Périodes de formes modulaires de poids 1

Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442 www.elsevier.com/locate/jnt

Périodes de formes modulaires de poids 1 François Martin Département de Mathématiques, Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand II, 63177 Aubiere Cedex, France Received 29 March 2005 Available online 25 July 2005 Communicated by B. Edixhoven

Résumé On construit la théorie des périodes pour les formes modulaires de poids 1, qui étend la théorie classique pour les formes de poids supérieur, et la théorie des périodes pour les formes de Maass. On transporte les structures usuelles sur les formes modulaires dans l’espace des périodes (produit scalaire de Petersson, opérateurs de Hecke). On donne une interprétation cohomologique de l’isomorphisme de périodes, et on étend la construction des périodes aux formes non paraboliques. Enfin, on montre que la période d’une forme modulaire f est déterminée par les valeurs aux entiers négatifs des fonctions L tordues par des symboles modulaires, ce qui permet de reconstruire f à partir de ces valeurs. © 2005 Published by Elsevier Inc. Keywords: Formes modulaires de poids 1; Périodes de formes modulaires; Fonctions L; Produit scalaire de Petersson; Opérateurs de Hecke; Relations de Manin

0. Introduction Commençons par rappeler quelques
travaux antérieurs sur les périodes.
(z) > 0} le demi-plan de Poincaré et H− = {z ∈ Notations: On note H = {z ∈ C

C (z) < 0}. On pose dans SL(2, Z) I=

1 0 01

S=

 0 −1  1 0

U=

 0 −1  1 −1

T =

E-mail address: [email protected]. 0022-314X/$ - see front matter © 2005 Published by Elsevier Inc. doi:10.1016/j.jnt.2005.05.007

1 1 01

T =

1 0 11

.

400

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Soit
un sous-groupe d’indice fini de SL(2, Z). On note Mk (
) (resp. Sk (
)) l’espace des formes modulaires (resp. paraboliques) de poids k pour
(pour une introduction aux formes modulaires, voir par exemple [24,7,13,14]). On note Mk (
) (resp. Sk (
)) l’espace des formes modulaires anti-holomorphes de poids k pour
. On pose, pour   k g = ac db ∈ M(2, Z) tel que det g > 0, f|k g (z) = (det g) 2 (cz + d)−k f (gz) et f|k g (z) = k

(det g) 2 (cz + d)−k f (gz). On prend comme convention que k = 1 par défaut: f|g := f|1 g .

0.1. Les périodes de formes modulaires de poids
2 Considérons l’espace Sk (SL(2, Z)) pour k
2 un entier pair. La période (ou polynôme de période) de f ∈ Sk (SL(2, Z)) est l’élément de C[X], de degré k − 2, défini par  i∞  i∞ rf (X) = 0 f (
)(X −
)k−2 d
. Il est commode de poser rf,f  (X) = 0 f (
)(X − 0
)k−2 d
+ −i∞ f  (−
)(X −
)k−2 d
pour (f, f  ) ∈ Sk (SL(2, Z))2 . On a rf,f  (X) = rf (X)  + rf  (−X). Soit Vk = {P ∈ C[X], deg P k − 2}. Posons pour P ∈ Vk et  = ac db ∈ SL(2, Z)  (.P )(X) = (−cX + a)

k−2

P

dX − b −cX + a

 ·

On remarque que, k étant pair, −I agit comme l’identité. On a .rf,f  (X) =

 ∞ 0

f (
)(X −
)

k−2

d
+

 0 ∞

f  (−
)(X −
)k−2 d


(le chemin d’intégration étant dans H pour la première intégrale et dans H− pour la deuxième). Cette expression montre que rf,f  vérifie les équations (I + S).rf,f  = (I + U + U 2 ).rf,f  = 0

(1)

(où l’action de SL(2, Z) est étendue par C-linéarité). Ces équations sont les relations de Manin (voir l’appendice, p. 439), mises en évidence par Manin (voir [19,20]). Posons
Wk = {P ∈ Vk
(I + S).P = (I + U + U 2 ).P = 0}.
En fait on a Wk = {P ∈ Vk
(I + S).P = (I − T −1 − T −1 ).P = 0}. Eichler et Shimura ont montré le théorème suivant (voir [16, p. 81]): Théorème 0.1 (Eichler–Shimura). Pour un entier pair k > 2, l’application r donnée par r(f, f  ) = rf,f  est un isomorphisme de Sk (SL(2, Z))2 dans un espace de codimension 1 de Wk .

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Remarques 0.2. (1) Eichler et Shimura ont donné une version en terme de cohomologie des groupes du théorème 0.1. (2) Zagier a étendu la notion de période aux formes non paraboliques (voir [30]) de poids k
2 pour SL(2, Z). (3) On peut généraliser la notion de période aux sous-groupes d’indice fini de SL(2, Z): on définit pour (f, f1 ) ∈ Sk (
) × Sk (
)  rf,f1 (X,
g) =

0

i∞

 f|k g (z)(X − z)

k−2

i∞

dz + 0

f1 |k g (z)(X − z)k−2 dz

ce qui plonge Sk (
) × Sk (
) dans l’espace des fonctions à valeurs complexes définies sur R×
\SL(2, Z), polynomiales en la première variable et satisfaisant les relations de −1 −1 Manin (voir [27]),  où on pose (.P )(X,
g) = (−cX + a) P ( X, a b
g) pour  = c d ∈ SL. 0.2. Théorie de Lewis pour les formes de Maass On évoque maintenant les résultats obtenus  2 par Lewis et Zagier [17,18]. On définit 2 * * sur H le laplacien hyperbolique  = −y 2 + 2 · On note s(SL(2, Z), ) le C*x 2 *y espace vectoriel des fonctions u : H  −→ C analytiques réelles, vérifiant les conditions (voir par exemple [2] et [12]): • pour tout  ∈ SL(2, Z) et z ∈ H, u(z) = u(z); • u = u; 1 • u ∈ L2 (SL(2, Z) \ H), et pour tout z ∈ H, 0 u(z + x) dx = 0.

  Les espaces s(SL(2, Z), ) sont de dimension finie. Pour s ∈ C,  = ac db ∈ SL(2, Z) avec a, d
0 et b, c 0, et  une fonction analytique réelle sur ]0, +∞[, on pose  dz − b (.)(z) = (−cz + a)−2s  · −cz + a Théorème 0.3 (Lewis–Zagier). Il existe une correspondance linéaire bijective entre l’espace s(SL(2, Z), s(1 − s)) et l’ensemble des fonctions analytiques réelles  :]0, +∞[→ C vérifiant • l’équation  − T −1 . − T −1 . = 0 (l’action   dépend de s); 1 • les conditions aux limites: (x) =x→0 o et (x) =x→+∞ o(1). x Lorsque u est = u(z) pour tout z ∈ H) , cette bijection est donnée par

paire (u(−z)  ∞ 2 ys (x) = 2−s u(iy) dy.
(s + 1)x 2 s+1 2  0 (x + y ) Remarques 0.4. (1) L’élément (I − T −1 − T −1 ) a été mis en évidence par Lewis (voir l’appendice pour les propriétés qui le caractérisent).

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(2) Lewis et Zagier justifient, dans le chapitre 4-2 de [18], la terminologie de périodes de formes de Maass donnée à ces fonctions. On présente désormais les résultats originaux. 0.3. L’espace des périodes et ses variantes Soient U une partie de C,  une fonction définie sur U ×
\ SL(2, Z) et  = un élément de SL(2, Z). Pour (z,
g) ∈ U ×
\SL(2, Z), on pose (.)(z,
g) = (−cz + a)−1 



a b c d

 dz − b ,
g . −cz + a

On note (1) L
le C-espace vectoriel des fonctions + : [0, +∞[×
\SL(2, Z) → C, continues, analytiques 1 en la première variable sur ]0, +∞[, vérifiant: (a) (I − T −1 − T −1 ).+ = 0; (b) (I − (−I )).+ = 0; (c) limx→+∞ + (x,
g) = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z). C\]−∞,0[ l’espace des fonctions  : C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z) → C, continues, (2) L
holomorphes en la première variable sur C\] − ∞, 0], vérifiant (a) (I − T −1 − T −1 ). = (I − (−I )). = 0; (b) limx→+∞ (x,
g) = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z). (3) LR
l’espace des fonctions  : R ×
\SL(2, Z) → C, analytiques en la première variable sur ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ et de classe C ∞ sur R, vérifiant (a) (I − T −1 − T −1 ). = (I + S). = 0 (les relations de Manin); (b) limx→+∞ (x,
g) = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z). :] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[×
\SL(2, Z) → C, analytiques 
l’espace des fonctions  (4) L en la première variable, satisfaisant les propriétés suivantes: = 0; = (I − T −1 − T −1 ). (a) (I + S). (b) pour tout
g ∈
\SL(2, Z), il existe (a
g , a
 g ) ∈ C2 tels que
g) = a
g ln x − a  ln(−x) + O (x,
g

  1 x

(2)

au voisinage du point ∞ ∈ P1 (R) (la fonction ln est ici le prolongement sur C \ iR+ du logarithme népérien sur ]0, +∞[). C\]−∞,0[

et LR Les espaces L
, L

sont canoniquement isomorphes. On prolonge toute + + fonction  de L
en une fonction de LR
en posant  = −S. sur ] − ∞, 0[. Le 1 Une fonction E → C, où E est un sous-ensemble de C, est analytique si elle est développable en série entière sur un voisinage de tout point de E.

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C\]−∞,0[

fait que l’application canonique : L
→ L
est bijective est expliqué dans le paragraphe 1.3.1.  On a en fait l’inclusion LR
⊂ L
(voir Section 2.2). Remarque 0.5. Il n’est pas clair a priori que ces espaces sont de dimension finie. 0.4. L’isomorphisme principal et le plan de la démonstration Le chapitre 1 est principalement consacré à la démonstration du théorème suivant: Théorème 0.6. L’application r: S1 (
) × S1 (
) −→ L
, où (f, f1 )  −→ + f,f1 + f,f1 (x,
g) =

1 2i



i∞ 0

f|g (
)

1 d
+ x −
2i



i∞ 0

f1 |g¯ (
)

d
x −
¯

est un isomorphisme d’espaces vectoriels complexes. Remarque 0.7. On peut remplacer dans le théorème 0.6 l’espace S1 (
) par les espaces S1− (
) ou S1 (V
V ) (où S1− (
) désigne l’espace des formes modulaires sur H− de  0  poids 1 pour
et V = 01 −1 ) grâce aux isomorphismes s1 : S1− (
) → S1 (V
V ) et s2 : S1− (
) → S1 (
) définis pour tout z ∈ H par s1 (f − )(z) = f − (−z) et s2 (f − )(z) = f − (z). La démonstration du théorème 0.6 se fait en plusieurs étapes: on montre dans la SecC\]−∞,0[ tion 1.2 que r est bien définie et se factorise par L
. Dans le paragraphe 1.3.1, C\]−∞,0[

→ L
est bijective. On construit une on montre que l’application canonique L
application L
→ S1 (
) × S1 (
), dont on montre qu’elle est réciproque de r.

Definition 0.8. On définit la période de f ∈ S1 (
) comme étant la fonction f ∈ LR
 1 +∞ f|g (it) dt, H. définie par f (x,
g) = 2 0 x − it ⎧ + ⎨ f (x,
g) = f,0 (x,
g) si x
0 ;    1 1 On a: ⎩ f (x,
g) = + − ,
g 01 −1 si x < 0. f,0 0 x x Remarques 0.9. (1) Rappelons (voir par exemple [3 p. 54,10,6,25]) que la conjecture de réciprocité de Langlands prédit que toute représentation  : Gal(Q/Q) → GL(2, C) irréductible continue de conducteur N et de déterminant  (identifié à un caractère de Dirichlet modulo N par la théorie du corps de classes) provient via les

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fonctions L: • si  est impaire, d’une forme parabolique f ∈ S1 (
0 (N ), ); • si  est paire, d’une forme de Maass parabolique de poids 0 de niveau N et de caractère , de valeur propre 41 pour le laplacien. Une généralisation des résultats de Lewis et Zagier pour les formes de Maass sur des sous-groupes d’indice fini de SL(2, Z) est attendue. Considérons l’espace L
des fonctions  : ]0, +∞[×
\SL(2, Z) → C analytiques en la première variable et vérifiant l’équation fonctionnelle (I − T −1 − T −1 ).
= 0. L’espace des formes modulaires de poids 1 s’identifie à une partie de { ∈ L

(−I ). = } (d’après le théorème 0.6 ci-dessus). L’espace des formes de Maass pour
de valeur propre 41 pour le laplacien
s’identifie-t’il à une partie de { ∈ L

(−I ). = −}? Cela semble suggéré par le théorème de Lewis. (2) L’espace vectoriel S1 (
) isomorphe, via l’application f  → u, avec u(x, y) =  est  1 √ yf (x + iy), à l’espace s1
, des formes de Maass de poids 1 de valeur propre 4 1 4 pour le laplacien hyperbolique de poids 1, c’est-à-dire les fonctions u : H → C réelles analytiques vérifiant     cz + d • u|1  (z) := u(z) = u(z) pour tout  = ac db ∈
; |cz + d|  2 2 * * 1 * 2 • 1 u = u, où 1 = −y + 2 + iy ; 4 *x 2 *y *x r • u est parabolique en toute pointe de
(c’est-à-dire 0 u|1 g (z + t) dt = 0 pour tous g ∈ SL(2, Z) et r
1 tel que T r ∈ g −1
g). Comme suggéré par le rapporteur de cet article, une question intéressante serait de généraliser l’isomorphisme de période donné par le théorème 0.6 à l’ensemble des formes de Maass de poids 1 de valeur propre  pour 1 , 
41 . Cela constituerait une généralisation plus complète du travail de Lewis et Zagier. 0.5. Structure réelle On se place dans le cas où V
V =
. Cela entraîne que la courbe X
=
\ H ∪ P1 (Q), a priori définie sur C, est en fait définie sur R. C’est le cas lorsque
est l’un des groupes
(N ) et 
1 (N ). 2 L’application   → 01 01 . est une involution de L
, où on pose 0 1 10

0

2 On a
(N ) = 1

mod N .

a b cd

  1 1 .(x,
g) =  ,
V gV S . x x


∈ SL
c ≡ 0

mod N, a, d ≡ 1

mod N



et
(N ) =

a b cd


∈
1 (N )
b ≡

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0 1 + + − Pour (f, f  ) ∈ S1 (
)2 , on a 3 + f,f  = 1 0 .f  ,f . Posons L
(resp. L
) le sousespace de L
constitué des éléments invariants (resp. anti-invariants) de L
par cette involution. + Corollaire 0.10. Supposons que V
V =
. L’application f  → + f,f (resp. f,−f ) − définit une bijection entre S1 (
) et L+
(resp. L
).

0.6. Structure hermitienne 2 Le produit scalaire de Petersson de deux   formes paraboliques (f1 , f2 ) ∈ S1 (
) est dx dy 1 f1 (z)f2 (z) donnée par la formule f1 , f2 = , où F(
) désigne un (
) y F (
) domaine fondamental pour
, et où (
) = [SL(2, Z) :
].

Théorème 0.11. Pour f1 et f2 éléments de S1 (
), on a la formule i 3 (
)

f1 , f2 =

 




g∈
\SL(2,Z) R

U.f1 (x,
g) f2 (x,
g)

 − f1 (x,
g) U.f2 (x,
g) dx.

Cela munit directement L
d’une structure hermitienne. Cette formule est l’analogue des résultats de Haberland et Kohnen-Zagier pour les formes de poids k
2 (voir [11,15]). 0.7. Extension aux formes non paraboliques Soient (f1 , f2 ) ∈ M1 (
) × M1 (V
V ). On définit la fonction rf1 ,f2 par rf1 ,f2 (x,
g) = rf1 (x,
g) − rf2 (−x, (V
V )V gV ), où, pour f  ∈ M1 (
 ), on pose

rf  (x,
 h) =



i∞

f

|h )

x−




+a0 (f

|h (
) − a0

(f 



|h ) ln(x

− ) +

d
+

 f  |h (
) +

x−


0

a0 (f  |hS ) x

a0 (f  |hS )



1 1 ln − + x




d




sur ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[×
 \SL(2, Z), où ∈ H. La fonction rf1 ,f2 ne dépend pas de 
. On obtient une généralisation du théorème 0.6:

et appartient à L 3 On identifie ici l’espace S (
) à S (V
V ) = S (
) par l’isomorphisme s ◦ s −1 . 1 1 1 1 2

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Théorème 0.12. L’application r qui à (f1 , f2 ) associe rf1 ,f2 est un isomorphisme 
. d’espaces vectoriels complexes entre M1 (
) × M1 (V
V ) et L 0.8. Interprétation cohomologique On définit l’espace M
comme l’espace vectoriel des fonctions  : P1 (R) ×
\ SL (2, Z) → C, continues et vérifiant les propriétés suivantes: (1) il existe un ensemble fini F ⊂ Q tel que, pour tout
g ∈
\SL(2, Z), la fonction x → (x,
g) soit analytique sur R \ F ; (2) pour tout
g ∈
\SL(2, Z), pour tout x ∈ R, (x, −
g) = −(x,
g); (3) pour tout
g ∈
\SL(2, Z), la fonction x  → x(x,
g) admet une limite réelle a
g quand x → ∞ dans P1 (R).   Pour h = ac db ∈ SL(2, Z),  ∈ M
, x ∈ R et
g ∈
\SL(2, Z), on pose (h.)(x,
g) = (−cx + a)−1 (h−1 x,
gh). Cela munit M
d’une structure de SL(2, Z)-module. 1 (SL(2, Z), M ) le 1er groupe de cohomologie parabolique de SL(2, Z) On note Hpar
dans M
, défini comme ker(H 1 (SL(2, Z), M
) → H 1 (T , M
)), où T est le sous-groupe de SL(2, Z) engendré par T. On définit l’application rc : 1 (SL(2, Z), M )   S1 (
) × S1 (
) −→ Hpar 
, où f ,f désigne la classe de cohomologie  1 2  −→ f1 ,f2 (f1 , f2 ) du cocycle parabolique f1 ,f2 défini par f1 ,f2 ( )(x,
g) =

1 2i

 0 0

f1 |g (
)

1 d
+ x −
2i

 0 0

f2 |g (
)

d
, x−


l’intégration se faisant par exemple le long de la géodésique dans H reliant 0 à 0. On montre le résultat suivant: Théorème 0.13. L’application rc est un isomorphisme d’espaces vectoriels complexes. 0.9. Le cas des groupes arithmétiques On suppose
=
1 (N ). On a une bijection N entre
1 (N)\SL(2,  Z) et l’ensemble EN des éléments (u, v) de (Z/NZ)2 d’ordre N, qui à
1 (N ) ac db associe (c, d) mod N. On pose alors pour (z, (c, d)) ∈ R × (Z/NZ)2  (x, (c, d)) =  f



f (x,
1 (N )−1 N (c, d)) 0

si (c, d) ∈ EN , si (c, d) ∈ / EN .

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Si M =

a b c d

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∈ M(2, Z) avec det M > 0, on note

 (x, (u, v)) = (det M)1/2 (−cx + a)−1   M. f f



 dx − b , (au + cv, bu + dv) . −cx + a

Soit n un entier
1, et soit M(2,  Z)n l’ensemble des matrices de M(2, Z) de détermila condition (Cn ) si nant n. On dira qu’un élément M uM M ∈ C[M(2, Z)n ] satisfait pour tout K ∈ M(2, Z)n/SL(2, Z) on a dans C[P1 (Q)] la relation M∈K uM ([M∞] − [M0]) = [∞] − [0]. Notons Tn le n-ième opérateur de Hecke sur S1 (
1 (N )). On pose  =
Tn  f Tn f .  Théorème 0.14. Soit de C[M(2, Z)n ] vérifiant la condition M uM M un élément  (z, (u, v)).  (z, (u, v)) =  uM M. (Cn ). On a la formule Tn  f f M On sait construire explicitement plusieurs familles d’éléments satisfaisant la condition (Cn ) (voir par exemple [21,4]). Ainsi on obtient par exemple la formule T2 f = 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 .f + 0 2 .f + 0 1 .f + 1 2 .f .  (2) sur R2 × (Z/N Z)2 par la formule Remarque 0.15. Il est naturel de définir  f   x1 (2)   f (x1 , x2 , (u, v)) = f , (u, v) , les variables des éléments de L
étant vues x2 comme ayant trait aux places infinie et finies respectivement de Q. 0.10. Valeurs de fonctions L Soient f ∈ S1 (
1 (N )), g ∈
1 (N )\SL(2, Z) et s ∈ C. On pose  N (f|g , s) = N

+∞

s/2 0

f|g (it)t s−1 dt.

Pour (u, v) ∈ EN , on note N (f|(u,v) , s) = N (f|N −1 (u,v) , s). On déduit du théorème 0.6 la proposition suivante Proposition 0.16. Les applications linéaires f  −→ N (f|(u,v) , n), avec (u, v) ∈ EN et n entier négatif ou nul, engendrent le dual de S1 (
1 (N )). Remarque 0.17. La proposition 0.16 peut se montrer, par des arguments analytiques, sans utiliser le théorème 0.6. La démonstration précédente permet cependant de reconstruire explicitement, à partir des valeurs de fonctions L, la forme modulaire f.

408

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442 (k)

• Les formules (18) et (19) expriment les valeurs f (1,
1 (N )g), k
0, de façon explicite en fonction des valeurs spéciales N (f|(u,v) , n), n 0. (k)  f (1,
1 (N )g) (x − 1)k . • Pour tout x ∈]0, 2[, on a f (x,
1 (N )g) = k! k
0 • La relation de Lewis étend f sur ]0, +∞[×
1 (N )\SL(2, Z). • Enfin, la construction de la Section 1.3 permet de déterminer f à partir de f .

1. Périodes de formes modulaires de poids 1 1.1. Préliminaires 1.1.1. Notations   On note j (, z) = cz + d pour  = ac db , ainsi pour g ∈ GL(2, Q)+ on a f|g (z) = /
. Soit U une partie de C, et soit  (det g)−1/2 j (g, z)−1 f (gz). On suppose que −I ∈ une fonction définie sur U ×
\SL(2, Z). Soit  un élément de SL(2, Z). On notera . la fonction définie sur U ×
\ SL(2, Z) par (.)(z,
g) = j (−1 , z)−1 (−1 z,
g). On pose SL(2, Z)+ =

 a b  c d


 ∈ SL(2, Z)
a, b, c, d
0

et SL(2, Z)− =

 a b  c d


 ∈ SL(2, Z)
a, d
0 et b, c ≤ 0 .

On remarque que SL(2, Z)+ préserve [0, +∞[ et C\] − ∞, 0[, et de même SL(2, Z)− préserve ] − ∞, 0] et C\]0, +∞[. Aussi, pour toute fonction  définie sur [0, +∞[×
\SL(2, Z) (resp. C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z)) et pour tout  ∈ SL(2, Z)− , la fonction . est définie sur [0, +∞[×
\SL(2, Z) (resp. C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z)). De même, pour tout  ∈ SL(2, Z)+ , et pour toute fonction  définie sur ] − ∞, 0] ×
\SL(2, Z) (resp. C\]0, +∞[×
\SL(2, Z)), la fonction . est définie sur ]−∞, 0]×
\SL(2, Z) (resp. C\]0, +∞[×
\SL(2, Z)). − On note M− (resp. paraboliques) 1 (
) (resp. S1 (
)) l’espace des formes modulaires  0  − sur H de poids 1 pour
. On note V la matrice 01 −1 . Les applications s1 : − M− 1 (
) → M1 (V
V ) et s2 : M1 (
) → M1 (
) définies pour tout z ∈ H par − − − s1 (f )(z) = f (−z) et s2 (f )(z) = f − (z) sont des isomorphismes. On note S1± (
) l’ensemble des formes paraboliques de poids 1 sur H ∪ H− , cet espace est canoniquement isomorphe à S1 (
) × S1− (
): un couple (f, f − ) ∈ S1 (
) × S1− (
) définit une forme parabolique F sur H ∪ H− , en posant F = f sur H et F = f − sur H− . Ainsi on identifiera une forme modulaire F ∈ S1± (
) aux couples (f, f − ) ∈ S1 (
) × S1− (
), (f, f  ) ∈ S1 (
) × S1 (V
V ) et (f, f1 ) ∈ S1 (
) × S1 (
) qui lui correspondent (où f  = s1 (f − ) et f1 = s2 (f − )).

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

409

1.1.2. Chemins dans H et H− Considérons H∪P1 (Q), muni de la topologie hyperbolique. On note la transformée z−i de Cayley définie par (z) = qui envoie bijectivement H dans D ◦ (0, 1) = {z ∈ z +i

C
|z| < 1} et envoie P1 (Q) dans C(0, 1) = {z ∈ C
|z| = 1}. Soient et  deux éléments distincts de P1 (Q), soit z ∈ H, et soit  un chemin de H \ {z} ∪ P1 (Q), d’origine et d’extrémité , dont le support de l’intérieur est dans H (on appellera un tel chemin  un chemin dans H \ {z} reliant à ). On associe à  et z un entier ε(, z) défini de la façon suivante: soit , le chemin à support dans C(0, 1) reliant () à ( ) dans le sens trigonométrique. Le chemin

() composé de () et , est fermé. On note ε(, z) l’indice de () par rapport à (z). Definition 1.1. On dit qu’un chemin  dans H reliant à  passe à gauche (resp. à droite) de z si ε(, z) = 0 (resp. ε(, z) = 1). Remarques 1.2. l’homographie
 → h
, pour h ∈ SL(2, Z), transforme un chemin reliant à  passant à gauche (resp. à droite) de z en un chemin reliant h à h passant à gauche (resp. à droite) de hz. On définit de la même façon un chemin dans H− reliant deux éléments distincts  et  de P1 (Q) passant à gauche (resp. à droite) d’un point z ∈ H− : soit − l’application z+i définie par − (z) = , et soit  un chemin dans H− reliant  à  . Soit  ,  le z−i chemin à support dans C(0, 1) reliant − ( ) à − (  ) dans le sens trigonométrique. On note ε( , z ) l’indice du chemin fermé composé de − ( ) et de  ,  . On dit qu’un chemin  dans H− reliant  à  passe à gauche (resp. à droite) de z si ε( , z ) = 0 (resp. ε( , z ) = 1).

Si z ∈ H− ∪ R, un chemin dans H reliant à  passant à gauche ou à droite de z désignera simplement un chemin dans H reliant à , et de même si z ∈ H ∪ R, un chemin dans H− reliant  à  passant à gauche ou à droite de z désignera simplement un chemin dans H− reliant  à  . On choisit g+ ( , ; z) (resp. d+ ( , ; z)) un chemin dans H reliant à  et passant à gauche (resp. à droite) de z, et de même on choisit g− (  ,  ; z) (resp. d− (  ,  ; z)) un chemin dans H− reliant  à  et passant à gauche (resp. à droite) de z.

1.2. Définition des périodes Soit F ∈ S1± (
). On définit la fonction + F sur C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z) par + F (z,
g) =

  F|g (
) F|g (
) 1 1 d
+ d
. 2i g+ (0,i∞;z) z −
2i g− (−i∞,0;z) z −


410

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

La forme modulaire F étant parabolique, la fonction F|g est exponentiellement décroissante au voisinage de 0, donc la fonction + F est définie en 0. Pour g ∈ SL(2, Z), la fonction z → + (z,
g) est holomorphe sur C\] − ∞, 0]. F On définit de manière analogue − sur C\]0, +∞[×
\SL(2, Z) par F − F (z,
g) =

  F|g (
) F|g (
) 1 1 d
. d
+ 2i d− (−i∞,0;z) z −
2i d+ (0,i∞;z) z −


Pour g ∈ SL(2, Z), la fonction z → − F (z,
g) est bien définie sur C\]0, +∞[, et est holomorphe sur C \ [0, +∞[. Remarque 1.3. Une application directe du théorème des résidus montre que pour tout − z ∈ C \ R, on a + F (z,
g) − F (z,
g) = F|g (z). Cette remarque est fondamentale dans la suite de la démonstration.  −  On a la relation F|g (z) = f|V gV (−z) pour tout z ∈ H , où on identifie F à (f, f ) ∈ − − + S1 (
) × S1 (V
V ). On notera dans ce cas + f,f  = F et f,f  = F . − − + + − + Par linéarité, on a f,f  = f,0 + 0,f  et f,f  = f,0 + 0,f  . Les quatre ensembles suivants forment une partition de M(2, Z)+ = {g ∈ M(2, Z), det g > 0}:



    ∈ M(2, Z)+
cd > 0 K2 = ac db ∈ M(2, Z)+
cd < 0 ,

      K3 = ac db ∈ M(2, Z)+
c = 0 K4 = ac db ∈ M(2, Z)+
d = 0 .

K1 =

 a b  c d

 Proposition 1.4. Soit M uM M un élément de Z[SL(2, Z)] vérifiant dans Z[P1 (Q)] − la relation M uM ([M∞] − [M0]) = 0. Alors les fonctions + F et F satisfont les équations suivantes: 

uM (M.− F) +

M∈K1 ∪K4



uM (M.+ F) = 0

(3)

uM (M.+ F ) = 0,

(4)

M∈K2 ∪K3

et  M∈K1 ∪K3

uM (M.− F) +

 M∈K2 ∪K4

où, dans chacune des égalités, on se place sur un domaine de définition approprié − (l’intersection des domaines de définition des fonctions M.+ F et M.F considérées). − Démonstration. On va prouver que + f,0 et f,0 vérifient les équations fonctionnelles − demandées. On montre de façon identique que + 0,f  et 0,f  les vérifient également, et par linéarité cela montre la proposition.

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

Soit h =

a b c d

411

une matrice de SL(2, Z). On a:

h.+ f,0 (z,
g)

 d
1 −1 f

 a b  (
) dz−b = (−cz + a)
g dz−b 2i g+ (0,i∞; −cz+a ) c d −cz+a −
   a
+ b (c
+ d)−1 d
1 f|g = dz−b c
+ d dz − b + c
z − a
2i g+ (0,i∞; −cz+a )    1 a
+ b d
1 = · f a
+b |g c
+ d dz−b 2i g+ (0,i∞; −cz+a (c
+ d)2 ) z − c
+d

On effectue le changement de variable u = h
dans cette intégrale, et on obtient 1  du h.+ · dz−b f|g (u) f,0 (z,
g) = 2i h.g+ (0,i∞; −cz+a ) z−u D’après les remarques de le paragraphe 1.1.2, on a, pour tout h ∈ SL(2, Z), h.g+ ( , ; z) = g+ (h , h; hz) et h.d+ ( , ; z) = d+ (h , h; hz) (cette égalité est en fait vérifiée pour toute matrice de M(2, Z)+ ). On en déduit que h.+ f,0 (z,
g) =   du 1 du 1 (z,
g) = f|g (u) et de même h.− · f|g (u) f,0 + + z−u 2i d (h0,h∞;z) z−u 2i g (h0,h∞;z) Pour h ∈ K1 (resp. K2 ), on a h∞ > h0 (resp. h0 > h∞) donc z appartient à la partie compacte de C dont les bords sont le segment [h0, h∞] (resp. [h∞, h0]) et le chemin g+ (h0, h∞; z) (resp. d+ (h0, h∞; z)). L’intégrale 

 uM

+

d (M0,M∞;z)

M∈K1 ∪K4

f|g (
) d
+ z−




 uM

M∈K2 ∪K3

g+ (M0,M∞;z)

f|g (
) d
z−


 est ainsi une intégration sur un cycle fermé, car M uM ([M∞]−[M0]) = 0. L’intérieur f|g (
) ne contient aucun pôle de la fonction (en l’occurence ne contient pas le point z−
z), ce qui montre d’après le théorème des résidus que cette intégrale est nulle. Il en va de même pour l’intégrale  M∈K1 ∪K3

 uM

+

d (M0,M∞;z)

Cela démontre la proposition.

f|g (
) d
+ z−


 M∈K2 ∪K4

 uM

g+ (M0,M∞;z)

f|g (
) d
. z−




Les éléments I + S, I − T − T  et I − T −1 − T −1 vérifient les hypothèses de la Proposition 1.4 (la relation I − T −1 − T −1 a été mise en évidence par Lewis (voir [17]) dans sa définition des périodes de formes de Maass). On en déduit

412

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

− Corollaire 1.5. Les fonctions + F et F vérifient les équations suivantes: − + F + S.F = 0,

(5)

+ − F + S.F = 0,

(6)

−1 −1 + .+ .+ F −T F = 0 et F −T

(7)

− −  − F − T .F − T .F = 0.

(8)

Remarque 1.6. D’après la Proposition A.3, le corollaire 1.5 est équivalent à la Proposition 1.4. On remarque que les équations (5) et (7) (resp. (6) et (8)) sont valables sur C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z) (resp. C\]0, +∞[×
\SL(2, Z)). On note + F : [0, +∞[×
\SL(2, Z) → C la fonction définie par la formule: + F (x,
g)

1 = 2



+∞

0

F|g (it) 1 dt + x − it 2



0

−∞

F|g (it) dt, x − it

et de même on note − F :] − ∞, 0] ×
\SL(2, Z) → C la fonction définie par: − F (x,
g)

1 = 2

 0

+∞

F|g (it) 1 dt + x − it 2



0

−∞

F|g (it) dt. x − it

− La fonction + F (resp. F ) est la restriction à [0, +∞[×
\SL(2, Z) (resp. à ]−∞, 0]× −
\SL(2, Z)) de la fonction + F (resp. de la fonction F ).

Proposition 1.7. Soit F ∈ S1± (
). La fonction + F est un élément de L
. Démonstration. L’équation (7) montre que sur [0, +∞[×
\SL(2, Z), on a + F = −1 .+ . Identifions F à (f, f  ) ∈ S (
) × S (V
V ). On a, pour tout + T T −1 .+ 1 1 F F




 +∞

f|g (it)

f|g (it)

f|g (it)






 , et t ∈ [0, +∞[ et x > 0

it
dt converge car f étant x − it

it
0 parabolique il existe a > 0 tel que |f|g (it)| = O(e−at )(t → +∞)

et

|f|g (it)| = O(e−a/t )(t → 0).

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413

Par le théorème de convergence dominée, on a limx→+∞ + f,0 (x,
g) = 0 pour tout +
g ∈
\SL(2, Z). On démontre la même chose pour 0,f  , et finalement on a limx→+∞ + + f,f  (x,
g) = 0. Enfin, la fonction x  → F (x,
g) est analytique sur ]0, +∞[, comme restriction d’une fonction holomorphe sur C\] − ∞, 0].  Dans la suite, on définira la période de F ∈ S1± (
) comme étant la fonction F définie, d’après l’équation (6), sur R ×
\SL(2, Z) par

1 F (x,
g) = 2



+∞

−∞

⎧ + ⎨ F (x,
g) si x
0,  F|g (it) 1 1 + dt = − (x,
g) =  ,
gS sinon. ⎩ − x − it F x F x

(9)

Pour tout
g ∈
\SL(2, Z), la fonction x  → F (x,
g) est de classe C ∞ sur R: il suffit de le vérifier en 0, la décroissance parabolique de F aux pointes montre par récurrence que pour tout n
0 la fonction x  → F (x,
g) est de classe C n en 0 puisqu’elle est définie par l’équation (9) dans un voisinage réel de 0. La fonction F est analytique sur ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[. Ainsi, F appartient à LR
. Remarque 1.8. Si f  = 0, la fonction f,0 se prolonge analytiquement le long de tout chemin d’origine dans ]0, +∞[ de la forme t  → (t)ei (t) , avec (t) réel strictement positif et (t) ∈]0, 3[. 1.3. Isomorphisme de périodes On va démontrer le théorème suivant, équivalent au théorème 0.6: Théorème 0.6 . L’application F  → + F est un isomorphisme d’espaces vectoriels complexes entre S1± et L
. 1.3.1. Prolongement analytique des fonctions de L
On s’inspire du procédé de “bootstrapping” introduit par Lewis et Zagier dans [18], pour démontrer que toute fonction + ∈ L
se prolonge de façon analytique sur C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z). Proposition 1.9. La fonction + se prolonge holomorphiquement en une fonction + définie sur C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z), et y vérifie les équations + − T −1 .+ − T −1 .+ = 0 et (−I ).+ = + .

(10)

Démonstration. Appliquons l’équation fonctionnelle à + . On a, pour   X ∈ [0, +∞[, 1 1 + + + −1 −1  (X,
g) =  (X + 1,
gT ) + . En particulier,  1− ,
gT X+1 X+1

414

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

on a: + (X,
g) − + (X + N + 1,
gT −N−1 ) =



N  

+ (X + n,
gT −n ) − + (X + n + 1,
gT −n−1 )

n=0

=

N  n=0

=

N+1  n=1

  1 1 + −n −1 ,
gT T  1− X+n+1 X+n+1   1 1 + 1−n −1 . T ,
gT  1− X+n X+n

(11)

La condition aux limites montre que limN→+∞ + (X + N + 1,
gT −N−1 ) = 0 donc la série définissant le membre de droite de l’équation (11) est convergente et pour tout X ∈ [0, +∞[ on a: +

 (X,
g) =

∞  n=1

  1 1 + 1−n −1 .  1− ,
gT T X+n X+n

(12)

A
g fixé, la fonction + (·,
g) est analytique sur ]0, +∞[, elle est donc prolongeable de façon holomorphe au voisinage de tout point de ]0, +∞[ et en particulier dans un petit disque {|z − 1| < g }. Soit  le plus petit des g , pour
g ∈ +
\ SL(2,
Z). La formule (12) prolonge  (. ,
g) comme fonction holomorphe sur {z ∈ C,
(z)
0 et |z| > 1/}. On applique ensuite l’équation fonctionnelle de + au point X1 , on multiplie par X1 et on obtient de la même façon l’équation 1 +  X



    +∞ 1 1 1 ,
g = + 1 + ,
gT −n T −1 X X+n X+n

(13)

n=0

  1 1 + −N (on a limN→+∞ = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z), car  ,
gT X+N X+N x  → + (x,
g) est bornée sur le segment [0, x0 ] pour tout x0 > 0). En appliquant le même raisonnement, on définit à
partir de la formule (13) un prolongement de la fonction + (. ,
g) sur l’ouvert {z
(z) > 0 et |z| < }. L’intervalle [, 1/] étant
compact, la fonction + (. ,
g) se prolonge holomorphiquement sur l’ouvert W = {z
| arg(z)| < } pour un certain  > 0 en une fonction, encore notée + . Cette fonction satisfait d’après le principe du prolongement analytique les équations fonctionnelles (10).

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415

On s’inspire de la technique de “bootstrapping” de Lewis et Zagier, et on utilise l’équation fonctionnelle pour prolonger la fonction x  → + (x,
g) sur C\] − ∞, 0[. Le sous-monoïde SL(2, Z)+ de SL(2, Z) est engendré librement par les deux matrices T et T  . Pour tout n
0, on note Qn le sous-ensemble de SL(2, Z)+ des matrices qui s’écrivent comme un mot de n lettres exactement en T et T  . Lemme 1.10 (Lewis–Zagier). Soit z ∈ C\] − ∞, 0]. Il n’existe qu’un nombre fini d’éléments  de SL(2, Z)+ pour lesquels z n’appartient pas à W . La démonstration de ce lemme se trouve dans [18, p. 240]. Soit z ∈ C\] − ∞, 0]. On choisit n un entier grand tel que z ∈ W  suffisamment −1 .+ )(z,
g). (z,
g) = ( pour tout  ∈ Qn , et on définit + n ∈Qn La fonction z  → + n (z,
g) est définie sur l’ensemble des z ∈ C tels que z ∈ W pour tout  ∈ Qn . Comme T W ⊂ W et T  W ⊂ W , on voit que l’ensemble Dn+1 de définition de + n+1 contient Dn , et donc que pour tout m
n, Dn ⊂ Dm . Lemme 1.11. La fonction + n est indépendante de n (c’est-à-dire que si m
n, on a + + n (z,
g) = m (z,
g) pour tout z ∈ Dn ). Elle vérifie les équations fonctionnelles (10) et coïncide avec + sur W . Démonstration. On a Qn+1 = Qn T + n+1 = =



(T −1 −1 ).+ +

Qn T  = T Qn



T −1 .(−1 .+ ) +

∈Qn



T  Qn , d’où:

(T −1 −1 ).+

∈Qn

∈Qn







  T −1 .(−1 .+ ) = T −1 + T −1 .+ n

∈Qn

et, comme pour tout  ∈ Qn , z ∈ W , on a + n+1 (z,
g) = =

 ∈Qn



(−1 T −1 ).+ (z,
g) + 



(−1 T −1 ).+ (z,
g)

∈Qn

 j (, z)−1 (T −1 .+ ) + (T −1 .+ ) (z,
g−1 )

∈Qn

=



j (, z)−1 + (z,
g−1 ) = + n (z,
g).

∈Qn

 + + −1 On a de même (−I ).+ n (z,
g) = ∈Qn  .((−I ). )(z,
g) = n (z,
g). Enfin, + + W appartient au domaine de définition de n , pour tout n
0, et 0 = + .  Ainsi, on définit la fonction + sur C\] − ∞, 0[ par + (z,
g) = + n (z,
g) où n est pris suffisamment grand pour que z appartienne au domaine de définition de + n. La fonction x  → + (x,
g) est bien une fonction holomorphe sur C\] − ∞, 0] pour

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tout
g ∈
\SL(2, Z) d’après cette caractérisation. Le lemme 1.11 montre ainsi la Proposition 1.9.  1.3.2. Définition des formes modulaires associées à + . On reprend les notations de la section précédente, et on considère la fonction + définie à partir de + ∈ L
. Définissons, sur C\]0, +∞[×
\SL(2, Z), la fonction −  1 1 par − (z,
g) = −S.+ (z,
g) = + − ,
gS . z z Lemme 1.12. La fonction − vérifie l’équation − = T  .− + T .− . Démonstration. D’après la proposition 1.9, on a (I − T −1 − T −1 ).+ = 0. Par définition, − = −S.+ , donc (I − T − T  ).− = −S.(I − T −1 − T −1 )+ = 0 car on a dans SL(2, Z) les égalités T S = ST −1 et T  S = ST −1 .



Posons h(z,
g) = + (z,
g) − − (z,
g) = + (z,
g) + S.+ (z,
g), et F (z) = h(z,
). Lemme 1.13. La fonction h est invariante par l’action de SL(2, Z). Démonstration. Comme SL(2, Z) est engendré par S et T  , il suffit de démontrer que T  .h = S.h = h. On a S.h = S.(+ + S.+ ) = (S.+ + S 2 .+ ) = h car S 2 = −I . D’après l’équation fonctionnelle (10), on a T  .(+ − T −1 .+ − T −1 .+ ) = 0 donc, d’après l’égalité T  T −1 = T S, on a T  .+ − (T S).+ − + = 0.

(14)

De plus, d’après le Lemme 1.12, on a S.+ − T  .(S.+ ) − T .(S.+ ) = 0. En soustrayant les deux équations (14) et (15), on en déduit + + S.+ = T  .+ + T  .(S.+ ) et finalement T  .h = h ce qui démontre le lemme.



Soit g ∈ SL(2, Z). L’invariance de h par l’action de SL(2, Z) montre que: h(z,
g) = (g −1 .h)(z,
g) = j (g, z)−1 h(gz,
) = j (g, z)−1 F (gz) = F|g (z).

(15)

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417

En particulier, pour  ∈
, on a F| (z) = h(z,
) = h(z,
) = F (z), ce qui montre que F est modulaire de poids 1 pour
. La fonction F est holomorphe sur H et sur H− . Ainsi, la restriction f (resp. f − ) de F à H (resp. à H− ) est un élément de M1 (
) (resp. de M− 1 (
)). On identifie ce couple (f, f − ) au couple (f, f  ) ∈ M1 (
) × M1 (V
V ). Lemme 1.14. Les formes modulaires f et f  sont paraboliques. Démonstration. On va démontrer que parabolique. Pour cela, on va utiliser  f est  i + i + l’égalité F|g (it) =  (it,
g) +  ,
gS . t t Montrons que lim|t|→+∞ F|g (it) = 0. D’après l’équation (12) (vraie d’après le théorème du prolongement analytiquepour tout z ∈ C\] − ∞,0[), on a, pour tout ∞  1 1 t > 0, + (it,
g) = + 1 − ,
gT 1−n T −1 . A t fixé, la série it + n n=1 it + n définie par le terme de droite est donc simplement convergente, mais elle n’est pas a priori absolument convergente. Posons n = T 1−n T −1 . Comme + (., 
g) est holo-

morphe au voisinage de 1, on en déduit que, à t fixé, limn→+∞ (n + it) + (1,
g)−     1 1 1 + 1− ,
g = (+ ) (1,
g). La série de terme général + 1− , n + it n + it n + it 
gn ) − + (1,
gn

est donc absolument convergente, car son terme général est

A majoré en module à partir d’un certain rang par où A est une constante fixée |n + it|2
+  (par exemple A = max{|( ) (1,
g)| + 1
g ∈
\SL(2, Z)}). Elle est aussi uniformément convergente par rapport à t sur les intervalles [M,  +∞[ et ] − ∞,−M], pour ∞  1 1 M0, donc lim|t|→+∞ + 1− ,
gn − + (1,
gn ) = 0. n + it n=1 n + it 1 + (1,
gn ) est donc convergente comme difLa série de terme général n + it férence d’une série convergente et d’une série absolument convergente. Posons un = + (1,
gn ). La suite un est périodique (car un+lg = un , où lg désigne la largeur n n   uk de la pointe
g∞), soit l sa période. Posons Un = = uk . On a k + it k=1 k=1 n−1   uk Uk Un + · La série est convergente et la suite un (k + it)(k + 1 + it) n + it k + it k=1 est périodique de période l, donc Ul = 0 (car sinon on aurait Un ∼n→+∞ (n/ l)Ul ). La +∞  un Un suite Un est ainsi bornée, donc limn→+∞ = 0, et = n + it n=1 n + it +∞  Un · Or pour |t| > M on a: |(n + it)(n + 1 + it)|
|(n + iM)(n + (n + it)(n + 1 + it) n=1 1 + iM)|, la série de droite est donc uniformément convergente en t sur [M, +∞[ et

418

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un = 0, et finalement que n n=1 + it lim|t|→+∞ + (it, = 0. On démontre de même, grâce à l’équation (13), que 
g)  i + i lim|t|→+∞  ,
g = 0, ce qui montre que f est une forme parabolique. Un t t raisonnement analogue montre que f − est également parabolique. Ainsi (f, f − ) ∈ S1 (
) × S1− (
), donc F ∈ S1± (
). 

sur ] − ∞, −M], ce qui montre que lim|t|→+∞

1.3.3. Conclusion − On vient de montrer la relation (+ − − )(z,
g) = (+ F − F )(z,
g) = F|g (z) pour z ∈ C \ R. Par passage à la limite de chaque côté de l’égalité, on voit que cette − − égalité est vraie pour z = 0. On a donc + − + F =  − F . Le membre de gauche de cette équation est défini sur C\] − ∞, 0[, et le membre de droite sur C\]0, +∞[. Ces termes coïncident sur C\]0, +∞[ ∩ C\] − ∞, 0[= C \ R ∪ {0}. Posons  h(z,
g) =

(+ − + F )(z,
g) si z ∈ C\] − ∞, 0[ (− − − F )(z,
g) si z ∈ C\]0, +∞[.

La fonction z  −→ h(z,
g) est holomorphe sur C∗ . On va montrer qu’elle se prolonge en une fonction holomorphe sur C. + (resp. Lemme 1.15. Soit
g ∈
\SL(2, 
Z). La fonction z →  (z,
g) 
z → − +
 (z,
g)) est bornée sur Zε = z (z)
0 et |z| ε (resp. sur Zε− = z
(z) 0 et |z|ε}), pour un certain ε > 0.
Démonstration. Soit M > 0. Posons WM = {z
(z)
0 et |z| > M}. D’après  l’équa + 1 tion (13) (vraie par prolongement analytique sur C\] − ∞, 0]), on a  ,
g = z   ∞  1 z + 1 + ,
gn où gn = gT −n T −1 . La suite
gn est périodique (car z+n n=0 z + n
gn+lgS =
gn ), soit l  sa période. Comme la fonction z  → + (z,
g) est holomorphe au voisinage de 1, on sait qu’on a pour tout z ∈ WM la majoration:


   

z
1 1 + + + 

 A|z| 1 +  ,
g −  ( (1,
g) − ) (1,
g)
z + n
|z + n|3 z+n z+n où A est une constante indépendante de z, de n et de
g. La série de terme général ∞  |z| z étant normalement convergente sur WM , on en déduit que 3 z + n |z + n| n=0     1 1 ,
gn −+ (1,
gn )− (+ ) (1,
gn ) tend vers 0 quand |z| → + 1 + z+n z + n   ∞  z 1 ∞. Soit R(z) = + (1,
gn ) + (+ ) (1,
gn ) (qui est une série conz+n n=0 z + n vergente sur WM comme différence de séries convergentes). Posons vn = + (1,
gn )

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419

et wn = (+ ) (1,
gn ). Ces deux suites sont périodiques de période l  , et on monl  tre, comme dans la démonstration du lemme 1.14, l’égalité La suite k=1 vk = 0.   ∞  n Vn wn z Vn = k=1 vk est donc bornée. On a R(z) = + , et les z+n n=0 z + n
z + n + 1

wn

B Vn +  , où B est une consuites Vn et wn sont bornées, donc


z+n+1 z+n |z + n| ∞  |z| stante indépendante de n et de z ∈ WM . La fonction S(z) = est bornée sur 2 n=0 |z + n| ∞ (k+1)|z|−1   |z| , et pour z ∈ WM et n ∈ [k|z|, (k + 1)|z|[ on a WM , car S(z) = 2 k=0 n=k|z| |z + n| ∞  2 |z+n|2
|z|2 +n2
(k 2 +1)|z|2 , donc |S(z)|  . Ainsi, sur WM , R est bornée, 2 k=0 k + 1   1 ,
g est bornée. On procède de même pour montrer donc la fonction z  → + z que la fonction − (·,
g) est bornée sur un ensemble Zε− , en partant de l’équation (12).  D’après ce lemme, la fonction z → h(z,
g) est bornée dans un voisinage épointé + de 0 (puisque la fonction z  → (+ − + F )(z,
g) est bornée sur un Zε et z  → − − − + ( − F )(z,
g) est bornée sur un Zε , donc h(·,
g) est bornée sur Zε ∪ Zε− ). On en déduit que h se prolonge en une fonction entière. De plus, h vérifie les équations − (linéaires) satisfaites par + , − ,+ F et F , et donc en particulier h + h|S = 0, c’est1 1 à-dire h(z,
g) = h − ,
gS . Cela montre que la fonction z  → h(z,
g) est z z bornée sur C. La fonction z  → h(z,
g) est donc entière et bornée, on en déduit par le théorème de Liouville qu’elle est constante. Comme limx→+∞ h(x,
g) = 0, h(. ,
g) est la fonction nulle pour tout g ∈ SL(2, Z), et donc + = + F sur C\]−∞, 0[×
\SL(2, Z), et − = − sur C\]0, +∞[×
\SL(2, Z), ce qui démontre le théorème 0.6. F 1.3.4. Isomorphisme entre S1 (
) et L+
si
= V
V .  0  On suppose dans cette section que V
V =
(V désigne la matrice 01 −1 ). 0 1 0 1 Lemme 1.16. L’application  : h −  → 1 0 .h, où la fonction 1 0 .h est définie par 0 1 1 1 1 0 .h(x,
g) = x h x ,
V gV S est une involution de L
. Remarque 1.17. L’isomorphisme du théorème 0.6 montre qu’il existe (f, f  ) ∈ S1 (
)2 avec h = +   ∈ LR correspondante vérifie f,f  (puisque V
V =
). La fonction  f,f 
1 1 ,
g = h(0,
gS) donc la foncl’équation (I + S).f,f  = 0. Ainsi, limx→0+ h x x 0 1 tion 1 0 .h est bien définie en 0.

420

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

Démonstration 1.16). Comme V 2 = (V S)2 = I ,  est d’ordre 2, il suffit de   (Lemme vérifier que 01 01 .h est un élément de L
. L’application x  → x1 préserve ]0, +∞[. D’après l’équation fonctionnelle de h appliquée en x1 , on a:       1 1 1 1 1 1 h ,
V gV S = h 1 + ,
V gV ST −1 + h ,
V gV ST −1 x x x x x+1 x+1   1 x = (h) ,
gT −1 + (h)(x + 1,
gT −1 ) x+1 x+1 = T −1 .(h)(x,
g) + T −1 .(h)(x,
g) car T −1 V S = V ST −1 et T −1 V S = V ST −1 . On a (−I ).(h) = (h). Enfin, la fonction x  → h(x,
g) est continue à droite  en 0, donc est  bornée sur un voisinage de 0 dans 1 1 ]0, +∞[. On a ainsi limx→+∞ h ,
V gV S = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z), x x donc (h) vérifie bien la condition aux limites de L
.  Comme
= V
V , le théorème 0.6 définit un isomorphisme entre S12 (
) et L
. NoC\]−∞,0[ + ) astons, pour (f, f  ) ∈ S12 (
), + f,f  (resp. f,f  ) l’élément de L
(resp. de L


+ 1 socié. On pose − f,f  = −S.f,f  . Comme x  → x préserve C\] − ∞, 0] et + C \ [0, +∞[, on peut appliquer l’application  à f,f  et − f,f  . + + Lemme 1.18. On a la relation (+ f,f  ) = f  ,f . De façon équivalente, on a f,f  = + + f,0 + (f  ,0 ).

Démonstration. Soit (f, f  ) ∈ S1 (
)2 . Pour tout z ∈ C\] − ∞, 0], on obtient (en posant u = −
dans la deuxième intégrale): + f,f  (z,
g)

 f|g (
) 1 d
= 2i g+ (0,i∞;z) z −
  f|V 1 gV (u) du − 2i d− (0,i∞;−z) −z − u

car si un chemin 1 passe dans H− à gauche de z, le chemin −1 passe dans H + à droite de −z. Ainsi, pour tous (f, f  ) ∈ S1 (
)2 , + f,f  (z,
g) = f,0 (z,
g) − − + − f  ,0 (−z,
V gV ). Comme f  ,0 = −S.f  ,0 , on en déduit que + f,f  (z,
g)

=

+ f,0 (z,
g) +

1 +   z f ,0



1 ,
V gV S z



+ = [+ f,0 + (f  ,0 )](z,
g).

    + + + Cela montre la formule  + f,f  =  f,0 + f  ,0 = f  ,f .



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421

− On définit alors le sous-espace L+ L
) de
L
constitué des éléments invariants
(resp.   ± (resp. anti-invariants) de L
par : L
=  ∈ L

() = ± . Le lemme 1.18 montre + + + + que pour f ∈ S1 (
) on a (+ f,f ) = f,f et (f,−f ) = −f,−f . L’application r : + − + − f  → + f,f (resp. r : f  → f,−f ) envoie ainsi S1 (
) dans L
(resp. L
), et est  injective d’après le théorème 0.6. Si f et f sont des éléments de S1 (
) vérifiant + + + (+ f,f  ) = f,f  (resp. (f,f  ) = −f,f  ), on a d’après le lemme 1.18 et par Clinéarité + + + + + + + f,f  − (f,f  ) = f,f  − f  ,f = f −f  ,f  −f = 0 (resp. f,f  + (f,f  ) = 0).

D’après l’isomorphisme du théorème 0.6, on en déduit que f − f  = 0 (resp. f + f  = 0), et donc f,f  = r + (f ) (resp. f,f  = r − (f )). Les applications r + et r − sont ainsi surjectives, donc bijectives, ce qui prouve le Corollaire 0.10. Soit
un sous-groupe de congruence vérifiant V
V =
. On a − une correspondance linéaire bijective entre l’espace S1 (
) et l’espace L+
(resp. L
), + + − + − donnée par l’application r (resp. r ) définie par r (f ) = f,f (resp. r (f ) = + (resp. r − ) est la composée de l’isomorphisme du théorème + f,−f ). L’application r 0.6 et du plongement diagonal (resp. anti-diagonal) de S1 (
) dans S1 (
)2 ∼ S1± (
). 2. Transport des structures modulaires sur L
2.1. Produit scalaire de Petersson Le produit scalaire de Petersson de deux éléments f1 et f2 de S1 (
) est défini par  1 dx dy la formule f1 , f2 = , où F(
) désigne un domaine f1 (z)f2 (z) (
) y F (
) fondamental pour
, où (
) désigne le cardinal de
\ SL(2, Z). Cette intégrale est indépendante du choix du domaine fondamental, et du groupe
pour lequel f1 et f2 sont modulaires. L’espace vectoriel S1 (
) muni de ce produit hermitien est un espace de Hilbert. On note R(
) un système de représentants de
\SL(2, Z). Théorème 0.11. Pour f1 et f2 éléments de S1 (
), on a la formule f1 , f2 =

i 3 (
)

   g∈R(
) R

i =− 3 (
)

 U.f1 f2 − f1 U.f2 (x,
g) dx

  

g∈R(
) R

 −f1 (x,
g) f2

 f1



  x−1 ,
g 01 −1 −1 x 

  x−1 ,
g 01 −1 −1 x

dx . x

f2 (x,
g)

422

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Démonstration. Soit D0 un domaine fondamental pour SL(2, Z). Lemme 2.1. On a la formule: 1 f1 , f2 = − (
)

  D0

g∈R(
)

f1 |g (u)f2 |g (u)

du du · u−u

 1 dz dz Démonstration. On a f1 , f2 = − f1 (z)f2 (z) . (
) z−z F (
)  On peut choisir g∈R(
) gD0 comme domaine fondamental pour
, d’où f1 , f2 = −

=−

=−

1 (
) 1 (
) 1 (
)

  g∈R(
)

D0

f1 (gu)f2 (gu) du du 2 gu − gu j (g, u) j (g, u)2

D0

j (g, u)−1 f1 (gu)j (g, u)−1 f2 (gu) du du u−u

  g∈R(
)

  g∈R(
)

f1 |g (u)f2 |g (u) u−u

D0

du du.



Lemme 2.2. On a la formule f1 , f2 =

1 4i (
)

  

i∞

f1 |g (u) x−u

g∈R(
) R 0



f2 |g (v)

du B

x−v

dv dx,

où B désigne l’arc de cercle centré en 0 reliant  = e2i /3 à −.  Démonstration. Posons F1 (z,
g) =

i∞ f z

1 |g (u)

u−z

du, pour z ∈ H ∪ P1 (Q) et g ∈

f1 |g (z)  1 *F1 , ce qui montre la formule f1 ,f2 = (z,
g)=− R(
). On a z−z (
) g∈R(
) *z    1 d F1 (z,
g)f2 |g (z) dz . D’après la formule de Stokes, on a f1 , f2 = (
) D0   F1 (z,
g)f2 |g (z) dz où *D0 désigne le bord de D0 . g∈R(
)

*D0

Prenons pour D0 le domaine fondamental
standard pour SL(2, Z), soit D0 = {z ∈
H
− 21 (z) < 21 et |z| > 1} ∪ {z ∈ H
|z| = 1 et − 21 (z) 0}. On a alors *D0 = A + B reliant i∞ à . Or on a (en effectuant  − T A, où A désigne le chemin  z  → z + 1) T A F1 (z,
g)f2 |g (z) dz = A F1 (z + 1,
g)f2 |g (z + 1) dz. De plus, on a

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 F1 (z+1,
g) =

i∞

f1 |g (u)



u−1−z (z), on en déduit ainsi que z+1

f2 |gT

i∞ f

du = z

  g∈R(
) A−T A

1 |gT

(v)

v−z

423

dv = F1 (z,
gT ) et f2 |g (z + 1) =

F1 (z,
g)f2 |g (z) dz = 0.

  1 F1 (z,
g)f2 |g (z) dz. La matrice S (d’ordre (
) g∈R(
) B 4 dans SL(2, Z)) envoie l’arc de cercle B sur lui-même en renversant l’orientation, donc on obtient

Cela montre que f1 , f2 =

2 (
)f1 , f2 =

 

g∈R(
) B−SB

=

 

g∈R(
) B

F1 (z,
g)f2 |g (z) dz

F1 (z,
g)f2 |g (z) − F1 (Sz,
gS ) 3

f2 |gS 3 (Sz) z2

! dz.

Par définition, on a f2 |gS 3 (Su) = uf2 |g (u), donc f1 , f2 =

1 2 (
)

   g∈R(
) B

  1 F1 (z,
g) − z−1 F1 − ,
gS 3 f2 |g (z) dz. z

Or on a    i∞ f  0 −f  z f1 |g (v) 1 |gS 3 (u) du 1 |gS 3 (Sv) dv 1 1 3 = = dv, − 1 F1 − ,
gS = z v−z v v−z z −1/z − u − z u z 0   i∞ f1 |g (u)f2 |g (v)  1 du dv. On utilise ensuite la for2 (
) g∈R(
) B 0 u−v  1 dx 1 mule (vraie pour tout (u, v) ∈ H2 ). Les formes = 2i R (x − u)(x − v) u−v modulaires f1 et f2 étant paraboliques, ces intégrales sont absolument convergentes ce qui montre le lemme.  donc f1 , f2 =

 Posons, pour x ∈ R, z ∈ H et g ∈ R(
), Fz (x,
g) =

i∞ f

2 |g (v)

dv. On définit x−v la fonction .Fz par .Fz (x,
g) = j (−1 , x)−1 Fz (−1 x,
g), pour  ∈ SL(2, Z). On  i∞  i∞ f2 |g (u) du f2 |g (v) a .Fz (x,
g) = = dv. x − u j (, u)2 x−v z z z

424

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f2 |g (v)

Avec cette notation, on a B

f1 , f2 =

Si



1 2 (
)

x−v

  g∈R(
) R

dv = F (x,
g) − F− (x,
g) et donc

f1 (x,
g)(F (x,
g) − F− (x,
g)) dx.

  uM M.Fz . Ainsi, uM M ∈ Z[SL(2, Z)], on pose ( uM M).Fz = M

M

 (I − U ).F− (x,
g) =

i∞

f2 |g (v) x−v

0

M

dv = (2i)f2 (x,
g)

(16)

car − est un point fixe de U, et U ∞ = 0. Soit L
l’ensemble des fonctions à valeurs complexes  définies sur P1 (R) ×
\SL(2, Z), telles que pour tout
g ∈
\SL(2, Z), la fonction x  → (x,
g) soit de classe C ∞ et L2 sur R. On a L
⊂ L
. Le groupe SL(2, Z) agit sur L
par la formule h.(x,
g) = j (h−1 , x)−1 (h−1 x,
gh). Munissons L
de la norme hermitienne   2 définie par 1 2 = R |1 (x,
g)| dx. g∈R(
)

Lemme 2.3. Le produit scalaire sur L
est SL(2, Z)-équivariant. Démonstration. Notons ( | ) le produit scalaire issu de la norme  . Soient 1 et 2 des éléments de L
, et soit h ∈ SL(2, Z). On a (h.1 |h.2 ) = = =

 

g∈R(
) R

 

g∈R(
) R

h.1 (x,
g) h.2 (x,
g) dx 1 (h−1 x,
gh)2 (h−1 x,
gh)

 

−1 g∈R(
) h (R)

dx j (h−1 , x)2

1 (u,
gh)2 (u,
gh) du = (1 |2 )

car SL(2, Z) laisse P1 (R) invariant.  Définissons la fonction f2 sur R ×
\SL(2, Z) par  f2 (x,
g) = F (x,
g) − F− (x,
g) =



−

f2 |g (v) x−v

Les fonctions f1 et f2 sont des éléments de L
, et f1 , f2 =

dv.

1 ( |f2 ). 2 (
) f1

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f1 , f2 =



i∞ f

2 |g (v)

dv = F (x,
g) ce qui x−v = (T −1 − I ).F− . On en déduit, à l’aide du lemme 2.3, que:

Comme  = − − 1, on a montre que f2

T −1 .F

425

− (x,
g)

=



1 1 [(f1 |T −1 .F− ) − (f1 |F− )] = ((T − I ).f1 |F− ). 2 (
) 2 (
)

Lemme 2.4. On a (T − I ).f1 =

   1 (I − U 2 ). (I − U ). (T − I ).f1 . 3

Démonstration. La fonction f1 appartient  à L
, donc, d’après la proposition A.3,  uM M.f1 ne dépend que de uM pour uM M ∈ Z[SL(2, Z)], la fonction ([M∞] − [M0]) dans P1 (Q). On a [(I − U 2 )(I − U )(T − I )]([∞] − [0]) = [(I − U 2 )(I − U )]([0] − [1]) = (I − U 2 )([0] − 2[1] + [∞]) = 3([0] − [1]) = 3(T − I )([∞] − [0]) ce qui montre le lemme.



En utilisant les lemmes 2.3 et 2.4, on obtient
 1 
[(I − U 2 )(I − U )(T − I )].f1
F− 6 (
)
 1 
= [(I − U )(T − I )].f1 − [U 2 (I − U )(T − I )].f1
F− 6 (
)
 1 
= [(I − U )(T − I )].f1
(I − U ).F− . 6 (
)

f1 , f2 =

Or d’après la formule (16), on a (2i)f2 = (I − U ).F− donc on obtient f1 , f2 =


 i 
[(I − U )(T − I )].f1
f2 . 3 (
)

Or f1 et f2 sont des éléments de L
, donc ils sont annulés par les relations de Manin. Comme U = ST −1 , on voit alors que [(I − U )(T − I )].f1 = (T + U ).f1 . De la même façon, on a (T + U −1 ).f1 = [T (I + S 3 )].f1 = 0, cela montre que f1 , f2 =


  i  i 
(U − U −1 ).f1
f2 = (U.f1 |f2 ) − (f1 |U.f2 ) 3 (
) 3 (
)

ce qui démontre le théorème 0.11.



426

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2.2. Périodes de formes non paraboliques Soit f ∈ M1 (
). Pour tout
g ∈
\SL(2, Z), on note a0 (f|g ) le terme constant du développement de Fourier en l’infini de la forme modulaire f|g . On sait qu’au voisinage du point i∞, il existe a > 0 tel que f|g (z) − a0 (f|g ) = O(e2i az ), et qu’au voisinage a0 (f|gS ) de 0, il existe b > 0 tel que f|g (z) + = O(e−2i b/z ). z Dans la suite, on notera ln la fonction définie sur C \ iR+ prolongeant la fonction logarithme népérien sur ]0, +∞[ : elle est définie par ln(rei ) = ln r + i , avec ∈ 3  ]− , [. 2 2 ∈L 
. Par définition, pour tout
g ∈
\SL(2, Z), il existe (a
g , a  ) ∈ C2 Soit 
g   1  au voisinage du point ∞ ∈ P1 (R). tels que (x,
g) = a
g ln x −a
g ln(−x)+O x Remarque 2.5. La condition aux limites (2) peut s’écrire sous la forme:   1   • au voisinage de +∞, (x,
g) = [a
g − a
g ] ln x + ia
g + O , x 
g) = [a
g − a  ] ln |x| − ia
g + O 1 . • au voisinage de −∞, (x,
g x Pour ∈ H, on définit rf sur ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[×
\SL(2, Z) par rf (x,
g) =



f|g (
) + a0 (f|gS )/
d
x−


0   a0 (f|gS ) 1 1 +a0 (f|g ) ln(x − ) + ln − + · x x



i∞

f|g (
) − a0 (f|g ) d
+ x−


Remarque 2.6. On s’inspire ici de la définition du polynôme de période pour une forme non parabolique f ∈ Mk (SL(2, Z)), donnée par Zagier dans [30]. Cette fonction est bien définie d’après les remarques précédentes, et pour f ∈ S1 (
), on a rf = f , quel que soit ∈ H. Comme pour les formes paraboliques, on définit

, pour (f, f  ) ∈ M (
) × M (V
V ) par la formule r (x,
g) = une fonction rf,f  1 1 f,f 



rf (x,
g) − rf  (−x, (V
V )V gV ).

Proposition 2.7. La fonction rf,f  vérifie les propriétés suivantes:

, pour tout (1) elle ne dépend pas du ∈ H choisi. Par la suite, on pose rf,f  = rf,f 

∈ H; 
. (2) on a rf,f  ∈ L

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427

Démonstration. • On montre le point 1 pour la fonction rf en différenciant la fonction Rf définie *Rf par Rf ( , x,
g) = rf (x,
g) par rapport à la variable , ( , x,
g) = 0, et on *

raisonne de façon analogue pour rf,f  . • Montrons (I + S).rf = 0 (on montre de même (I + S).rf,f  = 0). On a 

1 i∞
f|g



 − 1
− a0 (f|gS ) 1 + x




 d
=

f|g (u) + a0 (f|gS )/u du et x−u −1/

0

   1 f|g − 1 − a0 (f|g )/
 −1/

f|g (u) − a0 (f|g )

du, d
= x−u 1 + x
i∞ 0 −1/

d’où S.rf (x,
g) = −rf

(x,
g), car a0 (f|−g ) = −a0 (f|g ). D’après le point 1,

−1/

rf

comme −1/ ∈ H, on a = rf . • De même, on montre que (I − T − T  ).rf = 0. Pour tout
g ∈
\SL(2, Z), on a a0 (f|g ) = a0 (f|gT ). Les égalités T S = T  T −1 et T  S = ST −1 montrent que a0 (f|gT S ) = a0 (f|gT  ) et que a0 (f|gT  S ) = a0 (f|gS ). On trouve ainsi que (I − T − T  ).rf (x,
g) = 0, car 



d
= ln(x − − 1) − ln(x − ), x

+1 −
     

1 1 1 1 1 d
= ln − + 1 + − ln − +


(x −
) x x

x

+1

+1

+1

1 d
= (
− 1)(x −
) 1−x

et

     x 1 1 ln − − ln − + . 1−x x−1

• Les conditions aux limites (2) sont bien respectées pour rf,f  , en posant a
g =  a0 (f|g ) et a
 g = a0 (f|V gV ).  = 0, et la proposition A.3 montrent que l’espace Remarque 2.8. La condition (I +S).  +  + 
est en bijection avec l’espace L L
constitué des fonctions  :]0, +∞[×
\SL(2, Z) → C, analytiques en la première variable et vérifiant   + + = 0 et (I − (−I )). = 0; • (I − T −1 − T −1 ). • pour tout
g ∈
\SL(2, Z), il existe (a
g , a
 g ) ∈ C2 tels que  + (x,
g) = [a
g − a
 g ] ln(x) + ia
 g + O 

  1 x

428

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

au voisinage de +∞ et, au voisinage de 0+ , ia
gS ln x  + − + O(1). (x,
g) = [a
 gS − a
gS ]  x x  + + On notera rf,f  ∈ L
la restriction de rf,f  à ]0, +∞[×
\SL(2, Z). + Théorème 0.12’. L’application r qui à (f, f  ) associe rf,f  est un isomorphisme entre  + M (
) × M (V
V ) et L . 1




1

+ Démonstration. Ce théorème est équivalent au théorème 0.12. On a vu que rf,f  est  + un élément de L
. D’après le théorème 0.6, l’application r définit un isomorphisme de  +  un élément de L S1 (
)×S1 (V
V ) dans L
. On va prouver que r est surjectif. Soit
.  + 2    Il existe (a
g , a
g ) ∈ C ×
\SL(2, Z) tels que  (x,
g) = [a
g −a
g ] ln(x)+ia
g +   1 O au voisinage de +∞. On va montrer qu’il existe (f, f  ) ∈ M1 (
)×M1 (V
V ) x   tels que a0 (f|g ) − a0 (f|V gV ) = a
g − a
g pour tout
g ∈
\SL(2, Z). Notons E1 (
) l’espace des séries d’Eisenstein de poids 1 pour
. La dimension de cet espace est égale à la moitié du nombre de pointes régulières de
(voir [22, p. 61]) (onrappelle qu’une pointe
x est dite régulière si
x −1 est engendré par une  1 h matrice 0 1 , avec h > 0, où est un élément de SL(2, Z) vérifiant x = ∞, et
x est le sous-groupe de SL(2, Z) formé des éléments de
laissant x invariant). Si la pointe
g∞ n’est pas régulière, on a a0 (f|g ) = 0 pour tout f ∈ M1 (
). Dans le cas où
=
(N ), N
1, on a le résultat suivant (voir [23, p. 175]):

Proposition 2.9. Pour toute pointe P régulière de
, il existe une série d’Eisenstein dont la valeur en une pointe P  est de partie réelle non nulle si et seulement si P = P  . reg

On note P
l’ensemble des pointes régulières de
, on note u
son cardinal, et on choisit un sous-ensemble R1 de SL(2, Z) de cardinal u
tel que l’ensemble {
g∞}g∈R1 reg soit un ensemble de représentants de P
dans P1 (Q). On définit alors l’application  reg


, de E1 (
) dans C[P
], par
(f ) = g∈R1 a0 (f|g )[
g∞]. On définit de la même façon
sur E1 (
), l’espace des séries d’Eisenstein anti-holomorphes de poids 1 pour
. On a
(E1 (
)) =
(E1 (
)). Notons M± 1 (
) l’espace des couples de formes (
) continues aux pointes, c’est-à-dire vérifiant, modulaires (f, f  ) ∈ M1 (
) × M− 1 pour tout
g ∈
\ SL(2, Z), a0 (f|g ) = a0 (f|g ). ± Lemme 2.10. (1) On a l’égalité M± 1 (
) = S1 (
);  reg (a) pour tout P ∈P reg aP [P ] ∈ C[P
], il existe (f, f1 ) ∈ M1 (
) × M1 (
) tel que 



(f ) +
(f1 ) = P ∈P reg aP [P ].


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429

Démonstration. Supposons qu’il existe F ∈ M± 1 (
) tel que
(F )  = 0. D’après les − isomorphismes M1 (
) ∼ M1 (
) ∼ M1 (
), il existe f  ∈ M1 (
) tel que F (z) = f  (z) sur H− . Pour tout g ∈ SL(2, Z) et z ∈ H, on a F|g (z) = f|g (z), et donc a0 (f|g )  = a0 (F|g ). Or, pour tous (f, f  ) ∈ M1 (
)2 , on a l’égalité
g∈
\SL(2,Z) a0 (f|g )a0 (f|g )  l a (f )a (f  ) = 0 (où lg est la largeur de la pointe
g∞), car h = =  g∈R1 g 0 |g  0 |g
g∈
\SL(2,Z) f|g f|g est une forme modulaire de poids 2 pour SL(2, Z), donc est la fonction nulle. Cela montre que
(M1 (
)) ∩
(M1 (
)) = {0}: en effet, s’il existait (f, f  ) ∈ M1 (
)2 tel que, pour tout g ∈ SL(2, Z), on ait a0 (f|g ) = a0 (f|g ),    2 = 0, ce qui alors on aurait g∈R1 lg a0 (f|g )a0 (f|g ) = g∈R1 lg |a0 (f|g )| u
± montre que f ∈ S1 (
), et donc M± 1 (
) = S1 (
). Comme dim
(M1 (
)) = 2 et
(M1 (
)) ∩
(M1 (
)) = {0}, on a
(M1 (
)) ⊕
(M1 (
)) = C[P reg (
)].   Si f  ∈ M1 (V
V ) correspond à f1 ∈ M1 (
), on a f|V gV (
) = f1 |g (−
) et a0 (f|V gV ) = a0 (f1 |g ). On déduit du lemme 2.10 qu’il existe (f, f  ) ∈ M1 (
) ×   M1 (V
V ) tels que a0 (f|g ) − a0 (f|V gV ) = a
g − a
g pour tout
g ∈
\SL(2, Z). +  + − rf,f Soit =   . La fonction vérifie les conditions aux limites (x,
g) =   b
gS 1 (x → +∞) et (x,
g) = − + O(1) (x → 0), avec b
g = b
g + O x x   i(a
g − a0 (f|g )) = i(a
g − a0 (f|V gV )). L’équation fonctionnelle vérifiée par ,   1 1

(x,
g) − (x + 1,
gT −1 ) = ,
gT −1 montre que b
g = b
gT

1− x+1 x+1 (en faisant tendre x vers +∞), et l’équation (x, −
g) = − (x,
g) montre que b
g = −b−
g .

Proposition 2.11. La fonction est un élément de L
. Démonstration. Pour montrer la proposition, il est nécessaire et suffisant de montrer que b
g = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z). On applique une démarche analogue à celle de la Section 1.3.1. Lemme 2.12. La fonction se prolonge holomorphiquement en une fonction + définie sur C\] − ∞, 0] ×
\SL(2, Z), et y vérifie les équations fonctionnelles + − T −1 .+ − T −1 .+ = 0 et (−I ).+ = + . Démonstration. La démonstration est analogue à celle de la proposition 1.9: grâce à l’équation fonctionnelle et aux conditions aux
g) −  limites vérifiées   par , on a (x, ∞ ∞   1 1 1 1 1 1−n −1 b
g = et T

1− ,
gT

,
g + b
gS = x + n x + n x x x + n n=0   n=1 1 ,
gT −n T −1 pour tout x ∈]0, +∞[. Cela permet de prolonger (·,
g)

1+ x+n sur un ouvert W , et en reprenant la démonstration de la proposition 1.9, on

430

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prolonge (·,
g) sur C\] − ∞, 0], puisque le procédé utilisé n’utilise que les équations fonctionnelles vérifiées par .  On définit la fonction − sur C \ [0, +∞[×
\SL(2, Z) par − = −S.+ . D’après la démonstration du lemme 1.12, qui n’utilise que des propriétés matricielles, on montre que la fonction − vérifie sur C\[0, +∞[ l’équation fonctionnelle (I −T −T  ).− = 0. On définit sur C \ R ×
\SL(2, Z) la fonction h par h = + − − . Cette fonction est invariante par l’action de SL(2, Z) (on utilise pour le montrer une démonstration identique à celle du lemme 1.13). Ainsi, la fonction F définie par F (z) = h(z,
) définie sur C\R est modulaire de poids 1 pour
. On suit la démonstrationdu lemme  1.14 pour i i montrer que lim|t|→+∞ + (it,
g)−b
g = 0 et lim|t|→+∞ + ,
g +b
gS = 0. t t   i + i + Comme F|g (it) =  (it,
g) +  ,
g , on en déduit que lim|t|→+∞ F|g (it) = t t b
g −b
gS . Ainsi, la forme modulaire F est un élément de M± 1 (
), puisque la condition  ) pour tout
g ∈
\SL(2, Z), où f (resp. précédente montre que a0 (f1 |g ) = a0 (f1|g 1 − ). (
)) est la restriction de F à H (resp. à H f1 ) ∈ M1 (
) (resp. M− 1 D’après le lemme 2.10, on en déduit que F ∈ S1± (
), et donc que pour tout
g ∈
\SL(2, Z) on a b
g − b
gS = 0. Or on a b
gS 2 = −b
g , ce qui montre que b
g = 0 pour tout
g ∈
\SL(2, Z), donc est un élément de L
.  On a ainsi montré que l’application r est surjective de M1 (
) × M1 (V
V ) dans  +  L
. Elle est également injective: si rf,f = 0, les conditions aux limites montrent que f et f  sont paraboliques, et donc d’après l’isomorphisme du théorème 0.6 que f = f  = 0.  Enfin, on montre que la formule du théorème 0.11, donnant le produit scalaire de Petersson de deux formes paraboliques en fonction de leurs périodes, se prolonge au produit scalaire de Petersson d’une forme parabolique et d’une forme modulaire. Proposition 2.13. Pour tous (f1 , f2 ) ∈ S1 (
) × M1 (
), on a f1 , f2 =

i 3 (
)

   g∈R(
) R

 U.f1 rf2 − f1 U.rf2 (x,
g) dx,

où R(
) désigne un système de représentants de
\SL(2, Z). Démonstration. On a d’après le lemme 2.2 la formule

f1 , f2 =

1 4i (
)

   g∈R(
) R 0

i∞

f1 |g (u) x−u

 du

−



f2 |g (v) x − v¯

dv dx.

(17)

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i∞ f

431

2 |g (v) − a0 (f2 |g )

dv + a0 (f2 |g ) ln(x − ), et, pour  ∈ x−v SL(2, Z), .F (x,
g) = j (−1 , x)−1 F (−1 x,
g). On a Posons F (x,
g) =

.F (x,
g) =



 i∞ f2 (
) − |g 

a0 (f2 |g ) j (−1 ,
)

x−


d
+

a0 (f2 |g  ) j (−1 , x)

ln(−1 x − ).

Ainsi, on a (I − S).Fi (x,
g) = rf2 (x,
g), et de la même façon, comme U = ST −1 , a0 (f2 |gU ) = a0 (f2 |gS ) et U (−) = −, on a (I − U ).F− = rf2 (x,
g). On a égale − f2 |g (v) dv. Posons, sous réserve ment la formule F (x,
g) − F− (x,
g) = x−v    de convergence, (1 |2 ) = g∈R(
) R 1 (x,
g)2 (x,
g) dx. Pour h ∈ SL(2, Z), 1 on a (h.1 |h.2 ) = (1 |2 ). D’après l’équation (17), f1 , f2 = ( |F − 2 (
) f1 1 F− ). Puisque T −1 .F− (x,
g) = F (x,
g), on a f1 , f2 = [( |T −1 .F− ) − 2 (
) f1 1 (f1 |F− )] = ((T − I ).f1 |F− ). D’après le lemme 2.4, on a (T − I ).f1 = 2 (
) 1 [(I − U 2 )(I − U )(T − I )].f1 , ce qui montre la proposition, les fonctions f1 et rf2 3 étant annulées par les relations de Manin.  2.3. Lien avec la cohomologie de SL(2, Z) Soit
un sous-groupe d’indice fini de SL(2, Z). Fixons R(
) un ensemble de représentants de
\SL(2, Z). On considère l’espace M
défini dans l’introduction. Remarque 2.14. On a l’inclusion LR
⊂ M
: en effet, il suffit de vérifier que la condition aux limites est satisfaite par les fonctions de LR
: d’après le théorème 0.6,  ) ∈ S (
) × S (V
V ). La avec (f, f tout élément  de L
est en fait égal à + 1 1 f,f  fonction x  → f,f  (x,
g) est définie sur P1 (R), est de classe C ∞ sur R et f,f  vérifie l’équation (I + S).f,f  = 0. Cela montre en particulier l’égalité sur R \ {0}   1 xf,f  (x,
g) = f,f  − ,
gS et donc on a limx→∞ x(x,
g) = (0,
gS) x puisque  = f,f  sur P1 (R) ×
\SL(2, Z). Lemme 2.15. L’application h  → (  → h.) munit l’espace vectoriel M
d’une structure de SL(2, Z)-module. Démonstration. Pour montrer le lemme, il suffit de vérifier que M
est stable par SL(2, Z). Soient  ∈ M
et h ∈ SL(2, Z). • La condition aux limites vérifiée par  montre la continuité de la fonction x → h.(x,
g) au point h∞, et donc sur R;

432

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• la condition d’analyticité est vérifiée pour Fh. = {{h } ∈F ∪ h∞};   • posons h = ac db .   x dx − b ,
gh , et donc on obtient ◦ si c  = 0, on a x(h.)(x,
g) =  −cx  + a  −cx + a d 1 limx→±∞ x(h.)(x,
g) = −  − ,
gh ; c   c ◦ si c = 0, on a h = ± 01 k1 avec k ∈ Z, donc x(h.)(x,
g) = ±x(x + k,
gh) = ±[(x + k)(x + k,
gh) − k(x + k,
gh)] a pour limite a
g quand x → ±∞ car limy→±∞ (y,
gh) = 0. Cela montre que la condition aux limites est vérifiée pour h., et finalement que h. appartient à M
.  On rappelle que si V est un C[SL]-module à gauche sur lequel −I agit comme l’identité, un 1-cocycle  de SL(2, Z) dans V est dit parabolique si pour tout  ∈ SL(2, Z)∞ , il existe v ∈ Vk tel que () = v −.v (où SL(2, Z)∞ désigne l’ensemble des matrices laissant stable le point à l’infini, soit le sous-groupe de SL(2, Z) engendré par (T). De façon équivalente, un 1-cocycle  est parabolique s’il existe v ∈ V 1 (SL(2, Z), V ) l’ensemble des 1-cocycles vérifiant (T ) = v − T .v. On note Zpar paraboliques de SL(2, Z) dans V. C’est un sous-groupe de Z 1 (SL(2, Z), V ), qui contient B 1 (SL(2, Z), V ). On définit le premier groupe de cohomologie parabolique de 1 (SL, V ) = Z 1 (SL, V )/B 1 (SL, V ). On note Z 1 (SL(2, Z), V , T ) SL dans V par Hpar par par 1 (SL(2, Z), V , T ) = l’ensemble des 1-cocycles paraboliques  vérifiant (T ) = 0, et Bpar 1 (SL(2, Z), V , T ) ∩ B 1 (SL(2, Z), V ). Le groupe SL(2, Z) est engendré par S et T, Zpar 1 (SL(2, Z), V , T ) est uniquement déterminé par (S). donc  ∈ Zpar 1 (SL(2, Z), M )   S (
) × S1 (
) −→ Hpar 
, où f ,f désigne la  On considère rc : 1 1 2  −→ f1 ,f2 (f1 , f2 ) classe de cohomologie du cocycle parabolique f1 ,f2 défini par f1 ,f2 ( )(x,
g) =

1 2i

 0 0

f1 |g (
)

1 d
+ x −
2i

 0 0

f2 |g (
)

d
, x−


l’intégration se faisant le long de la géodésique dans H reliant 0 à 0. Remarque 2.16. La classe de cohomologie du cocycle f1 ,f2 ne dépend pas du pointbase dans P1 (Q) choisi: soit q ∈ P1 (Q), et soit q f1 ,f2 ( )(x,
g)

1 = 2i

q

q

1 d
+ f1 |g (
) x −
2i

1 (I − ) · 2i ∈ B 1 (SL(2, Z), M
). q

On a (f1 ,f2 − f1 ,f2 )( ) = f1 ,f2 − f1 ,f2

 q



q 0

(f1 |g (
)

 q q

f2 |g (
)

d
· x−


 d
d
+ f2 |g (
) ) , donc x−
x−


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433

On montre maintenant le théorème 0.13: Théorème 0.13. L’application rc est un isomorphisme d’espaces vectoriels complexes. Démonstration. Le schéma de la démonstration peut se résumer par le diagramme suivant: S1 (
) × S1 (
) 

thm 0.6

1 (SL(2, Z), M ) Hpar


L


LR


lemme 2.17

∼

(S)



1 (SL(2, Z), M , T ) Zpar


1 (SL(2, Z), M ): Montrons d’abord que f1 ,f2 appartient à Zpar


• les formes f1 et f2 étant paraboliques, elles décroissent exponentiellement au voisinage des pointes, les fonctions x  → f1 ,f2 (x,
g) sont donc continues sur R, et elles sont analytiques sur R \ {0, 0}. La condition aux limites est vérifiée, car  0  0 xf1 ,f2 ( )(x,
g) a pour limite 0 f1 |g (
) d
+ 0 f2 |g (
) d
, quand x → ±∞, cette limite étant bien définie car les formes sont paraboliques. Enfin, pour f ∈ S1 (
), f|−g (
) = −f|g (
), on a bien f1 ,f2 ( )(x, −
g) = −f1 ,f2 ( )(x,
g), et donc f1 ,f2 ∈ M
; • grâce à la modularité de f1 et f2 , pour h ∈ SL(2, Z), on a l’égalité (h.f1 ,f2 ( ))(x,
g) =

1 2i

 h 0 h0

f1 |g (
)

1 d
+ x −
2i

 h 0 h0

f2 |g (
)

d
x−


ce qui montre que pour tous h, ∈ SL(2, Z), on a f1 ,f2 (h ) = f1 ,f2 (h) + h.f1 ,f2 ( ), d’où f1 ,f2 ∈ Z 1 (SL(2, Z), M
); k • de plus, pour k ∈ Z, on a f1 ,f2 (T k ) = (I − T k ).f1 ,f2 (S) (d’après l’égalité 0 =  i∞  T k (i∞) 0 − T k (0) ), le cocycle f1 ,f2 est ainsi parabolique. Définissons f1 ,f2 par f1 ,f2 ( ) = f1 ,f2 ( ) − (I − ).f1 ,f2 (S). Les deux cocycles paraboliques f1 ,f2 et f1 ,f2 diffèrent par un cobord, ils définissent donc la même classe de cohomologie parabolique. D’après les remarques précédentes, on a f1 ,f2 (T ) = 0, et f1 ,f2 (S) = S.f1 ,f2 (S) = −f1 ,f2 = −f1 ,−f2 où f1 ,f2 est la période associée au couple (f1 , f2 ). 1 (SL(2, Z), M , T ) à valeurs dans Lemme 2.17. L’application naturelle de Zpar
1 Hpar (SL(2, Z), M
) est un isomorphisme.

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1 (SL(2, Z), M ), et  un cocycle Démonstration. Elle est surjective: soit "  ∈ Hpar
parabolique appartenant à la classe de cohomologie " . Par définition, il existe vT tel que (T ) = (I − T ).vT , donc le cocycle  défini par ( ) = ( ) − (I − ).vT 1 (SL(2, Z), M , T ), et appartient à la classe " appartient à Zpar  puisqu’il diffère de 
par un cobord. Montrons l’injectivité: soit  un cobord parabolique vérifiant (T ) = 0. Il existe v ∈ M
tel que pour tout ∈ SL(2, Z), ( ) = (I − ).v, avec v = T .v. Cela entraîne que pour tout (x,
g), v(x,
g) = v(x − 1,
gT ). Soit lg la largeur de la pointe
g∞. On a
gT lg =
g, donc la fonction x  → v(x,
g) est périodique de période lg sur R, continue, et de limite nulle en l’infini. C’est donc la fonction nulle, donc v = 0 et donc  = 0.  1 (SL(2, Z), M , T ). L’élément (S) vérifie (I + S).(S) = (I − T − Soit  ∈ Zpar
T  ).(S) = 0. En effet,

• la matrice −I = S 2 agissant trivialement sur M
, on a (S) + S.(S) = 0, ce qui montre la première égalité; • on a (T ) = 0, donc (T −1 ) = (I )−T −1 .(T ) = 0. On en déduit que (ST −1 ) = (S). Or, dans SL(2, Z), on a ST −1 = T  S, donc (S) = (T  S) = (T  ) + T  .(S). On en déduit que (S) − T .(S) − T  .(S) = (T  ) − T .(S). Or T  = T ST , donc (T  ) = T .(ST ) = T .(S), ce qui montre la deuxième égalité.   D’après la proposition A.3, pour tout W = u uM M [M] ∈ Z[SL(2, Z)] tel que ([M∞] − [M0]) = 0 dans Z[P1 (Q)], on a uM M.(S) = 0. En particulier, (I − T −1 − T −1 ).(S) = 0. Lemme 2.18. Soit v ∈ M
tel que (I + S).v = (I − T − T  ).v = 0. Alors v est un élément de LR
. Démonstration. Il est nécessaire et suffisant d’établir que la restriction de v à [0, +∞[×
\SL(2, Z) est un élément de L
. Il suffit pour cela de montrer que pour tout
g ∈
\SL(2, Z), x  → v(x,
g) est analytique sur ] − ∞, 0[∪]0, +∞[. Par l’absurde, supposons que x → v(x,
g) ne soit pas analytique en un rationnel q  = 0. D’après l’égalité (I + S).v = 0, la fonction x → v(x,
g) n’est pas non plus analytique en −1/q, donc on peut supposer q > 0. L’égalité (I −T −1 −T −1 ).v = 0 montre que pour tout point x où la fonction x  → v(x,
g) n’est pas analytique, elle ne l’est pas non en l’un des deux points Tx et T  x. Or T et T  engendrent librement le monoïde SL(2, Z)+ . Comme l’ensemble des points en lesquels x  → v(x,
g) n’est pas analytique est fini, on en déduit que q doit être un point fixe d’une matrice h de SL(2, Z)+ . Les seules matrices de SL(2, Z)+ admettant des points fixes dans P1 (Q) sont les matrices de trace 2, donc du type ∗1 ∗1 (différentes de I). Le déterminant étant 1, les seuls points fixes possibles sont ∞ et 0, ce qui contredit l’hypothèse. 

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435

1 (SL(2, Z), M , T ) dans LR est un isomorAinsi l’application  → (S) de Zpar

R phisme: en effet, (S) ∈ L
d’après les lemmes 2.17 et 2.18, l’application est injective car comme S et T engendrent SL(2, Z), la donnée de (S) détermine  ∈ 1 (SL(2, Z), M , T ), et elle est surjective car pour  ∈ LR , on définit un cocycle Zpar

1  ∈ Zpar (SL(2, Z), M
, T ) par (S) =  et (T ) = 0. D’après l’isomorphisme entre L
et S1± (
) et le lemme 2.17, on en déduit que l’application (f1 , f2 )  −→ [f1 ,f2 ] est un isomorphisme de S1 (
) × S1 (
) dans 1 (SL(2, Z), M ), ce qui démontre le théorème 0.13.  Hpar


3. Examen des groupes arithmétiques 3.1. Action des opérateurs de Hecke On suppose ici que
=
1 (N ), pour  N un entier
1. Pour n
1, on pose Mn,N = { ac db ∈ M(2, Z)n , N |c et N |(a − 1)}. On a
1 (N ) Mn,N = Mn,N
1 (N ) = Mn,N . L’ensemble
1 (N )\M    n,N est fini, et le n-ième opérateur de Hecke Tn sur S1 (
1 (N )) est défini par Tn f = ∈
1 (N)\Mn,N f| . Pour  = ac db ∈  d −b  "
= (det )−1 . On notera M  = −c M(2, Z)+ , on définit " n,N l’ensemble des  a pour  ∈ Mn,N . Soit EN l’ensemble des éléments de (Z/N Z)2 d’ordre N (l’ensemble des (u, v) ∈    (Z/NZ)2 vérifiant (u, v, N ) = 1). L’application ac db  → (c, d) définit une bijection N entre
1 (N ) \ SL(2, Z) et EN . On identifiera un élément
1 (N )g de
1 (N ) \ SL(2, Z) EN . L’ensemble −1 (EN ) ∩ M(2, Z)n (l’ensemble des à son image  a b N (
1 (N )g) ∈ + matrices c d de M(2, Z) de déterminant n vérifiant (c, d, N ) = 1) est égal à
M n,N SL(2, Z). On utilise le résultat suivant [21, lemme 1, p. 77]):
SL(2, Z) dans SL(2, Z), telle que pour Lemme 3.1. Soit n une application de M a b  a b  n,N
tout c d ∈ Mn,N SL(2, Z), N (n ( c d )) = (c, d) ∈ EN .
(1) Pour  ∈ M n,N SL(2, Z) et pour g ∈ SL(2, Z), on a
1 (N )n (g) =
1 (N )n ()g;
(2) pour tout  ∈ M  ∈ Mn,N ; n,N SL(2, Z), n ()"

(N )\Mn,N −→ M n,N SL(2, Z)/SL(2, Z) (3) l’application n,N : 1 est bijective. "
1 (N )  −→ SL(2, Z) Ainsi, pour f ∈ S1 (
1 (N )) et M ∈ M(2, Z)n , on définit M.f par ⎧ ⎪ ⎨

1

(det M) 2 "
1 (N )n (gM)) si gM ∈ M
M.f (z,
g) =  (Mz, n,N SL(2, Z) , " z) f j ( M, ⎪ ⎩
M.f (z,
g) = 0 si gM ∈ /M n,N SL(2, Z).  , donnée dans l’introduction. Cette expression traduit sur f la définition de M. f

436

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Théorème 0.14. Soit (Cn ). On a la formule

 M

uM M un élément de C[M(2, Z)n ] vérifiant la condition = Tn  f



. uM M. f

M

Démonstration. Posons A(z,
1 (N )g)=



uM M.f (z,
1 (N )g) pour g tel que N (g)

M


= (u, v), la somme étant restreinte aux matrices M telles que gM ∈ M n,N SL(2, Z).
Soit R un ensemble de représentants de g −1 M Z)/SL(2, Z). Pour r ∈ R n,N SL(2, √  i∞ f|n (gM) (
) n d
. On et M ∈ rSL(2, Z), on a (2i)M.f (z,
1 (N )g) = " −
" z) 0 Mz j (M, " z) = nj (M −1 , z) et j (M, M −1 z)j (M −1 , z) = 1, et, d’après le lemme 3.1, a j (M, " rM 1 n (gM) = n (grr −1 M) = n (gr)r −1 M = n (gr) · De plus, la matrice I agit n n trivialement, donc on obtient (en posant u = M
)  i∞ f|n (gr)"rM (
) 1 d
(2i)M.f (z,
1 (N )g) = √ j (M, M −1 z) " −
n Mz 0  i∞ j (M,
)−1 f|n (gr)"r (M
) −1 d
= j (M, M z) " −
Mz 0  M∞ f|n (gr)"r (u) du = z−u M0 (car (z − u)j (M, M −1 z) = n(M −1 z − M −1 u)j (M −1 , u)). On en déduit: (2i)A(z,
1 (N )g) =







r∈R M∈rSL(2,Z)

Comme



M∞

uM

f|n (gr)"r (
)

M0

z−


d
.

uM [M] vérifie la condition (Cn ), on a

M

(2i)A(z,
1 (N )g) =

 r∈R 0

i∞

f|n (gr)"r (
) z−


d
.

Lemme 3.2. L’ensemble {n (gr)" r" g }r∈R est un ensemble de représentants de
1 (N )\Mn,N . Démonstration. D’après la propriété 2 du lemme 3.1, n (gr)" r" g ∈ Mn,N , puisque  dans R, c’est-à-dire grSL(2, Z)  = gr  SL(2, Z).
gr ∈ M SL(2, Z). Soit r  = r n,N

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437

" r" g et  = n (gr  )" r " g . Or  Posons  = n (gr)" n (gr) ∈ SL(2, Z), donc SL(2, Z) =  "  grSL(2, Z)  =  SL(2, Z) = gr SL(2, Z). D’après la propriété 3 du lemme 3.1, on r" g }r∈R forme un en déduit que
1 (N )  =
1 (N ) , donc que l’ensemble {n (gr)" ensemble d’éléments distincts, donc un ensemble de représentants, de
1 (N )\Mn,N .  En utilisant ce lemme, comme " g g = I , on trouve que 1 A(z,
1 (N )g) = 2i 1 = 2i



 ∈
1 (N)\Mn,N

⎛



i∞

⎝

0

ce qui démontre le théorème.

i∞ 0

f|g (
) d
z−




∈
1 (N)\Mn,N

⎞ f| ⎠ (
) |g

d
= Tn f (z,
1 (N )g) z−




  Remarques 3.3. La somme Xn des matrices ac db ∈ M(2, Z)n telles que a > b
0 et d > c
0 vérifie la condition (Cn ) (voir prop. 20 p.87 de [21]). En particulier, pour  tout n
0 on a Tn f = M∈Xn M.f .  pour f ∈ (2) Il est probable que le théorème 0.14 se généralise aux périodes  f M1 (
). On peut aussi étudier l’action des opérateurs de Hecke sur les deux fonctions + f et − f , définies au chapitre 1.2 sur C\] − ∞, 0[×
\SL(2, Z) et C\]0, +∞[×
\SL(2, Z). Pour cela, définissons les fonctions ε1 (resp. ε2 ): M(2, Z)+ → {+, −} par: 

ε1 (M) = + (resp. ε2 (M) = +) si M ∈ K2 ∪ K3 (resp. si M ∈ K2 ∪ K4 ), ε1 (M) = − (resp. ε2 (M) = −) si M ∈ K1 ∪ K4 (resp. si M ∈ K1 ∪ K3 ),

où K1 , K2 , K3 et K4 sont les ensembles définis dans la démonstration de la proposition 1.2, p. 410. On obtient  Théorème 3.4. Soit M uM M ∈ C[M(2, Z)n ] vérifiant la condition (Cn ). On a les     ε (M) ε2 (M) ( ( + − et Tn  . formules Tn f = M uM M.f1 M uM M.f f = Démonstration. On utilise la démonstration du théorème 0.14 et le même raisonnement que dans la démonstration du théorème 1.4. On introduit les fonctions ε1 et ε2 car les  i∞ f|g (
) intégrales d
dépendent du chemin d’intégration si Mz ∈ H. Ces inté0 Mz −
grales peuvent prendre des valeurs différentes, selon la classe d’homotopie du chemin de 0 à i∞ choisi. 

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3.2. Fonctions L SL(2, Z). On pose On suppose désormais  +∞
=
1 (N ). Soient f ∈ S 1 (
1 (N )) et 2ig∈ nz , on a  (f, s) = N (f|g , s) = N s/2 0 f|g (it)t s−1 dt. Si f (z) = ∞ a (f )e N n=1 n ∞ a (f )  n −s s/2 . La fonction s  → N (f, s) se proN (2)
(s)L(f, s), où L(f, s) = s n=1 n longe holomorphiquement sur le plan complexe. 3.2.1. Démonstration de la proposition 0.16. On va montrer ici la Proposition 0.16. Une forme f ∈ S1 (
1 (N )) est déterminée par l’ensemble des N (f|g , n) pour tout
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z) et tout entier n négatif ou nul. Démonstration. Supposons que N (f|g , −n)=0 pour tout n
0 et pour tout
1 (N )g∈
1 (N )\SL(2, Z), et montrons que f = 0. Pour cela, il suffit d’après le théorème 0.6 de f|g (
) f|g (
) montrer que f = 0. Pour tout l > 0 on a limx→0 = limx→i∞ =0 (x −
)l (x −
)l puisque la forme parabolique f|g est exponentiellement décroissante aux pointes. Pour
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z), la fonction x  −→ f (x,
1 (N )g) est de classe C ∞ sur  (−1)k k! i∞ f|g (
) (k) d
. En R. En la dérivant, on obtient (f ) (x,
1 (N )g) = k+1 2i 0 (x −
) particulier, on a (f )(k) (0,
1 (N )g) = −

k! 2i



i∞f

|g (
)
k+1

0

d
= −

k! 2i



i √ N

−k

N (f|g , −k).

(18)

Lemme 3.5. Soit n
0, et
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z). On a la formule: (f )(n) (x,
1 (N )g) = (f )(n) (x + 1,
1 (N )gT −1 ) +

n 

(−1)(n−k)

k=0

n!2 k!2 (n − k)!

 (f ×

)(k)

  1 0 1 1− ,
1 (N )g −1 1 x+1 · (x + 1)(n+k+1)

  1 1 Démonstration. Posons h = et l(x) =  1− ,
1 (N )h . La x+1 f x+1 fonction f vérifie (f )(n) (x,
1 (N )g) = (f )(n) (x + 1,
1 (N )gT −1 ) + l (n) (x). On calcule par récurrence l’expression de l (n) (x).  gT −1 ,

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439

En utilisant ce lemme et en passant à la limite quand x → 0, on obtient (f )(n) (1,
1 (N )gT −1 ) = (f )(n) (0,
1 (N )g) −

n 

(−1)(n−k)

k=0

×

n!2 k!2 (n − k)!

(f )(k) (0,
1 (N )gT −1 ).

(19)

C\]−∞,0[

, définie dans la Section 1.2. Cette formule se généralise à la fonction + f ∈ L
Par hypothèse, N (f|g , −n) = 0 pour tout n
0 et tout
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z), donc, d’après l’équation (18), (f )(n) (0,
1 (N )g) = 0 pour tout n
0 et tout
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z). L’équation ci-dessus montre que (f )(n) (1,
1 (N )g) = 0 pour tout
1 (N )g ∈
1 (N )\SL(2, Z). Or la fonction z  −→ + f (z,
1 (N )g) est une fonction holomorphe sur C\] − ∞, 0]. Toutes ses dérivées s’annulant en 1, on en déduit que + + f = 0. La correspondance f  → f étant injective d’après le théorème 0.6, cela entraîne f = 0, ce qui démontre la proposition 0.16.  Appendice. quelques propriétés de Z[SL(2, Z)] Soit  le morphisme de Z[SL(2, Z)]-modules à gauche défini par:  : Z[SL(2, Z)] −→  Z[P1 (Q)]  uM [M]  −→ uM ([M∞] − [M0]). M

M

Notons + la restriction de  à Z[SL(2, Z)+ ]. + Proposition A.1. Le noyau de + est un idéal  à gauche de  Z[SL(2, Z) ] principal  dont l’unique générateur (au signe près) est [I ] − [T ] − [T ] .

Démonstration. Le noyau de + est un idéal à gauche de Z[SL(2, Z)+ ], et on a + ([I ] − [T ] − [T  ]) = [∞] − [0] − [∞] + [1] − [1] + [0] = 0.  On en déduit que + ] [I ] − [T ] − [T  ] ⊂ ker + . Z[SL(2, Z) ([I ] − [T ] − [T  ]) ∈ ker + , donc  . Soit J = Réciproquement, soit W =  uM M un élément non nul de ker +  Z[SL(2, Z)+ ] [I ] − [T ] − [T  ] . On note L(W ) l’union des supports de
 uM [M∞]


 et de uM [M0], L(W ) = max ∈L(W ) ( + ), et on définit m(W ) =

∈ L(W ) |   )



+  = L(W )

(où on suppose ( , ) = 1). On procède à une double récurrence sur L(W ) et m(W ).

Soit un élément de L(W ) tel que +  = L(W ). On suppose que L(W )
2  (c’est-à-dire
1 et 
1). Soient  et  deux entiers vérifiant  −  = 1, tels

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que 0   et 0   . Alors les matrices de SL(2, Z) vérifiant M∞ = sont de    +k

+ la forme ±  +k  , k ∈ Z, donc celles qui appartiennent à SL(2, Z) sont de la   =0 = +k

forme  +k  , k
0 (car les égalités {  = ou {  = 0 ne peuvent être simultanément

satisfaites). On en déduit que pour tout k > 0, on a  +  + k( + ) > + . Comme

par hypothèse, +  = L(W ), la seule matrice M vérifiant uM  = 0 et M∞ =    est M1 =   . Le même raisonnement montre que toutes les matrices de SL(2, Z)  



vérifiant M0 = sont de la forme ± kk − −  , k ∈ Z, et donc la seule matrice M de   



SL(2, Z)+ vérifiant uM  = 0 et M0 = est M2 =  − −  (puisque +  = L(W )). 

On en déduit uM1 = uM2 , car W ∈ ker + (le coefficient de pour + (W )      

−   et M = dans Z[P1 (Q)] étant uM1 − uM2 = 0). Or M1 = − T 2 −  T . −     + Notons M = − −  , M appartient à SL(2, Z) , et on a uM1 [M1 ] + uM2 [M2 ] =     uM1 [MT  ] + [MT ] ≡ uM1 [M] mod J car uM1 [M] [I ] − [T ] − [T  ] ∈ J . Ainsi, si on définit W  = W − uM1 ([M1 ] + [M2 ]) + uM1 [M], on a W  ≡ W [J ] et L(W  )L(W ), et si L(W  ) = L(W ) alors m(W  ) < m(W ), car 0 < ( − ) + ( − ) <

+  et 0 <  +  < + . Cela montre, par une double récurrence suivant L(W ) et m(W ) que W ≡ W  modulo J , où L(W  ) 1. Dans ce cas, la seule matrice M de SL(2, Z)+ pour laquelle on peut avoir uM  = 0 est I. La condition W ∈ ker + (donc W  ∈ ker + ) impose alors uI = 0 (par exemple pour le coefficient de 0 dans + (W  )), ce qui montre que W ≡ 0[J ], donc W ∈ J . Pour montrer que ([I ] − [T ] − [T  ]) est l’unique générateur de ker + , on remarque que si A et B appartiennent à SL(2, Z)+ , on a L([A]) L([AB]) avec égalité si et seulement B = I . Comme I est la seule matrice M de SL(2, Z)+ vérifiant L([M]) = 1 et que T et T  sont les seules matrices de SL(2, Z)+ vérifiant L([M]) = 2, on en déduit que les générateurs de ker + ne doivent être composées que des matrices I, T et T  (pour que l’élément ([I ] − [T ] − [T  ]) soit atteint). Comme ils appartiennent à ker(+ ), il faut que uT = uT  = −uI et pour être générateur il faut que uI soit inversible dans Z, donc uI = ±1, ce qui montre la proposition.  On note − la restriction de  à Z[SL(2, Z)− ]. − Corollaire A.2. Le noyau de − est un idéal   à gauche de Z[SL(2, Z) ] principal dont −1 −1 le générateur est ± [I ] − [T ] − [T ] .

Démonstration. Soit  l’involution Z)]  Z[SL(2,  a −b  donnée par (W )=V W V . On a  de V SL(2, Z)+ V =SL(2, Z)− , car V ac db V = −c d . On en déduit que (Z[SL(2, + − Z) ])=Z[SL(2, Z) ]. De plus, (V W V ) = (−I )(W ), pour tout W ∈ Z[SL(2, Z)], donc ker(− ) = V ker(+ )V . D’après la proposition A.1, on a ker(− ) = Z[SL(2, Z)− ] ([I ] − [T −1 ] − [T −1 ]) car (T ) = T −1 et (T  ) = T −1 . 

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Proposition A.3. On a   ker  = Z[SL(2, Z)] [I ] − [T ] − [T  ] + Z[SL(2, Z)] ([I ] + [S]) . Démonstration. On a vu dans la démonstration de la proposition A.1 que ([I ] − [T ] − [T  ]) ∈ ker . De plus, ([I ]+[S]) = [∞]−[0]+[0]−[∞] = 0, donc ([I ]+[S]) ∈ ker . Le noyau  de  étant un idéal à gauche de Z[SL(2, Z)], on a Z[SL(2, Z)] ([I ] − [T ] −[T  ] + Z[SL(2, Z)] ([I ] + [S]) ⊂ ker .   Notons J l’idéal Z[SL(2, Z)] [I ] − [T ] − [T ] + Z[SL(2, Z)] ([I ] + [S]) . Soit W = uM M  = 0 ∈ ker . On utilise le résultat suivant: Lemme A.4. Soit M une matrice de SL(2, Z). L’une des quatre matrices M, −M, MS et −MS appartient soit à SL(2, Z)+ , soit à SL(2, Z)− . Soit M un élément du support de W. Modulo J , on a [M] ≡ −[MS] (car [M] + [MS] ∈ J ), M ≡ [−M] (car [M] − [−M] = [M]([I ] − [S])([I ] + [S]) appartient à J ), et donc [M] ≡ −[−MS]. Le lemme précédent nous montre alors que pour tout M ∈ SL(2, Z), on a uM [M] ≡ ±uM [M  ] modulo J , où M  appartient soit à SL(2, Z)+ , soit à SL(2, Z)− . Ainsi, quitte à rajouter un élément de J , on peut supposer que le support de W est contenu dans SL(2, Z)+ ∪ SL(2, Z)− . Décomposons alors W: W = W + + W − , où W ± ∈ Z[SL(2, Z)± ]. Les éléments de P1 (Q) pouvant appartenir à la fois au support de (W + ) et de (W − ) sont [0] et [∞] (puisque le support de (W + ) est contenu dans l’ensemble des éléments positifs de P1 (Q), tandis que celui de (W − ) est contenu dans l’ensemble des éléments négatifs de P1 (Q)). Or (W ) = 0, d’où (W + ) = a[∞] + b[0], et (W − ) = −a[∞] − b[0], où (a, b) ∈ Z2 . On en déduit b = −a, car (W + ) est de degré 0. Ainsi, W = (W + − a[I ]) + (W − + a[I ]), où W + − a[I ] ∈ Z[SL(2, Z)+ ] est un élément de ker(+ ), et W − +a[I ] ∈ Z[SL(2, Z)− ] est un élément de ker(− ). En utilisant  la proposition A.1 et son corollaire, on obtient que W appartient à Z[SL(2, Z)+ ] [I ] − [T ] − [T  ] +   Z[SL(2, Z)− ] [I ] − [T −1 ] − [T −1 ] . Or ([I ] − [T −1 ] − [T −1]) = (−[−S]([I ] − [T] − [T  ]))([I ] − ([I ] + [S])) ∈ J . On en déduit que Z[SL(2, Z)− ] [I ] − [T −1 ] − [T −1 ] ⊂ J , donc que W est congru modulo J à un élément de J , d’où W ∈ J .  References [2] D. Blasius, D. Ramakrishnan, Maass forms and Galois representations, in: Galois Groups Over Q, Berkeley, CA, 1987, Springer, New York, 1989, pp. 33–77. [3] D. Bump, Automorphic Forms and Representations, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. [4] Y. Choie, D. Zagier, Rational period functions for PSL(2, Z), in: A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, American Mathematical Society, Providence, RI, 1993, pp. 89–108. [6] P. Deligne, J.-P. Serre, Formes modulaires de poids 1, Ann. Sci. École Norm. Sup. 7 (4) (1975) 507–530.

442

F. Martin / Journal of Number Theory 116 (2006) 399 – 442

[7] F. Diamond, J. Im, Modular forms and modular curves, in: Seminar on Fermat’s Last Theorem, Toronto, 1993–1994, American Mathematical Society, Providence, RI, 1995, pp. 39–133. [10] S. Gelbart, An elementary introduction to the Langlands program, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 10 (2) (1984) 177–219. [11] K. Haberland, Perioden von Modulformen einer Variabler and Gruppencohomologie. I, Math. Nachr. 112 (1983) 245–282. [12] G. Henniart, Formes de Maass et représentations galoisiennes (d’après Blasius, Clozel, Harris, Ramakrishnan et Taylor). 277–302. Séminaire Bourbaki, vol. 1988/89, 1989, pp. 177–178. [13] H. Iwaniec, Topics in Classical Automorphic Forms, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. [14] N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, second ed., Springer, New York, 1993. [15] W. Kohnen, D. Zagier, Modular forms with rational periods, in: Modular Forms (Durham, 1983), Horwood, Chichester, 1984, pp. 197–249. [16] S. Lang, Introduction to Modular Forms, Springer, Berlin, 1976. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, No. 222). [17] J.B. Lewis, Spaces of holomorphic functions equivalent to the even Maass cusp forms, Invent. Math. 127 (2) (1997) 271–306. [18] J.B. Lewis, D. Zagier, Period functions for Maass wave forms. I, Ann. of Math. (2) 153 (1) (2001) 191–258. [19] J. Manin, Parabolic points and zeta functions of modular curves, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972) 19–66. [20] J. Manin, Periods of cusp forms, and p-adic Hecke series, Mat. Sb. (N.S.) 92 (134) (1973) 378–401 503. [21] L. Merel, Universal Fourier expansions of modular forms, in: On Artin’s Conjecture for Odd 2-Dimensional Representations, Springer, Berlin, 1994, pp. 59–94. [22] T. Miyake, Modular Forms, Springer, Berlin, 1989. [23] B. Schoeneberg, Elliptic Modular Functions: An Introduction, Springer, New York, 1974. [24] J.-P. Serre, Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France, Paris, 1970. [25] J.-P. Serre, Modular forms of weight one and Galois representations, in: Algebraic Number Fields: L-Functions and Galois Properties, Proceedings of the Symposium of University of Durham, Durham, 1975, Academic Press, London, 1977, pp. 193–268. [27] V.V. Shokurov, Shimura integrals of cusp forms, Math. USSR Isvestija 16 (1981) 603–646. [30] D. Zagier, Periods of modular forms and Jacobi theta functions, Invent. Math. 104 (3) (1991) 449–465.