Proprietes et utilisation du mecanisme de Bennett

Mechanism andMachine Theor) Vol. 20. N o 3, pp. 189-197, 1985 Primed in the U.S.A.

0094-114X/8.~ $3.00 + .00 ¢ 1985 Pergamon Press L l d

PROPRIETES ET UTILISATION DU MECANISME DE BENNETT M. D A H A N , * C. D A L H A ~ : and C. L E X C E L L E N T § Laboratoire de M~.canique Appliqu~e, Facult6 des Sciences et des Techniques, Route de Gray. La Bouioie, 25030 Besancon, France R~sum~--Nous donnons les principales propri~t~s du m~canisme de Bennett el nous montrons qu'il existe deux m#,canismes diff~rents ayant m~mes Iongueurs de barres. Nous le complt~tons ensuite par radjonction de deux barres pour une utilisation industrielle. La deuxieme pattie de I'article esl la presentation d'une m~thode de synthese qui permet d'obtenir le m~,canisme correspondant a la g~n~ration d'une trajectoire impos~e. Un exemple d'application est propos~ et expliqu~ en d~tail. 1. INTRODUCTION

o~ 02 et 03 sont respectivement les angles aigus que fait le plan (OO1 fl) avec les plans (O 12 A) et (OO~ Le m~canisme qui fait l'objet de cette ~tude est un A) suivant less notations de la Fig. !. Bricard[2] et m~canisme spatial ~ quatre barres d~couvert par Myard[3] ont montr~ que ie m~canisme de Bennett Bennett en 190311]. Curieusement, son inventeur ne pouvait ~tre d~riv~ d'un tore aplati en utilisant les donnant aucune explication sur la fa~on dont il avait cercles de Villarceau qui repr~sentent l'intersection ~t~ isol~, il a fallu attendre attendre les travaux de d'un plan bitangent avec ie tore. Bricard[2] et de Myard[3] pour montrer qu'il pouNous rappelons qu'un tore aplati est une surface vait ~tre d~fiv~ d'un tore et, plus r~cemment, ia de r~volution engendr~e par un cercle (c) dont le publication de Ho[4] pour avoir une d~monstration plan (~rc) ne contient pas forc~ment l'axe de r~voanalytique de son existence. lution (Oz) mais contient toutefois le centre du tore Piusieurs autres ~tudes ont ~t~ consacr~es ~ ce O (cf. Fig. 2). mgcanisme et l'on pourrait citer notamment celle Dans cette figure, le tore est repr~sent~ par les de Baker[5] qui met fin ~ la discussion sur son ~quadeux cercles limites (cl) et (c2) clans le plan normal tion d'entrge-sortie et celle de Goldberg[6] qui (Oz) passant par O et par ta trajectoire rE) du l'utilise pour engendrer des m~canisme ~ cinq et six centre (12) du cercle (c). Quant au cercle (c) luibarres. m~me, il est repr~sent~ ~ un instant quelconque Cependant, aucune application industrielle du m~canisme de Bennett n'a ~t~ d~velopp~e. C'est ce clans son mouvement autour de I'axe ~Oz). II existe deux plans bitangents au tore et. par que nous nous proposons de faire en le compl~tant consequent, deux cercles de Villarceau sym~par un ensemble de deux barres li~es rigidement triques par rapport au plan horizontal. Sur la Fig. 2, la bielle pour le transformer en un manipulateur nous avons repr~sent~ un de ces cercles (V), de un degr~ de libertY. centre Oj, coupant le cercle (c) au point A. On obDarts une premiere pattie, nous rappelons ses tient alors une configuration du m~canisme de Benprincipales propri(:t~s et nous montrons qu'il existe nett par la chaine ferm~e de sommets O, 0~, A, f2 deux m6canismes diff~rents d~finis ~ partir d'un dont les directions des rotoi'des sont donn~es sur la m6me tore. figure. L'angle 0~.est l'angle entre le plan horizontal Ensuite, nous ~tudions le m~canisme compl~t~ et le plan (~r,) contenant le cercle ~c). et nous pr~sentons une m~thode de synth~se qui C'est de cette propri~t~ que d~coule I'existence permet, quand cela est possible, de d~terminer ses d'un deuxi~me m~canisme de Bennett d~fini par les param~tres pour engendrer une trajectoire impos~e. m6mes longueurs R et r des segments OO~ et Of~. En effet, ~tant donn~ le tore aplati de la figure pr62. PROPRIETES DU MECANISME DE BENNETT c6dente, on voit facilement qu'il peut 6tre engendr~ Appel~ aussi isogramme, le m~canisme de Ben- par un cercle (c'), 6gal ~ (c), situ~ clans le plan synett est one chaine ferm~e (OO~ A 12 0) compos~e m6trique au plan (~c) par rapport au plan m6ridien de quatre barres deux ~ deux ~,gales, de longueurs (O~., Ofl). L'angle de ce plan avec le plan horizontal R et r, li~es par quatre liaisons rotoides. Son est 6gal ~ (~r - 02) et v6rifie 1'6quation I 1). Le cercle existence repose sur la propri~t~ g6om6trique sui- de Villarceau (V) coupe (c') au point A' (Fig. 3) et d6finit un deuxi6me m~canisme (OO~ .4' 12) que vante[l]: R/r = sin 0:/sin 03 (1) nous appelons m6canisme de Bennett suppl~mentaire. Darts le cas du tore classique, d6termin~ par un cercle dont le plan contient l'axe de r(~volution * Charg~ de Recherche C.N.R.S. (02 = ~r/2), les deux m6canismes sont confondus. ~: Docteur 3~me Cycle. Au point de vue cin~matique, le m6canisme de § Assistant, Docteur-lng~nieur. 189

190

M . DAHAN e l al.

Bennett peut 6tre considere c o m m e un joint de transmission ayant la relation d'entree-sortie suivante:

Z1

tg 04/2 = •

cos

~

cos

_

(2)

Yl

si l'on note 0t l'angle de commande du m6canisme et 04 I'angle r~sultant (Fig. l). N'~tant pas homocin6tique, on montre qu'il est possible de cr6er l'homocin~tie par l'adjonction

Xl

Fig. 1. M~canisme de Bennett.

i

,..- /--:>7>,, ,

/

J

/I

.

,

. tg 0~,'2,

-~,

.~

... ,

~,, ,

,,

v

Fig. 2. G~neration du mecanisme a partir du tore.

#

x, . . < _ - / - - ~

" -"\

/i

Fig. 3, Les deu× m~canismes de Bennett.

I

191

Mecanisme de Bennett d'un deuxi~me isogramme identique. On obtient ce que nous avons appel~ un double joint de Bennett form~ de six banes. Ce double joint peut assurer des fonctions cin6matiques similaires ~ celles de deux engrenages coniques ou rectangulaires ou celles d'une vis sans fin darts des conditions particuli~res. 3. LE MECANISME COMPLETE Pour augmenter les possibilit6s du rn6canisrne, on prolonge de fa~on rigide la bielle Oi A d'une longueur h suivant A B e t d'une longueur ~ darts une direction perpendiculaire rep~r~e par I'angle 0~. En ce qui concerne le point M, plac~/~ l'extr~mit~ de la bielle, les variations de ses coordonn~es dans le rep~re (O.~, 9~, ~t), li~ au rn6canisrne et d~fini dans la Fig. 1, sont donn~es par les expressions suivantes en fonction des differents param~tres: x~ = r S , S :

+ X {S~S2C4 -

+ y. {C~ ( C ~ $ 2 S 3 -

S , ( C , S ~ C 3 + C:$3)} C:C~.) + S , ( S , S , . S ,

\\ Fig. 5. Choi× des angles d'Euler. Fig. 5. Les coordonn~es du point M darts ce nouveau rep~re se d6duisent facilernent des expressions (3) et des valeurs des angles d'Euler suivant des relations bien connues de changernent de rep~re s: x = (C6Cs -

C 4 [ C ~ S : C ~ + C:S3])}

-

- (S6Cs + S 6 C T C s ) y t

y~ = rC] + h { ( C ~ C ~ + S ~ C ~ S ~ )

"+ ~ { - S I S 3 C 5

y = (S6Cs -

C~S,.C3)}

+ ~ {C5 (CIC2S3 + 5263) S.~ ( S ~ C : S ~ -

C~ [$2S.~ -

C~C~.C3])}

(3) avec les notations: Si = sin 0,

i = ! h 5.

(4)

Ci = cos 0,

II est maintenant n6cessaire de rep~rer le m~canisrne par rapport :~ un rep~re fixe (O, ~..~..~). Pour cela, il faut d(.'terrniner les angles d'Euler du repere (O, .~, ~ , ~1) par rapport au rep~re (O..~, ~, ~). Nous les avons not6s 06, 0~, Os en accord avec la

M

Xl

Fig. 4. M6canisme complete.

Z :

+ $6S7zl,

(5)

C6C~Ss)xt

- (S6Ss - C 6 C T C s ) y l

+ S5(S1C3C4 -- CIS4)}

= rS~C2 + h {S~C,_C~ + $ 4 ( C 2 S 3 -

-

S6CTSs)x~

-

C6S~zl.

S7S8xl + $7C8yl -4- 677. I .

En conclusion, le m6canisme tel que nous l'avons d6fini n6cessite la connaissance de neuf param~tres Pi (i = 1 h 9) qui sont respectivernent les trois Iongueurs r, h, It, les trois angles 02, 03, 05 et les angles d'Euler 06, 07, 0s. Nous pr6sentons, dans la Fig. 6, ~ titre d'exempie, l'influence du parametre P4 = 0,. sur l'alture des trajectoires possibles du point M obtenues partir du m(~canisrne complete. Les valeurs des angles d'Euler ne sont pas mentionn6es car elles ne modifient pas la trajectoire du point M, elles permettent simplement une rotation d'ensernble du m6canisme dans l'espace. 4. LA METHODE DE SYNTHESE

Des relations (3) et (5) nous d6duisons les ~quations pararn~triques de la trajectoire du point M darts le rep~re fixe. Nous pouvons les ~crire sous la forrne suivante: x = FI (PI, P : . . . . .

Pg, 0j)

3' = F2 (PI, P: . . . . .

P9, 01)

z = F3 (Pi, P~ . . . . .

Pg, 01)

o~ les quantit~s Pi (i -- 1 ~t 9) repr~sentent, que nous venons de ie dire, ies pararn~tres rn~triques du rn~canisrne de Bennett. Ces rn~tres restent constants pendant I'~volution variable d'entr~e 6j.

(6)

ainsi g~oparade la

192

M. D a H ~ et al. 020305 z1

--9C[45'&0'

k

la

r

5

6

1

~ °~ ~

/./'

/

.~/

"',,

t

...¢z

Yl

.,~

.¢t

!

/

S,'~

i

,

I

i

°

:

:

! X1

~ XI

\.

~°°~°

T

-r Fig. 6. Exemples de trajectoires.

La m~thode de synth~se consiste, a partir d ' u n e trajectoire donn~e, a d~terminer les param~tres P, du m~canisme engendrant cette trajectoire quand cela est possible. Elle est fondee sur le processus it~ratif de N e w t o n pour la r6solution d ' u n syst~me d'~quations n o n lin6aires. On c o m m e n c e par choisir n points de coordonn~es ( x j , ) ) . zu) sur la trajectoire imposee ( j = 1 n) c o r r e s p o n d a n t aux valeurs 0., ~ [0, 2v] de la variable d'entr~e. On obtient, h partir des ~quations (6), un syst~me homog~ne de 3n equations aux 9 i n c o n n u e s Pi:

fonctions F~ (P,. 01). k = 1. 3 en serie de Taylor autour du point IP°: i = 1, 9) voisin du point solution (Pi: i = 1. 9/. et en se limitant aux termes du premier ordre, on obtient 3n ~guations:

F , cp °. or) -

9

(po.

i= J

OP,

o) k=l,3

• (P]

-

P~,)

-

x~j

=

0,

(8)

j=l,n

en posant: x~ - F1 (Pi. 6,) -- 0. 35 - F,_ (P,. 0 ) = 0.

(7)

Zj - F3 (Pi. 0j) = 0. Pour le r~soudre, nous utiliserons la m~thode it~rative de N e w t o n . Cette m~thode consiste a lin~ariser les ~quations alg~briques (7) a u t o u r d ' u n point arbitraire (P~i: i = I, 9). En d~veloppant les

x~j = xj,

x.,j = 37.

x3j = zu.

(91

Le syst~:me (8) peut 5tre repr~sent~ sous la forme matricielle: A • 8P I = F avec les notations suivantes:

(10)

Mecanisme de Benneu

193

fonctions F~. Si le rapport:

• A est la matrice (3n, 9) des d~riv6es partielles des fonctions Fk par rapport aux param6tres P, d'616ment courant a,,j = a F k / a P j ( p 0 Or,) s i / a = 3(m - l)+k. • .Sp) est la matrice colonne (9. 1) d'~16ment 8P) = P ~ - P ~ i , i = 1,9. • .F est la matrice colonne (3n. 1) d'element F,, = F, (po, 0,.) - x,,,,. Le syst~me (7) est g~n~ralement surdimensionn6 (3n > 9) et n'admet donc pas de solution stricte car il n'est pas possible d'inverser la matrice rectangulaire A d'ordre (3n, 9). Pour d~terminer 8P. on utilise l'expression classique de la solution par ia pseudo-inverse:

R = ~

[Fj, (P), 0~) - x j "

x~s 02)

(11)

est inf~rieur h une certaine valeur ~, fixant la precision du calcul, le point solution Pi sera choisi tel que Pi = P] ; i = l, 9. Dans le cas oh le rapport est supgrieur ~ l'erreur c impos6e, le raisonnement est repris au niveau du syst~me (8) en consid6rant un dgveloppement en sgrie de Taylor autour du nouveau point P]. On obtient une nouvelle solution P~. On r~it/~re le calcul j u s q u ' a l'obtention du point solution approch6 P~ = P~ = p~,-1); i = l, 9 tel que R

o)) rA est la matrice transposee de A. Ayant obtenu 8P~.. on calcule les valeurs P~ = ~ + 8P T,des param~tres que I'on injecte dans les expressions des

Certains parambtres P~ gtant fortement non-lin6aires dans le syst~me (7), il a m v e paffois qu'a I'it~ration d'ordre m. on obtienne un 6/:)" relative-

8 P'

= [TA • A ] - '

• rA • F

l

~ lecture de (PI ' i=~,9)

i

J

I

/ " Lecture des coordonnees des / points impos~s de la trajectoire ,'xj,yj,zj, fj, j : l,n)

J

I

J

I ca!cJ! du ve:teurI

F (3n,i

I

icaIcul de la matrice A (2r,,9~

I

caIcu! par lpseud°'inversede

I ]

[_:P; ~ i : 1,9

l l)

i:i,9

oui

~ P 4 =

I <*

Pij-1

J

Fig. 7. Organigramme de la methode de synthEse.

194

M. DAHANet

al.

A f°ur

~A,~

/

-y

It

Fig. 8. Exemple d'une trajectoire.

merit important qui pourrait faire diverger la solution it~rative. On corrige ce d(ffaut de la m~thode par l'introduction d'un facteur r ~ 1 tel tlue, ~ l'it6ration (m + 1), on ne tienne plus compte de l'incr6ment 8P~ mais d'une quantit~ plus petite suivant la relation: 8 PI"

PI" = P~"-)' + - -

(13)

La valeur de ce r6ducteur, habituellement comprise entre 2 et 5. peut cependant varier au cours de la resolution du syst~me et d~pendre du rapport [ 8P~ I / [ P~'~- ~' 1. Afin de r~sumer la m~thode de synth~se, nous pr6sentons la suite des operations effectuer sous la forme d'un organigramme (Fig. 7). 5. UNE APPLICATION INDUSTRIELLE

Nous nous proposons d'assurer a l'aide du m~canisme de Bennett le transport d'une piece lors de son traitement thermique. Plus pr6cis~ment (Fig. 8), on veut transporter une piece d'un point A) et un point A: situ~ ~ l'int~rieur d'un four ~lectrique et. apr~s un temps donn~ correspondant ~ la dur6e de chauffe, l'amener en un point A3 d'un bac de refroidissement pour finalement la deposer en un point A4. II est ~vident que le mecanisme de Bennett tel que nous l'avons pr6sent~ ne peut remplir une t~che aussi complexe. Cependant, nous montrons que cela est possible simplement en iui donnant la possibilit~ d'un mouvement de translation d'ensemble command~, par exemple, par un v6rin hydraulique. Toutefois, la phase la plus importante du traitement thermique correspond au moment situ~ entre la chauffe et le refroidissement. Elle demande une

grande precision et doit se faire rapidement. C'est cette portion A: A3 de la trajectoire complete de la piece en traitement que nous engendrons par le m¢canisme de Bennett en faisant varier le param/:tre 0~. Pour cela, il est n~cessaire de d~finir un certain hombre de points sur la trajectoire Az A3. Nous nous limitons h deux points suppl(~mentaires A~ et A6 places h l'entrCe du four et du bac et tels que les portions A: A~ et A6 A3 soient rectilignes et situ¢es darts plans orthogonaux. Darts le cas oh le m¢canisme est plac¢ entre le four et te bac--ceci afin de diminuer les longueurs des barres--nous avons choisi pour les points A2, As, A6, A3 les coordonnCes regroupCes darts la Fig. 9. A partir du point initial prCvu par la mCthode de synth~se, choisi de fa~on arbitraire et d6fini dans la premiere ligne darts la Fig. 10, nous dCterminons les valeurs des param~tres Pi du m~canisme apr~s sept iterations (~ = 0.05). Elles sont donn~es dans la deuxi~me ligne de cette m6me figure. Nous avons pr~sent~ dans la Fig. 11 une perspective du mecanisme obtenu quand le param~tre d'entr~e a la valeur de 60 °. Darts la Fig. 12, les projections de la portion de trajectoire A2 A3 sont donn~es dans les trois plans de r6f~rence. Maintenant, pour r~aliser la trajectoire complete A~ A4, il est possible d'adjoindre au m~ca-

Point

x

y

z

el

A2

- 0.3

- 0.3

0.7

200 °

As

- 0.1

-0.3

0.8

300 °

A6

- 0.2

0.3

-0.3

70 °

A3

-0.2

0.3

-0.6

80 °

Fig. 9. Points impos~s.

Mecanisme de Bennett

e2

e3

e5

e6

e~

ee

90 °

45 ~

40 °

100 °

50 °

50 °

112°

37 ° - 1 0 6 ° i

10°

195

~,

~

r

2.00

3.00

5.0o

87 ° - 4 3 ° - 0 . 1 2

-0.25

0.57

R

0.88

Fig. 10. Valeurs des param~tres.

•

y

A3 ---X ;OA2 ~

Fig. 11. M~canisme propose.

' Fig. 12. Trajectoire A2 A3.

196

M. DAraA~et al. A2

//

ry

x

Fig. 13. D6finition des points A- et A~.

nisme de Bennett un second degr6 de libert6 Y qui peut ~tre une translation du m6canisme. Si la prise de pi6ce, au point A~, doit se faire suivant une direction privil~gi~e fi, on aura int6r6t a d~placer le b:~ti du Bennett suivant cette m~me direction (Fig. 13). On d(~terminera le point A7 plac~ sur la trajectoire A= A3 tel que A~ A7 soit parallele au vecteur ~. Ce point A7 correspondra ~ une valeur O~ ~A.-) du param~tre d'entr6e. Pour la pose de piece au point A4, le d~placement du b~ti se fait a partir d'un point As tel que A8 A4 soft parall~le ~/~ tune autre valeur 01 (As) correspond ~ ce point As). Les diff~rentes phases de d~placement de la pi/~ce sont pr~sent~es sch~matiquement dans la Fig.. 14. Elles se font par asservissement NON simultan6 des deux degr~s de commande et. dans ce cas particuller, sont au nombre de huff pour decrire un cycle complet. LEGENDE 16rec~tape: Yvarie de Y ( A I ) / i Y(0):0~ = 0~ (A7) 2~me ~tape: Y = Y (0): 01 varie de 01 (AT) h 01 (A:)

3~me 6tape: Y = Y(0):0t v a r i e d e 0 t ( A : ) / i 0 ~ (A3) 4eme ~tape: Y = Y ( 0 ) ; 0 ~ v a r i e d e 0 j t A 3 ) h 0 a tAs) 5~me etape: Y varie de Y (0) ~ Y (A4); 0~ = 0~ (As) 6~me 6tape: Y varie de Y (A4) ti Y (0): 0~ = 0~ (As} 7~me etape: Y = Y ( 0 ) : 0 j v a r i e d e 0 ~ ( A g ) a 0 ~ (A7) 8~me 6tape: Y varie de Y(0) ~ Y(A~): 0~ = 0~ (A,). L'~tude que nous avons pr~sent~e montre qu'il est possible d'obtenir un m~canisme d6rive du m~canisme de Bennett capable de r6aliser une trajectoire donn6e. La m6thode de synth~se fournit simplement ies param~tres g~om~triques du systeme pour un temps de calcul tr~s r6duit[7]. Pour justifier cette application industrielle, nous nous proposons de r~aliser un tel manipulateur et d'~tudier son comportement dynamique. REFERENCES

1. G. T. Bennett, A new mechanism. Engineering 76, 777-778 (1903).

I~rise ,

8

Fig. 14. Cycle de transport de la piece en traitement.

Mecanisme de Bennett 2. R. Bricard, D~monstrations 61~mentaires de propri6t~s fondamentales du tore. Nouvelles Annales de Mathdmatiques 3, 308-313 (1925). 3. F. E. Myard, Sur les chaines ferrules ~ quatre couples rotoides non concourrants, d6formables au premier degr~ de libert6--1sogramme torique. Comptes rendus de I'Acaddmie des Sciences de Paris 192, !194-1196 (1931). 4. C. Y. Ho, A note on the existence of Bennett mech-

197

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PROPERTIES AND UTILIZATION OF BENNE"VI"S MECHANISM Abstract--The aim of this paper is the study of a spatial 4-bar mechanism proposed by Bennett in 1903. After a rapid presentation of Bennett's mechanism and of its principal properties, we show that it is possible to realize two mechanisms with the same lengths of the bars but with different angles for the rotoid axis. Then we transform the mechanism into a manipulator. For this. we extend rigidly the crank with two bars in perpendicular directions. We show that it is possible to use the completed mechanism for the generation of a prescribed trajectory. In fact, we propose a synthesis method for determining the geometrical parameters of the mechanism when multiple points on the prescribed path are fixed. It is a method based on an iterative procedure for the solution of a non-linear equation system with the calculus of a pseudo-inverse rectangular matrix. A flow diagram summarizes the different steps for the identification and it is given in Fig. 7. An example is presented. It concerns the automation of the hardening of one piece with its introduction in an oven and its cooling in a tank. The numerical results are given in tables and curves.