Die genäherte bestimmung der dichtefunktion von aerosolen aus messungen mit kaskadenimpaktoren

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Aerosols in science, medicine and technology DIE GENAHERTE BESTIMMUNG AEROSOLEN AUS MESSUNGEN

DER DICHTEFUNKTION MIT KASKADENIMPAKTOREN

VON,

H.-J. NEUMANN und K. DIRNAGL Institut fiir Medizinische Balneologie und Klimatologie der Universit/it Miinchen. FR.G. Al~trsct--A method is shown for the approximative recovery of aerosol size distributions from deposition on the stages of cascade impaetors, based on the analytic reversal of the classifying mechanism. The true separational properties of the stages are used to build up density functions, which are compiled to an approximation of the input distribution without any prea~sumption on its shape. Exampl~ are given for the reconstruction of uni- and bimodal density functions. The method may he refined if mot'e than one quantitative information is a~aitable per stage.

VORBEMERKUNGEN Die Messung eines Aerosols mit Hilfe ¢ines K-stufigen Kaskadenimpaktors liefert als Ergebnis im atlgemeinen die Zuordnung der Impaktorstufe k, (k ¢ i = { 1, 2. . . . . K } ), zu der auf ihr abgesehiudenen Masse m~. Die Masse mk r ~ n t i e r t die gesamt~ aufder k-ten Stufe abgeschiedene Fraktion des Aerosols. Das Problem der Auswertung des Versuches besteht darin, wie auf der Grundlage yon K MeBwerten mr, (¥ ~: i¢I), die unbekannte (Massen-) dichtefunktion des Aerosols rekonstruiert werden kann. In der einschl~igzn Literatur werden dazu einige LOsungsvorsch~ge angeboten, z,B. in den Arbeiten yon Sundel6f (1967), Ludwig (1%8), Berner (1973), und Bartz et al. (1979). H/ufig angewandt werdcn die folpuden Methoden: idealer Impactor (Ludwig), und Optimierung des Parametervektorseines vorg~gebenen Funktionentyps (Bartz et aL, 1979). Der nachstehend b~n~ar/ebeneL6sungsansatz l~Bt sich zwischen diese zwei Methoden einordnen, venneidet aber deren unter Umst~nden schwerwiegende Voraussetzungen. AUSWERTUNGSVERFAHREN Im foll~'nden wird davon amgqlma~ dal] dm AMclmidev~haltea des Imlmktors dutch das in den IVm.nualen a n g e ~ l m a e Systera yon Abschtkl~xmktion~a E~(x), iV ~: iEl), vollst/indig b ~ h r i e l m a ist. Im Bild 222 sind die geringt'ilgig idmlisiet'ten Ab~,htfd~unktiot~"n e i n ~ !mImktors yore Typ Andersen Ambient Sampler (Mark II) darg~teilt. FOr die auf einer beliebigen Stufe k abgesehicxlenen Teilchen kann wieder eine M a ~ n d i c h t e f u n k t i o n k-I

h~(x) = 9(x)" Eh(x)" I-I (1 - E~(x)) = g(x). F~(x)(k e I)

(2.1)

/=1

formuliert werden. Das Funktionensystem i-!

Fi(x) = Ei(x)" I-I (1 -Ej(x)), (V r' i ~ l ) j=t

des genannten Imlmktortyps ist in Bild 223 dargmtellt. Da in dem beschriebenen Impaktor voraussetzungsgemaB weder Teilchen entstehen noch verlorengehen, gilt K g(x) = ~" hi(x). (2.2) i=l

Mit g(x) ist auch derVerlauf von hk(x), (k ¢ I), untmkannt, aber nur dort yon Wichtigkeit, wo entsprceh¢nd von (2.1) die Filterfunktion F, (x)die Diehtefunktion g(x) nieht unterdriickt (Bild 224). Es ist deshalb yon Vorteil, hk(x)atsmit der Funktion Fk(x) gewiehtetes Polynom darzustetlen: M

hk(x) w. h'dx ) = ~ ok. i x " F k ( x ) ~=o

~ IO uT -

$ Z

i

-

I

I

i

iI a: ILl

2 ,- 05~ z [ taJ

~ u.

~~

~ ft. a_ ~

m Ji ol

DURCHMESSER

×

Iol.tm

Bild 222. Abscheldeverhalten der einzelnen Stu|en.

The Tenth Annual Conference of the Association for Aerosol Research

i,

~D

399

T,

Ax 1.o

F

uLz

z E)

o.s z

\

__J u_

o

10 ~ m

03

DURCHMESSER Bild 223. Zusammenwirken der Stufen im Impaktor.

0.8

/('~Fk

(x )

0 2 ~ 6 DURCHMESSER X

8

10 I~m

Bild 224. Darstellung dcr Dichtefunktion fiir die Stufe k.

Mit einem Mel3wert pro Stufe kann auch nur der erste Koetfizient q , o bestimmt werden, und es folgt hk(x) ,~ h'~(x) = c k "Fk(x ).

(2.4)

Einsetzen yon (2.4) in (2.2) liefert K

9(x) ~ g'(x) = ~

c i ' F i ( x ).

(2.5)

i=l

Mit GI. (2.2) besteht der Grundgedanke der Methode in der analytischen Umkehrung des Versuchsablaufes. Ffir jede Stufe wird eine Massendichtefunktion h'(x), GI. (2.4), gebildet und additive fiber alle Stufen hinweg die unbekannte Ausgangsfunktion mit g'(x), GI. (2.5), angen/ihert. Kriterium for die Bestimmung der Koeflizienten q , ( V ,: i ~ l), kann nur die minimale Abweichung des riickgereehneten Megwertes yon dem tats/iehlichen MeBwert for jede Stufe sein. Zwei A n ~ t z e werden nachfolgend beschrieben. Lineares Gleichunyssystem

Ffir den MeBwert m k, (k E I), gilt mk =

O(x).Fdx)dx

und mit der N/iherung (2.5) m'k =

Cl

Fi(x)'Fk(x)dx.

(2.6)

i=1

Fiir Xmax ist ein gesch/itzter maximaler Teilchendurchmesser anzunehmen. Aus der Forderung mk - m'k = 0 folgt das lineare Gleichungssystem mi =

cj

Fjlx)'Fi(xIdx,

IVi: i ~ l ) .

(2.7)

j=l

Einstezen der L6sungen c a r i : . j ~ l ) , des linearen Gleichungssystems in (2.5) erm6glicht die n/iherungsweise

400

Aerosols in science, medicine and technology

Bestimmung der Massendichtefunktion g(x). Da in diesem Fall auch Werte ~¢'(xl < 0 auttreten k6r~nen. ~st zweckm/il3ig

~(xl~y~,lxl:=j,q(x)

)

for 9'(x)~>O fiir o'(x) < 0

0

i2.S}

zu setzen und zu priifen, ob die Abweichungen A = m~ - m/~ die Mel3toleranz befriedigen.

lterationsverfahren Mit dem Ansatz (2.5) kann g(x) auch iterativ rekonstruiert werden. Diese Vorgeheusweise verraeidet das Auftretcn negativer Werte for ~'(x), ist aber dafiir sehr rechenzeitaufwendig. FOr die Iterationsformel erh/flt man gu*l'(x)

K m(o~ y' ~ Fi(x),

= g°qx)

(J=

1,2,.

129)

.)

mit K

mlO)

=

q"'(x) ,~, f~m~,F,(x)dx

F~(x).

In (2.9) bczcichnct 0 u + ~)(x) die Niil~rung fiir a(x) nach dora j-ten Iterationsschritt, m~u) den mit der j-ten Niiherung rilekgerechneten MeBwert und m~°) den tatsgtchlichen MeBwert der/-tea Stufe. Die Iteration wird abgebrochen, wenn die rOckgerechneten MeBwerte die geforderte Genauigkeit be~itzen.

Einioe Modellrechnunoen Fiir unimoda~ ul~ bimodalc Didlwfimktior/an, die ~ Mel]bereich des Impsktors gut dumhsetzen, f'dart (2.8) zu iiberraschcnd lpaL,'nRckonstruktionen der Aul~mgsl'unktionen. Auch trimodal¢ Didhtcfunktioncn mR einem stark dominiercndcm Modus werden in der Rqlcl gut ange, nthcrt. Im Bild sind eini$c BeispieJe daxgestdlt. In Bild 226 ist auch die Auswertung nach der Methode des idcaten Impectors, entsprechcnd der Manualvorschrift, eingezeichnet. Diese fiihrt zu einer relativ gr.o.ben Wiodeargabc d ~ Ausllanipffunktion. Die einzdnen Modi sind nicht rnehr so deutlich zu erkennen und die Uberginge zwischen den Modi rneistens verwischt.

_

023.

1133t

x

z

Q wz

uJ -r Q

2 4 6 DURCHME SSER o

8

X

10pro

2 4 6 DURCHME SSER x

8

lOtam

b

_ ~23 t

Xaax

Mode!flu.

nach

g o

, 0

2

&

DURCHM ESSER c

8

6

Bild

f

G~te der N&herun~

q(x)dx

s1

s2

a

1.0

O.

2"10 -5

b

1.0

4 . 1 0 -5

1 . 1 0 -4

1.0

7 . 1 0 -4

9 . 1 0 -4

0

C

10 I.tm

X ( Werte ~ 1-10

-10

:= 0.)

xw

1.

•= . i f / (10 =

2..,.

0

£''

nange des MeSbere£ches) Bild 225. Rekonstruierte Dichtefunktion

~

- ) ffir einlge Modellverteilungen

(-

t.

The Tenth Annual Conference of the Association for Aerosol Research

401

-- 03/"I

g

~ o 2 4 6 DU R C H M E S S E R C

0

8

101Jm

8

~Op.m

×

0.34

!

1

'

:

--I i . o

0

---

2 4 6 DURCHNIE SSE R ~' b

Bild 226. Vergleich: rekonstruierte Dichtefunktion (a) und Histogramm (b) fiir eine trimodale Modellverteilung.

Einige praktische Versuchsauswertung Aerosole for therapeutische Anenwendungen in der Medizin miissen hinschtlich ihres Tr6pfchenspektrums bestimmten Anfoderungen gentigen. Die Bilder 227a und b zeigen in Verbindung mit Tabelle 53 die Ergebnisse fiir zwei Versuche mit medizinischen Verneblern. Der unterbrochene ( - - - ) Linienzug kennzeichnet die Auswertung mit Hilfe eines idealen Impaktors entsprechend der Manualvorschrift. (FORTRAN-Rechenprogramm fiir die dargestellten Verfahren steht Interessenten zur VerfOgung.)

047

i

o

0

i

,

4 6 DU RCI-IMESSE R O

0.18-

8

10 t.~m

8

10 lain

X

A

L~

_g i

u. u.l

.-

-.~

~--F-

5 0 4 6 DU RC H M E S S E R

X

b

Bild 227. Rekonstruierte Massendichtefunktionen f6r zwei (fliissige)Aerosole.

Aerosols in science, medicine and technology

402

Yabelle 53. Normmrte Me~- und Rechenwerte ttir zwe~ Versuche ersucz ~nacn ~g[i i Stufe

MeSwert nor~ler:

3

4.'a}

Rechenweft

".ersuch Blid

re[at. Feh[er

-

nach

l

MeSwert nor~lert

4.1b

IRechenwert

reLat. Fehier

}.2~ ~

$.95

7.

3.42-

0.427

O

3.C38

0.33

.

0,137

3.'3"

O.

2

9.~40

3.340

C.

3.344

0.044

O.

3

3.13&

~.~3

-.

3.~11

2.''"

2.

¢

3.289

C.28

5.

0.t72

].~72

2.

5

3..-C

2.373

:.

C.094

3.094

C.

6

2.C73

0.8-9

*'~9 -6

C.3~0

9,3!D

~'19 -c

3.¢39

3.030

S''3 -3

C.004

9.304

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3.3"I

0.3

3-002

---

F

---

_ mqes4m~

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3.

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Fen'.er

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m~

=

LITERATUR Bartz, H., Franzca, H. and Fil~m, H. (! 979) Auswertung yon Kaskadenimpaktormessung unter Ber~ksichtigung tier Wandverluste and der m ~ n A ~ ~ t ~ r i s t i k ~ r L 5taul>.Retnh. Luft 39. Bcrner, A. (1973) Ein einfaghes Vm'fahren zur Korrektur yon Httufigkeitsverteilungen, die mit einem Vietstufenimlmktor geraessen werden. Staub-R~nh.

Lufi 33.

Ludwig, F. L (19611) gehavior of a numerical analog to a cascade impactor. Eneir. $c i. TechnoL 2. Sundel6f, L-O. (1967) Zur Berechnung der Teilchengr6lknverteilung yon Aerosolen bei Prallabscheidung. Staub-Reinh. Luft 27.

PERFORMANCE

OF

SMALL

CYCLONES

FOR

AEROSOL

SAMPLING

V~/. B. SMITH a n d D. L. IOZlA Southern Research Institute, P.O. Box 3307-A, Birmingham, AL 35255, U S . A

and D, B. HARRIS

U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, NC 27711. U.S.A. AINtraet--A new calibration technique is described which employs an optical particle analyzer as a transfer standard between monodisl~rse particles and temperature-stable: polydisperse dye particles. Results of a cyclone calibration program are presented in which the method was used to execute a test matrix over a range of sample flows from 10 to 50 I/rain and temperatures from 23 to 2 0 5 C. Several cyclones of a similar geometry were evaluated and the results compared with published efficiency equations

INTRODUCTION

Small cyclones are finding increasing utility as devices to segregate and size aerosol particles. Although a number of empirical and semi-empircat equations exist to calculate their collection efficiency as a function o f particle size, it has been impossible to predict this relationship from first principles. An earlier publication, Smith et al. ( 1981 ) described a five-stage cyclone system and empirical equations relating their Ds0"s to the sampling rate and gas viscosity. Because o f certain physical constraints, these results were obtained using monodisperse particles and onty the three largest cyclones could be evaluated at elevated ',emperatures. In this paper, a new calibration technique is described, and the results of high temperature tests of all five cyclones are reported. Comparisons of the experimental results are made with some empirical relations that have been proposed. E X P E R I M E N T A L APPARATUS All of the five small cyclones tested have similar shapes, but at different scales. Thorough calibrations of each have been performed at several flowrates for operation at room temperature. The results of these tests and the cyclone dimensions have been reported earlier (Smith et al., 1979, 1981), The data taken at room temperature served as the basis for the new calibration method. The experimental apparatus is shown schematically in Fig. 228. Its principle elements are a nebulizer fed by a