice III): L2 CL
k> =
En introduisant
ce r<at
se met sous la forme
2
+xX,)
1
_
2 (K2/k2) x,
I&+(2
Ml2 > -
(3.15)
ce dernier resultat dans la formule (3.9, @(v,) prend la forme: d
f+A%> = PW + -
1
2x2m
ss di2
dk$+
0
(3.16) x [2l?:;,k
((c+ (k$k,k)12
- $)I’
3.2. Dans ce paragraphe nous allons resommer le membre de droite de la formule (3.2”‘) en utilisant une methode basee sur un theoreme de factorisation dO a Rtsibois14*11). P ar cette methode nous obtenons, en utilisant les notations de l’appendice I, l’expression resommee de Ai? (vJ sous la forme: (c$ appen-
SYStiMES
HOMOGl%ES
547
CLASSIQUES II
dice IV). AB (a,) = 4 ;;1 J dk V, +smdx6, (x, - x) 11 - E+ (x, 0
-co
Ml I&+(4 k)l-2
e=
+ 2x4c j- di2J+dk V,k-ID,
x J ~,~(x,)
+Smdx8, (x, - x)E;’ -co
(x,k)cZ’(x,k)
p+ (xi - x) [l - E+ (x, k)] + d- (xi - x)
x [l - E_ (x, k)]} + 27c4cjdA Jdk V,k-‘D, 0 +m x
-
JdXd+(Xa -co
X)
I&+
(X,
k)l-2
JdX,F
(Xi)
S-
+ complexe conjugut;
(Xi
-
Xl
(3.17)
oil: E+
(x, k) =
cl
(x, k) - i&2(x, k),
(3.18)
E_ (x, k) = El (x, k) + is2 (x,k), el et e2 sont definis a l’equilibre par les formules (3.9) ou (IV.6). Avant de poursuivre il faut remarquer que pour obtenir l’equation (3.17) nous n’avons pas utilise explicitement le fait que y Ctait la fonction de distribution d’tquilibre a une vitesse, en consequence cette formule reste valable pour calculer la derivee fonctionnelle de I’energie en dehors de l’equilibre. En utilisant la forme explicite de E+ (x, k) et a_ (x, k) A l’tquilibre on demontre les relations: _rd*@
(Xi) (6, (xi - X) [l - e+ (x,
Ml
+ 6_ (xi - x) [l - E- (x, k)]} = -2 (K2/k2) p(x), 1 k2 1 P(x) = ---K2-~2(x,k).
(3.19) (3.20)
X
On obtient en injectant ces deux relations dans (3.17): AB(v,) = Re [AB(u,)J =
3 [I - &I(x,, k)] le+ (x,, k)l-” 0
+52
1 -2x
B
dxs -co
x, - x
4x3ic D 1 +k ax
+CO dx s --m
Im &T1(x, k)
B -& -x
1 Im E-2 + (x, k) x
548
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
-
F
Da
L ef(x,,
k) I&+ (x,, k)l-4
4x
--- 4n3ic k2 D 1 k K2 ‘x
dx
s
B 1 --Im~~l(x,k) x X, -x
(3.21)
La constante diClectrique E+ (x, k) est une fonction plusll), c’est-&dire que sa continuation analytique E+ (z, k) est r&uli&re pour Im z > 0. Comme la distribution d’gquilibre est stablell), E+ (z, k) n’a pas de zeros pour Im z > 0; on en conclut que les trois grandeurs:
b+ (x, k> - 11,
- l]
[e;'(x,k)
et
1~;’ (x, k) -
11
sont des fonctions plus qui s’annulent g l’infini; elles verifient done les relations de Kramers-Kronig gtnCralistes : 9
Re F+(x) = r dxi Im F+(xJ , x s Xl - x --m
(3.22)
oh F+(x) est une fonction plus qui s’annule $i l’infini; si en plus Im F+(x) z xh (h > 1) pour x petit, nous obtenons:
Re P+(O) = !-
dxi -!- Im F+(xj).
x s -co
(3.23)
Xi
En utilisant la decomposition :
-xx x,x x,- x1 TX
--=- 1
1
1
A+-,
1
[
ainsi que les relations (3.22), (3.23), (limX,O Ed (x, k) z x), Nquation la forme: A&V,) = j&dk
V, 3 I&+(x,, k)l-2 - 4
+ 4x3ic
-
(3.21) prend
k
kZ K2 D,x,’
[la, (x,, k)l-2 - E;‘] .
(3.24)
SYST&MES HOMOGfiNES
Ce qui donne:
549
CLASSIQUES II
I?2 1
di2 dk k-2 (et2 - 1) --Bg, (G) AE (0,) = -89 (G) 4x2 s f 0
I?2
+-
1
dl
2&n
s
dkk-‘k-a,_
&
0
[I&+ (x,,k)l-2
a
s
-
G’l (3.25)
En comparant la formule (3.25) a (3.16) nous constatons que la relation (3.4) est verifiee avec pour valeur de la constante C: .z
CAL 4x2
ss dil
dkk-2
(&02 -
1).
(3.26)
0
Le calcul explicite du membre de droite de (3.26) donne (I$ appendice V): C = -$!le'K
= -_3p.
(3.27)
Nous avons ainsi demontre que, pour le modtle etudie dans ce texte la relation (3.2) est v&Site. Ceci revient a dire que dans l’approximation des anneaux, l’operateur d’habillage x-l donne par la formule de Mandel-Turner v&ifie la condition d’bquilibre (3.1). 4. Forme de I’&ergie de la particule habillie h I’6quilibre. Dans la ref. 1, nous avons Bte conduit a interpreter a(~,) (derivee fonctionnelle de l’energie) comme l’energie de la particule habillee d’impulsion pa = mu,. Dans ce paragraphe nous allons tracer la forme de cette Bnergie dans le cas du plasma de Debye a l’tquilibre. Pour des raisons de commodite nous Ctudierons le comportement de la grandeur e(v,) definie par :
e(v,) = AE(vJ
- p-‘C,
(4.1)
le lien entre a(~,) et e(va) est donne par: Z(v,> = *mu,2 + e(v,) + B-‘C,
(4.2)
et nous avons d’apres (3.3): &J,) = pl(vor)11 - Be (~31,
(4.3)
oti Be (v,) est proportionnel au petit paramttre sans dimension p qui caracterise I’approximation de Debye; il est clair que nous n’obtiendrons des resultats
550
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
significatifs que dans le domaine des vitesses oti Be (u,) reste petit devant l’unitb; en dehors de cette region l’approximation des anneaux perd son sens. En introduisant dans la formule (3.24) le resultat (3.26) nous obtenons:
tZ(V,) = $[dI
V,-’ TdX
0
-v.
([,e+ (X, k),-2 - ,e&k),-‘1
0
(I&+w, k)l-2 - I~o(k)l-2N~
wx LX-’
-
rdk
(4.4)
oh nous avons utilise les changements de variables
et oti g( V,) est l’expression de e(v,) dans la nouvelle variable sans dimension V, : .?(V,)
3
e(u,).
=
TC-*
En posant a(X)
dX’
f
-CO
9
X’ e-x’=,
X-X’
y(X) = x3Xe-x2
(4.6)
nous obtenons : e1
(X, k) = 1 - (K2/k2) &!C),
~2
W,
4
=
-W21k2)
y(X),
(4.7)
co(k) = 1 + K2/k2. Comme le montrent les expressions (4.7), le seul paramttre qui intervient dans la formule (4.4) est a2 = (K2/k2) (Kz = 45&2/l). En utilisant le changement de variable a = K/k; l’integrale sur k, J,” dk, devient K j,” da/a2 et dbs lors l’integrale sur il donne: f&K=
3e2K
(K2 = 4xe2c/?).
Ainsi il vient: E(V,) = e2Kq (V,)
(4.8)
SYST&MES HOMOGfiNES
CLASSIQUES II
551
oti q(VJ est une fonction sans dimension dont l’expression est:
dXW)
-
+
WJ a
d’on e
-v2~2q (V)
$
= -
a,
ewv2i
1 ,
dX Z(x)
,
(4.9)
(4.9')
1
avec par definition: m Z(X) =
$
- a2a (X)]” + u4y2 (X)} - l - (1 + a”)-‘] )
w
(4.10’)
s
0
ce qui donne apres integration: Z(X) =
$+
5
w
{I
[e(X) - e31-3
- k?w - &wl~
Oh
&X) = c%‘(X) +
(4.10)
y’(X).
D’apres (4.3) la fonction de distribution @(v~)se met sous la forme: @(%) = @a) [l - P7
(4.11)
WJI 3
ou p = e’@ est le <(petit 1) parametre quant a l’energie a(~,) nous obtenons: a(~,) = &rnvi + eZK [r](V,) - $1
definissant l’approximation
de Debye;
(4.12)
Remarquons que (4.9’) assure que (4.13) A partir de (4.10) et des developpements de a(X) et y(X) don&s par Fried et Conte15) nous avons Btudie sur ordinateur le comportement de r(V). Le resultat est donne par la fig. 2 et montre: 1) pour les vitesses inferieures a la vitesse thermique, un comportement parabolique qui correspond 21une renormalisation de la masse (ce comportement a et6 verifie par un dtveloppement a l’origine) ; 2) pour les vitesses intermediaires un comportement lineaire qui &tend sur une bande de longueur d’a peu p&s une fois et demi la vitesse thermique;
552
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
N”eVZ/Vs)
3) pour
la region : pq (V) < 1. Comme la valeur numQique de 7 au point V = 0 est negative ~(0) w - 0,2173 on constate dune part que l’energie des particules habillees au repos est strictement negative et d’autre part [cJ (4.1 l)] que le peuplement des particules habillees aux faibles vitesses est favorise par rapport a la distribution de Maxwell des particules nues.
Fig. 2
5. Thermodynamique en termes de particules hubill&es. Le but de ce chapitre est de verifier sur le modele du plasma de Debye les expressions des grandeurs thermodynamiques que nous avons ttablies, dans le cas general, en utilisant la description en particules habilGes (c$ ref. 1). Le premier test de consistance rl effectuer est de verifier que l’approximation des anneaux de la formule (3.2’): (H)
= c
f
du, 3m&
@I) El - ~7
V’dl (5.1)
SYSThiES
HOMOGfNES
CLASSIQUES II
553
redonne bien l’energie des plasmas dans l’approximation de Debye; pour des raisons de place nous ne presentons pas, dans cet expose, la resommation de la formule (5.1), elle a Ctt effectuee et donne comme resultat: (H)
= c [$kT - +eZK] ,
qui est bien la densite d’energie dans l’approximation
(5.2)
de Debye.
5.1. Chaleur specifique C,. Dans la ref. 1 nous avons montre chaleur sptcifique (a volume constant) Ctait don&e par : C, =
du, ‘$2)d1) $ @(t.Q.
que la
(5.3)
s
Dans l’approximation
des anneaux la formule (5.3) se reduit a:
Ce qui donne en utilisant la dCf%nition(4.1) :
(5.5) Le troisieme terme de (5.5) est nul; la valeur du quatrieme et celle du second se deduisent du resultat obtenu dans l’appendice VI; ce qui donne: C, = Qk + $
-
du, e(v,) F(Q) & log s
(5.6)
Le troisieme terme de (5.6) est nul en raison de la condition de normalisation [cJ (4.13)] et dts lors on obtient bien la chaleur specifique a volume constant du plasma de Debyell). 5.2. En tr opie. Nous avons vu dans la ref. 1 que l’entropie par particule du systeme prenait la mCme forme fonctionnelle que celle du gaz parfait : S = -k
J-da, @(v,) {log [c@(v,)] - l} .
Dans I’approximation
(5.7)
des anneaux, la formule (5.7) s’ecrit :
S = SO+ kBJ dvadu,) &A log kg, WI + 43 _fdu, &?A e(v,), oti SO est l’entropie du gaz parfait.
(5-g)
554
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
En vertu de la condition de normalisation obtient :
(4.13) le dernier terme est nul et l’on
S = So - kb2 j dv, pl(v,) e(v,) *mu:.
(5.7’)
Le resultat de l’appendice VI donne:
s = s,
- e2K/6T
(5.8’)
qui est bien l’entropie du plasma dans l’approximation de Debyell). Remarquons pour terminer que l’expression (3.3’) de la constante @-‘C est, d’aprbs les remarques de la ref. 1, la correction Ap au potentiel chimique (par rapport au gaz parfait) exprimee en grandeurs renormalisees; d’apres le calcul de l’appendice V on trouve: A,u = -$e’K,
(5.9)
ce qui est la valeur de la correction pour le plasma de Debye et dts lors l’expression (4.3) de gvor) est exactement le developpement jusqu’au premier ordre en p de l’expression generale obtenue dans la ref. 1: (5.10)
En conclusion, le modele que nous avons trait6 a permis de verifier dune part la consistance de la theorie de la description en particules habillees developpee dans la ref. 1 et d’autre part la compatibilite, dans l’approximation des anneaux, de la definition de l’operateur d’habillage proposte par Mandel et Turner avec cette meme thtorie. Remerciements. Nous tenons a remercier le Professeur I.Prigogine pour l’interct constant qu’il a port6 a ce travail. Nous remercions aussi le Professeur R.Balescu pour ses conseils et remarques qu’il nous a donnes a l’occasion de fructueuses discussions que nous avons eues avec lui sur ce sujet, ainsi que le Professeur Kestemont pour l’aide appreciable qu’il nous a apportee dans les calculs numeriques.
APPENDICE
Notations.
I
Nous avons utilis6 les notations suivantes:
1 = e2: card de la charge de I’tlectron; V, = (2x2k2)-l : transformee de Fourier du potentiel; K2 = 4xl.c~: car& de la longueur de Debye; CO,’= 4xiicm-l : carre de la frequence plasma; Dl = Am-’ V, (ik - i%,); D12 = Dl - D2 ; dl = - 8x3cDl ;
SYSl%MES
HOMOGl%ES
CLASSIQUES
555
II
d12 = d, - d,; d-(12) = l/i (k . v12 - z); x8_ (k . v12) = lim,,,,, 6- (12) ou VIZ = VI - v2. ~I(& - x1) est la notation de la distribution partie principale de l/(x, - x1). APPENDICE
En utilisant les notations nous avons* : =
II
de l’appendice I et les definitions du paragraphe
3 j
2,
dk D, [6- (cx~)]’ da,.
= 3 JdkD& [6- (al)12 d,6- (~x2)da2 + 4 JdkD,
[a- (al)]’ (--da) 6- (21) d,,
+ 3 j dkD,d- (al) dl [6- (a2)12 d,z + 3 j-dkD,G- (al) (-da> [6-(21)]’ d,,.
= 8 JdkDa [6- (Cal)]’ (-d&B- (21) (-d2) d-(31) dsl + d,6- (~2) (-da) d-(32) d,, - d,6- (21) d,6- (23) d23 + d,6- (a2) d,6- (0~3)da,} + $ JdkD,B-
(~1) {-da [6-(21)]2 (-d2) d-(31) dsl
+ dl [6- (a2)12 (-da) a-(32) ds2 - d, [&-(21)12 d16- (23) dz3 + di [6- (cx~)]’ d,6- (013)da,} + t @kD,b-
(orl) {-da@
(21) (-dz)
[S-(31)]’ ds1
+ d,&- (~2) (-da) t&(32)]’ ds2 - d,6- (21) dl [6-(23)]2 d2J + d,6- (~-x2)dz [6- (013)l’ da,). ~a1234(4
=
etc.
(11.1)
* Les graphes utilists sont ceux des rkfs. 1, 11, 12; la ligne ondulke verticale spkcrfie le propagateur 61ev6 au carr&
556
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
Remarquons que dans la limite z + +iO nous avons:
[utiliser (2.5) et les notations de app. I.]. En utilisant (II. 1) et (11.2), (2.6) s’krit : dkkp2k.
a,,
(11.3)
A lim Fk(v,) , [ z++io I
avec : F&J
=
K2
_ 2. K” + 3 K” 3 k4 4 k6
2 k2
1 K2 _-_-3 k2
+
X
2 K4 4 k4
+ . ..
(4
ha)
Q)@I)
+ ... >
JJJ
dv, do2dv,{6-(al)6-(21)6-(31)~(y,)dz~,(v,)a7(v,)d,pl(v,)
- 6- w)
d-(21) d-(23) d,~ w
- 6- (al) d- (n2) d-(32) d,cp (Q) +
dv,d>S
d-
(4
a-
WI
d-
~(0~) ~(2)~)d&p,(03 &2)
(0~3)hp, (~1) d,p
P)(h)
(~2)
da
P(Q)
@a)
(11.4)
&a)l.
En utilisant la formule dsv (0,) = i (K2/k2) (k - o,J tp(tr& et le fait que K2 et d, sont IinCaires en A la formule 01.4) donne: (11.5) avec (K2/k2) E;’ = (K2/k2) - 2 (K2/k2)2
-’ = [l + K2/k2]-2, co
+ 3 (K2/k2j3
- 4 (K’/k”)”
+ .+.,
(11.6)
SYST&lES
557
HOMOGf?NES CLASSIQUES II
et Hk (k . v,) =
du,6- (0~1)Q)(u~) s + ig
du,6- (al) k - v,p, (zQ J duzcY- (~2) ~(4 s
- i $-
k - u,
du16- (oil) y(ul) s
c
J
x
du&
duzd- (21) Q)(Q) s
(31) Q)(~J)+ k . ~19 (0
s x
J
dud-
(21) Q)(Q)
dud-
(~2)Q)W
s
du+-
(23) 9)(h) + k
* Ulg, h4
s P x
s
du&
(32)&)
} + (igrJdu$
(ocl)k.u,g,(u,)
J x
du,6- (0~2)k - ~29 (24 s
du$
@3) &US).
(11.7)
s
De la formule (11.7) on vkrifie que Hk (k - u,) satisfait I’Cquation intCgrale suivante : Hk (k - UJ = J du,6- (oil) y(ul) + i 5
{H, (k * u,) j du,6- (al) k - u,pl (u,)
- k * u, J du,6- (oil) &uJ H: (k - q)}.
(11.8)
oti Hz (k - ul) signifie le complexe conjug& de Hk (k - uJ. Introduisons : L (x,, k) = lim QY(xJkH, (k - u,), z-++io
Oil x,
et
=
k - ualk
(11.9)
P. CLAVIN
558
ET J. WALLENBOFtN
(11.8) donne: +oO L(x,,
k) = x
4-00
dx,6_ (x, - x1) F(xJ F(xA + ix +J s --oo
dx,6_ (x, - xl> s -m
x Lx@Cd L (x, , k> - xa~(4 L* (x1 Ml,
(IJ.10)
3
Oti
.L
f3- hx - Xi) = 6 (x, - x1) -
x
9 9
x,-x,
oti 6(x) est la distribution 6 de Dirac. Les formules (11.3), (11.5) et (11.9) s’kcrivent :
dR 0
x {c&J
s
dk K’ eo2k-‘k k4
. au,
(!f+, k)].
[q e)]-‘L
(II.1 1)
De la formule (11.7) il apparait que la partie rtelle de lims-r+io Hk (k - 0,) est paire en k. D&s lors, il en est de mQme pour L (x,, k) et seule la partie imaginaire Lp (x, , k) de L (xa, k) donne une contribution non nulle A@(vJ. La formule (II. 11) donne alors (3.5) oti L2 (x,, k) satisfait l’Cq. (3.6) obtenue en prenant la partie imaginaire de (11.10).
APPENDICE
La formule de Bertrand-PoincarC13)
_;k j)x, x, B -
s’tcrit :
B
Xl
Xl
-
III
GXxdP(xz)
x2
mais 1
1
TX - x1
x1 - x2
=
1
1
x, - x2
x1 - x2
+
1
1
x, - x1
x, - x2
.
559
SYST~MES HOMOGI-?NES CLASSIQUES II
Nous obtenons alors:
+- jmdx2 ;@dxl -m
--a,
g -
4
x2
-
B
x1
-
P(x1)
$xX2)
x2
par un changement de variable d’intkgration nous obtenons immkdiatement: - B - B @(xii p-(x2) xa - x1 x1 - x2
2 +Smdxl j-,, -CO --m
(III. 1)
des formules (3.9) on d6duit:
1
K2 -@(x,)=
+
-1
-x,
[ k2
~2
(x,,
(IIT.2)
4,
(111.3) avec co = 1 + K2fk2, d’oik
_+fdx, -+tW =[g ~a]-’ 1 [to
-
~1 (~a,W,
(111.4)
XL%
d’oti l’on d&duit de la formule (3.14):
1 -1
~52 (xa,k)
=
b+
(x,>W-~
xx
$
II
x C--&I(~a, k) PO-
t
r&o
-
61
(x,,
~1
WI
)i
ce qui donne la formule (3. IS) en utilisant : I&+ @a, 41’ = E: @a> 4 + 8; (xx, 4.
kx
W,)
> W
-I-
EZ (x,
> 4
[f&2
(x,,
WI
(111.5)
560
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN APPENDICE
IV
Calculons, dans les notations des appendices I et II, les fonctions associeesl) a l’operateur axN,lQ(z)defini dans le chapitre 2:
%I .,(z)
2
“L(z)
=
CD (hd
3
+
tmvZ>
1
= -8x3 j%t JdkVkD,z 0
%23(z)
=
+
3
x (*mu:
1
+ w,
i(k . v12 - z)
1
toutes les permutations
de (1,2, 3)
+ *mui: + *mu3
ce qui peut se mettre sous la forme: ‘%123(z) = -(8x3)2 ;%A J dkV,‘D,z 0
r
xD3
-
1
i (k . vJz - 2)
’ i (k . olz - z) +
1 i(k.v,3
-z)
+ w
+ les deux termes obtenus par les permutations de 2 t) 3 et 1 c, 3, -I- toutes les permutations
de (1,2, 3,4) I
X
<*mu: + *mu’: + _tmvZ + *mu:)
ce qui peut s’ecrire: “/5,,,,(z) = -(~Tc~)~ I’dL j-dkVkD,z 0
1 i(k.v12 -z)
03
1
i&-v13
04
-z)
03
-
D4
i (k * v32 - z)
04
1 i (k * v42 - z)
( i (k * v14 - z)
i (k . v43 - z) >
1
1
+
1
1
1
x
03
i (k * v42 - z) 1 + W) i (k . v43 - z) 1
+ les termes obtenus par les permutations
de (1,3,4) et (2,3,4), (IV.
etc.
oti O(z) est le symbole utilise pour les termes proportionnels
a z.
1)
561
SYST.tlMES HOMOG&TES CLASSIQUES II
En apphquant le theoreme de factorisation de (IV. 1) prennent la forme (voir ref. 11) :
1
X
w,
+
i(-&*a,-z+z’)
da a RCsibois14) les expressions
“l;,,,(z) = -(8x3)2 jdAJdkV.$JdnO12 0
i(k.ll
_z,)
C’
1
X
i(-k-a,-z+z’) X
-D3
1 i (k . u3 - z’)
03
i(-k.0,
- z + z’)
+ les termes obtenus par les permutations
1
X
Da
+
D3
1
i (k * u3 - z’) 1
i(-k-r3-z+z’)
* us - z + z’)
i (k . u4 - z’) 1
D4
i(-k-u,-z+z’)
+ les termes obtenus par les permutations etc.
04
i (k . tr, - z’)
1 04
1 i (-k
de 2 t, 3 et 1 t, 3,
1
i(-k.u2-z+z’) -
1+%4
1 +
1+w
de (1,3,4) et (2,3,4). (IV. 2)
oti le contour C’ est une droite parallele a l’axe reel, telle que sur cette droite on ait 0 < Im z’ < Im z. On verifie facilement que si l’on complete ce contour par un demi-cercle A l’infini dans le demi-plan inferieur ou superieur, l’evaluation de I’inttgrale sur z’ dans (IV.2) par la methode des residus redonne (IV.l). En
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN
562
introduisant (IV.2) dans (3.2”‘) on obtient aprbs quelques manipulations triviales:
U
AB(u,) = -+ lim
r-++io s
dkV,
s
0
2x
r
+
1
--
X
dz’ i(k.
:
z _
z,) ni
%$(z' -
a
z)]" f [Gk(z')lm ?I!=1
1 $ [Gk(z’)l’mjl[Gk (z’ - z)]” i (k . v, - z’) n=o
dz’
&
v
s C'
s
C'
+
4x2c
dz’ s
f
C'
i
x D,
+
i
(k
(a
.
Y(Q) i (k . v1 + z - z’)
dv,
.
v : z _
z,)
’ ‘)
~~
[Gk
V -
,’_
z,)
’ 1)'C,(z~)I~~~o [Gk(Z’ -
~~
OL
- 4x2c s
i (k . v (
+
i (k
. :
i (k . v, -
f
C'
a
_
d
:
z,)
z)]~)
pl(%)
dvl
dz’
x D,
z)~~~l[Gk(r')I"
a
z _
~~
z')
z,) "~~
+
1)
'
') ‘Gk
(”
-
‘)~~~o[‘k(‘~)]”
‘Gk(“)In~~~[‘k (Z’ - z)]~)}.
(“‘3)
Oil
G/‘(Z) = -87c3c J dvlv (vl) D1
= 8x3c j dv,
1 i(k.vl
-z)
’ i(k.q
-z)
DIP, (~1).
(IV.4)
La sommation des shies en Gk(z’) et Gk (z’ - z) est immCdiate. Cette sommation faite, nous faisons tendre le contour C’ vers l’axe rBe1 puis z vers +iO au-dessus de C’. Remarquons que Gk(z’) est dtfini pour Im z’ > 0 tandis que Gk (z’ - z) est dCfini pour Im (z’ - z) < 0. Comme Gk(z) prhente une coupure sur l’axe reel, Gk(z’) et Gk (z’ - z) ne tendront pas vers la meme limite.
SYSl%MES HOMOGl%ES
563
CLASSIQUES II
En passant aux variables xi [c$ (II.9)] on obtient : AE (u,) = ;da f dk V, 0 J dXd+
(X,
-
X)
(1
-
E+
(X,
k))
b+
x
(t
+
2x4ck- lD, J dx6, (x, - x) j dx@(x,)
(X,
k)
x 6, (xi - x) (1 - E+ (x, k)) [c+ (x, k) ~5 (x,
+ 2x4ck- ‘0, J dxd+ x
6_
(Xi
-
x)
[E+
(x,
(X6
-
X)
J dX@
k) E? (x, k)]-l
&-
(X2
w-’
Ml- ’
(XJ
+ c.c.}
(IV.5)
06 C.C.est mis pour les termes conjuguts des precedents et oti 1 - E+(x,k)
=
lim Gk(kw) w-+x+10
= 8x4cm-liV, 1 - E_ (x, k) =
(x1 - x) a,$ (x1),
lim Gk (ko) Olu-r.T10 -8x4cm-5Vk
=
Jdx,6_
Jdx,6+
(x1 - x) a,,p (x1).
(IV.6)
Une reorganisation des termes dans (IV.5) conduit directement a la formule (3.17).
APPENDICE
V
Calcul de C. La grandeur sans dimensions C est donnee par (3.26): C=-$[ti~dkk-‘{(l+~)-2-lj,
(v-1)
0
oti nous avons utilise la definition (4.7) de co. Remarquons que l’integrand de (V.1) ne depend que du module de k. En faisant le changement de variables a = K/k on obtient finalement: e= C =
If_
co
$
((1 + a2)-’ - I}
s
0
0
=
$
dAK
x s
e2K,!l da {-(1 s
+ a2)-’ - (1 + a”)“}
0
07.2)
564
P. CLAVIN ET J. WALLENBORN APPENDICE
VI
Soit a calculer I’expression (VI. 1)
J = /3 j dv+mu2e (u) q(v). En faisant le changement de variables (4.5) nous obtenons J = xe312 j d YV26 (V) emVZ= 4xwfe2K yd VV”q (V) eevz,
(VI.2)
0
oh nous avons integre sur les angles de Y et oti nous avons utilise (4.8). A l’aide de (4.9’) nous obtenons (VI.3)
J = -~~-3i2e2K~dVV2~v[e-vz 0
Apres integration par parties, (VI.3) conduit a J = - $r-3/2e2K ;dV (dyemY’) ;dXZ (X) 0
0
=
$c-
3'2e2K
“d ~el’e-vzZ (V) .
(VI.4)
d
D’apres (4.10’) et (4.7) nous pouvons 6crire J = $rr-3~2e20~dVe-vz@ Apres commutation
{le, (V, k)lm2 - s; 2(k)} *
(VI.5)
des deux integrales, nous obtenons:
J = $r-3/2e2 fdk {pVeTvl
[E+ (V, k)le2 - 3Jrt G’(k)}.
(VI.6)
Remarquons que 2x- *fdvesvz
Is+ (V, k)jm2 = irndxq (x) l.s+(~)l-~, -m
(~1.7)
oti q(x) est defini par (3.8). Balescu a montre (ref. 11, p. 244) que Td@(x)
-co
ls+(x)l’ = k2 (k2 + K2)-‘.
Des lors, (VI.6) devient : J = $rw1e2 ydk (k2 (k2 + K2)-l - (1 + K2/k2)-2}, 0
0’1.8)
SYSTEMES
HOMOGENES
CLASSIQUES
II
565
oti nous avons utilisk la d&iinition (3.9) de e,,(k). En faisant le changement de variable a = k/K, on obtient finalement: J = $cm1e2K~da 0
1 I 1 + a2
1 (1 + a2)2 .
Soit
(VW
J = e2K/6.
REFERENCES
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