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Un lemme de zéros modulaire
Journal of Number Theory NT2131 journal of number theory 66, 306313 (1997) article no. NT972131
Un lemme de zeros modulaire Georges Philibert Equipe de Theorie des Nombres, Universite de Saint-Etienne, 23, rue du Docteur Paul Michelon, 42023 St Etienne Cedex 2, France Communicated by M. Waldschidt Received November 7, 1996; revised November 22, 1996
1. INTRODUCTION La preuve de la conjecture de MahlerManin (voir [BDGP]) a immediatement pose la question d'une mesure de transcendance de J(q), pour q # Q , |q| # ]0, 1[ (J est le developpement de Fourier a l'infini de l'invariant modulaire). Il etait necessaire, pour cela, de disposer d'un lemme de zeros relatif a J : c'est l'objet de cet article. Le developpement de Fourier a l'infini de l'invariant modulaire j (voir [Lan1]) J(T )=
(1+240 n 1 n 3T n(1&T n )) 3 1 = +744+ : c(n) T n, T (> n 1 (1&T n )) 24 T n 1
serie de Laurent a coefficients entiers naturels, definit une fonction analytique sur le disque unite pointe [z # C; 0< |z| <1] de C. Nous allons prouver le lemme de zeros suivant: Theoreme 1. Soit P # C[X, Y ] un polyno^me non nul dont les degres partiels satisfont deg X P L 1
et
deg Y P L 2 ,
avec L 2 1. Alors l'ordre en 0 de la serie de Laurent F(T ) =P(T, J(T )) # C((T )) est majore par ord 0 F 9L 1 L 2 + 32 L 2 & 12 . Le resultat obtenu est de la forme que l'on espere dans ce genre de situation. Le principe de la demonstration est original. Dans une premiere partie, on associe, a un polyno^me P # C[X, Y ], un ``polyno^me modulaire'' Q; dans la seconde partie, on utilise les series de Puiseux pour conclure a la 306 0022-314X97 25.00 Copyright 1997 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
non-nullite d'un polyno^me construit par elimination a partir des polyno^mes P et Q. 1. NOTATIONS Les notions et les resultats qui suivent sont exposes notamment dans [Web] ou [Lan1]. Pour tout entier n 2, soit 2 * n l'ensemble 2*= n
a b # M2(Z); ad&bc=n, (a, b, c, d )=1 . c d
{\ +
=
Nous dirons que :, ; # 2 * n sont equivalentes, et nous le noterons :t;, s'il existe # # SL 2(Z) telle que :=# } ;. L'ensemble quotient de 2 n* par la relation d'equivalence t admet pour systeme de representants C(n)=
a
b
{\0 d + # M (Z); a 0, d 0, ad=n, 0 b
L'ensemble C(n) possede (n) elements, que nous noterons : 1 , ..., : (n) , ou (n)=n > p | n (1+(1p)), le produit portant sur tous les diviseurs premiers de n. On fait agir M + 2 (Z)=[# # M2(Z); det(#)>0] sur le demi-plan de Poincare H=[z # C; Imz>0] de la facon suivante: pour #=( ac bd ) # M+ 2 (Z) et pour { # H, #({)=(a{+b)(c{+d ). Nous noterons indifferemment # la matrice et la fonction de H dans H ainsi definie. Interessons-nous a present a des proprietes de l'invariant modulaire j. Rappelons que j et J sont lies par: j ({)=J(e 2i?{ ),
pour tout
{ # H.
La modularite de j se traduit par le fait que si :, ; # 2 * n et si :t;, alors j b :=j b ;. Soit # # SL 2(Z). Pour tout : # 2 *, n on a : . # # 2 *. n Pour k, l # [1, ..., (n)], si : k . #t: l . #, alors : k t: l et donc k=l. Ainsi, t t l'application : k [ : k . # est une permutation de l'ensemble quotient 2* nt de 2 * n par la relation d'equivalence t, et par consequent [ j b : 1 b #, ..., j b : (n) b #]=[ j b : 1 , ..., j b : (n) ]. Notons Kn =C( j, j b : 1 , ..., j b : (n) ). On fait agir a droite SL 2(Z) sur Kn : n Kn pour # # SL 2(Z), definissons . # : K f [ f b # . Nous venons de voir que . # induit une permutation de [ j b : 1 , ..., j b : (n) ]. De plus, . # est un morphisme du corps Kn tel que . #( j )=j. On prolonge . # de maniere naturelle en un morphisme de l'anneau Kn[X]. Dans toute la suite, nous utiliserons ces proprietes pour n=2.
File: 641J 213102 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3028 Signs: 1847 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
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GEORGES PHILIBERT
2. DEMONSTRATION DU THEOREME Soit P # C[X, Y ] un polyno^me non nul dont les degres partiels satisfont deg X P L 1 et deg Y P L 2 , avec L 2 1. Notons F(T)=P(T, J(T )) # C((T )). La serie F n'est pas nulle, car la serie J(T ) est transcendante sur C((T )) (voir [BDGP, lemme 4]). Traitons separement differents cas avant de conclure. 2.1. Si deg Y P=0 Dans ce cas, P(X, Y )=P 0(X ) # C[X ] et alors ord 0 F deg X P. 2.2. Si deg X P=0 Dans ce cas, P(X, Y)=P 1(Y ) # C[Y] et alors, comme ord 0 J=&1, on a ord 0 F=° Y P. 2.3. Si deg X P deg Y P{0 et si P est irreductible dans C[X, Y ] En nous inspirant de la methode de construction du polyno^me modulaire 8 2(X, Y ) (voir [Web] ou [Lan1]), nous allons construire a partir de P un polyno^me Q(X, Y ), dont nous ma@^ triserons les degres partiels, et que nous saurons lier a F. Puis en eliminant l'indeterminee Y entre P et Q gra^ce a un resultant, nous obtiendrons une majoration de ord 0 F. Nous allons travailler avec les notations du paragraphe 1, en choisissant n=2 (et alors (2)=3). (a)
Considerons le polyno^me de K2 [X ] 3
S(X)= ` P(X, j b : k ). k=1
Pour tout # # SL 2 (Z), on a . #(S)(X )=S(X ) car . # induit une permutation de [ j b : 1 , j b : 2 , j b : 3 ]. Les coefficients du polyno^me S sont donc invariants sous SL 2(Z), et ce sont des fonctions holomorphes sur H, et meromorphes a l'infini. On deduit donc de [Lan1, theoreme 2, p. 54, chapitre 5, paragraphe 2], que les coefficients de S sont des polyno^mes en j, c'est a dire qu'il existe un polyno^me Q # C[X, Y ] tel que S(X )=Q(X, j ).
File: 641J 213103 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2399 Signs: 1491 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
LEMME DE ZEROS MODULAIRE
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(b) Nous voulons a present majorer les degres partiels de Q en fonction de deg X P et deg Y P. Il est clair que deg X Q=3 deg X P. Interessons-nous a deg Y Q en etudiant la partie polaire preponderante des coefficients de S(X ) a l'infini. Notons deg X P
P(X, Y )= : p l (Y ) X l. l=0
Si :=( a0
b d
) # C(2), on a ad=2 et donc
j b :({)=j
\
a 2{+ab 2 2 =e &i?(a {+ab) +744+ : c(n) e i?n(a {+ab). 2 n 1
+
Pour 0 l deg X P, la fonction p l ( j b :) a donc une partie polaire pre2 ponderante en e &i?{a deg p l, et l'exposant de e &i?{ est a 2 deg Y P. Or nous avons [: 1 , : 2 , : 3 ]=[( 20 01 ), ( 10 02 ), ( 10 12 )]. Il s'ensuit que pour un coefficient de S, la partie polaire dominante a un exposant en e &i?{ au plus egal a (4+1+1) deg Y P=6 deg Y P. Puisque les coefficients de S s'expriment en realite en e 2i?{, la partie polaire dominante de S a un exposant en e &2i?{ au plus egal a 3 deg Y P. On en deduit deg Y Q 3 deg Y P. (c) Nous allons maintenant eliminer Y entre les polyno^mes P(X, Y ) 2 et Q(X 2, Y ). Pour cela, on les regarde comme des polyno^mes de C[X ][Y ] et on considere leur resultant (voir [Lan2, chapitre V, paragraphe 10]), R(X )=Res Y (P(X, Y ) 2, Q(X 2, Y )) # C[X ]. Il existe deux polyno^mes A et B # C[X, Y ] tels que: R(X )=A(X, Y ) P(X, Y) 2 +B(X, Y) Q(X 2, Y ), deg Y A(X, Y ) deg Y Q(X 2, Y )&1, deg Y B(X, Y ) deg Y P(X, Y ) 2 &1, deg R(X ) deg X Q(X 2, Y ) deg Y P(X, Y ) 2 +deg Y Q(X 2, Y ) deg X P(X, Y ) 2.
File: 641J 213104 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2421 Signs: 1304 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
(1)
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GEORGES PHILIBERT
On en deduit deg Y A(X, Y ) 3 deg Y P(X, Y )&1, deg Y B(X, Y ) 2 deg Y P(X, Y )&1, deg R(X ) 18 deg X P(X, Y ) deg Y P(X, Y). (d) Supposons dans un premier temps que R n'est pas le polyno^me nul, ce que nous prouverons au paragraphe e. On a: ord 0 A(T, J(T )) &3 deg Y P+1, ord 0 B(T, J(T )) &2 deg Y P+1, ord 0 R(T ) 18 deg X P deg Y P. Estimons ord 0 Q(T 2, J(T )). Tout z # C tel que 0< |z| <1 s'ecrit z=e 2i?{, avec { # H. On a Q(z 2, J(z))=P(z 2, J(z 2 )) g({) ou
\
g({)=P e 4i?{, j
{ 2
\ ++ \
P e 4i?{, j
{+1 2
\ ++ .
On remarque que pour tout { # H, on a g({+1)=g({); il existe donc une serie G(T ) # C((T)) definissant une fonction G analytique dans le disque unite pointe de C telle que g({)=G(e 2i?{ ) pour tout { # H. Etudions ord 0 G. Le terme principal du developpement de Laurent en e i?{ de P(e 4i?{, j ({2)) ou de P(e 4i?{, j (({+1)2)) est d'exposant au moins egal a °Y P (car j ({2)=e &i?{ +744+ n 1 c(n) e i?{n } } } ). Il en resulte que ord 0 G(T ) &(22) deg Y P, et donc que ord 0 Q(T 2, J(T )) 2 ord 0 F(T)° Y P. De plus, d'apres (1), nous avons ord 0 R(T ) min(ord 0 A(T, J(T ))+2 ord 0 F(T ); ord 0 B(T, J(T ))+ord 0 Q(T 2, J(T)),
File: 641J 213105 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2200 Signs: 1029 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
d'ou 18 deg X P deg Y P 2 ord 0 F(T )&3 deg Y P+1, c'est a dire ord 0 F(T) 9 deg X P deg Y P+ 32 deg Y P& 12 . (e)
Il nous faut maintenant prouver que R{0.
Soit J(T ) # C((T )) la serie de Laurent en 0 de J. Nous allons voir que, si R=0, alors toute racine dans C((T )) du polyno^me P(X, J((T )) # C((T ))[X ] est un mono^me. Comme la fonction J est transcendante, cela est impossible, ce qui prouve que R{0. La clo^ture algebrique du corps des series de Laurent C((T )) est le corps des series de Puiseux (voir [Gra] ou [Pic]), note C((T ))=
{:
=
a k T kq ; k 0 # Z, q # N"[0], a k # C pour k k 0 .
k k 0
Si :=( a0 bd ) # C(2), alors j b : a, a l'infini, pour developpement en serie de Puiseux V(T)=J(e 2i?(bd ) T ad ). Notons, pour k # [1, 2, 3], V k(T ) la serie de Puiseux correspondant a : k # C(2). On a 3
Q(X 2, J(T ))= ` P(X 2, V k(T )) # C((T ))[X]. k=1
Le polyno^me P etant irreductible, R(X)=Res Y (P(X, Y ) 2, Q(X 2, Y ))=0 implique que P(X, Y ) divise Q(X 2, Y ) dans C[X, Y], et donc P(X, J(T )) divise Q(X 2, J(T )) dans C((T))[X]. Soit W(T) # C((T )) une racine de P(X, J(T )) # C((T ))[X ]. W(T) est donc aussi racine du polyno^me Q(X 2, J(T)), et il existe k # [1, 2, 3] tel que P(W(T ) 2, V k(T ))=0. Autrement dit, il existe :=( a0 bd ) # C(2) tel que P(W(T ) 2, J(e 2i?(bd ) T ad ))=0, soit encore que P(W 2(e &2i?(ba) T (da) ), J(T))=0. En remarquant que ba # [0, 1] et da # [2, 12 ], il vient: Si W(T ) # C((T)) est une racine de P(X, J(T )) # C((T ))[X], alors il existe f # [2, 12 ] tel que W 2(T f ) soit aussi une racine de ce polyno^me. Nous allons prouver qu'alors W(T ) est un mono^me. On va proceder par l'absurde. Notons W(T)=T k 0 q k 0 a k T kq, avec q # N"[0], k 0 # Z, a k # C et a 0 {0. Si W n'est pas un mono^me, notons k 1 >0 le plus petit entier strictement positif tel que a k 1 {0. Posons $(W)=( |a 0 |, |a k 1 | ) # ]0, + [ 2.
File: 641J 213106 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2924 Signs: 1699 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
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GEORGES PHILIBERT
Nous avons vu que W (T )=W 2(T f ) est egalement racine de P(X, J(T)), et W (T )=T 2k 0 f q(a 20 +2a 0 a k 1 T k 1 f q + } } } ). Ainsi W n'est pas un mono^me et on a $(W )=( |a 0 | 2, 2 |a 0 | |a k 1 | ). Posons W 0 =W et, pour i 1, W i =W i&1 . Tous les W i sont des racines de P(X, J(T )) # C((T ))[X ] dans C((T )), ce ne sont pas des mono^mes, et une recurrence facile donne i
i
$(W i )=( |a 0 | 2 , 2 i |a 0 | 2 &1 |a k 1 |). Il en resulte que tous les $(W i ) sont differents, donc tous les W i sont distincts, ce qui donne une contradiction avec le fait que le polyno^me P(X, J(T )) # C((T))[X ] n'a qu'un nombre fini de racines. On en deduit que W(T ) est un mono^me, c'est a dire W(T )=a 0 T k 0 q. Il vient alors P(a 0 T k 0 q, J(T ))=0, soit encore P(a 0 T k 0, J(T q ))=0, ce qui est impossible car la serie J(T q ) est transcendante. (En effet, la serie J(T) est transcendante, et J(T ) et J(T q ) sont liees par la relation modulaire 8 q(J(T ), J(T q ))=0 des que q 2; voir [Web] ou [Lan1].) Nous venons donc de prouver que resultant R n'est pas le polyno^me nul. (f) Conclusion. Nous avons prouve dans ce paragraphe 2.3 que si deg X P deg Y P{0 et si P est irreductible sur C[X, Y], alors ord 0 F 9 deg X P deg Y P+ 32 deg Y P& 12 . 2.4. Cas general Si P est de la forme P(X, Y )=P 0(X ) P 1(Y), alors, d'apres les resultats des paragraphes 2.1 et 2.2, on a ord 0 F L 1 ° Y P 9L 1 L 2 + 32 L 2 & 12 . Sinon, on decompose P en produit de facteurs dans C[X, Y ] de la facon suivante: t
P(X, Y )=P 0(X ) P 1(Y) ` P k(X, Y ), k=2
ou P 0 # C[X], P 1 # C[Y ], P k(X, Y ) est irreductible dans C[X, Y] et deg X P k deg Y P k {0 si k # [2, ..., t]. On a ord 0 F=ord 0 P 0 +ord 0 P 1 + tk=2 ord 0 P k(T, J(T)). Les resultats obtenus aux paragraphes 2.1, 2.2 et 2.3 donnent: t
ord 0 F deg X P 0 ° Y P 1 +9 : deg X P k deg Y P k k=2 t
+
3 t&1 : deg Y P k & , 2 k=2 2
File: 641J 213107 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2784 Signs: 1676 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
et on obtient ord 0 F deg X P 0 ° Y P 1 +9(deg X P° X P 0 )
\
t
: deg Y P k k=2
+
t
+ 32 : deg Y P k & 12 . k=2
Le theoreme est ainsi prouve.
BIBLIOGRAPHIE [BDGP] K. Barre-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, et G. Philibert, Une preuve de la conjecture de MahlerManin, Invent. Math. 124 (1996), 19. [Gra] F. Gramain, Non-minimalite de la clo^ture differentielle: la preuve de Shelah, in ``Theorie stable'' (B. Poizat, Ed.), Vol. 3, No. 4, 19801982. [Lan1] S. Lang, ``Elliptic Functions,'' AddisonWesley, Reading, MA, 1973. [Lan2] S. Lang, ``Algebra,'' 2nd ed., AddisonWesley, Reading, MA, 1984. [Pic] E. Picard, ``Traite d'Analyse,'' 3 vols., GauthierVillars, Paris, 18911896. [Web] H. Weber, ``Lehrbuch der Algebra,'' Vol. III, Chelsea, New York, 2nd ed., 1908.
File: 641J 213108 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2364 Signs: 801 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
Un lemme de zeros modulaire Georges Philibert Equipe de Theorie des Nombres, Universite de Saint-Etienne, 23, rue du Docteur Paul Michelon, 42023 St Etienne Cedex 2, France Communicated by M. Waldschidt Received November 7, 1996; revised November 22, 1996
1. INTRODUCTION La preuve de la conjecture de MahlerManin (voir [BDGP]) a immediatement pose la question d'une mesure de transcendance de J(q), pour q # Q , |q| # ]0, 1[ (J est le developpement de Fourier a l'infini de l'invariant modulaire). Il etait necessaire, pour cela, de disposer d'un lemme de zeros relatif a J : c'est l'objet de cet article. Le developpement de Fourier a l'infini de l'invariant modulaire j (voir [Lan1]) J(T )=
(1+240 n 1 n 3T n(1&T n )) 3 1 = +744+ : c(n) T n, T (> n 1 (1&T n )) 24 T n 1
serie de Laurent a coefficients entiers naturels, definit une fonction analytique sur le disque unite pointe [z # C; 0< |z| <1] de C. Nous allons prouver le lemme de zeros suivant: Theoreme 1. Soit P # C[X, Y ] un polyno^me non nul dont les degres partiels satisfont deg X P L 1
et
deg Y P L 2 ,
avec L 2 1. Alors l'ordre en 0 de la serie de Laurent F(T ) =P(T, J(T )) # C((T )) est majore par ord 0 F 9L 1 L 2 + 32 L 2 & 12 . Le resultat obtenu est de la forme que l'on espere dans ce genre de situation. Le principe de la demonstration est original. Dans une premiere partie, on associe, a un polyno^me P # C[X, Y ], un ``polyno^me modulaire'' Q; dans la seconde partie, on utilise les series de Puiseux pour conclure a la 306 0022-314X97 25.00 Copyright 1997 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
File: 641J 213101 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3420 Signs: 1648 . Length: 50 pic 3 pts, 212 mm
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
non-nullite d'un polyno^me construit par elimination a partir des polyno^mes P et Q. 1. NOTATIONS Les notions et les resultats qui suivent sont exposes notamment dans [Web] ou [Lan1]. Pour tout entier n 2, soit 2 * n l'ensemble 2*= n
a b # M2(Z); ad&bc=n, (a, b, c, d )=1 . c d
{\ +
=
Nous dirons que :, ; # 2 * n sont equivalentes, et nous le noterons :t;, s'il existe # # SL 2(Z) telle que :=# } ;. L'ensemble quotient de 2 n* par la relation d'equivalence t admet pour systeme de representants C(n)=
a
b
{\0 d + # M (Z); a 0, d 0, ad=n, 0 b
L'ensemble C(n) possede (n) elements, que nous noterons : 1 , ..., : (n) , ou (n)=n > p | n (1+(1p)), le produit portant sur tous les diviseurs premiers de n. On fait agir M + 2 (Z)=[# # M2(Z); det(#)>0] sur le demi-plan de Poincare H=[z # C; Imz>0] de la facon suivante: pour #=( ac bd ) # M+ 2 (Z) et pour { # H, #({)=(a{+b)(c{+d ). Nous noterons indifferemment # la matrice et la fonction de H dans H ainsi definie. Interessons-nous a present a des proprietes de l'invariant modulaire j. Rappelons que j et J sont lies par: j ({)=J(e 2i?{ ),
pour tout
{ # H.
La modularite de j se traduit par le fait que si :, ; # 2 * n et si :t;, alors j b :=j b ;. Soit # # SL 2(Z). Pour tout : # 2 *, n on a : . # # 2 *. n Pour k, l # [1, ..., (n)], si : k . #t: l . #, alors : k t: l et donc k=l. Ainsi, t t l'application : k [ : k . # est une permutation de l'ensemble quotient 2* nt de 2 * n par la relation d'equivalence t, et par consequent [ j b : 1 b #, ..., j b : (n) b #]=[ j b : 1 , ..., j b : (n) ]. Notons Kn =C( j, j b : 1 , ..., j b : (n) ). On fait agir a droite SL 2(Z) sur Kn : n Kn pour # # SL 2(Z), definissons . # : K f [ f b # . Nous venons de voir que . # induit une permutation de [ j b : 1 , ..., j b : (n) ]. De plus, . # est un morphisme du corps Kn tel que . #( j )=j. On prolonge . # de maniere naturelle en un morphisme de l'anneau Kn[X]. Dans toute la suite, nous utiliserons ces proprietes pour n=2.
File: 641J 213102 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3028 Signs: 1847 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
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GEORGES PHILIBERT
2. DEMONSTRATION DU THEOREME Soit P # C[X, Y ] un polyno^me non nul dont les degres partiels satisfont deg X P L 1 et deg Y P L 2 , avec L 2 1. Notons F(T)=P(T, J(T )) # C((T )). La serie F n'est pas nulle, car la serie J(T ) est transcendante sur C((T )) (voir [BDGP, lemme 4]). Traitons separement differents cas avant de conclure. 2.1. Si deg Y P=0 Dans ce cas, P(X, Y )=P 0(X ) # C[X ] et alors ord 0 F deg X P. 2.2. Si deg X P=0 Dans ce cas, P(X, Y)=P 1(Y ) # C[Y] et alors, comme ord 0 J=&1, on a ord 0 F=° Y P. 2.3. Si deg X P deg Y P{0 et si P est irreductible dans C[X, Y ] En nous inspirant de la methode de construction du polyno^me modulaire 8 2(X, Y ) (voir [Web] ou [Lan1]), nous allons construire a partir de P un polyno^me Q(X, Y ), dont nous ma@^ triserons les degres partiels, et que nous saurons lier a F. Puis en eliminant l'indeterminee Y entre P et Q gra^ce a un resultant, nous obtiendrons une majoration de ord 0 F. Nous allons travailler avec les notations du paragraphe 1, en choisissant n=2 (et alors (2)=3). (a)
Considerons le polyno^me de K2 [X ] 3
S(X)= ` P(X, j b : k ). k=1
Pour tout # # SL 2 (Z), on a . #(S)(X )=S(X ) car . # induit une permutation de [ j b : 1 , j b : 2 , j b : 3 ]. Les coefficients du polyno^me S sont donc invariants sous SL 2(Z), et ce sont des fonctions holomorphes sur H, et meromorphes a l'infini. On deduit donc de [Lan1, theoreme 2, p. 54, chapitre 5, paragraphe 2], que les coefficients de S sont des polyno^mes en j, c'est a dire qu'il existe un polyno^me Q # C[X, Y ] tel que S(X )=Q(X, j ).
File: 641J 213103 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:50 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2399 Signs: 1491 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm
LEMME DE ZEROS MODULAIRE
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(b) Nous voulons a present majorer les degres partiels de Q en fonction de deg X P et deg Y P. Il est clair que deg X Q=3 deg X P. Interessons-nous a deg Y Q en etudiant la partie polaire preponderante des coefficients de S(X ) a l'infini. Notons deg X P
P(X, Y )= : p l (Y ) X l. l=0
Si :=( a0
b d
) # C(2), on a ad=2 et donc
j b :({)=j
\
a 2{+ab 2 2 =e &i?(a {+ab) +744+ : c(n) e i?n(a {+ab). 2 n 1
+
Pour 0 l deg X P, la fonction p l ( j b :) a donc une partie polaire pre2 ponderante en e &i?{a deg p l, et l'exposant de e &i?{ est a 2 deg Y P. Or nous avons [: 1 , : 2 , : 3 ]=[( 20 01 ), ( 10 02 ), ( 10 12 )]. Il s'ensuit que pour un coefficient de S, la partie polaire dominante a un exposant en e &i?{ au plus egal a (4+1+1) deg Y P=6 deg Y P. Puisque les coefficients de S s'expriment en realite en e 2i?{, la partie polaire dominante de S a un exposant en e &2i?{ au plus egal a 3 deg Y P. On en deduit deg Y Q 3 deg Y P. (c) Nous allons maintenant eliminer Y entre les polyno^mes P(X, Y ) 2 et Q(X 2, Y ). Pour cela, on les regarde comme des polyno^mes de C[X ][Y ] et on considere leur resultant (voir [Lan2, chapitre V, paragraphe 10]), R(X )=Res Y (P(X, Y ) 2, Q(X 2, Y )) # C[X ]. Il existe deux polyno^mes A et B # C[X, Y ] tels que: R(X )=A(X, Y ) P(X, Y) 2 +B(X, Y) Q(X 2, Y ), deg Y A(X, Y ) deg Y Q(X 2, Y )&1, deg Y B(X, Y ) deg Y P(X, Y ) 2 &1, deg R(X ) deg X Q(X 2, Y ) deg Y P(X, Y ) 2 +deg Y Q(X 2, Y ) deg X P(X, Y ) 2.
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(1)
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GEORGES PHILIBERT
On en deduit deg Y A(X, Y ) 3 deg Y P(X, Y )&1, deg Y B(X, Y ) 2 deg Y P(X, Y )&1, deg R(X ) 18 deg X P(X, Y ) deg Y P(X, Y). (d) Supposons dans un premier temps que R n'est pas le polyno^me nul, ce que nous prouverons au paragraphe e. On a: ord 0 A(T, J(T )) &3 deg Y P+1, ord 0 B(T, J(T )) &2 deg Y P+1, ord 0 R(T ) 18 deg X P deg Y P. Estimons ord 0 Q(T 2, J(T )). Tout z # C tel que 0< |z| <1 s'ecrit z=e 2i?{, avec { # H. On a Q(z 2, J(z))=P(z 2, J(z 2 )) g({) ou
\
g({)=P e 4i?{, j
{ 2
\ ++ \
P e 4i?{, j
{+1 2
\ ++ .
On remarque que pour tout { # H, on a g({+1)=g({); il existe donc une serie G(T ) # C((T)) definissant une fonction G analytique dans le disque unite pointe de C telle que g({)=G(e 2i?{ ) pour tout { # H. Etudions ord 0 G. Le terme principal du developpement de Laurent en e i?{ de P(e 4i?{, j ({2)) ou de P(e 4i?{, j (({+1)2)) est d'exposant au moins egal a °Y P (car j ({2)=e &i?{ +744+ n 1 c(n) e i?{n } } } ). Il en resulte que ord 0 G(T ) &(22) deg Y P, et donc que ord 0 Q(T 2, J(T )) 2 ord 0 F(T)° Y P. De plus, d'apres (1), nous avons ord 0 R(T ) min(ord 0 A(T, J(T ))+2 ord 0 F(T ); ord 0 B(T, J(T ))+ord 0 Q(T 2, J(T)),
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
d'ou 18 deg X P deg Y P 2 ord 0 F(T )&3 deg Y P+1, c'est a dire ord 0 F(T) 9 deg X P deg Y P+ 32 deg Y P& 12 . (e)
Il nous faut maintenant prouver que R{0.
Soit J(T ) # C((T )) la serie de Laurent en 0 de J. Nous allons voir que, si R=0, alors toute racine dans C((T )) du polyno^me P(X, J((T )) # C((T ))[X ] est un mono^me. Comme la fonction J est transcendante, cela est impossible, ce qui prouve que R{0. La clo^ture algebrique du corps des series de Laurent C((T )) est le corps des series de Puiseux (voir [Gra] ou [Pic]), note C((T ))=
{:
=
a k T kq ; k 0 # Z, q # N"[0], a k # C pour k k 0 .
k k 0
Si :=( a0 bd ) # C(2), alors j b : a, a l'infini, pour developpement en serie de Puiseux V(T)=J(e 2i?(bd ) T ad ). Notons, pour k # [1, 2, 3], V k(T ) la serie de Puiseux correspondant a : k # C(2). On a 3
Q(X 2, J(T ))= ` P(X 2, V k(T )) # C((T ))[X]. k=1
Le polyno^me P etant irreductible, R(X)=Res Y (P(X, Y ) 2, Q(X 2, Y ))=0 implique que P(X, Y ) divise Q(X 2, Y ) dans C[X, Y], et donc P(X, J(T )) divise Q(X 2, J(T )) dans C((T))[X]. Soit W(T) # C((T )) une racine de P(X, J(T )) # C((T ))[X ]. W(T) est donc aussi racine du polyno^me Q(X 2, J(T)), et il existe k # [1, 2, 3] tel que P(W(T ) 2, V k(T ))=0. Autrement dit, il existe :=( a0 bd ) # C(2) tel que P(W(T ) 2, J(e 2i?(bd ) T ad ))=0, soit encore que P(W 2(e &2i?(ba) T (da) ), J(T))=0. En remarquant que ba # [0, 1] et da # [2, 12 ], il vient: Si W(T ) # C((T)) est une racine de P(X, J(T )) # C((T ))[X], alors il existe f # [2, 12 ] tel que W 2(T f ) soit aussi une racine de ce polyno^me. Nous allons prouver qu'alors W(T ) est un mono^me. On va proceder par l'absurde. Notons W(T)=T k 0 q k 0 a k T kq, avec q # N"[0], k 0 # Z, a k # C et a 0 {0. Si W n'est pas un mono^me, notons k 1 >0 le plus petit entier strictement positif tel que a k 1 {0. Posons $(W)=( |a 0 |, |a k 1 | ) # ]0, + [ 2.
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GEORGES PHILIBERT
Nous avons vu que W (T )=W 2(T f ) est egalement racine de P(X, J(T)), et W (T )=T 2k 0 f q(a 20 +2a 0 a k 1 T k 1 f q + } } } ). Ainsi W n'est pas un mono^me et on a $(W )=( |a 0 | 2, 2 |a 0 | |a k 1 | ). Posons W 0 =W et, pour i 1, W i =W i&1 . Tous les W i sont des racines de P(X, J(T )) # C((T ))[X ] dans C((T )), ce ne sont pas des mono^mes, et une recurrence facile donne i
i
$(W i )=( |a 0 | 2 , 2 i |a 0 | 2 &1 |a k 1 |). Il en resulte que tous les $(W i ) sont differents, donc tous les W i sont distincts, ce qui donne une contradiction avec le fait que le polyno^me P(X, J(T )) # C((T))[X ] n'a qu'un nombre fini de racines. On en deduit que W(T ) est un mono^me, c'est a dire W(T )=a 0 T k 0 q. Il vient alors P(a 0 T k 0 q, J(T ))=0, soit encore P(a 0 T k 0, J(T q ))=0, ce qui est impossible car la serie J(T q ) est transcendante. (En effet, la serie J(T) est transcendante, et J(T ) et J(T q ) sont liees par la relation modulaire 8 q(J(T ), J(T q ))=0 des que q 2; voir [Web] ou [Lan1].) Nous venons donc de prouver que resultant R n'est pas le polyno^me nul. (f) Conclusion. Nous avons prouve dans ce paragraphe 2.3 que si deg X P deg Y P{0 et si P est irreductible sur C[X, Y], alors ord 0 F 9 deg X P deg Y P+ 32 deg Y P& 12 . 2.4. Cas general Si P est de la forme P(X, Y )=P 0(X ) P 1(Y), alors, d'apres les resultats des paragraphes 2.1 et 2.2, on a ord 0 F L 1 ° Y P 9L 1 L 2 + 32 L 2 & 12 . Sinon, on decompose P en produit de facteurs dans C[X, Y ] de la facon suivante: t
P(X, Y )=P 0(X ) P 1(Y) ` P k(X, Y ), k=2
ou P 0 # C[X], P 1 # C[Y ], P k(X, Y ) est irreductible dans C[X, Y] et deg X P k deg Y P k {0 si k # [2, ..., t]. On a ord 0 F=ord 0 P 0 +ord 0 P 1 + tk=2 ord 0 P k(T, J(T)). Les resultats obtenus aux paragraphes 2.1, 2.2 et 2.3 donnent: t
ord 0 F deg X P 0 ° Y P 1 +9 : deg X P k deg Y P k k=2 t
+
3 t&1 : deg Y P k & , 2 k=2 2
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LEMME DE ZEROS MODULAIRE
et on obtient ord 0 F deg X P 0 ° Y P 1 +9(deg X P° X P 0 )
\
t
: deg Y P k k=2
+
t
+ 32 : deg Y P k & 12 . k=2
Le theoreme est ainsi prouve.
BIBLIOGRAPHIE [BDGP] K. Barre-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, et G. Philibert, Une preuve de la conjecture de MahlerManin, Invent. Math. 124 (1996), 19. [Gra] F. Gramain, Non-minimalite de la clo^ture differentielle: la preuve de Shelah, in ``Theorie stable'' (B. Poizat, Ed.), Vol. 3, No. 4, 19801982. [Lan1] S. Lang, ``Elliptic Functions,'' AddisonWesley, Reading, MA, 1973. [Lan2] S. Lang, ``Algebra,'' 2nd ed., AddisonWesley, Reading, MA, 1984. [Pic] E. Picard, ``Traite d'Analyse,'' 3 vols., GauthierVillars, Paris, 18911896. [Web] H. Weber, ``Lehrbuch der Algebra,'' Vol. III, Chelsea, New York, 2nd ed., 1908.
File: 641J 213108 . By:DS . Date:23:09:97 . Time:13:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2364 Signs: 801 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm