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Le grenat d'aluminium et de dysprosium A-T-IL un ou plusieurs points critiques?
Volume 25A, number 4
LE
PHYSICS LETTERS
GRENAT UN
D'ALUMINIUM OU PLUSIEURS
ET DE POINTS
28 August 1967
DYSPROSIUMA-T-IL CRITIQUES .7
R. BIDAUX, P. CARRARA et B. VIVET Service de Physique du Solide et de Rbsonance Magn~tique, Centre d'Etudes Nucl~aires de Saclay, BP n ° 2, 91, Gtf-sur-Yvette Requ le 3 juillet 1967
In DAG, the transitionline, near TN, between the antiferromagnetic and paramagnetic states does not depend, within molecular field theory, on the direction of the magnetic field. The small spread of the socalled "criticaltemperaturesSis shown to be fortuitous.
Le g r e n a t d ' a l u m i n i u m et de d y s p r o s i u m (DAG) e s t , a u - d e s s o u s de 2.5 OK, un a n t i f e r r o magndtique fi s i x s o u s - r d s e a a x b i e n d d c r i t p a r l ' H a m i l t o n i e n d ' I s i n g . L ' d t u d e [1] du d i a g r a m m e de p h a s e , p o u r un champ H appliqud dans l e s d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s , a f a r a p p a r a R r e une t e n p d r a t u r e c r i t i q u e T c a u - d e s s o u s de l a q u e l l e la t r a n s i t i o n de l ' d t a t p a r a m a g n d t i q u e (P) fi l ' d t a t a n t i f e r r o m a g n d t i q u e (AF) devient du p r e m i e r o r d r e . Dans le module de champ m o l d c u l a i r e , l ' i n s e n s i b i l i t d de T c fi l ' o r i e n t a t i o n de H a p p a r a R fortuite. Soient ~ - ~ ' ( z ) , B-~'(x), r-V'(Y) l e s s i x s o u s r d s e a u x (les m ~ m e s l e t t r e s r e p r d s e n t e r o n t l e u r a i m a n t a t i o n r e l a t i v e ) et l e s d i r e c t i o n s c o r r e s p o n d a n t e s d e s s p i n s . P o u r chacune, on ddfinit l ' a i m a n t a t i o n m o y e n n e m z =½(~ + ~') et le p a r a m ~ t r e d ' o r d r e moyen s z =½(or - ~'). P o s a n t t = = T / T N e t h = ~BgZ H/2 k B T N , l e s s i x dquations du champ m o l d c u l a i r e s ' d c r i v e n t : a r g th 2s z / ( 1 - m2+s 2) : 2 / t [a s z + b (Sx+Sy) ] . . . . (1) (2)
argth2mz/(l+m2z-S2 ) =2/t[hz+Cmz] ....
a, b, c dtant d e s p a r a m ~ t r e s r d d u i t s ddfinis ~ p a r t i r de ceux i n t r o d u i t s p a r Capel [2]
(Pl -P2)/~1
-Ps/(Pl-Pz-2Ps),
: - P 2 - 2 P s ) , b -c = (Pl -P2 -16~/3a3)/(pl-p2-2pS)" A tempdrature dlevde, s x =Sy =s z =0. L'or-
a
dre A F apparaR lorsque le syst~me (1) - (2) lindarisd en s a une solution non triviale:
[a-t/(1-m2)]Sz+bSx+bSy
=0,
h z = - c m z + t a r g t h m z , ...
...
(1') (2')
La ligne de t r a n s i t i o n s ' o b t i e n t fi p a r t i r de la v a l e u r p r o p r e t la p l u s dlevde du s y s t ~ m e (1'). 332
Si aucun m i n e u r du d d t e r m i n a n t ne s ' a n n u l e l ' o r dre AF apparaftra simultandment sur les trois a x e s . Aucun i n c i d e n t de ce type n ' i n t e r v i e n t au v o i s i n a g e ou a u - d e s s u s de T c. PrOs de T N, (2') peut 6 t r e l i n d a r i s d e . L ' a i m a n t a t i o n ~ la t r a n s i t i o n ne ddpend doric p a s de la d i r e c t i o n de H. (Cette p r o p r i d t d e s t d i s t i n c t e de l ' i s o t r o p i e de la s u s c e p t i b i l i t d dQe ~ la s y m d t r i e cubique de la p h a s e A F en champ nul. Bien que dans le t r a i t e m e n t exact, dQ ~ F i s h e r [3], d ' u n a n t i f e r r o m a g n d t i q u e plus s i m p l e que le DAG, la s u s c e p t i b i l i t d , p o u r t =t N et h =0, c a l c u lde le long de la ligne de t r a n s i t i o n s o i t e f f e c t i v e m e n t d g a l e / t l a s u s c e p t i b i l i t d i s o t h e r m e , la g d n d r a l i t d de ce r d s u l t a t s e m b l e c o n t e s t a b l e . L ' i s o t r o p i e de l a s e c o n d e n ' e n t r a i n e dons p a s n d c e s s a i t e m e n t c e l l e de l a p r e m i e r e ) . C o m m e , de p l u s , 1, equation s d c u l a i r e l i n d a r i s d e en m 2 , m 2 , x mz2 ne f a r a p p a r a R r e que l e u r fonction s y m d t r l que d ' o r d r e le p l u s b a s m 2 : m 2 + m ~ + m 2, la l i m i t e de p h a s e e s t , au v o i s i n a g e de Y/~, m d d p e n dante de l ' o r i e n t a t i o n du champ et e s t donnde p a r m ~ f3(1-t) et h~vr-3(1 -c)(1 - t ) ~ . Cette p r o p r i d t d , lide d v i d e m m e n t fi la f o r m e p a r t i c u l i ~ r e de l ' d q u a t i o n s d c u l a i r e dans le p r d s e n t module, e s t b i e n v d r i f i d e dans l ' d t a t a c t u e l de l ' e x p d r i mentation. P o u r d v a l u e r Tc, on dtudie le e o m p o r t e m e n t du p a r a m ~ t r e d ' o r d r e au v o i s i n a g e de la ligne de t r a n s i t i o n . Dans la d i r e c t i o n [ 1 , 1 , 1 ] , on p o s e m x =my =mz = I~ = r e ~ R , s x =Sy =Sz : ~ et blur3 =77. En ddveloppant, (1) et (2) s e m e t t e n t s o u s l a forme: U =Uo(t)+k(t) ~2 + ...
(1")
=C~o(t) +t. a r g th ~o(t) +{t/[1 - ~o2(t)]-c} × × [~ - ~o(t)] + t~o(t)~2/[1 - ~o2(t)] 2 +...
(2")
Volume 25A, number 4
PHYSICS LETTERS
Tableau 1
[I, I, I] [0, O, 1] [1, 1, O]
28 August 1967
rex= my=l~ =rn/d--2 et h/J'2 =r;. ~o = 2 b / ( t - a ) et ,
tc
he
mc
~Pc
0.822 0.782 0.814
0.362 0.309 0.349
0.244 0.245 0.243
1.616 1.194
#/=-t~4/eb tandis que g o ( t ) ={1 - t/[a + b(1 + ~)]}L
La ligne de transition de second ordre est enti~rement ddfinie par ft =/~o(t) et par (2'). E n portant (1") clans (2"), on obtient indfffdremment a ou ~t implicitement en fonction de r/et t sous forme d'un ddveloppement de ~7 en puissances de ~2 ou ~t - ~o(t). T c est atteinte lorsque le coefficient de a ~ ou de /~ -/to(t) s'annule. C e dernier est l'inverse de la susceptibilitd dfff~rentielle X de la phase A F sur la ligne de transition. T c est dafinie par la plus haute racine de 1/X =0. Ici
Le t a b l e a u 1 r ~ s u m e , p o u r l e s 3 d i r e c t i o n s prineipales, les valeurs num~riques des temper a t u r e s , a i m a n t a t i o n s et c h a m p s c r i t i q u e s , c a l c u l a e s ~t p a r t i r de v a l e u r s adaptOes [1] d e s p a r a m ~ t r e s p. L e s t e m p a r a t u r e s c r i t i q u e s sont e f f e c tivement tr6s voislne mais surestiment notablemerit l e s v a l e u r s e x p d r i m e n t a l e s v o i s i n e s de ~. La quasi-identit~ des aimantations critiques semb l e f o r t u i t e . E x p a r i m e n t a l e m e n t [4], h e [ 1 , 1 , 1 ] e s t vlus p r o c h e de ½ et m e [ l , 1 , 1 ] de i . D ' a p r ~ s (4), le p a r a m ~ t r e d ' o r d r e v a r i e plus r i t e , a u - d e s s o u s de TN, s u r l e s s o u s - r a s e a u x n ' i n t e r a g i s s a n t p a s avec le champ que s u r l e s a u t r e s . On a indiqud, darts le t a b l e a u 1, l e s v a l e u r s de ~ p o u r t = t c. P o u r t =tN,
~to(t) =(1 -t)~ et t c [ 1 , 1 , 1 ] =2(1 + 2c)/3(1 +c). Darts l a d i r e c t i o n [0, 0,1] on p o s e mz=~t, s z = =~ et s x =Sy = e ' . Deux d e s Oquations (1) sont non d q u i v a l e n t e s . L ' u n e dquivaut h: ~, = ~
+ ~3
+...
(3)
a v e c ~ = b / I t - (a+ b)] et ~ = - t ~ 4 / 3 b . En p o r t a n t (3) clans l a s e c o n d e aquation, on obtient ( 1 " ) , (2") d e u m e u r a n t inchangde s i 7/--h. La suite de l a r a s o l u t i o n e s t identique. Ici fro(t) = = [1 - t/(a+ b~0)]¼, t c [0, 0,1] ne peut ~ t r e c a l c u l d e littaralement. D a n s Ia d i r e c t i o n [ 1 , 1 , 0 ] on r e t r o u v e (3), ( 1 " ) et (2") s i l ' o n p o s e s x = S y = a , s z =~r',
References 1. B. E. Keen, D.P. Landau et W.P.Wolf, Xth Int. Conf. on Low temp. physics, Moscou, 1966, Communication A24. 2. H.W. Capel, R. Bidaux, P. Carrara et B. Vivet, Phys. Letters 22 (1966) 400. 3. M. Fisher, Proc. Roy. Soc. A254 (1960) 66. 4. B.E. Keen, D. Landau, B. Schneider et W. P.Wolf, J. Appl. Phys. 37 (1966) 1120.
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PHYSICS LETTERS
GRENAT UN
D'ALUMINIUM OU PLUSIEURS
ET DE POINTS
28 August 1967
DYSPROSIUMA-T-IL CRITIQUES .7
R. BIDAUX, P. CARRARA et B. VIVET Service de Physique du Solide et de Rbsonance Magn~tique, Centre d'Etudes Nucl~aires de Saclay, BP n ° 2, 91, Gtf-sur-Yvette Requ le 3 juillet 1967
In DAG, the transitionline, near TN, between the antiferromagnetic and paramagnetic states does not depend, within molecular field theory, on the direction of the magnetic field. The small spread of the socalled "criticaltemperaturesSis shown to be fortuitous.
Le g r e n a t d ' a l u m i n i u m et de d y s p r o s i u m (DAG) e s t , a u - d e s s o u s de 2.5 OK, un a n t i f e r r o magndtique fi s i x s o u s - r d s e a a x b i e n d d c r i t p a r l ' H a m i l t o n i e n d ' I s i n g . L ' d t u d e [1] du d i a g r a m m e de p h a s e , p o u r un champ H appliqud dans l e s d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s , a f a r a p p a r a R r e une t e n p d r a t u r e c r i t i q u e T c a u - d e s s o u s de l a q u e l l e la t r a n s i t i o n de l ' d t a t p a r a m a g n d t i q u e (P) fi l ' d t a t a n t i f e r r o m a g n d t i q u e (AF) devient du p r e m i e r o r d r e . Dans le module de champ m o l d c u l a i r e , l ' i n s e n s i b i l i t d de T c fi l ' o r i e n t a t i o n de H a p p a r a R fortuite. Soient ~ - ~ ' ( z ) , B-~'(x), r-V'(Y) l e s s i x s o u s r d s e a u x (les m ~ m e s l e t t r e s r e p r d s e n t e r o n t l e u r a i m a n t a t i o n r e l a t i v e ) et l e s d i r e c t i o n s c o r r e s p o n d a n t e s d e s s p i n s . P o u r chacune, on ddfinit l ' a i m a n t a t i o n m o y e n n e m z =½(~ + ~') et le p a r a m ~ t r e d ' o r d r e moyen s z =½(or - ~'). P o s a n t t = = T / T N e t h = ~BgZ H/2 k B T N , l e s s i x dquations du champ m o l d c u l a i r e s ' d c r i v e n t : a r g th 2s z / ( 1 - m2+s 2) : 2 / t [a s z + b (Sx+Sy) ] . . . . (1) (2)
argth2mz/(l+m2z-S2 ) =2/t[hz+Cmz] ....
a, b, c dtant d e s p a r a m ~ t r e s r d d u i t s ddfinis ~ p a r t i r de ceux i n t r o d u i t s p a r Capel [2]
(Pl -P2)/~1
-Ps/(Pl-Pz-2Ps),
: - P 2 - 2 P s ) , b -c = (Pl -P2 -16~/3a3)/(pl-p2-2pS)" A tempdrature dlevde, s x =Sy =s z =0. L'or-
a
dre A F apparaR lorsque le syst~me (1) - (2) lindarisd en s a une solution non triviale:
[a-t/(1-m2)]Sz+bSx+bSy
=0,
h z = - c m z + t a r g t h m z , ...
...
(1') (2')
La ligne de t r a n s i t i o n s ' o b t i e n t fi p a r t i r de la v a l e u r p r o p r e t la p l u s dlevde du s y s t ~ m e (1'). 332
Si aucun m i n e u r du d d t e r m i n a n t ne s ' a n n u l e l ' o r dre AF apparaftra simultandment sur les trois a x e s . Aucun i n c i d e n t de ce type n ' i n t e r v i e n t au v o i s i n a g e ou a u - d e s s u s de T c. PrOs de T N, (2') peut 6 t r e l i n d a r i s d e . L ' a i m a n t a t i o n ~ la t r a n s i t i o n ne ddpend doric p a s de la d i r e c t i o n de H. (Cette p r o p r i d t d e s t d i s t i n c t e de l ' i s o t r o p i e de la s u s c e p t i b i l i t d dQe ~ la s y m d t r i e cubique de la p h a s e A F en champ nul. Bien que dans le t r a i t e m e n t exact, dQ ~ F i s h e r [3], d ' u n a n t i f e r r o m a g n d t i q u e plus s i m p l e que le DAG, la s u s c e p t i b i l i t d , p o u r t =t N et h =0, c a l c u lde le long de la ligne de t r a n s i t i o n s o i t e f f e c t i v e m e n t d g a l e / t l a s u s c e p t i b i l i t d i s o t h e r m e , la g d n d r a l i t d de ce r d s u l t a t s e m b l e c o n t e s t a b l e . L ' i s o t r o p i e de l a s e c o n d e n ' e n t r a i n e dons p a s n d c e s s a i t e m e n t c e l l e de l a p r e m i e r e ) . C o m m e , de p l u s , 1, equation s d c u l a i r e l i n d a r i s d e en m 2 , m 2 , x mz2 ne f a r a p p a r a R r e que l e u r fonction s y m d t r l que d ' o r d r e le p l u s b a s m 2 : m 2 + m ~ + m 2, la l i m i t e de p h a s e e s t , au v o i s i n a g e de Y/~, m d d p e n dante de l ' o r i e n t a t i o n du champ et e s t donnde p a r m ~ f3(1-t) et h~vr-3(1 -c)(1 - t ) ~ . Cette p r o p r i d t d , lide d v i d e m m e n t fi la f o r m e p a r t i c u l i ~ r e de l ' d q u a t i o n s d c u l a i r e dans le p r d s e n t module, e s t b i e n v d r i f i d e dans l ' d t a t a c t u e l de l ' e x p d r i mentation. P o u r d v a l u e r Tc, on dtudie le e o m p o r t e m e n t du p a r a m ~ t r e d ' o r d r e au v o i s i n a g e de la ligne de t r a n s i t i o n . Dans la d i r e c t i o n [ 1 , 1 , 1 ] , on p o s e m x =my =mz = I~ = r e ~ R , s x =Sy =Sz : ~ et blur3 =77. En ddveloppant, (1) et (2) s e m e t t e n t s o u s l a forme: U =Uo(t)+k(t) ~2 + ...
(1")
=C~o(t) +t. a r g th ~o(t) +{t/[1 - ~o2(t)]-c} × × [~ - ~o(t)] + t~o(t)~2/[1 - ~o2(t)] 2 +...
(2")
Volume 25A, number 4
PHYSICS LETTERS
Tableau 1
[I, I, I] [0, O, 1] [1, 1, O]
28 August 1967
rex= my=l~ =rn/d--2 et h/J'2 =r;. ~o = 2 b / ( t - a ) et ,
tc
he
mc
~Pc
0.822 0.782 0.814
0.362 0.309 0.349
0.244 0.245 0.243
1.616 1.194
#/=-t~4/eb tandis que g o ( t ) ={1 - t/[a + b(1 + ~)]}L
La ligne de transition de second ordre est enti~rement ddfinie par ft =/~o(t) et par (2'). E n portant (1") clans (2"), on obtient indfffdremment a ou ~t implicitement en fonction de r/et t sous forme d'un ddveloppement de ~7 en puissances de ~2 ou ~t - ~o(t). T c est atteinte lorsque le coefficient de a ~ ou de /~ -/to(t) s'annule. C e dernier est l'inverse de la susceptibilitd dfff~rentielle X de la phase A F sur la ligne de transition. T c est dafinie par la plus haute racine de 1/X =0. Ici
Le t a b l e a u 1 r ~ s u m e , p o u r l e s 3 d i r e c t i o n s prineipales, les valeurs num~riques des temper a t u r e s , a i m a n t a t i o n s et c h a m p s c r i t i q u e s , c a l c u l a e s ~t p a r t i r de v a l e u r s adaptOes [1] d e s p a r a m ~ t r e s p. L e s t e m p a r a t u r e s c r i t i q u e s sont e f f e c tivement tr6s voislne mais surestiment notablemerit l e s v a l e u r s e x p d r i m e n t a l e s v o i s i n e s de ~. La quasi-identit~ des aimantations critiques semb l e f o r t u i t e . E x p a r i m e n t a l e m e n t [4], h e [ 1 , 1 , 1 ] e s t vlus p r o c h e de ½ et m e [ l , 1 , 1 ] de i . D ' a p r ~ s (4), le p a r a m ~ t r e d ' o r d r e v a r i e plus r i t e , a u - d e s s o u s de TN, s u r l e s s o u s - r a s e a u x n ' i n t e r a g i s s a n t p a s avec le champ que s u r l e s a u t r e s . On a indiqud, darts le t a b l e a u 1, l e s v a l e u r s de ~ p o u r t = t c. P o u r t =tN,
~to(t) =(1 -t)~ et t c [ 1 , 1 , 1 ] =2(1 + 2c)/3(1 +c). Darts l a d i r e c t i o n [0, 0,1] on p o s e mz=~t, s z = =~ et s x =Sy = e ' . Deux d e s Oquations (1) sont non d q u i v a l e n t e s . L ' u n e dquivaut h: ~, = ~
+ ~3
+...
(3)
a v e c ~ = b / I t - (a+ b)] et ~ = - t ~ 4 / 3 b . En p o r t a n t (3) clans l a s e c o n d e aquation, on obtient ( 1 " ) , (2") d e u m e u r a n t inchangde s i 7/--h. La suite de l a r a s o l u t i o n e s t identique. Ici fro(t) = = [1 - t/(a+ b~0)]¼, t c [0, 0,1] ne peut ~ t r e c a l c u l d e littaralement. D a n s Ia d i r e c t i o n [ 1 , 1 , 0 ] on r e t r o u v e (3), ( 1 " ) et (2") s i l ' o n p o s e s x = S y = a , s z =~r',
References 1. B. E. Keen, D.P. Landau et W.P.Wolf, Xth Int. Conf. on Low temp. physics, Moscou, 1966, Communication A24. 2. H.W. Capel, R. Bidaux, P. Carrara et B. Vivet, Phys. Letters 22 (1966) 400. 3. M. Fisher, Proc. Roy. Soc. A254 (1960) 66. 4. B.E. Keen, D. Landau, B. Schneider et W. P.Wolf, J. Appl. Phys. 37 (1966) 1120.
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